MEC400_apostila_semana4

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EngEnharia dE Produção
Mecânica dos sólidos e dos Fluidos
semana 4: 
Cisalhamento 
transversal 
FoRMadoRa auToRa: Janaina da Costa Pereira torres de oliveira
Mecânica dos sólidos 
e dos Fluidos
Cisalhamento 
transversal 
4
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 3
introdução 
Esta apostila aborda os principais conceitos de cisalhamento transver-
sal, essencial para compreender o comportamento estrutural de vigas 
submetidas a cargas transversais. Segundo Hibbeler (2018), a tensão de 
cisalhamento ocorre quando forças atuam paralelamente à seção trans-
versal, sendo distribuídas conforme a geometria da seção e o tipo de car-
regamento. De início, serão abordados os fundamentos da resistência dos 
materiais, focando na relação entre força cortante e momento fletor. Beer 
et al. (2013) afirmam que essas grandezas refletem as reações internas de 
equilíbrio em vigas carregadas, sendo cruciais para a segurança estrutu-
ral. A fórmula clássica do cisalhamento será aplicada a perfis retangulares, 
circulares, em I e outros formatos comuns, conforme Popov (2010), que 
destaca a importância da força cortante interna, da inércia e da posição 
da área em relação ao centroide. Também será discutida a correlação 
entre os diagramas de força cortante e momento fletor, fundamentais 
para o cálculo e a análise qualitativa do comportamento estrutural (Gere; 
Goodno, 2018). A compreensão do cisalhamento é vital para o dimensio-
namento seguro, sobretudo em zonas críticas como apoios e desconti-
nuidades, nos quais, segundo Hibbeler (2018), negligenciar essas tensões 
compromete o desempenho estrutural. Serão utilizados exemplos ilustra-
tivos, figuras e exercícios extraídos de obras clássicas, com apoio de grá-
ficos e fluxogramas, conforme o plano de ensino da Universidade Virtual 
do Estado de São Paulo (Univesp). Espera-se que o conteúdo capacite você 
a aplicar corretamente os conceitos em contextos práticos, com base em 
métodos analíticos e critérios seguros de projeto.
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Ao final desta apostila, você deverá ser capaz de:
 → Calcular a distribuição das tensões de cisalhamento em seções trans-
versais de vigas e eixos. 
 → Entender como essas tensões variam ao longo da altura ou raio da 
seção. 
 → Construir e interpretar diagramas de força cortante (V) e momento 
fletor (M), correlacionando-os com o comportamento estrutural.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 4
Nesta apostila, haverá os seguintes tópicos:
 → 1. Fundamentos do cisalhamento transversal 
 → 2. Equilíbrio interno e força cortante 
 → 3. A fórmula do cisalhamento transversal 
 → 4. Aplicação da fórmula em seções retangulares 
 → 5. Cisalhamento em seções circulares maciças 
 → 6. Cisalhamento em perfis em I: concentração na alma 
 → 7. Cisalhamento em seções ocas: tubos e perfis vazados 
 → 8. Cisalhamento em vigas protendidas 
 → 9. Diagramas combinados de força cortante e momento fletor 
 → 10. Métodos de reforço ao cisalhamento em vigas existentes 
 → 11. Integração conceitual e aplicações do cisalhamento 
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 5
1. Fundamentos do 
cisalhamento transversal
O cisalhamento transversal é uma manifestação das forças internas que 
surgem quando uma viga ou elemento estrutural é submetido à ação de 
cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal. Essa força interna tende 
a fazer com que as partículas de um lado da seção escorreguem em re-
lação às partículas do lado oposto, gerando tensões de cisalhamento. O 
conceito é fundamental para o dimensionamento correto de vigas, pilares 
e outros elementos de engenharia estrutural.
Segundo Beer et al. (2013), o cisalhamento ocorre como uma resposta 
ao equilíbrio das forças aplicadas externamente, sendo acompanhado de 
momentos fletores que se distribuem ao longo do comprimento da peça. 
A tensão de cisalhamento média ( ) pode ser inicialmente compreendida 
pela razão entre a força cortante (V) e a área da seção A, segundo a ex-
pressão . Entretanto, essa fórmula representa apenas uma apro-
ximação válida em casos simples. Para geometrias complexas e análises 
rigorosas, utiliza-se a fórmula completa do cisalhamento, que será abor-
dada nos capítulos seguintes.
Diagrama 1 – Deformação: (a) sem carga, (b) com carga na extremida-
de e (c) viga engastada, presa em sua extremidade
Fonte: Beer et al. (2013, p. 393)
A natureza das tensões cisalhantes exige especial atenção nas regiões de 
apoio e nas zonas onde ocorrem mudanças bruscas de seção, já que são 
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 6
nesses pontos que frequentemente ocorrem falhas por cisalhamento. 
