TRABALHO DE VETORES VETORES R2 E R3

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
VETORES 
Reta Orientada - Eixo 
Uma reta r orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, 
considerado positivo e indicado por uma seta. 
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. 
Segmento Orientado 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. 
Um é a origem e o outro a extremidade. 
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado 
por AB. 
r 
B 
A 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 1
Segmento nulo 
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem 
Segmentos opostos 
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é o oposto 
de AB. 
Medida de um Segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-
se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em 
relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é seu comprimento 
ou módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB. 
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é 
de 5 unidades de comprimento: 
AB = 5 u 
Observações: 
a) Os segmentos nulos tem comprimento igual a zero 
b) AB = BA 
Direção e Sentido 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 2
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as 
retas suportes desses segmentos são paralelas. 
Ou coincidentes 
Observações: 
a) Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles 
têm mesma direção. 
b) Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 
Segmentos Equipolentes 
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a 
mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta. Para que AB 
seja CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um 
paralelogramo. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 3
A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD 
Propriedade da Equipolência 
I) 
AB ~ AB (reflexiva) 
II) 
Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica) 
III) 
Se AB ~ CD, CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva) 
IV) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D 
tal que um único ponto D tal que AB ~ CD. 
Vetor 
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos 
os segmentos orientados equipolentes a AB. 
Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: 
v = {XY/XY ~ AB} 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 4
onde XY é um segmento qualquer do conjunto. 
Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos 
orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre 
si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um 
destes representantes determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em 
cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. 
Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos 
todos 
os 
infinitos 
segmentos 
orientados 
de 
origem 
comum, 
estaremos 
caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. 
Ora, 
cada 
um 
destes 
segmentos 
é 
um 
representante 
de 
um 
só 
vetor. 
Consequentemente, 
todos 
os 
vetores 
se 
acham 
representados 
naquele 
conjunto que imaginamos. 
As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus 
representantes, isto é: o módulo ou comprimento, a direção e o sentido, em 
qualquer um de seus representantes. 
O módulo v se indica por |v|. 
Vetores Iguais 
Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB ~ CD. 
Vetor Nulo 
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único 
vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, que é indicado por 0. 
Vetores Opostos 
Os vetores contêm direção e módulo semelhantes, porém seu sentido é 
oposto. 
Vetor Unitário 
Um vetor v é unitário se |v| = 1. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 5
Versor 
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário da mesma direção e mesmo 
sentido. 
Os vetores u1 e u2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. 
No entanto, apenas u1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. 
Portanto, este é o versor de v. 
Vetores Colineares 
Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Ou seja, serão 
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a um mesma reta 
ou a retas paralelas. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 6
Vetores Coplanares 
Se vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem 
representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que 
são coplanares. 
Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre 
tomar 
um 
ponto 
no 
espaço 
e, 
com 
origem 
nele, 
imaginar 
os 
dois 
representantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto. 
Três vetores poderão ou não ser coplanares. 
OPERAÇÕES COM VETORES 
Uma grandeza é dita escalar quando necessitamos especificar apenas 
sua magnitude e uma unidade para sua determinação. Como exemplos podem 
citar o comprimento, a massa e o tempo. Uma grandeza é dita vetorial quando 
necessitamos especificar sua magnitude, direção e sentido de atuação e uma 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 7
unidade para 
sua determinação. 
Como exemplos podem citar a força, a 
velocidade, a aceleração e o torque. 
Geometricamente, um vetor é representado por um segmento orientado 
de reta. Notações usuais para esse vetor: 

v : Uma letra qualquer que representa sobrescrito por uma flecha; 

v: Uma letra qualquer que o representa em negrito; 

