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Integração 
 
 Até agora, nosso estudo do Cálculo se concentrou basicamente no seguinte 
problema: encontrar a derivada de uma função f dada. Vamos agora estudar o problema 
inverso: encontrar uma função F cuja derivada é dada. 
 A função F é chamada uma antiderivada ou primitiva de f se, para todo x no 
domínio de f, vale a relação 
   xfxF 
 
 
 Uma mesma função f(x) admite mais que uma antiderivada
1
. 
 
Teorema: Se F é uma antiderivada de f no intervalo I, então G é uma antiderivada de f 
no intervalo I se, e só se, G tem a forma 
G(x) = F(x) + C , para todo x em I 
 onde C é uma constante. 
 
Este teorema nos diz que podemos encontrar uma família inteira de antiderivadas de 
uma função adicionando constantes a uma antiderivada conhecida. 
 
 Se 
 xFy 
 é uma antiderivada de f, diremos que 
 xF
é solução da equação 
 xf
dx
dy

 
 Ao resolver uma equação deste tipo, é conveniente reescrevê-la na forma 
diferencial , ou seja, 
 dxxfdy 
 
 
Encontrar todas as soluções desta equação ( a antiderivada geral de f) é uma operação 
chamada integração (ou antidiferenciação). Ela é representada pelo símbolo de integral 

.A solução geral de 
 dxxfdy 
 é denotada por 
 
 variável de integração 
    CxFdxxfy  
 
 
 integrando constante de integração 
 
 
1
 Por exemplo, F(x) = 
3
3x
 é uma antiderivada da função 
  2xxf 
, pois 
   xfxxxF  2
2
3
3
. As 
funções 
  4
3
3

x
xG
 e 
 
 
3
33 

x
xH
 também são primitivas da função 
  2xxf 
, pois 
     xfxHxG 
. 
 
Universidade Estadual do Rio Grande do Sul 
Cálculo II - Energia 
Profa. Rosandra Santos Mottola Lemos 
 
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Lê-se 
  dxxf
 como a antiderivada de f em relação a x. Portanto, a diferencial dx serve 
para identificar x como variável de integração. O termo integral indefinida é sinônimo 
de antiderivada. 
Portanto, a notação 
    CxFdxxf 
 
 
onde C é uma constante arbitrária, significa que F é uma antiderivada de f. Isto é, 
   xfxF 
 para todo x no domínio. 
 De fato, a integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra, pois 
substituindo-se 
 xF 
 na definição acima, obtemos 
 
    CxFdxxF 
 
 
Além disso, se 
    CxFdxxf 
, então 
 
    xfdxxf
dx
d

 
 
Estas observações nos permitem obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas 
para diferenciação. 
 
 
Teorema: Fórmula de Derivação Fórmula de Integração 
Regras Básicas 
 de Integração 
 
  0C
dx
d
 
  Cdx0
 
 
  0,  kkkx
dx
d
 
0,  kCkxkdx
 
 
    xfkxkf
dx
d

 
     dxxfkdxxkf
 
 
        xgxfxgxf
dx
d

 
        dxxgdxxfdxxgxf  
 
 
  1 nn nxx
dx
d
 
1,
1
1




nC
n
x
dxx
n
n
 
 
 
Exemplo 1: Calcular a integral indefinida 
   dxx 53
 
 
 
 
 
 17 
Exemplo 2: Calcular a integral indefinida 
   dxxxxx 72985
234
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Calcular a integral indefinida 
 





 dx
x
xx
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Calcular a integral indefinida 
dt
t
t


34
2 75
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Área 
 
 Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de 
determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da 
exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são 
conhecidas. 
 Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada 
pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = 
a e x = b. 
 
 
 
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 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, 
b] em n subintervalos, escolhendo os pontos 
 
a = x0 < x1< ...< xi –1 < xi < ...< xn = b 
 
 Seja xi = xi – xi –1 o comprimento do intervalo [xi –1, xi]. 
 Em cada um destes intervalos [xi –1, xi], escolhemos um ponto qualquer ci. 
 Para cada i , i = 1, ...., n, construímos um retângulo de base xi e altura f(ci) 
 
 y = f(x) 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 x0 = a c1 x1 c2 x2 xi – 1 ci xi xn –1 cn xn = b x 
 
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: 
 
Sn = f(c1)x1 + f(c2)x2 + ...+ f(cn)xn = 
  i
n
i
i xcf 
1
 
 
 Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). 
 Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi , i = 1, ..., n, torna-se 
muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente 
entendemos como área de S. 
 Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a 
curva y = f(x), de a até b, é definida por 
 
  i
n
i
i
xmáx
xcfA
i
 


1
0 
lim
 
 
onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi]. 
 
 
 
 19 
 Integral Definida 
 
A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a 
formalização matemática dos problemas de áreas. 
Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann 
de f existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por 
 
   dxxfxcf
b
a
i
n
i
i
xmáx i
 


1
0 
lim
 
 
O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de 
integração e b é o limite superior. 
 É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas 
diferentes. Uma integral definida é um número , enquanto uma integral indefinida é uma 
família de funções. 
 Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema 
abaixo. 
 
Teorema: Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é 
integrável em [a,b]. 
 
 Quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral 
definida coincide com a definição da área (definição dada acima). Portanto, neste caso, 
a integral definida é a área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo dos x de a até b, 
ou seja, 
 
 dxxfárea 
b
a

 
 Sempre que utilizamos um intervalo [a,b], supomos a < b. Assim em nossa 
definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite 
superior.Será conveniente estender essa definição. Geometricamente, as duas definições 
particulares a seguir parecem razoáveis: 
 Se f está definida em x = a, então 
 
  0  dxxf
a
a
 
 
 Se f é integrável em [a,b], então 
 
   dxxfdxxf
b
a
a
b
  
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 Propriedades da Integral Definida 
 
 Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: 
 
 
     dxxfdxxfdxxf
b
cc
a
b
a
  
 
 
 Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes 
propriedades são verdadeiras: 
 
(a) 
   dxxfkdxxkf
b
a
b
a
  
 (b) 
        dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
  
 
 
 Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e 
   xgxf 0
 para 
bxa 
, então as 
seguintes propriedades são verdadeiras: 
 
(a) 
 dxxf
b
a
 0 
 (b) 
    
b
a
b
a
dxxgdxxf 
 
 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Este teorema relaciona a diferenciação e a integração como operações inversas e nos 
diz que os processos de limite (usados para definir a derivada e a integral definida) 
preservam esta relação de inversão. 
 
Teorema: Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b], então 
 
     aFbFdxxf
b
a
 
 
 onde F é qualquer função tal que 
   xfxF 
 para todo x em [a,b]. 
 
 
 Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos 
encontrar uma antiderivada de f. 
 Ao aplicar este teorema, a notação 
 
        aFbFxFdxxf ba
b
a

 
é bastante útil. 
 Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da 
antiderivada, já que 
 
 21 
              aFbFCaFCbFCxFdxxf ba
b
a

 
Exemplo 1: Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 dxx


2
0
2 3
 , 
  
2
0
12 dxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre a área da região limitada pelo gráfico de 
232 2  xxy
, o eixo 
dos x e as retas verticais x = 0 e x = 2.