Conforme Hibbeler (2018), a distribuição da tensão de cisalhamento é má-
xima no eixo neutro da viga e nula nas extremidades da seção transversal, 
o que contrasta com o comportamento das tensões normais em flexão.
A análise correta do cisalhamento transversal exige, portanto, a compre-
ensão de conceitos como: força cortante interna, eixo neutro, momento 
de inércia da seção e centroide (Diagrama 1). Esses elementos serão de-
talhados ao longo dos próximos capítulos, com apoio visual e exercícios 
dirigidos para reforço do conteúdo.
2. equilíbrio interno 
e Força cortante
Para compreender o surgimento do cisalhamento transversal, é necessá-
rio explorar o conceito de equilíbrio interno em estruturas. Quando uma 
viga está submetida a cargas externas, surgem forças internas de reação 
que se distribuem ao longo do seu comprimento. Essas forças internas 
são divididas, classicamente, em três componentes: força axial, força 
cortante e momento fletor.
A força cortante, responsável direta pelo cisalhamento transversal, atua pa-
ralelamente à seção transversal e é obtida a partir da análise de equilíbrio 
de uma porção da viga. Segundo Hibbeler (2018), quando se realiza o corte 
de uma viga em equilíbrio, é necessário introduzir a força cortante na se-
ção para garantir que os princípios da estática sejam satisfeitos. Essa força 
representa o resultado das tensões de cisalhamento distribuídas na seção.
O diagrama da força cortante, conhecido como diagrama de V, mostra 
como essa grandeza varia ao longo da viga. A forma do diagrama depen-
de diretamente da distribuição das cargas externas. Por exemplo, cargas 
concentradas geram saltos abruptos no valor de V, enquanto cargas dis-
tribuídas produzem variações contínuas (Diagrama 2). Essa representação 
gráfica é essencial para identificar os pontos críticos em que a tensão de 
cisalhamento será máxima.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 7
Figura 2 – Diagrama de força cortante e momento fletor de uma 
viga com carga distribuída biapoiada
Fonte: Goodno e Gere (2018, p. 402).
Segundo Beer et al. (2013), a força cortante interna é responsável por 
transmitir a carga da viga para os apoios e desempenha papel vital na se-
gurança da estrutura. Portanto, seu correto dimensionamento é condição 
necessária para evitar falhas por escorregamento interno, principalmente 
em regiões com alta concentração de esforços.
Compreender o comportamento da força cortante é o primeiro passo 
para aplicar corretamente a fórmula do cisalhamento, que será abordada 
em detalhes no capítulo seguinte.
2.1 exemplO
Uma viga de madeira (Diagrama 3) de seção transversal retangular 
10 X 20 cm (largura × altura) é simplesmente apoiada em seus extremos, 
com vão de 3,0 m. Ela está submetida a uma carga concentrada de 8,0 kN 
aplicada exatamente no centro da viga.
Diagrama 3 – Desenho esquemático de uma viga de madeira
Fonte: Hibbeler (2018, p. 554).
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 8
Pede-se:
a. Determine a reação nos apoios.
b. Construa o diagrama da força cortante.
c. Determine o valor da força cortante máxima.
d. Calcule a tensão de cisalhamento média na seção transversal sob 
a carga.
Passo apasso da solução:
1. Reações nos apoios:
A viga está simetricamente carregada, com carga concentrada no meio. 
Portanto, as reações são iguais:
2. Diagrama da força cortante (V):
Do apoio A até o centro:
Diagrama 4 – Diagrama do corpo livre (considerando do apoio A até 
o centro)
V = + 4,0 kN
Fonte: Beer et al. (2013)
 → No ponto da carga concentrada:
Diagrama 5 – Diagrama do corpo livre (no ponto da carga concentrada)
V = + 4,0 - 8,0 = - 4,0 kN
Fonte: Beer et al. (2013)
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 9
 → Do centro até o apoio B:
Diagrama 6 – Diagrama do corpo livre (do centro até o apoio B)
V = - 4,0 kN
Fonte: Beer et al. (2013)
Pode-se ver no Diagrama 6 que V é constante em cada metade da viga, 
com salto no meio (descontinuidade de 8,0 kN).
Diagrama 7 – Diagrama de força cortante
Fonte: Elaborada pela autora (2025).
3. Força cortante máxima:
A força cortante máxima ocorre imediatamente antes e depois do ponto 
de aplicação da carga:
á
4. Tensão de cisalhamento média:
A tensão média de cisalhamento é dada por:
é é
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 10
3. a Fórmula do 
cisalhamento transversal
O estudo da distribuição das tensões internas é um dos pilares fundamen-
tais da análise estrutural e da mecânica dos materiais. No caso específico 
das vigas submetidas a cargas transversais, as tensões de cisalhamento 
surgem como resultado das forças internas que equilibram as solicitações 
externas, sendo de particular importância para a segurança e o desempe-
nho de estruturas.