AB: Ponto inicial e final sobrescrito por uma flecha. 
B 
v v 
A v = V= AB v v 
Vetor geométrico Vetores equivalentes 
Acima ilustra um vetor que o ponto A é a origem e a extremidade o ponto B. 
Do ponto de vista geométrico, a direção de um vetor é dada pela reta suporte 
do segmento orientado que o representa, e seu sentido é indicado por uma 
flecha. 
São operações definidas para os vetores geométricos. 
Adição de Vetores 
A adição dos vetores u e v (não nulos) são definidas da seguinte forma: 
posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam (o que pode ser 
feito 
pela 
equivalência 
de 
segmentos 
orientados) 
e 
formamos 
um 
paralelogramo. 
Essa 
regra 
de 
adição 
é 
conhecida 
como 
regra 
do 
paralelogramo. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 8
Também podemos definir a adição dos vetores u e v, de maneira 
semelhante ao paralelogramo, posicionando a origem de v sobre a 
extremidade de u, o vetor soma u + v é o vetor cuja origem é a 
origem de u e extremidade é a extremidade de v. 
Adicionando u e v posicionando a origem de u sobre a extremidade 
de v, o vetor soma v + u é o vetor cuja origem é a origem de v e a 
extremidade é a extremidade de u. Evidentemente que u + v = v + u. 
E podemos dizer que se u=0, então u + v= v e se v=0, então u + v= u. 
Propriedades da Adição 
Sendo u, v e w vetores quaisquer a adição admite as seguintes propriedades:
Comutativa- u + v = v + u 
Associativa- (u + v) + w= u + (v + w) 
Elemento Neutro- Existe um elemento 0, tal que v + 0 = 0 + v = v. 
Inverso Aditivo (elemento oposto)- Para todo vetor v existe um único vetor –v ( 
vetor oposto de v), tal que v + (-v)= (-v) + v = 0. 
Diferença de vetores 
Dizemos que d é a diferença de dois vetores u e v se d= u-v, ou seja, d= u + (-
v). 
Pelos 
segmentos orientados AB e AC. ABCD é um paralelogramo cujas 
diagonais AD e BC representam, respectivamente, s e d (soma e diferença). 
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Exemplo: Dados dois vetores u e v não- paralelos, construir o mesmo gráfico 
os vetores u + v, u – v, v – u e u – v, todos com origem em um mesmo ponto. 
Para os vetores u e v da figura é assim: 
Exemplo: Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto 
médio. 
Consideremos o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD e seja M o 
ponto médio de AC, equivale dizer que AM= MC. 
Vamos provar que M é também ponto médio de BD. Pela figura, tem – se 
BM = BC + CM (Definição de Soma) 
= AD + MA (Igualdade de vetores) 
= MA + AD (Propriedade comutativa) 
= MD (Definição de soma) 
Ora, Como BM = MD. Conclui-se que M é o ponto médio de BD. 
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A Multiplicação de um vetor por uma escalar 
Dado um vetor v (não nulo) e um escalar k (não nulo), a multiplicação de k 
por v resulta o vetor Kv, múltiplo escalar de v, determinado da seguinte 
maneira: 

kv possui a mesma direção que v. 

se k>0, então kv tem o mesmo sentido de v; se k<0, então kv tem o 
sentido oposto ao de v; 

