6 Integrais - Parte 3

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Métodos de Integração
Integração por Partes: é uma técnica estudada
para resolver integrais do tipo
න𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 .
A ideia é tomar 𝐺(𝑥) uma anti-derivada de g(𝑥), e
sabendo que
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝐺 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝐺(𝑥)
temos
න𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥 𝐺 𝑥 −න𝑓′ 𝑥 𝐺 𝑥 𝑑𝑥
Métodos de Integração
Fazendo
𝑢 = 𝑓 𝑥
𝑣 = 𝐺 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝐺′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Assim,
න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −න𝑣𝑑𝑢
Exemplo: calcule ׬ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
Métodos de Integração
Estratégia LIATE: para escolher 𝑢.
Em geral, tem-se sucesso tomando 𝑢 como uma
função cuja categoria ocorre antes na lista abaixo:
• Logarítmica;
• Trigonométrica Inversa;
• Algébrica;
• Trigonométrica;
• Exponencial.
Integração por Partes
Calcule:
න𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥
න ln(𝑥)𝑑𝑥
න𝑥2 𝑒−𝑥𝑑𝑥
Respostas
Integração por Frações Parciais
É um método utilizado para integração de funções
racionais.
Exemplo: sabe-se que
2
𝑥 − 4
+
3
𝑥 + 1
=
2 𝑥 + 1 + 3(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
=
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
Logo,
න
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
𝑑𝑥 = න
2
𝑥 − 4
𝑑𝑥 + න
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥
Integração por Frações Parciais
Integração por Frações Parciais
Exemplo:
න
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 2
Integração por Frações Parciais
Exemplo:
න
2𝑥 + 4
𝑥3 − 2𝑥2
𝑑𝑥
Integração por Frações Parciais
Exemplo:
න
𝑥2 + 𝑥 − 2
3𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝑑𝑥
Integração por Frações Parciais
Exemplo:
න
3𝑥4 + 4𝑥3 + 16𝑥2 + 20𝑥 + 9
𝑥 + 2 𝑥2 + 3 2
𝑑𝑥
Fórmulas de Redução
Exemplo: calcule
නcos4(𝑥) 𝑑𝑥
Integração Trigonométrica
Integração Trigonométrica
Integração Trigonométrica
Exemplo: calcule
න𝑠𝑒𝑛4(𝑥) cos4(𝑥) 𝑑𝑥
න𝑡𝑔3 𝑥 sec3(𝑥) 𝑑𝑥