Para quantificar essas tensões de maneira precisa, utiliza-se a fórmula do 
cisalhamento transversal, deduzida com base nos princípios da estática e 
da geometria das seções transversais. Essa equação é expressa por:
Nessa expressão:
 → representa a tensão de cisalhamento no ponto considerado (em 
pascals, Pa).
 → é a força cortante interna atuante na seção, obtida por equilíbrio 
estático (N).
 → é o momento estático da área da seção acima (ou abaixo) do 
ponto onde se deseja calcular , em relação ao eixo neutro da seção 
(m³).
 → é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo 
neutro (m⁴).
 → é a largura local da seção na linha onde a tensão está sendo ava-
liada (m).
Diagrama 8 – Distribuição de tensões de cisalhamento em uma viga 
de seção transversal retangular: (a) seção transversal da viga e (b) 
diagrama mostrando a distribuição parabólica das tensões de cisa-
lhamento ao longo da altura da viga
Fonte: Goodno e Gere (2018, p. 484)
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 11
Segundo Beer et al. (2013), essa formulação se baseia na hipótese de que 
a distribuição de tensões normais e cisalhantes segue um comportamen-
to contínuo e compatível com os princípios da mecânica dos corpos defor-
máveis. A equação considera que as seções planas permanecem planas 
após a deformação e que o material obedece ao regime elástico linear (lei 
de Hooke).
A interpretação física dessa equação revela que a tensão de cisalhamen-
to é diretamente proporcional à força cortante V e ao momento está-
tico Q, e inversamente proporcional ao produto entre a inércia I e a 
largura local b. Em termos estruturais, isso significa que regiões da seção 
com menor largura estão mais sujeitas a tensões de cisalhamento eleva-
das, o que é particularmente crítico em perfis com almas finas ou regiões 
com entalhes.
O termo Q é definido como:
Figura 9 – Tensões de cisalhamento em uma viga de seção transversal 
retangular, seção transversal da viga no subelemento
Fonte: Goodno e Gere (2018, p. 482).
 é a área parcial da seção acima do ponto considerado e é a distân-
cia de cada elemento diferencial da área até o eixo neutro. O cálculo de 
 exige conhecimento prévio do centroide da seção, bem como da geo-
metria detalhada da área analisada. Gere e Goodno (2018) afirmam que 
o momento estático reflete o “peso geométrico” da porção da seção em 
relação ao centro de resistência da estrutura.
Além disso, é importante observar que a distribuição da tensão de cisa-
lhamento varia de acordo com a geometria da seção transversal. Para 
seções retangulares, por exemplo, a distribuição é parabólica, com valor 
máximo no eixo neutro e nulo nas bordas. Em seções circulares maciças, 
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 12
a distribuição é semelhante, mas mais suavizada. Já para perfis em , a 
maior parte da tensão de cisalhamento se concentra na alma, enquanto 
as mesas contribuem minimamente para resistir à força cortante.
Hibbeler (2018) destaca que, embora a equação forneça o valor da tensão 
em um ponto específico, ela é geralmente utilizada para determinar a ten-
são máxima de cisalhamento na seção, que ocorre no eixo neutro. Para 
uma viga de seção retangular, essa tensão máxima é dada por:
á é
A equação tradicional da média é, portanto, apenas uma aproxi-
mação e não representa a distribuição real da tensão.
Essa formulação teórica é validada experimentalmente por meio de téc-
nicas como extensometria, fotoelasticidade e análise de tensões por ele-
mentos finitos. Em projetos estruturais, o conhecimento da distribuição 
precisa de tensões de cisalhamento permite o dimensionamento eficiente 
e seguro de vigas e eixos, respeitando os limites admissíveis do material 
e evitando falhas por escorregamento, delaminação ou tração diagonal.
3.1 exemplO
Um arquiteto projeta o piso de um mezanino residencial, onde será ins-
talada uma viga de madeira retangular para sustentar o vão de 3,6 me-
tros entre dois apoios. A viga receberá carga distribuída equivalente de 
600kgf/m (devido a móveis, revestimentos e pessoas), o que corresponde 
a 5,88kN/m no sistema internacional.
A seção da viga de madeira maciça é retangular com 10 cm de largura 
por 20 cm de altura.
Com base nessa situação, determine:
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 13
Diagrama 10 – Força cortante e momento fletor de uma viga com 
carga distribuída biapoiada
Fonte: Goodno e Gere (2018, p. 402).
a. A força cortante máxima atuante na viga.
b. O valor do momento de inércia da seção.
c. O valor do momento estático Q no eixo neutro.
d. A tensão de cisalhamento máxima na viga.