a magnitude de kv vale |k| vezes a magnitude de v, isto é, |kv| = |k||v|. 
v ½ v 
2v 
-3v 
½ v 
Múltiplos escalares de um vetor v 
v 
-v=-1v 
Múltiplo escalar de -1v, denominado vetor oposto de v e também denotado –v. 
Finalmente podemos observar que se k=0 ou v=0, então kv=0. 
Se um vetor Kv, em que v≠ 0. Fazendo com que k varie sobre um 
numero (conjunto de números reais), obtemos infinitos vetores colineares a v 
(alem de serem também colineares entre si). Por outro lado, para quaisquer 
dois vetores u e v, colineares, sempre existe um K Є, tal que u = k v 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 11
u v 
2u -3v 
O verso de v ≠ 0 é o vetor unitário u = 
𝟏
|
𝒗
|
*|v| ou u= 
𝒗
𝒗
Veja que |u| = 
|
|
𝒗
|
|
𝒗
|
|
𝒗
= 1, para todo v ≠ 0. Assim, temos que v =|v| u, ou seja, 
todo vetor é o produto de seu modulo pelo vetor unitário de mesma direção e 
mesmo sentido que v. 
u = 
v 
Observações: 
Considerando o ponto 0 como origem de v, v ≠ 0, e de todos os vetores 
α v que lhe são paralelos, se fizermos α assumir todos os valores reais, 
teremos representados em uma só reta todos os vetores paralelos a v. 
v 
-3v -2v -v 0 
v2 πv 4v 
Por outro lado, supondo u// v, v ≠ 0, sempre existe um numero real α tal que u 
= α v. 
O 
DC 
esta 
dividido 
em 
cinco 
segmentos 
congruentes 
(de 
mesmo 
comprimento), em relação ao vetor AB (|AB|=2), tem-se AC= 3/2AB, BD= -2AB, 
CD= -5/2AB. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 12
v
v
|
|
𝒗
|
|
𝒗
|
|
v
v
Propriedades da multiplicação por um numero real 
Sejam u e v vetores quaisquer e a e b números reais (também conhecidos 
como escalares). Assim, temos as seguintes propriedades: 
Associativa: a (bv) = (ab) v; 
Identidade: 1v = v; 
Distributividade em relação aos escalares: (a=b) v = av = bv 
Distributividade em relação aos vetores: a (v + u) = av = au 
Exemplos explicativos 
1)Representado os vetores u, v e w, como na figura. Obter graficamente o 
vetor x tal que x= 2u – 3v + ½w. 
Solução: x = 2u – 3v + ½ w 
2) Demonstrar que o segmento 
cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo 
ao terceiro lado e igual a sua metade. 
Seja o triangulo ABC e M e N os pontos médios dos lados CA e CB, 
respectivamente tem se: 
MN= MC + CN 
= ½ AC + ½ CB 
= ½ (AC +CB) 
= ½ AB 
Portando MN|| AB e |MN| = ½ |AB| 
Ângulo de dois vetores 
O ângulo de dois vetores u e v não nulos é o ângulo ø formado pelas semi 
retas 0A e 0B tal que 0< ø< π. 
A 
u 
u 
ø 
0 B 
v v 
Se ø = π, u e v tem a mesma direção e sentidos contrários. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 13
ø = π 
u 
v 
se ø = 
0, 𝑢 𝑒 𝑣 
tem a mesma direção e o mesmo sentido. 
u 
v 
se ø =
𝜋
2
, u e v são ortogonais (isto e , são perpendiculares), denotamos pó 
𝑢u|v𝑣.
neste caso, temos que | u+
v|
2
= |
𝑢
2
| = |
𝑣
2
|. 
O vetor 
0
e considerado ortogonal a qualquer vetor. 
Se u é ortogonal a 
𝑣v
e 
𝑚m
um numero real qualquer, 
𝑢u
é ortogonal a 
𝑚𝑣
. 
Exemplo 
Encontre o ângulo entre os vetores 
u
= (2,4) e 
v
= (-1,2). 

cos
.
.
.
v
u
v
u
u
. 
v
= 2.(-1) + 4.2 = 6 
20
4
2
2
2



u
Geometria Analítica – Vetores 								Página 14
u
v
v|
𝑚mv
5
2
)
1
(
2
2




v

Portanto, 
6
,
0
5
.
20
6
cos



Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º 
Ângulo entre dois vetores 
Os vetores u = (2,-4) e v = (4,2) 
são ortogonais, já que: 
0
2
).
4
(
4
.
2
.




