Oficina_ Forças- 2015-1 GABARITO

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2015 Questões da Oficina de Forças 
 
Profs. André Saraiva e Lúcia Coutinho 
GABARITO DA OFICINA DE FORÇAS - 2015-1 
 
Estas questões só podem ser entregues pelos alunos que fizerem as duas oficinas de forças. Com 
elas, a AD2 valerá 13 pontos. O prazo de entrega será divulgado pelo tutor que ministrará as oficinas. 
 
 
Questão 1 (0,8 pontos) 
 
A maior dificuldade que alunos têm ao resolver problemas da Mecânica da Partícula está na projeção de 
vetores. Abaixo listamos algumas delas. 
 Desconhecimento da geometria relativa à congruência de ângulos e à geometria dos triângulos (ver 
Complemento 0 do encarte do Módulo 1). Como consequência disso, o aluno tem dificuldades de 
encontrar corretamente os valores dos ângulos. 
 Desconhecimento das definições de seno e cosseno (ver Complemento 0 do encarte do Módulo 1). 
Este desconhecimento leva a impossibilidade de se encontrar o módulo dos vetores projetados 
corretamente. 
 Desconhecimento da convenção de sinais que deve ser utilizada no cálculo das componentes dos 
vetores (Aula 2 do Módulo2). A convenção adotada é tal que a componente de um vetor é o número 
que se deve multiplicar o vetor unitário na direção do vetor projetado para se obter o vetor projetado. 
Se o vetor projetado tem o mesmo sentido do vetor unitário, a componente será positiva. Se o vetor 
projetado tem o sentido oposto ao do vetor unitário, a componente será negativa. 
Para verificar se você tem estas dificuldades, você deverá calcular as componentes x (na direção do eixo 
Ox) e y (na direção do eixo Oy) das forças representadas a seguir. Os módulos das forças em todas as 
figuras são iguais a 10N. Cada uma das forças deverá ser projetada nos eixos indicados.Os vetores 
unitários 
iˆ
 e
jˆ
são associados aos eixos Ox e Oy,respectivamente. 
 
 
 
 
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1o Semestre de 2015 Questões da Oficina de Forças 
 
Profs. André Saraiva e Lúcia Coutinho 
Figura 1a 
𝐹1𝑥 = 𝐹1 sin 30° = 5 𝑁 
𝐹1𝑦 = 𝐹1 cos 30° = 8,7 𝑁 
Figura 1b 
𝐹2𝑥 = 𝐹2 cos 40° = 7,7 𝑁 
𝐹2𝑦 = −𝐹2 sin 40° = −6,4 𝑁 
Figura 1c 
𝐹3𝑥 = −𝐹3 cos 30° = −8,7 𝑁 
𝐹3𝑦 = −𝐹3 sin 30° = −5 𝑁 
Figura 1d 
𝐹4𝑥 = −𝐹4 cos 30° = −8,7 𝑁 
𝐹4𝑦 = 𝐹4 sin 30° = 5 𝑁 
 
 
 
Questão 2 (2,2 pontos) 
 
O sistema abaixo é composto por dois blocos de massas mA e mB ligados por um fio de massa desprezível. 
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e o plano horizontal é c. Entre o bloco A e o plano inclinado 
não há atrito, e a inclinação do plano é de um ângulo . A polia serve apenas para mudar a direção do fio que 
conecta os blocos. Despreze a resistência do ar. Considere g = 9,8 m/s2. 
 
 
 
a) Isole a bloco A e coloque todas as forças não desprezíveis que atuam sobre ele. Desenhe também as 
forças de reação, mostrando onde elas estão aplicadas. 
 
 
 
b) Escreva a Segunda Lei de Newton na notação vetorial (por exemplo, 𝑐 + 𝑑 = 𝑒 ) e na notação em 
componentes (por exemplo, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥; 𝑐𝑦 + 𝑑𝑦 = 𝑒𝑦) para o bloco A. Não confunda os componentes 
de uma força, que são números, com os vetores projetados. 
 
𝑁𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑇𝐴⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝐴𝑎𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
𝑁𝐴𝑥 + 𝑇𝐴𝑥 + 𝑃𝐴𝑥 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 
𝑁𝐴𝑦 + 𝑇𝐴𝑦 + 𝑃𝐴𝑦 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑦 
 
c 
 
mB 
mA 
0,8 (0,1 para cada componente) 
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Profs. André Saraiva e Lúcia Coutinho 
Vamos considerar o eixo x paralelo ao plano inclinado e o eixo y perpendicular ao plano inclinado (como no 
desenho acima). Com isto, teremos 𝑁𝐴𝑥 = 0, 𝑇𝐴𝑦 = 0, 𝑎𝐴𝑦 = 0, 𝑃𝐴𝑥 = −𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 e 𝑃𝐴𝑦 = 𝑚𝐴𝑔 cos 𝜃. 
 
c) Isole o bloco B e coloque todas as forças não desprezíveis que atuam sobre ele. Desenhe também as 
forças de reação, mostrando onde elas estão aplicadas. 
 