Avalie se a madeira utilizada (resistência ao cisalhamento: 0,8MPa) é adequada.
Passo a passo da solução:
1. Força cortante máxima á :
A força cortante máxima ocorre nos apoios para carga distribuída simé-
trica:
á á
2. Momento de inércia da seção retangular:
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 14
3. Momento estático Q em relação ao eixo neutro
Para a área acima do eixo neutro (metade da seção):
 → Área 
 
 → Distância do centroide de A\prime ao eixo neutro: 
 → Substituindo os valores: 
4. Tensão de cisalhamento máxima á
A fórmula do cisalhamento:
á
Substituindo os valores:
á á
5. Verificação do material (resistência ao cisalhamento: 0,8MPa)
A tensão máxima calculada é:
á
A resistência característica da madeira é:
Conclusão: como áneutro é:
E o momento estático da metade superior da seção (área acima do 
ponto onde se deseja calcular ) é dado por:
Substituindo essas expressões na fórmula do cisalhamento, obtém-se:
Esse resultado corresponde à tensão máxima de cisalhamento em uma 
seção retangular, localizada no eixo neutro da viga. De acordo com Hib-
beler (2018), essa tensão segue distribuição parabólica, sendo nula nas 
extremidades e máxima no centro.
Essa simplificação permite realizar estimativas rápidas em situações práti-
cas. No entanto, quando se deseja avaliar a tensão em pontos específicos 
fora do eixo neutro, é necessário aplicar diretamente a equação com os 
valores reais de Q, I e b locais.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 16
Beer et al. (2013) alertam que essa análise é válida apenas para materiais 
que seguem comportamento elástico linear e para situações em que não 
há descontinuidades significativas ou concentrações de tensão. A aplica-
ção dessa fórmula em seções compostas, ocas ou de geometrias comple-
xas será tratada nos próximos capítulos.
A precisão nos cálculos para seções retangulares é especialmente impor-
tante em elementos de madeira, concreto moldado e estruturas provi-
sórias, nas quais a homogeneidade e o controle de qualidade do material 
podem variar. Por isso, a norma brasileira NBR 7190 (ABNT, 2022) tam-
bém recomenda o uso de coeficientes de correção para o cisalhamento 
em madeira, levando em conta as direções das fibras e a resistência ca-
racterística do material.
5. cisalhamento em seções 
circulares maciças
As seções circulares maciças estão entre as geometrias mais utilizadas 
em eixos mecânicos, pilares tubulares de concreto armado, pinos de 
ligação e outros elementos submetidos à força cortante e/ou torção. Ao 
contrário das seções retangulares, em que a distribuição da tensão de 
cisalhamento é parabólica, as seções circulares apresentam comporta-
mento levemente diferente, mas igualmente importante para aplicações 
estruturais.
A tensão de cisalhamento em seções circulares também pode ser de-
terminada utilizando a fórmula clássica:
 
No caso de uma seção circular maciça de raio R, a largura local b varia com 
a posição considerada, o que torna a análise mais complexa. Contudo, é co-
mum estimar a tensão de cisalhamento máxima com base no eixo neutro 
da seção, assumindo que a largura seja igual ao diâmetro na linha central.
Segundo Hibbeler (2018), para seção circular, o momento de inércia em 
relação ao eixo neutro é dado por:
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 17
Já o momento estático Q para a área acima do eixo neutro não possui 
fórmula analítica simples como no caso retangular, sendo calculado por 
integração ou por tabelas específicas. Devido à complexidade, utiliza-se 
frequentemente um fator de forma para simplificar o cálculo.
De acordo com Gere e Goodno (2018), a tensão de cisalhamento máxi-
ma em uma seção circular pode ser aproximada por:
á
Essa equação fornece valor confiável para a tensão máxima na linha cen-
tral da seção e é amplamente utilizada em projetos de eixos de transmis-
são, onde o carregamento cortante é induzido por engrenagens, polias ou 
reações externas.
Além disso, é importante observar que, assim como nas seções retangula-
res, a tensão de cisalhamento em seções circulares é nula na superfície 
externa e cresce em direção ao centro. Essa variação deve ser considera-
da no projeto de componentes sujeitos a esforços repetitivos ou fadiga.
Popov (2010, p. 392) enfatiza que, embora o cisalhamento seja geralmente 
menos crítico que a flexão ou a torção em eixos, ele não pode ser negli-
genciado, especialmente quando há acoplamentos, entalhes ou variações 
geométricas bruscas na seção transversal.
6. cisalhamento em perFis 
em i: concentração na alma
Os perfis em I (ou “vigas I”) são largamente empregados em estruturas 
metálicas e de concreto armado, devido à sua eficiência estrutural em 
resistir à flexão com economia de material. No entanto, quando subme-
tidos a forças cortantes, esses perfis apresentam uma característica sin-
gular: a maior parte da tensão de cisalhamento se concentra na alma 
da seção, e não nas mesas.