v
u
Exercícios 
1- Seja u = < 
1,3 > e v = < 4,7 >. Ache as componentes dos vetores: 
(a) u + v 
(b) 3u 
(c) 2u -
v 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 15
(a) u + v 
1, 
3> 
+ 
<4,7 
> 
= 
< 
3,10 >. 
A 
figura 
ao 
lado 
representa, 
geometricamente, 
esta soma. 
b) 3u = 3 < 
1,3 > 
= < 
3,9 >. Veja a 
sua 
representação 
geométrica. 
(c) 2u 
v = 2 < 
1,3 > 
< 4,7 > = < 
2, 6 > 
< 4,7 > = < 
6, 
1 >. 
2- Dados u = (1, 2, 0), v = (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: 
a) 2u – v + 4w 
2(1, 2, 0) - (2, 1, -1) + 4(0, 2, 3) 
(2, 4, 0) - (2, 1, -1) + (0, 8, 12) 
(0, 3, 1) + (0, 8, 12) 
(0, 11, 13) 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 16
b) 3( u + v) -2( 2v – w ) 
3((1, 2, 0) + (2, 1, -1)) – 2 (2(2, 1, -1) - (0, 2, 3)) 
3(3, 3, -1) – 2(4, 0, -5) 
(9, 9, -3) – (8, 0, 10) 
(1, 9, 7) 
3- Calcular o oposto de AB sendo A= (1, 3, 2) e B= (0, -2, 3) 
B (0, -2, 3) – A(1, 3, 2) 
BA= (1, 5, -1) 
4- Determinar o vetor x, tal que 5x = u – 2v , sendo u= (-1, 4, -15) e v = ( -3, 2, 
5). 
5x= (-1, 4, -15) - 2(-3,
2, 5) 
5x= (-1, 4, -15) - (-6, 4, 10) 
x= (5, 0, -25) 
5 
x= (1, 0, -5) 
VETORES NO R
2
Definição do Vetor 
Um vetor (geométrico) no plano R
2
é uma classe de objetos matemáticos 
(segmentos) 
com 
a 
mesma 
direção, 
mesmo 
sentido 
e 
mesmo 
módulo 
(intensidade). 
1. 
A direção é a da reta que contém o segmento. 
2. 
O sentido é dado pelo sentido do movimento. 
3. 
O módulo é o comprimento do segmento. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 17
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: 
o 
ponto 
onde 
ele 
começa 
(origem) 
e 
um 
outro 
ponto 
onde 
ele 
termina 
(extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as 
coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem. 
Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito 
mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos 
matemáticos 
como: 
matrizes, 
conjuntos, 
funções, 
soluções 
de 
equações 
diferenciais, etc. 
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é 
dado por v=(6,10), pois: 
v = (7,12)-(1,2) = (6,10) 
Esta 
classe 
de 
objetos 
é 
representada 
por 
um 
segmento 
de 
reta 
(representante) 
desta 
família 
que 
tem 
as 
mesmas 
características. 
O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a 
origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano 
cartesiano e que será denotado por 
v =(a,b) 
Igualdade 
Dois vetores u =(a,b) e v =(c,d) são iguais se, e somente se , a=c e b=d, e 
escreve-se u = v. 
Exemplo: Os vetores u =(2,4) e v =(2,4) são iguais. 
Soma de Vetores e sua Propriedades 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por: 
v+w=(a+c,b+d) 
Propriedades da Soma de Vetores 
1. 
Fecho: Para qualquer u e v de R
2
, a soma u + v esta em R
2
. 
2. 
Comutativa: Para todos os vetores u e v de R
2
: 
v + w = w + v 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 18