 
 
d) Escreva a Segunda Lei de Newton na notação vetorial e na notação em componentes para o bloco B 
(como foi feito no item b para o bloco A). 
 
𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑇𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑓𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑚𝐵𝑎𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
𝑁𝐵𝑥 + 𝑇𝐵𝑥 + 𝑃𝐵𝑥 + 𝑓𝐵𝑥 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑥 
𝑁𝐵𝑦 + 𝑇𝐵𝑦 + 𝑃𝐵𝑦 + 𝑓𝐵𝑦 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑦 
 
Vamos considerar o eixo x paralelo à superfície onde o bloco B está apoiado, e o eixo y perpendicular a esta 
superfície (como indicado no desenho acima). Com isto, teremos 𝑁𝐵𝑥 = 0, 𝑇𝐵𝑦 = 0, 𝑎𝐵𝑦 = 0 e 𝑃𝐵𝑥 = 0 . 
 
e) Escreva as componentes x e y de todas as forças que atuam no bloco A e no bloco B em termos do 
módulo da aceleração da gravidade
g
, das massas mA e mB, do coeficiente de atrito cinético c e do 
ângulo 
q
. 
 
 
Como a roldana é ideal, teremos |𝑇𝐴𝑥| = |𝑇𝐵𝑥| = 𝑇, a aceleração dos blocos será a mesma, 𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 =
𝑎. Assim, teremos: 
 
 
 
Portanto, dispomos de duas equações para encontrar as duas incógnitas T e a. Igualando as expressões 
das tensões, temos 
𝑇 − 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝐴𝑎 
𝑇 = 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 + 𝑚𝐴𝑎 
 
−𝑇 + 𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 = 𝑚𝐵𝑎 
𝑇 = 𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐵𝑎 
Bloco B 
 
𝑃𝐵𝑦 = −𝑚𝐵𝑔 
 
𝑁𝐵𝑦 + 𝑃𝐵𝑦 = 0 
𝑁𝐵𝑦 = 𝑚𝐵𝑔 
 
𝑇𝐵𝑥 + 𝑓𝐵𝑥 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑥 
𝑓𝐵𝑥 = 𝜇𝑐𝑁𝐵𝑦 = 𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 
Bloco A 
𝑃𝐴𝑥 = −𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 
𝑃𝐴𝑦 = −𝑚𝐴𝑔 cos 𝜃 
 
𝑁𝐴𝑦 + 𝑃𝐴𝑦 = 0 
𝑁𝐴𝑦 = 𝑚𝐴𝑔 cos 𝜃 
 
𝑇𝐴𝑥 + 𝑃𝐴𝑥 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 
𝑇𝐴𝑥 − 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 
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Profs. André Saraiva e Lúcia Coutinho 
 
 
E substituindo de volta em qualquer uma das expressões para T, temos 
 
𝑇 = 𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐵(𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃) /(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) 
 
 
f) Considere que o bloco A possui massa mA = 4,0 kg e o bloco B possui massa mB = 2,0 kg. O coeficiente 
de atrito cinético entre o bloco B e o plano é c = 0,50, e o ângulo  do plano inclinado é  = 30°. Com 
estes dados calcule qual a tração no fio. 
 
Usando a última expressão do ítem anterior obtemos 
 
 
 
 
g) Usando os dados do item anterior, calcule a aceleração dos blocos. 
 
 
 
A aceleração negativa nos indica que os blocos serão acelerados no sentido contrário ao escolhido para 
o eixo x, ou seja, o bloco A irá descer o plano inclinado e o bloco B irá para a esquerda. 
𝑎 = 𝑔
(𝜇𝑐𝑚𝐵 − 𝑚𝐴 sin 𝜃)
(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)
 
 
𝑎 = −1,63 𝑚 𝑠2⁄ 
 
𝑇 = 𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐵(𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃) /(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) 
 
𝑇 = 13,1 𝑁 
𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐵𝑎 = 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃 + 𝑚𝐴𝑎 
𝑎 = (𝜇𝑐𝑚𝐵𝑔 − 𝑚𝐴𝑔 sin 𝜃) /(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)