Essa distribuição ocorre porque a alma, situada na região central vertical 
do perfil, possui menor largura e está posicionada próxima ao eixo neu-
tro, no qual a tensão de cisalhamento tende a atingir seu valor máximo. A 
fórmula geral do cisalhamento ainda é válida:
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 18
 
Entretanto, ao aplicar essa equação em um perfil em I, torna-se evidente 
que o valor de b (largura local) na alma é muito menor que nas mesas, 
resultando em valores significativamente maiores de na alma.
De acordo com Beer et al. (2013), os engenheiros geralmente conside-
ram que toda a força cortante é resistida exclusivamente pela alma e 
desprezam a contribuição das mesas, já que a largura das mesas torna a 
tensão de cisalhamento nelas praticamente nula, conforme pode ser visto 
no Diagrama 11.
Figura 11 – Tensões de cisalhamento em uma viga de perfil I
Fonte: Beer et al. (2013, p. 398)
Essa abordagem é reforçada por Hibbeler (2018), que apresenta a fórmula 
simplificada para o cisalhamento na alma:
ú
 → : espessura da alma (m).
 → ú : altura útil da alma, medida entre as faces internas das mesas 
(m).
 → : força cortante atuante na seção (N).
Essa simplificação facilita os cálculos em projetos práticos e fornece apro-
ximação confiável, especialmente quando se utiliza perfis laminados pa-
dronizados.
Outro aspecto relevante em perfis em I é o fenômeno do cisalhamen-
to longitudinal, que ocorre entre as mesas e a alma devido à variação 
do momento fletor. Gere e Goodno (2018) destacam que esse tipo de 
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 19
cisalhamento pode levar ao descolamento entre as partes da seção quan-
do estas são unidas por colagem, parafusos ou soldas. Assim, o projeto 
deve garantir a resistência à separação entre alma e mesas, principal-
mente em perfis soldados ou compostos.
Perfis em I são muito comuns em pontes metálicas, galpões industriais, 
estruturas pré-moldadas de concreto e edifícios altos, nos quais a re-
sistência ao cisalhamento na alma é crítica para garantir estabilidade e 
segurança da estrutura.
7. cisalhamento em seções 
ocas: tubos e perFis vazados
As seções ocas são largamente utilizadas em aplicações que exigem ele-
vada eficiência estrutural com baixo peso, como estruturas metálicas 
leves, colunas de concreto protendido com alma vazada, postes e torres 
tubulares, além de eixos ocos em sistemas mecânicos. Essas seções, que 
incluem tubos circulares, perfis retangulares ocos (HSS) e seções em 
caixa, apresentam comportamento particular quanto à distribuição da 
tensão de cisalhamento.
Diferente das seções maciças, nas seções ocas a geometria envolve duas 
paredes externas que delimitam uma região central vazia. Isso impacta 
diretamente no cálculo da inércia, da área efetiva e da largura local b usa-
da na fórmula do cisalhamento:
 
Segundo Hibbeler (2018), o momento de inércia I em seções ocas deve 
ser calculado subtraindo a contribuição da área interna (vazada) da área 
externa total:
Já o momento estático Q, como em outras geometrias, depende da área 
A' acima do ponto analisado e da distância entre o centroide dessa área e 
o eixo neutro. Em seções ocadas, o cálculo de Q pode se tornar mais com-
plexo e requer atenção à distribuição simétrica e às dimensões internas e 
externas da parede estrutural.
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Diagrama 12 – Exemplo de viga de seção retangular oca
Fonte: Beer et al. (2013, p. 409)
distribUiçãO da tensãO
Em tubos circulares ou retangulares ocos, a tensão de cisalhamento é 
máxima próxima ao eixo neutro e diminui em direção às bordas, com-
portando-se de maneira similar às seções maciças, mas commenores va-
lores absolutos devido à distribuição do material ao redor do vazio. Gere 
e Goodno (2018) destacam que, para uma mesma área total, a seção oca 
apresenta maior inércia e, portanto, tende a sofrer menores deforma-
ções, sendo mais eficiente à flexão.
Contudo, a espessura das paredes externas t é o parâmetro mais crítico 
no cisalhamento. Segundo Popov (2010), é comum adotar uma simplifica-
ção para perfis ocos de parede fina:
á
 → : espessura da parede da seção (m).
 → : altura útil da alma do perfil (m).
Essa fórmula assume que a força cortante é distribuída uniformemente 
entre duas paredes simétricas da seção, o que é válido para tubos quadra-
dos e seções retangulares ocadas com paredes iguais.