OPERAÇÕES COM VETORES NO R²
3. 
Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R
2
: 
u + (v + w) = (u + v) + w 
4. 
Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R
2
tal que para todo vetor 
u de R
2
, se tem: 
Ø + u = u 
5. 
Elemento oposto: Para cada vetor v de R
2
, existe um vetor –v em R
2
tal 
que: 
v + (-v) = Ø 
Exemplo: Se u = (2,3) e v = (-1,3), então, u e v = (2-1,3+3) => u + v = (1,6). 
Diferença de Vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: 
v - w = (a-c,b-d) 
Exemplo: Se u =(2,-1) e v =(3,4), então, u – v =(2-3,-1-4) => u – v =(-1,-5) 
Produto por escalar e suas propriedades 
Se v=(a,b) é um vetor e k é um numero real, definimos a multiplicação de k 
por v, por: 
k.v = (ka,kb) 
Produto por escalar e suas propriedades por Vetor 
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores: 
1. 
1v = v 
2. 
(a.b)v= a(b.v)=b(a.v) 
3. 
Se a.v = b.v e v é um vetor não nulo, então a=b 
4. 
a(v + w)=a . v + a . w 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 19
5. 
(a+b)v =a . v + b . v 
Exemplo: Se u =(2,-1), então, 4.u =(2,-1) =(8,-4) 
Produto Escalar 
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto 
interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por: 
v . w = a.c + b.d 
Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por: 
v . w = 2.(-7) + 5.(12) = 56 
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é: 
v . w = 2.(-5) + 5.(2) = 0 
Propriedades do Produto Escalar 
Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar: 
1. 
v . w = w . v 
2. 
v . v = |v| |v| = |v|² 
3. 
u. (v + w) = u . v + u . w 
4. 
(k . v) . w = v (k . w) = k (v . w) 
5. 
|k . v| = |k||v| 
6. 
|u . v| < |u| |v| (desigualdade de Schwarz) 
7. 
|u + v| < |u| + |v| (desigualdade triangular) 
Exemplo: Sendo u =(2,3) e v =(-1,1,) determine: 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 20
a) u . v = (2,3). (-1,1) = 2.(-1)+3.1= -2+3= 1 
Vetores Unitários sobre os eixos coordenados 
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. Existem dois vetores unitários 
que formam a base canônica para o espaço R
2
, que são dados por i =(1,0) e j 
=(0,1). 
Exemplo: Sendo u =(1,-3), podemos escrever que u = i – 3 j. 
Versor de Vetor u 
É o vetor unitário u, que tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor v. 
Exemplo: Tomemos um vetor v de módulo 3. 
Os vetores u
1
e u
2
da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. 
No entanto, apenas u
1
tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, 
este é o versor de v. 
Ângulo entre dois vetores 
Outro modo de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é 
v . w = |v| |w| cos(q) 
onde q é o ângulo formado entre v e w. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 21
Com este modo podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, 
pois: 
cos(q) = 
u . v 
|u| . |v| 
desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0 < q < pi = 3,1416... 
Exemplo: Determine os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A (3,-3,3); B 
(2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2) e seus lados são respectivamente AC, AB e BC. 
Vetores Ortogonais 
Dois vetores v e w são ortogonais se: 
v . w = 0 
Exemplo: Os vetores u =(-4,5) e v =(10,8) são ortogonais, pois: 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 22
u . v = (-4,5) . (10,8) = -40+40 = 0 
Exercícios 
1. 
Dados os vetores u =2 i – 3 j, v = i – j e w =-2 i + j, determine 2 u – v: 
2 u – v = (2,-3)-(1,-1)=(4,-6)-(1,-1)=(4-1,-6+1)=(3,-5)=3 i – 5 j 
2. 
Dados os vetores u = 2 i + 7 j, v = i – 6 j e w = -5 i + 10 j, determine a e 
b escalares, tais que au + bv = w: 
au 
+ 
bv 
= 
w 
 
a(2,7)+b(1,6)= 
(-5,10) 

(2a,7a)+(b,-6b)=(-5,10) 

(2a+b,7a-6b) = (-5,10) 
2a + b = −5 x(6) equa
çã
o (1) 
7a − 6b = 10 equa
çã
o (2)
Multiplicando a equação (1) por 6 e somando membro a membro com a 
equação (2), temos. 
19a=-20 

a=-20/19 
Se 
a=-20/19, 
vem: 
2a+b=-5 

2.-20/19+b=-5 

-40/19+b=-5 
=> 
b=-
5+40/19 

b=-55/19 
Logo, os valores de a e b são -20/19 e -55/19, respectivamente. 
3.
Dados os vetores u = 2 i + 7 j e v = i – 6 j, resolva a equação vetorial 
para x e y, (x-y) u = (3x +2y) v – u. 
(x-y) u = (3x+2y) v – u 

(x-y).(2,7) = (3x+2y).(1,-6) - (2,7) 

(2x-2y,7x-
7y) = (3x+2y,-18x-12y) - (2,7) 

(2x-2y,7x-7y) = (3x+2y-2,-18x-12y-7) 

