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ENGENHEIRO TEM QUE ESTUDAR 1-EXERCÍCIO RESOLVIDO – DERIVADAS DIRECIONAIS – FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS Aula Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial II e as Derivadas Parciais nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo II e derivadas parciais que envolvem Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis. Neste exercício resolvido passo a passo sobre derivadas direcionais, para a função de duas (02) variáveis f ( x, y ) = x2y + √y, calcule a taxa de variação no Ponto P = < 2 , 1 > na direção do vetor â = ( 5i -2j ). 1º PASSO: NORMALIZAR O VETOR â PARA ENCONTRAR O VETOR UNITÁRIO û Para normalizar o vetor â = ( 5i -2j ), basta calcular a raiz quadrada da soma dos quadradros das componentes do vetor, ou seja: –> Dizemos a “norma” do vetor. Agora para encontrar o vetor unitário û do vetor â, basta dividir o vetor pela sua norma: 2º PASSO: ENCONTRAR AS DERIVADAS PARCIAIS DA FUNÇÃO Foi indicado no enunciado do exercício a função de duas variáveis, . Primeiro vamos calcular a derivada parcial em x da função f, Portanto a derivada parcial em x vale: Agora devemos calcular a derivada parcial em y da função f, Portanto a derivada parcial em y vale: 3º PASSO: ENCONTRAR O VALOR NÚMERO DAS DERIVADAS PARCIAIS NO PONTO P O ponto P = < 2 , 1 > é o ponto onde queremos encontrar a taxa de variação, usando agora as derivadas parciais que encontramos no passo anterior, substituímos os valores de x e y que o ponto P representa. 4º PASSO: CALCULAR A DERIVADA DIRECIONAL DA FUNÇÃO f NA DIREÇÃO DO VETOR UNITÁRIO û Para finalmente calcularmos a derivada direcional da função f ( x, y ) = x2y + √y, usaremos a fórmula abaixo que nada mais é que a definição de derivadas direcionais, onde multiplicamos a derivada parcial em x com a componente x do vetor unitário û e somamos com multiplicação do valor da derivada parcial em y com a componente y do vetor unitário û: Como já utilizamos os valores do ponto P na resolução, isso significa que já temos a taxa de variação desta função no requerido ponto P que vale: RESPOSTA FINAL DO EXERCÍCIO RESOLVIDO: A taxa de variação da função f(x,y) em direção ao vetor â no Ponto P vale: Todas aquelas aulas de Cálculo, Derivadas Parciais, Álgebra, Geometria, Física e outras ciências são justamente as coisas que transformaram você em um Engenheiro. O engenheiro deve saber pensar; deve saber organizar as idéias, equacionar problemas; escolher os conhecimentos científicos que se aplicam ao problema que precisa ser resolvido. Este tipo de capacidade só se obtém com o domínio da ciência. Só depois de muitas aulas de Cálculo, Limites, Derivadas e Integrais, Álgebra, Geometria, Física e outras disciplinas que muita gente (os defensores do conhecimento prático) consideram inúteis.Portanto não deixe de estudar as dicisplinas cálculo diferencial e integral durante o seu curso técnico ou faculdade de engenharia e praticar com os exercícios resolvidos e as aulas e videos aulas de cálculo integral, limites, e Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis aqui do nosso site [EtE] Engenheiro Tem que Estudar. 2-EXERCÍCIO RESOLVIDO – INTEGRAL DUPLA – COORDENADAS POLARES EXEMPLO Aula Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial II nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo II e integrais que envolvem Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares. Temos neste exercício a integral I que cálcula a área da região R para as funções listadas abaixo e queremos determinar essa integral em coordenadas polares. E as funções que delimitam a região R (em coordenadas polares): 1º PASSO: OBJETIVO DO EXERCÍCIO E DETERMINAR A REGIÃO R. Queremos neste exercicio resolvido de integral dupla em coordenadas polares determinar a integral I que vai calcular a área da região R. Para isso temos que plotar as funções r no gráfico e verificar tal figura. É importante também a visualização no gráfico para determinarmos posteriormente os limites de integração. A primera função r (raiz de 18) é uma circunferência centrada na origem (função vermelha no gráfico), e a segunda é uma circunferência deslocada da origem (função azul): A figura desenhada em amarelo é a nossa área R que a integral I vai calcular usando coordenadas polares. 