As seções ocadas também apresentam vantagens quanto à resistência 
à torção, sendo mais resistentes que seções abertas com mesma área, o 
que torna seu uso especialmente vantajoso em elementos submetidos a 
combinações de cisalhamento e torção.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 21
8. cisalhamento em 
vigas protendidas
As vigas protendidas representam uma evolução tecnológica no cam-
po da engenharia estrutural, permitindo vencer grandes vãos com menor 
consumo de material e maior controle das deformações. Nesses elemen-
tos, cargas internas de compressão são aplicadas intencionalmente por 
meio de cabos de protensão, que podem estar retos ou inclinados ao 
longo da viga. Essa inclinação altera significativamente o comportamento 
da força cortante e da tensão de cisalhamento.
Suponha, no entanto, que a barra CD seja ligeiramente mais longa do 
que o comprimento prescrito L. Então, para montar a estrutura, a barra 
CD deve ser comprimida por forças externas (ou a barra EF alongada por 
forças externas), as barras devem ser encaixadas no lugar e, em seguida, 
as forças externas devem ser removidas. Como resultado, a viga se defor-
mará e rotacionará, a barra CD estará em compressão e a barra EF estará 
em tração. Em outras palavras, pré-deformações existirão em todos os 
membros e a estrutura estará protendida, mesmo que nenhuma carga ex-
terna esteja atuando. Se agora uma carga P for adicionada, deformações 
e tensões adicionais serão produzidas.
Diagrama 13 – Estrutura estaticamente indeterminada com pequeno 
desajuste
Fonte: Goodno e Gere (2018).
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 22
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2023), o cisalhamento em vigas protendi-
das deve considerar, além da força cortante devido às ações externas, a 
componente vertical da força de protensão, que pode reduzir (ou até 
anular) o valor do esforço cortante solicitante.
Quando os cabos de protensão estão inclinados ou curvados, a força 
de protensão tem componente vertical • sen , que atua no sentido 
oposto à força cortante externa , contribuindo com o equilíbrio:
Essa redução no valor de impacta diretamente o dimensionamen-
to da armadura transversal, podendo até dispensá-la em certos trechos, 
desde que sejam respeitados os limites mínimos normativos.
De acordo com Gere e Goodno (2018), essa vantagem estrutural só é vá-
lida quando os cabos estão devidamente ancorados e a perda de proten-
são é controlada. Em estruturas onde há perda significativa de força ao 
longo do tempo (por relaxamento dos cabos, atrito ou retração do concre-
to), a contribuição da protensão ao cisalhamento pode ser superestimada, 
comprometendo a segurança.
Em situações em que os cabos são aderentes (protensão pré ou pós-
-tensionada com aderência), o cálculo de (estribos do inglês “stirrups” 
– resistência fornecida pela armadura transversal) é feito considerando a 
contribuição do cabo ao longo da curvatura. Já em protensão com cabos 
não aderentes, o efeito é concentrado nos pontos de ancoragem e a re-
sistência ao cisalhamento é garantida principalmente pelos estribos.
Hibbeler (2018) reforça que, embora a protensão seja eficiente no con-
trole da fissuração por flexão, o cisalhamento ainda pode gerar fissuras 
inclinadas, especialmente em regiões de transição entre cabos retos e 
curvos. Nesses casos, a presença de armaduras complementares in-
clinadas (estribos em X ou barras inclinadas) pode ser recomendada.
A análise do cisalhamento em vigas protendidas deve incluir:
A análise do cisalhamento em vigas protendidas deve incluir:
Esforço cortante total 
e efetivo
Inclinação dos cabos 
de protensão
Condição de 
aderência
Contribuição das armaduras 
transversais
Verificações nas regiões de 
ancoragem e bicos de engaste
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 23
9. diagramas combinados 
de Força cortante e 
momento Fletor
A análise de estruturas solicitadas por cargas transversais exige não ape-
nas o cálculo das forças internas, mas também a interpretação gráfica 
da variação da força cortante (V) e do momento fletor (M) ao longo da 
viga. Os chamados diagramas combinados de V e M são ferramentas 
fundamentais para o dimensionamento e detalhamento das armaduras.
Segundo Hibbeler (2018), a força cortante (V) é responsável pelo cisalha-
mento transversal, enquanto o momento fletor (M) gera tensões nor-
mais de tração e compressão. Os dois esforços coexistem ao longo da viga 
e variam de acordo com o tipo de carregamento e as condições de apoio.
Relação entre V e M
Existe uma relação direta entre os dois diagramas: a derivada do momen-
to fletor em relação ao comprimento da viga é igual à força cortante na-
quele ponto:
Isso significa que:
 → Onde V é constante, M varia linearmente.
 → Onde V varia, M varia com concavidade.