2x-2y=3x+2y-2 

x+4y=2 x(-25) equação (1) 
7x-7y=-18x-12y-7 25x+5y=-7 equação (2) 
Multiplicando a equação (1) por (-25) e somando membro a membro 
com a equação (2), temos: 
-95y=-57 

y=57/95 

y=57/95 :19 

y=3/5 
Substituindo y=3/5, na equação (1), vem: 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 23


x+4.(3/4)=2

x+12/5=2 

x=2-12/5 

x=-2/5 
Logo, x=-2/5 e y=3/5 
4.
Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e O=(0,0), calcule AO – AB.
AO – AB= (A-O)-(B-A) = ((-1,3)-(0,0))-((2,5)-(-1,3)) = (-1,3)-(3,2) = (-1-3,3-2) 
= (-4,1) 
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO 
Um 
sistema 
(ortogonal 
positivo) 
de 
coordenadas 
cartesianas 
no 
espaço 
consiste 
da escolha de um ponto O do espaço, denominado origem, e de três retas 
concorrentes em O e mutuamente perpendiculares, denominadas eixos OX, 
OY e OZ, sob cada uma das quais há uma cópia da reta real R, satisfazendo 
as seguintes propriedades: 
(a) O zero de cada cópia de R considerada, coincide com o ponto O. 
(b) Escolhamos duas dessas retas. As retas escolhidas determinam um plano 
que passa pela origem O. Nesse plano, escolhemos uma das retas para ser o 
eixo OX e a outra para ser o eixo OY . O plano que contém esses eixos é 
denominado plano XY. 
(c) Escolhamos um dos semi-eixos do eixo OX para ser o semi-eixo OX 
positivo. No plano XY, o semi-eixo OY positivo é obtido pela rotação de 90° do 
semi-eixo OX positivo, no sentido anti-horário, em torno da origem. 
(d) A terceira reta, perpendicular ao plano XY e que passa pela origem, é o eixo 
OZ. Nela, o semi-eixo OZ positivo é escolhido de modo que se um observador 
em pé na origem sobre o plano XY , com as costas apoiadas no semi-eixo OZ 
positivo e o braço direito esticado na direção do semi-eixo OX positivo, verá o 
semi-eixo OY positivo à sua frente. 
Escolha do semi-eixo OZ positivo 
Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas OXYZ, cada ponto P do 
espaço é caracterizado por um terno de números reais (x,y,z) denominados as 
coordenadas do ponto P no sistema OXY Z. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 24
Observação 
Quando você aprendeu os sistemas de coordenadas cartesianas no plano, viu 
que existem outros sistemas de coordenadas construídos de maneira similar, 
mas cujos eixos não são perpendiculares. A exigência da perpendicularidade 
dos eixos é apenas um conforto, pois na maioria das situações facilita a 
visualização geométrica. O mesmo acontece com as coordenadas cartesianas 
no espaço. Portanto, eventualmente, um problema geométrico pode tornar-se 
mais simples com a escolha de um sistema de coordenadas oblíquo, isto é, 
onde os eixos OX, OY e OZ não são perpendiculares, mas apenas não 
coplanares. 
Por essa razão, o sistema de coordenadas definido anteriormente é dito 
ortogonal (ou seja, perpendicular). 
A escolha de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas implica a 
determinação 
de 
três 
planos, 
chamados 
planos 
cartesianos, 
que 
se 
interceptam na origem. Cada um desses planos contém exatamente dois dos 
eixos OX, OY ou OZ e é perpendicular ao outro eixo. O plano que contém os 
eixos OX e OY será designado por II
XY
e chamado plano XY. 
Analogamente, o plano que contém os eixos OX e OZ é designado por II
XZ
e 
chamado plano XZ. Finalmente, o plano YZ, designado II
YZ
; é aquele que 
contém os eixos OY e OZ. 
Plano XY 
Plano XZ 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 25
Plano YZ 
Determinando as coordenadas de um ponto no sistema OXYZ 
Para determinar as coordenadas de um ponto P no espaço, fazemos as 
projeções perpendiculares de P sobre dois dos planos cartesianos. 
Isto é, dado um ponto P, a reta paralela ao eixo OZ que passa por P, intercepta 
o plano XY num ponto que designaremos PXY. 
Para determinar as coordenadas nos eixos OX e OY, traçamos as paralelas a 
esses eixos que passam pelo ponto projetado PXY. Tais paralelas interceptam 
os 
eixos 
OX 
e 
OY 
em 
pontos 
PX 
e 
PY 
respectivamente. 
O 
ponto 
PX 
corresponde a um número real x na cópia de R que colocamos no eixo OX; 
esse número real é a primeira coordenada de P e é chamado a abscissa do 
ponto P. Da mesma maneira, o ponto P
Y
do eixo OU corresponde a um número 
real y na cópia de R que colocamos no eixo OY; esse número é a segunda 
coordenada de P e é chamado 
a ordenada do ponto P. 
Abscissa e a ordenada de P 
Para determinar a coordenada no eixo OZ, traçamos a reta paralela ao eixo OX 
que passa pelo ponto P. Essa reta intersecta o plano YZ num ponto P
YZ
. As 
paralelas aos eixos OY e OZ, passando pelo ponto P
YZ
; intersectam os eixos 
OY e OZ em pontos P
Y
(determinado já no parágrafo anterior) e P
Z
. O número 
real z, que corresponde ao ponto P
Z
na cópia de R que colocamos no eixo OZ, 
é a terceira coordenada do ponto 
P, também chamada cota do ponto P. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 26
Cota de P 
Coordenadas de P 
Convencão 
Daqui em diante, um ponto P que tem abscissa x, ordenada y e cota z será 
identificado com seu terno de coordenadas cartesianas (x,y,z): 
P = (x,y,z) 
Observação 
Os planos cartesianos são caracterizados da seguinte maneira: 
II
XY
= {(x,y,0) l x,y E R} ; II
XZ
= {(x,0,z) l x,z E R} e II
YZ 
= {(0,y,z) l y,z E R} : 
Isto é, dado um ponto P = (x,y,z) no espaço, temos: 
P E II
XY

