GEX112_ESTATISTICA_aulas_9_A_12_i

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GEX112 – ESTATÍSTICA 
Turmas 2A, 13A e 13B - Aulas 9 a 12 – 03 e 04/11/2015 
 
Revisão 
Histograma de frequências: 
 Trata-se de dividir o espaço de valores da variável de interesse em k classes de 
tamanho c, contar o número de dados em cada classe e construir um gráfico de barras em que 
a dimensão vertical de cada classe é a sua frequência (relativa ou absoluta). 
 
Um critério empírico para determinação do número k de classes: 
   
 10
Tamanho da amostra Número de classes 
100
100 5log
n k
n
n
 
 
 
 
O tamanho da cada classe: 
   1
1 1
nx xA
c
k k

 
 
 
 
 O limite inferior da primeira classe: 
 1 1 2
c
LI x 
 
O limite superior da última classe: 
  2
nk
c
LS x 
 
Fim da revisão 
 Para o histograma das alturas, vamos usar 4 classes, que é o número de classes de 
interesse do fabricante de agasalhos. Então 
4k 
, 
   1 1.977 1.610
0.1223
1 3
nx x
c
k
 
  

 
 A tabela de frequências dos pesos por classe: 
2 
 
 
 
 
 
Classes de alturas Frequências absolutas Frequências relativas
1.5488,1.6712 4 0.100
1.6712,1.7935 14 0.350
1.7935,1.9158 19 0.475
1.9158, 2.0382 3 0.075
 
 
 
 
 O histograma: 
 
FREQUÊNCIAS ACUMULADAS ABAIXO OU ACIMA 
Eventualmente pode haver interesse nas frequências acumuladas abaixo ou acima de 
determinados valores. Normalmente esses valores são os limites de classe usados na 
construção do histograma. 
 
Histograma das alturas
alturas
F
re
qu
ên
ci
as
 a
bs
ol
ut
as
1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0
5
1
0
1
5
3 
 
O caso dos pesos 
A tabela de frequências dos pesos por classe: 
 
 
 
 
 
 
Classes de pesos Frequências absolutas Frequências relativas
50.5,57.7 3 0.075
57.5,64.5 6 0.150
64.5,71.5 16 0,400
71.5,78.5 10 0.250
78.5,85.5 3 0.075
85.5,92.5 2 0.050
 
 
A tabela das frequências acumuladas abaixo ou acima 
Limites Frequência Acumulada Abaixo Frequência Acumulada Acima
50.5 0 40
57.7 3 37
64.5 9 31
71.5 25 15
78.5 35 5
85.5 38 2
92.5 40 0
 
 
 
RESUMOS NUMÉRICOS DOS DADOS – MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE 
DISPERSÃO 
 Suponha que a notação usada para um conjunto de dados ordenados seja 
      1 2, ,..., .nx x x
 Existem alguns números que dão uma informação resumida desses dados. 
Há duas grandes classes: As medidas de posição e as medidas de dispersão. 
 
Medidas de posição ou medidas de tendência central: 
 Meia-amplitude É o ponto médio entre os dois valores extremos, dado por: 
 
mA
 
   
   1
1 1
2 2
nx xA
x x

   
 
4 
 
 
 
       1 1
1
2 2 2 2
n nx xx x
x    
   1
2
nx x

 
 
 Mediana É qualquer valor que divida ao meio o vetor de dados ordenados. 
 Se n é ímpar: 
M
 
1
2
n
x
 
 
 


 
 Se n é par, a mediana é qualquer valor entre 
2
n
x
 
 
 
 e 
1
2
n
x
 
 
 
. 
 Fixando um valor: 
M
 12 2
2
n n
x x
   
   
   


 
 
 Média É o ponto de equilíbrio (no sentido da física) dos dados: 
 
x
 
1
1 n
j
j
x
n 
 
 
Medidas de dispersão ou medidas de espalhamento: 
 
 Amplitude É a diferença entre os dois valores extremos dos dados 
 
A
 
   1nx x 
 
 Variância amostral É definida como: 
 
2S
 
2
1
1
( )
1
n
j
j
x x
n 
 


 
 Desvio padrão amostral É a raiz quadrada da variância amostral 
 
S
 
22
1
1
( )
1
n
j
j
S x x
n 
  


 
 