 → Onde V é nulo, M atinge valor extremo (máximo ou mínimo).
Essa relação é essencial para identificar regiões críticas de uma estrutu-
ra, como:
 → Regiões de cisalhamento elevado: nas quais os estribos devem ser 
mais numerosos e mais próximos.
 → Regiões de momento fletor máximo: nas quais a tração nas fibras 
é maior, exigindo maior armadura longitudinal.
Beer et al. (2013) explicam que o uso combinado dos dois diagramas per-
mite traçar um plano de armadura adequado, definindo onde aumentar 
o aço longitudinal e onde reforçar os estribos. Além disso, os diagramas 
ajudam a prever pontos de fissuração, zonas plásticas e regiões de 
redistribuição de esforços.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 24
Diagrama 14 – Estrutura estaticamente indeterminada com pequeno 
desajuste
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: Goodno e Gere (2018).
Considere, por exemplo, uma viga simplesmente apoiada com carga dis-
tribuída uniforme:
 → O diagrama de V será triangular, com valor máximo nos apoios e 
nulo no centro do vão.
 → O diagrama de M será parabólico, com momento fletor máximo no 
meio do vão.
Em outra situação, com carga concentrada no meio do vão:
 → O diagrama de V terá salto no ponto de aplicação da carga.
 → O diagrama de M será triangular, com vértice no centro.
Essas representações visuais não apenas ilustram os esforços, mas orien-
tam diretamente o detalhamento estrutural: mais aço onde M é maior; 
mais estribos onde V é maior.
Gere e Goodno (2018) reforçam que o uso dos diagramas combinados é 
indispensável em projetos de estruturas complexas, como pontes, lajes 
nervuradas, vigas protendidas e edifícios de múltiplos pavimentos.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 25
10. métodos de reForço 
ao cisalhamento em 
vigas existentes
Ao longo da vida útil de uma estrutura, podem surgir situações em que o 
esforço cortante previsto inicialmente é superado: mudança de uso, 
sobrecargas não previstas, degradação de materiais ou falhas de projeto. 
Nesses casos, a verificação da segurança ao cisalhamento pode indicar 
a necessidade de reforço da viga. Esse reforço visa aumentar a resistên-
cia da seção transversal para impedir a formação de fissuras inclinadas 
ou ruptura por tração diagonal.
Segundo Popov (2010), os métodos de reforço ao cisalhamento podem 
ser classificados em reforços externos, internose combinados, depen-
dendo do tipo de viga (concreto, aço ou madeira) e das condições de aces-
so à estrutura.
1. Reforço em concreto armado
As vigas de concreto armado podem ser reforçadas ao cisalhamento por 
diferentes métodos:
a. Armaduras adicionais externas (estribos complementares)
 → Aplicadas em sulcos abertos na lateral da viga.
 → Ancoradas com adesivos epóxi e grautes.
 → Eficazes em regiões em que o espaço permite execução manual.
Diagrama 15 – Viga de concreto armado com barras longitudinais e 
estribos verticais
Fonte: Goodno e Gere (2018).
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 26
b. Laminados ou chapas metálicas coladas (aço externo)
 → Aplicadas com resinas estruturais em regiões críticas.
 → Devem seguir orientação vertical ou inclinada, conforme a direção 
das fissuras.
c. Fibras de carbono (CFRP – carbon fiber reinforced polymer)
 → Alta resistência, leveza e aderência química ao concreto.
 → Aplicadas como “faixas” transversais coladas à superfície da viga.
 → Segundo Hibbeler (2018), esse método é eficiente e minimamente 
invasivo, ideal para reforço em edificações existentes com acesso 
limitado.
2. Reforço em vigas metálicas
Para perfis metálicos (ex.: I ou H), os métodos comuns são:
 → Chapas de alma adicionais, soldadas ou parafusadas na região da 
alma, aumentando a área efetiva ao cisalhamento.
 → Reforços de costura: perfis soldados transversalmente na alma, li-
mitando a flambagem local e aumentando a rigidez.
Gere e Goodno (2018) indicam que o reforço de alma é especialmente 
necessário quando ocorrem instabilidades locais ou esforços de corte 
elevados nas extremidades da viga.
3. Reforço em vigas de madeira
As vigas de madeira podem apresentar ruptura frágil por cisalhamento 
em regiões de emendas ou nós estruturais. Os métodos incluem:
 → Placas metálicas laterais, fixadas com parafusos ou grampos.
 → Barramentos colados com resina epóxi para limitar a propagação 
de fissuras.
 → Reforço por “sister joists”: vigas auxiliares coladas ou pregadas ao 
longo da viga original, redistribuindo esforços.
COnsiderações adiCiOnais
 → Todo reforço deve ser precedido de inspeção técnica e diagnósti-
co estrutural.