z = 0; portanto, a equação cartesiana de II
XY
é: z = 0. 
P E II
XZ

y = 0; portanto, a equação cartesiana de II
XZ
é: y = 0. 
P E II
YZ

x = 0; portanto, a equação cartesiana de II
YZ
é: x = 0. 
Com 
esta 
caracterização 
dos 
planos 
cartesianos, 
vemos 
que 
o 
eixo 
OX 
consiste nos pontos tais que y = 0 e z = 0, isto é: 
OX = II
XY
XZ
e suas equações cartesianas são y = 0 
z = 0 
Analogamente, 
OY = II
XY 
II
YZ
: x = 0 e OZ = IIXZ 
IIYZ : x = 0 
z = 0 y = 0 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 27





VETORES NO R
3 
Definição 
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R
2
e no espaço R³. Na 
verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre 
realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que 
existem em R³. 
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos 
matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e 
mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas 
características 
é 
representada 
por 
um 
segmento 
de 
reta 
desta 
família 
(representante). 
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e 
extremidade 
é 
o 
terno 
ordenado 
(a,b,c) 
do 
espaço 
R³, 
razão 
pela 
qual 
denotamos este vetor por: v = (a,b,c). 
Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a 
diferença entre a extremidade e a origem do vetor. 
OPERAÇÕES COM VETORES NO R³ 
Soma de Vetores 
Dados vetores u = (x1, y2, z1) e v = (x2, y2, z2) e a pertence aos reais, define-
se: 
u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) 
au = (ax1, ay1, az1) 
Diferença de Vetores 
Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço: 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 28
AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 
Produto de Vetor por escalar 
Se v =(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, 
como: 
k . v = (ka,kb,kc) 
Propriedades de vetor por escalar 
1. 
1 . v = v 
2. 
(a . b) v = a (b . v) = b (a . v) 
3. 
a . v = b . v com v não nulo, então a=b. 
4. 
k (v + w) = k . v + k . w 
5. 
(a + b) v = a . v + b . v
Produto Escalar 
Dados os vetores v =(v
1
,v
2
,v
3
) e w =(w
1
,w
2
,w
3
), definimos o produto escalar 
(produto interno) entre v e w, como o escalar real: 
v . w = v1w1 + v2w2 + v3w3 
Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é: 
v . w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48 
Propriedades do Produto Escalar 
Qualquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k: 
1. 
v . w = w . v 
2. 
v . v = |v| |v| = |v|² 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 29
3. 
u . (v + w) = u . v + u . w 
4. 
(k . v) . w = v .(k . w) = k .(v . w) 
5. 
|k . v| = |k| |v| 
6. 
|u . v| < |u| .|v| (desigualdade de Schwarz) 
7. 
|u + v| < |u|+|v| (desigualdade triangular) 
Ângulo entre dois vetores (Por escalar) 
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: 
v . w = |v| |w| cos(t) 
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo 
pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi 
radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do 
cosseno deste argumento t. 
cos(t) = (v . w) / (|v|.|w|) 
Vetores Ortogonais 
Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto 
é, 
v . w=0 
Produto Vetorial 
Dados os vetores v =(v
1
,v
2
,v
3
) e w =(w
1
,w
2
,w
3
), definimos o produto vetorial 
(produto exterior) entre v e w, denotado por v × w, como o vetor obtido pelo 
objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado 