UM POUCO DE TEORIA DOS CONJUNTOS 
 Entende-se por conjunto qualquer coleção bem definida de objetos distintos. Um 
conjunto pode ser descrito por alguma característica exclusiva de seus elementos (exemplo:
 inteiros positivos menores que 7 
) ou pela enumeração de seus elementos (o mesmo 
5 
 
exemplo: 
 1,2,3,4,5,6 
). A notação 
w
 significa que “w percente a 

 ” ou, em 
outras palavras, que “w é um elemento de 

”. 
 Conjuntos não se distinguem pela ordem de enumeração de seus elementos 
    1,2,3,4,5,6 2,1,3,4,6,5
. 
 Se todos os elementos de um conjunto A são elementos de um conjunto 

, então 
diz-se que A é um subconjunto de 

, com notação 
A
 ou 
A
. 
 Se A e B são conjuntos, define-se a união de A e B, com notação 
A B
, como 
o conjunto de todos os elementos de A ou de B. Isto é, se 
 w A B 
 então ou 
w A
 
ou 
w B
. 
 Define-se a Interseção de A e B, com notação 
A B
, como o conjunto de todos 
os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Isto é, se 
 w A B 
 então 
w A
 e 
w B
. 
 Se 
A
, define-se o complemento de A em relação a 

, com notação 
A
 ou 
cA
, como o conjunto dos elementos de 

 que não estão em A. É comum, então, se 
escrever 
\cA A A A  
. 
 Um conjunto vazio, com notação 

, é um conjunto que não contém qualquer 
elemento. Propriedades: 
A
, 
A A 
, 
A 
, para qualquer conjunto A. 
Se 
A B 
 diz-se que os conjuntos A e B são disjuntos. 
 
Algumas propriedades: Suponha 
A
 e 
B 
 
 1P
 
     A B A B A B A B      
 
 2P
 
A B A B  
 
A B A B  
 (Leis de De Morgan) 
 
Exemplo: 
 1,2,3,4,5,6 
 
Subconjuntos de 

: 
 1,2,3,4A 
 
 1,3,5B 
 
 2,4,6C 
 
Algumas operações com esses subconjuntos: 
A B
 
 1,2,3,4,5
 
A C
 
 1,2,3,4,6
 
B C
 
 1,2,3,4,5,6 
 
6 
 
A B
 
 1,3
 
A C
 
 2,4
 
B C
 

 
 
A
 
 5,6
 
B
 
 2,4,6 C 
 
C
 
B
 

 
 
Observe que: 
 1
 
A B
 
 2,4A C  
 
     5,6 1,3,5 5A B   
 
 

 
     A B A B A B    
 
     2,4 1,3 5  
 
 
 1,2,3,4,5 A B  
 
 
 2
 
A B
 
       5,6 2,4,6 2,4,5,6 1,3 A B     
 
 
 3
 
A B
 
       5,6 2,4,6 6 1,2,3,4,5 A B     
 
 
 A observação 
 1
 confirma a propriedade 
 1P
. As observações 
 2
 e 
 3
confirmam a propriedade 
 2P
. 
 
Lista 1.1.1 Magalhães – pg. 23... Exercícios 3 (a e b) e 5 (a, b e c) 
Lista 1.1.2 Para os dados de idade, peso e altura de sua turma: 
 
 1
 Construir os histogramas de frequências 
 
 2
 Construir as tabelas de frequências acumuladas abaixo e acima 
 
 3
 Calcular as medidas de posição: meia-amplitude, mediana e média 
 
 4
 Calcular as medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio padrão 
 
Exercícios: 
 
 1
 Dadas as amostras de tamanho 
5n 
: 
 2,6,4,7,10X 
 e 
 42,82,79,31,55Y 
, 
obter: 
 1.a
 4
1
j
j
x


 
 1.b
 5
1
j
j
y


 
 1.c
 5
2
1
2 j
j
x


 
 1.d
 5
1
j j
j
x y


 
 1.e
 
 
5
1
3 2j j
j
x y


 
 1. f
 4
2
j j
j
x y


+ 5
2
1
j
j
y


 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 2
 Considerando os dados 
 2,4,5,6,1,8X 
, calcular: 2.a
 A média amostral 
1
1 n
j
j
X x
n 
 
 
 
 2.b
 A variância amostral 2
2 2
1 1
1 1
1
n n
j j
j j
S x x
n n 
  
    
    
 
 
 3
 Mostrar que 
 
2
2
2 2
1 1 1
1 1 1
1 1
n n n
j j j
j j j
S x X x x
n n n  
  
      
     
  
 
 
 4
 Criar um conjunto de valores de tamanho 
5n 
 que satisfaça 
 
 
2
2
1
1
0
1
n
j
j
S x X
n 
  

