Aula 1 - TEOREMA BINOMIAL AULA 1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Teorema
Binomial
Prof. Mahita
Centro de formação em saúde de chicumbane
Tecnicos de Estatistica – Aula 1
O Teorema Binomial
Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:
Os Coeficientes Binomiais
Para n e k inteiros não-negativos com 
Com frequência é lido como “n escolhas tomadas k a k”.
Exemplos: Cálculo dos Coeficientes
Observe que 
Lembre que o 1º e o último termo na expansão têm um coeficiente igual a 1:
Observação
A soma dos exponentes é sempre n.
Exemplo
Expandindo uma Binomial
Uma funcao binomial é dada pela forma a+b.
A sua expancao resulta em…
Números Fatoriais
Exemplos
Exemplos
Exemplos
Exemplos
Observações
Sempre a C(n,k) é um inteiro positivo. 
Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items.
Fórmula de Bernoulli
Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio.
Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q)r:
Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) pr qn-r
Coeficiente Binomial
( ) = n!/r!(n-r)!
n
r
A probabilidade de r sucessos é:
( ) pr qn-r
r
n
onde q = 1 - p
,
Observação
Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.
 Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
…
…
…
…
…
…
Triângulo de Pascal
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
k = 0 diagonal
k = 1 diagonal
k = 2 diagonal
linha 10
1
1
1
1
1
1
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
4
4
5
 10
5
 10
6
6
 15
 15
 20
7
8
9
9
8
7
 21
 21
 35
 35
 28
 28
 56
 56
 70
 36
 36
 84
 84
126
126
 10
 10
 45
 45
120
120
210
210
252
Triângulo de Pascal
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Triângulo de Pascal
As linhas são os coeficientes da expansão binomial
 
 
Row #
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
1
 
1
 
 
 
 
2
 
 
 
1
 
2
 
1
 
 
 
3
 
 
1
 
3
 
3
 
1
 
 
4
 
1
 
4
 
6
 
4
 
1
 
5
1
 
5
 
10
 
10
 
5
 
1