 → A adesão entre o reforço e o elemento original deve ser garantida 
por adesivos estruturais, grautes ou conectores mecânicos.
 → A verificação deve ser feita conforme critérios da ABNT NBR 6118 
(para concreto) e ABNT NBR 8800 (para estruturas metálicas).
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 27
11. integração conceitual e 
aplicações do cisalhamento
Ao longo dessa apostila, foram explorados de forma técnica, progressiva 
e aplicada os fundamentos e aplicações do cisalhamento transversal, 
um dos fenômenos estruturais mais relevantes na engenharia de estrutu-
ras. Por meio de exemplos, figuras, equações e referências normativas, foi 
construída uma visão integrada que conecta teoria, prática e segurança.
O cisalhamento transversal, embora muitas vezes tratado de forma 
secundária em relação à flexão, revela-se crucial para o comportamento 
estrutural de vigas, eixos, conectores e interfaces. Sua negligência pode 
levar a rupturas frágeis, muitas vezes súbitas, sem prévia deformação 
visível. Por isso, o domínio de suas fórmulas, distribuições e implicações 
práticas é indispensável para engenheiros e técnicos da construção civil, 
mecânica e estrutural.
Você viu que:
 → As tensões de cisalhamento não são distribuídas uniformemente 
na seção: em seções retangulares, seguem um perfil parabólico; em 
perfis em I, concentram-se na alma; em tubos e seções ocas, distri-
buem-se nas paredes.
 → A fórmula permite avaliar com precisão a intensidade da 
tensão em pontos específicos da seção e serve de base para o di-
mensionamento.
 → Em concreto armado, o cisalhamento é combatido com a resistên-
cia do concreto e com estribos, cuja função é interceptar fissuras 
inclinadas e garantir segurança contra tração diagonal.
 → Situações especiais como emendas, aberturas, mudanças de se-
ção e protensão exigem cuidados adicionais no cálculo e no deta-
lhamento.
 → As normas brasileiras (NBR 6118, NBR 8800, NBR 7190) oferecem 
diretrizes claras para o dimensionamento ao cisalhamento, com cri-
térios mínimos que asseguram o desempenho e a durabilidade das 
estruturas.
A análise combinada de força cortante e momento fletor, por meio dos 
diagramas de V e M, permite não apenas dimensionar corretamente os 
elementos, mas também planejar estrategicamente a distribuição de 
armaduras, prever zonas de fissura e maximizar o uso de materiais.
O cisalhamento também conecta a engenharia à realidade prática das 
construções, pois manifesta-se diretamente em:
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 28
 → Vigas de laje, pré-moldadas, metálicas e de madeira.
 → Interfaces coladas ou emendadas.
 → Conectores e elementos de fixação.
 → Soluções de reforço estrutural com chapas, fibras ou perfis adicionais.
considerações Finais
O aprofundamento em cisalhamento transversal não deve ser encarado 
como um fim, mas como um meio para compreender a totalidade do 
comportamento estrutural. O estudante que domina esses fundamen-
tos adquire ferramentas para interpretar melhor o projeto estrutural, an-
tecipar patologias e desenvolver soluções criativas e seguras.
A engenharia estrutural exige não apenas cálculos, mas também intuição 
física, raciocínio técnico e senso crítico, capacidades que esta apostila 
buscou fortalecer através da conexão entre teoria e aplicação.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 29
reFerências bibliográFicas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 
ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de con-
creto. Rio de Janeiro, RJ: ABNT, 2023.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 
ABNT NBR 7190-1: Projeto de estruturas de ma-
deira – Parte 1: Critérios de dimensionamento. Rio 
de Janeiro, RJ: ABNT, 2022.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 
ABNT NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e 
de estruturas mistas de aço e concreto de edifica-
ções. Rio de Janeiro, RJ: ABNT, 2024.
BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Ale-
gre, RS: AMGH, 2021. 
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. 
Porto Alegre, RS: McGraw-Hill, 2013.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 
7. ed. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2018.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos materiais. 10. ed. São 
Paulo, SP: Pearson, 2020.
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos. 
São Paulo, SP: Edgard Blucher, 1978.
Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos / Semana 4: Cisalhamento transversal 30
	1. Fundamentos do cisalhamento transversal
	2. Equilíbrio interno e força cortante
	3. A fórmula do cisalhamento transversal
	4. Aplicação da fórmula em seções retangulares
	5. Cisalhamento em seções circulares maciças
	6. Cisalhamento em perfis em I: concentração na alma
	7. Cisalhamento em seções ocas: tubos e perfis vazados
	8. Cisalhamento em vigas protendidas
	9. Diagramas combinados de força cortante e momento fletor
	10. Métodos de reforço ao cisalhamento em vigas existentes
	11. Integração conceitual e aplicações do cisalhamento