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DERIVADAS DIRECIONAIS

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ENGENHEIRO TEM QUE ESTUDAR
1-EXERCÍCIO RESOLVIDO – DERIVADAS DIRECIONAIS – FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS
Aula Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial II e as Derivadas Parciais nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo II e derivadas parciais que envolvem Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis.
Neste exercício resolvido passo a passo sobre derivadas direcionais, para a função de duas (02) variáveis f ( x, y ) = x2y + √y, calcule a taxa de variação no Ponto P = < 2 , 1 > na direção do vetor â = ( 5i -2j ).
1º PASSO: NORMALIZAR O VETOR â PARA ENCONTRAR O VETOR UNITÁRIO û
Para normalizar o vetor â = ( 5i -2j ), basta calcular a raiz quadrada da soma dos quadradros das componentes do vetor, ou seja:
–> Dizemos a “norma” do vetor.
Agora para encontrar o vetor unitário û do vetor â, basta dividir o vetor pela sua norma:
2º PASSO: ENCONTRAR AS DERIVADAS PARCIAIS DA FUNÇÃO
Foi indicado no enunciado do exercício a função de duas variáveis,
.
Primeiro vamos calcular a derivada parcial em x da função f,
Portanto a derivada parcial em x vale:
Agora devemos calcular a derivada parcial em y da função f,
Portanto a derivada parcial em y vale:
3º PASSO: ENCONTRAR O VALOR NÚMERO DAS DERIVADAS PARCIAIS NO PONTO P
O ponto P = < 2 , 1 > é o ponto onde queremos encontrar a taxa de variação, usando agora as derivadas parciais que encontramos no passo anterior, substituímos os valores de x e y que o ponto P representa.
4º PASSO: CALCULAR A DERIVADA DIRECIONAL DA FUNÇÃO f NA DIREÇÃO DO VETOR UNITÁRIO û
Para finalmente calcularmos a derivada direcional da função f ( x, y ) = x2y + √y, usaremos a fórmula abaixo que nada mais é que a definição de derivadas direcionais, onde multiplicamos a derivada parcial em x com a componente x do vetor unitário û e somamos com multiplicação do valor da derivada parcial em y com a componente y do vetor unitário û:
Como já utilizamos os valores do ponto P na resolução, isso significa que já temos a taxa de variação desta função no requerido ponto P que vale:
RESPOSTA FINAL DO EXERCÍCIO RESOLVIDO: A taxa de variação da função f(x,y) em direção ao vetor â no Ponto P vale:
Todas aquelas aulas de Cálculo, Derivadas Parciais, Álgebra, Geometria, Física e outras ciências são justamente as coisas que transformaram você em um Engenheiro. O engenheiro deve saber pensar; deve saber organizar as idéias, equacionar problemas; escolher os conhecimentos científicos que se aplicam ao problema que precisa ser resolvido. Este tipo de capacidade só se obtém com o domínio da ciência. Só depois de muitas aulas de Cálculo, Limites, Derivadas e Integrais, Álgebra, Geometria, Física e outras disciplinas que muita gente (os defensores do conhecimento prático) consideram inúteis.Portanto não deixe de estudar as dicisplinas cálculo diferencial e integral durante o seu curso técnico ou faculdade de engenharia e praticar com os exercícios resolvidos e as aulas e videos aulas de cálculo integral, limites, e Exercício Resolvido – Derivadas Direcionais – Funções de 2 Variáveis aqui do nosso site [EtE] Engenheiro Tem que Estudar.
2-EXERCÍCIO RESOLVIDO – INTEGRAL DUPLA – COORDENADAS POLARES EXEMPLO
Aula Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial II nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo II e integrais que envolvem Exercício Resolvido – Integral Dupla – Coordenadas Polares.
Temos neste exercício a integral I que cálcula a área da região R para as funções listadas abaixo e queremos determinar essa integral em coordenadas polares.
E as funções que delimitam a região R (em coordenadas polares):
1º PASSO: OBJETIVO DO EXERCÍCIO E DETERMINAR A REGIÃO R.
Queremos neste exercicio resolvido de integral dupla em coordenadas polares determinar a integral I que vai calcular a área da região R. Para isso temos que plotar as funções r no gráfico e verificar tal figura. É importante também a visualização no gráfico para determinarmos posteriormente os limites de integração.
A primera função r (raiz de 18) é uma circunferência centrada na origem (função vermelha no gráfico), e a segunda é uma circunferência deslocada da origem (função azul):
A figura desenhada em amarelo é a nossa área R que a integral I vai calcular usando coordenadas polares.
2º PASSO: ESTUDO DAS FUNÇÕES E DETERMINAR O DESENHO DA ÁREA R MATEMATICAMENTE.
Para determinarmos os limites de integração, devemos observar qual a função está desenhando a área R. Considerando um vetor centrado na origem e rotacionando no sentido anti-horário percebemos que a principio a função vermelha (círculo centrado na origem e r = √18) é que determina o contorno do desenho da região R a ser integrada. A partir do ponto de intersecção das funções percebemos que agora a função azul (r = 6.cosθ) passa a desenhar o contorno da região amarela R. Veja no gráfico abaixo o exato ponto da divisão da área:
Temos que determinar o exato valor de teta onde ocorre a intersecção das funções, ou seja:
Fazendo agora a varredura completa do primeiro quadrante, fica mais fácil determinar a variação dos valores de r e θ (teta) em cada um dos dois intervalos ou partes da função.
Na parte 01, antes de θ = π/2:
Na parte 02, depois de θ = π/2:
3º PASSO: DETERMINAR A NOVA INTEGRAL.
Dando sequência a resolução do exercício de integral dupla, agora temos que que reescrever a integral I fornecida originalmente em coordenadas retangulares em coordenadas polares. Para isso temos que determinar a conversão das variáveis X e Y em r e θ também mudar o determinante de integração dA.
Usando as regras de transformação de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos:
X = r.cosθ
Y = r.senθ
dA = r.dr.dθ
Portanto a nova integral dupla I escrita em coordenadas polares é:
4º PASSO: DETERMINAR OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO.
Finalizando nossa análise e resolução passo a passo deste exercício de integral dupla em coordenadas polares, temos que aplicar os intervalos de integração para as variáveis r e θ. Lembre-se de que quando analisamos o gráfico da região R, verificamos as condições das funções que desenham a área e concluímos que seria necessário dividir esse intervalo em 02 partes. Consequentemente a integral será a soma de ambas as partes. Dessa forma basta utilizar a nova integral que temos no passo 03 e aplicar para ambos os intervalos:
REPOSTA FINAL DO EXERCÍCIO RESOLVIDO: A nova integral I em coordenadas polares para calcular a área R é:
3-DERIVADAS: REGRA DA CADEIA PELO MÉTODO PRÁTICO
Aula Derivadas: Regra da cadeia pelo Método Prático: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta video aula sobre Derivadas: Regra da cadeia pelo Método Prático. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo e derivadas que envolvem Regra da cadeia pelo Método Prático.
O método prático para resolver Derivadas pela Regra da Cadeia, agiliza bastante a resolução de exercícios de cálculo. Em geral, temos apenas 02 pontos que devem ser levados em consideração:
Identifique quantas funções existem na composição a ser derivada.
Derive sempre “de fora para dentro”!
Além do mais, faça uso da tabela de derivada mais importantes que já vimos anteriormente. Com o tempo de práticas você vai acabar decorando a tabela toda das derivadas para resolver exercícios de derivadas usando a regra da cadeia. Vamos praticar com os exemplos abaixo, acompanhe no video as resoluções passo a passo:Resolva a derivada da função usando o método prático da regra da cadeia:
 