2º PASSO: ESTUDO DAS FUNÇÕES E DETERMINAR O DESENHO DA ÁREA R MATEMATICAMENTE. Para determinarmos os limites de integração, devemos observar qual a função está desenhando a área R. Considerando um vetor centrado na origem e rotacionando no sentido anti-horário percebemos que a principio a função vermelha (círculo centrado na origem e r = √18) é que determina o contorno do desenho da região R a ser integrada. A partir do ponto de intersecção das funções percebemos que agora a função azul (r = 6.cosθ) passa a desenhar o contorno da região amarela R. Veja no gráfico abaixo o exato ponto da divisão da área: Temos que determinar o exato valor de teta onde ocorre a intersecção das funções, ou seja: Fazendo agora a varredura completa do primeiro quadrante, fica mais fácil determinar a variação dos valores de r e θ (teta) em cada um dos dois intervalos ou partes da função. Na parte 01, antes de θ = π/2: Na parte 02, depois de θ = π/2: 3º PASSO: DETERMINAR A NOVA INTEGRAL. Dando sequência a resolução do exercício de integral dupla, agora temos que que reescrever a integral I fornecida originalmente em coordenadas retangulares em coordenadas polares. Para isso temos que determinar a conversão das variáveis X e Y em r e θ também mudar o determinante de integração dA. Usando as regras de transformação de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos: X = r.cosθ Y = r.senθ dA = r.dr.dθ Portanto a nova integral dupla I escrita em coordenadas polares é: 4º PASSO: DETERMINAR OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO. Finalizando nossa análise e resolução passo a passo deste exercício de integral dupla em coordenadas polares, temos que aplicar os intervalos de integração para as variáveis r e θ. Lembre-se de que quando analisamos o gráfico da região R, verificamos as condições das funções que desenham a área e concluímos que seria necessário dividir esse intervalo em 02 partes. Consequentemente a integral será a soma de ambas as partes. Dessa forma basta utilizar a nova integral que temos no passo 03 e aplicar para ambos os intervalos: REPOSTA FINAL DO EXERCÍCIO RESOLVIDO: A nova integral I em coordenadas polares para calcular a área R é: 3-DERIVADAS: REGRA DA CADEIA PELO MÉTODO PRÁTICO Aula Derivadas: Regra da cadeia pelo Método Prático: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Derivadas: Regra da cadeia pelo Método Prático. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo e derivadas que envolvem Regra da cadeia pelo Método Prático. O método prático para resolver Derivadas pela Regra da Cadeia, agiliza bastante a resolução de exercícios de cálculo. Em geral, temos apenas 02 pontos que devem ser levados em consideração: Identifique quantas funções existem na composição a ser derivada. Derive sempre “de fora para dentro”! Além do mais, faça uso da tabela de derivada mais importantes que já vimos anteriormente. Com o tempo de práticas você vai acabar decorando a tabela toda das derivadas para resolver exercícios de derivadas usando a regra da cadeia. Vamos praticar com os exemplos abaixo, acompanhe no video as resoluções passo a passo:Resolva a derivada da função usando o método prático da regra da cadeia: Resolva a derivada da função : Utilizando a regra da cadeia e o método prático, qual a derivada da função : Repare que está função m(x) possuí três funções sendo o logaritmo natural, o seno e a raiz quadrada de x. Portanto, Exercícios resolvidos de derivadas Caros estudantes, nesta página vamos apresentar alguns exercícios resolvidos de derivadas. Tentaremos apresentar da maneira mais simples possível, pois sabemos que o conteúdo não é apresentado no ensino médio. Esse assunto não costuma cair em muitos concursos, mas pode ser utilizado como uma importante ferramenta para resolver com mais agilidade questões, por exemplo, sobre Calcule a derivada das funções abaixo: a) f(x) = x² Resposta: f'(x) = 2x b) f(x) = 20 Resposta: f'(x) = 0 c) f(x) = 5x³ + 2x Resposta: f'(x) = 3.5x² + 2 = 15x² + 2 d) f(x) = x³ + 1000 Resposta: f'(x) = 3x² e) f(x) = x³ + x² + x + 1 Resposta: f'(x) = 3x² + 2x + 1 2) Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando a Regra da Cadeia: a) f(x) = (x² + 1)³ Resposta: Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde: h(x) = x³ g(x) = x² + 1 Temos então: b) f(x) = sen(x²) Resposta: Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde: h(x) = sen(x) g(x) = x² Temos então: f'(x) = cos(x²).2x = 2x.cos(x²) c) Resposta: Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde: Temos então:
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