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Universidade Federal do Esp´ırito Santo Centro de Cieˆncias Agra´rias - Campus Alegre Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada 1a Prova - A´lgebra Linear - 2013/I Nome: Matr´ıcula: 1. Classifique o sistema de equac¸o˜es, quanto ao conjunto soluc¸a˜o, a partir dos valores de a e b. 4x+ 12y + 8z = 22x+ 5y + 3z = −1−4y − 4bz = a . 2. (a) Calcule ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 −7 −1 −2 −4 −2 −4 −5 ∣∣∣∣∣∣ . (b) Sem encontrar o conjunto soluc¸a˜o, mostre que e´ poss´ıvel e determinado o sistema x− 3y − 7z = 1−x− 2y − 4z = −2−2x− 4y − 5z = −1 e ainda, sem encontrar o conjunto soluc¸a˜o, mostre que sua soluc¸a˜o pode ser escrita na forma X = 1 15 · 6 −13 2−3 19 −11 0 −10 5 · 1−2 −1 . 3. (a) Encontre o conjunto soluc¸a˜o S do sistema linear homogeˆneo x+ y + 2z = 03x+ 3y + 6z = 0−x− y − 2z = 0 . (b) Mostre que toda soluc¸a˜o (x, y, z) ∈ S pode ser escrita na forma y(−1, 1, 0) + z(−2, 0, 1), onde y, z ∈ R. 4. Marque V ou F . Prove as verdadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas. Para as verdadeira admita A,B,C ∈M3×3(R) e α, β ∈ R. (a) ( ) AB = AC ⇒ B = C. (b) ( ) α(βA) = (αβ)A. (c) ( ) (AB)t = AtBt. (d) ( ) Se X 6= [0, 0, 0]t e (A− α · Id)X = [0, 0, 0]t ⇒ det(A− α · Id) = 0.
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