Resolva  a derivada da função :
 
Utilizando a regra da cadeia e o método prático, qual a derivada da função :
Repare que está função m(x) possuí três funções sendo o logaritmo natural, o seno e a raiz quadrada de x. Portanto,
Exercícios resolvidos de derivadas
Caros estudantes, nesta página vamos apresentar alguns exercícios resolvidos de derivadas.
Tentaremos apresentar da maneira mais simples possível, pois sabemos que o conteúdo não é apresentado no ensino médio.
Esse assunto não costuma cair em muitos concursos, mas pode ser utilizado como uma importante ferramenta para resolver com mais agilidade questões, por exemplo, sobre
 Calcule a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = x²
Resposta:
f'(x) = 2x
 
b) f(x) = 20
Resposta:
f'(x) = 0
 
c) f(x) = 5x³ + 2x
Resposta:
f'(x) = 3.5x² + 2 = 15x² + 2
 
d) f(x) = x³ + 1000
Resposta:
f'(x) = 3x²
 
e) f(x) = x³ + x² + x + 1
Resposta:
f'(x) = 3x² + 2x + 1 
 
 
2) Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando a Regra da Cadeia:
 
a) f(x) = (x² + 1)³
Resposta:
Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde:
h(x) = x³
g(x) = x² + 1
Temos então:
 
b) f(x) = sen(x²)
Resposta:
Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde:
h(x) = sen(x)
g(x) = x²
Temos então:
f'(x) = cos(x²).2x = 2x.cos(x²)
 
c) 
 
Resposta:
Veja que temos f(x) = h(g(x)), onde:
Temos então:

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