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Calculo diferencial e integral

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Exemplos: 
1) Resolva a inequação x2 >32. 
Resolução 
Como 52 =32, a inequação pode ser escrita: 
x2 > 52 ⇒ Caso (i): a >1. 
⇒ x >5. 
S={ x∈R ; x >5}. 
2) Resolva a inequação xx 23
2
3 +)( ≥1. 
Resolução 
xx 23 23 +)( ≥1 ⇒ xx 23 23 +)( ≥ 03)( ⇒ Caso (i): a >1. 
⇒ 3 2x +2 x ≥0 
Tome f ( x )=3 2x +2 x 
f ( x )=0 ⇒ 3 2x +2 x =0 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
0
3
2
2
1
x
x
 
x023 S={ x ∈R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 32
 
3) Resolva a inequação 
3
2
1 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x <
72
2
1 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x
. 
Resolução 
3
2
1 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x <
72
2
1 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x
 ⇒ Caso (ii): 0<a <1. 
x +3>2 x −7 ⇒ − x >−10 ⋅(−1) ⇒ x <10. 
S={ x ∈R ; x <10}. 
 
 
AULA 04 – EXERCÍCIOS 
1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, 
reproduz-se em condições ideais. Supondo 
que, por divisão celular, cada bactéria dessa 
cultura dê origem a duas outras bactérias 
idênticas por hora. 
 a) Qual a população dessa cultura após 3 
horas do instante inicial? 
 b) Depois de quantas horas a população 
dessa cultura será de 51.200 bactérias? 
2) Resolva as equações: 
 a) 72821 =++x 
 b) 0
81
34 4 =−−
x
x 
3) Determine o conjunto solução das 
seguintes equações: 
 a) 0273.2832 =+− xx 
 b) xx 2.123222 =+ 
 c) 14
5
6416 +=+ x
x
 
4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x 
para que f(g(x)) = 2. 
5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de 
óleo de um tanque. A capacidade do tanque é 
de 1 m3 e, inicialmente, esta cheio. 
 a) Após o 5o golpe, qual o valor mais 
próximo para o volume de óleo que 
permanece no tanque? 
 b) Qual é a lei da função que representa o 
volume de óleo que permanece no tanque 
após n golpes? 
6) Resolva as inequações: 
 a) ( ) ( )43 55 2 ≥− xx 
 b) 
513
3
1
3
1 +− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ xx
 
 C) 1275,02 222 <⋅− ++ xX 
7) Determine o domínio da função 
12 2 −= −xy 
 
 
Respostas: 
1) a) 800 bactérias 
 b) 9 horas 
2) a) 3/2 
 b) 4 
3) a) {0, 3} 
 b) {2, 3} 
 c) {1, 2} 
4) x = 0 
5) a) 0,59m3 
 b) f(n) = 1 . (0,9)n 
6) a) }4,,1/{ ≥−≤∈ xouxRx 
 b) }3/{ >∈ xRx 
 c) }0/{ <∈ xRx 
7) }2/{ ≥∈ xRx 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 33
AULA 05 
 
4 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
4.1 – Definição de Logaritmo 
Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número real 
x de modo que xa =b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se 
balog . 
Podemos então, escrever: 
(Eq.9) xa =b ⇔ x = balog (1≠a >0 e b >0). 
Na igualdade x = balog , temos: 
• a é a base do logaritmo; 
• b é o logaritmando ou antilogaritmo; 
• x é o logaritmo. 
 
Exemplos: 
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes: 
1) 322log = x . 
 
x2 =32 ⇒ x2 = 52 ⇒ x =5. 
2) 164log = x . 
 
x4 =16 ⇒ x4 = 24 ⇒ x =2. 
3) x8log =1. 
 
18 = x ⇒ x =8. 
4) 813log = x . 
 
x3 =81 ⇒ x3 = 43 ⇒ x =4. 
5) 15log = x . 
 
x5 =1 ⇒ x5 = 05 ⇒ x =0. 
 
OBS. 1: blog ⇒ significa b10log . Quando não se indica a base, fica subentendido que a 
base é 10. 
4.2 - Conseqüências da definição 
Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se 
verificar que: 
Cálculo Diferencial e Integral 
 34
 
• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. 
1alog =0, pois 0a =1. 
• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1. 
aalog =1, pois 1a =a . 
• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. 
m
a alog =m , pois ma = ma . 
• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . 
baa log =b , pois xa =b ⇔ x = balog . 
4.3 - Propriedades dos logaritmos 
• 1) Logaritmo de produto 
)(log yxa ⋅ = xalog + yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0). 
• 2) Logaritmo de quociente 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
x
alog = xalog − yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0). 
• 3) Logaritmo de potência 
m
a xlog =m ⋅ xalog (1≠ a >0, x >0 e m ∈R ). 
4.4 - Cologaritmo 
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso desse 
número b na base a . 
(Eq.10) bco alog = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
ba
1log ⇒ bco alog =− balog (1≠ a >0 e b >0). 
Exemplo: 
Sabendo que log 3=a e log 5=b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b . 
• a) log 15 
 
log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5=a +b . 
• b) log 675 
 
log 675= log ( 33 ⋅ 25 )= log 33 + log 25 =3 log 3+2 log 5=3 a +2b . 
• c) log 2 
 
log 2= log 510 = log 10− log 5=1−b . 
 
4.5 - Mudança de base 
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em 
muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única 
base. 
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 35
Seja: balog = x ⇒ xa =b . 
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: 
x
c alog = bclog ⇒ x ⋅ aclog = bclog ⇒ x = a
b
c
c
log
log
, mas x = balog . 
Então: 
(Eq.11) balog = a
b
c
c
log
log
 (1≠ a >0, 1≠c >0 e b >0). 
Exemplos: 
1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule 62log . 
 
62log = 2
6
log
log =
2
32
log
)log( ⋅ =
2
32
log
loglog + =
30
4030
,
,, + =
30
70
,
, =
3
7
. 
 
2) Resolva a equação x2log + x4log + x16log =7. 
 
A condição de existência é x >0. 
Transformando para a base 2: 
x2log + x4log + x16log =7 
x2log + 42
2
log
log x +
162
2
log
log x =7 
x2log + 2
2 xlog +
4
2 xlog =7 
4
24 222 xxx logloglog ++ =
4
28
 
7 x2log =28 
x2log =4 
42 = x 
x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. 
Logo, o conjunto solução é: 
S={16}. 
 
3) Resolva a equação 2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5. 
 
Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2. 
2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5 
2log [( x +2)⋅( x −2)]=5 
( x +2)⋅( x −2)= 52 
2x −4=32 
2x =36 
2x =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz. 
Logo, o conjunto solução é: S={6}. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 36
 
4.6 - Função logarítmica 
A função exponencial g : R → ∗+R definida por g ( x )= xa (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse caso, 
podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo. 
Definição 30: A função f : ∗+R → R definida por f ( x )= xalog (com 1≠ a >0) é chamada função 
logarítmica de base a . 
4.6.1 - Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano 
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico 
da função exponencial. 
Seja f : ∗+R →R , tal que y = xalog e 1−f : R → ∗+R , tal que y = xa . Os gráficos de f e 1−f 
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. 
• (i) a >1. 
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y x
log xa=y
=y xa
 
Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1). 
• (ii) 0<a <1. 
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y xa
=y x
log xa=y
 
Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1). 
Cálculo Diferencial e Integral 
 37
 
4.7 - Inequações logarítmicas