como se fosse um determinante. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 30
u . z = 
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial 
destes dois vetores será v × w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste 
plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior. 
Em geral, o produto vetorial v × w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal 
a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores 
v e w. 
Ângulo entre dois vetores 
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: 
v × w = |v| |w| sen(t) U 
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é 
paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w. 
Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: 
|v × w| = |v| |w| sen(t) 
e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos 
obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de: 
sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|) 
sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi]. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 31
Aplicação do Produto Vetorial 
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v 
e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um 
ângulo 
diferente 
de 
zero 
e 
também 
diferente 
de 
pi 
radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como 
a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos. 
A(paralelogramo) = | v × w | 
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser 
interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os 
vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é: 
A(triângulo) = ½ | v × w | 
Produto Misto 
Dados os vetores u =(u
1
,u
2
,u
3
), v =(v
1
,v
2
,v
3
) e 
w = (w
1
,w
2
,w
3
), 
definimos o 
produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u .(v × w), como o 
número real obtido a partir do determinante 
[u,v,w] = u ·(v × w) = 
Aplicações do Produto Misto 
Volume 
do 
paralelepípedo: 
O 
módulo 
do 
produto 
misto 
entre 
u, 
v 
e 
w 
representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas 
pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, 
V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|. 
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w 
representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 
arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a 
mesma origem. 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 32
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]| 
Exercícios 
1- Determine o valor de a, sabendo que os vetores u =2i + 3j + 4k e v =i – 3j + 
ak são ortogonais. 
Para que os vetores u =2i + 3j + 4k =(2,3,4) e v = i - 3j + ak =(1,-3,a) sejam 
ortogonais, devemos ter u . v = 0. Assim: 
u . v = 0 

(2,3,4).(1,-3,a) = 0 

2.1+3.(-3)+4.a=0 

2-9+4a=0 

4a=7 

a=7/4 
2- Os vetores u =(2,-1,3) e v =(3,k,-1) são perpendiculares. Calcule o valor de 
k. 
Para 
que 
os 
vetores 
u 
=(2,-1,3) 
e 
v 
=(3,k,-1) 
sejam 
perpendiculares, 
devemos ter u . v = 0. Assim: 
u . v = 0 

(2,-1,3). (3,k,-1)=0 

2.3+(-1).k+3.(-1)=0 

6-k-3=0 

k=3 
3- Determinar o vetor v, colinear ao vetor u =(-4,2,6), tal que v . w = -12, sendo 
w = (-1,4,2). 
Sabemos que o vetor v é colinear ao vetor u =(-4,2,6), e v . w =-12, onde 
w =(-1,4,2). Assim: 
v = k . u (vetores colineares) 

v =k(-4,2,6) 

v =(-4k,2k,6k) 
v . w = -12 
Substituindo v =(-4k,2k,6k) e w =(-1,4,2) em v . w =-12, vem: 
v . w =-12 

(-4k,2k,6k).(-1,4,2)=-12 

(-4k).(-1)+2k.4+6k.2=-12 

4k+8k+12k=-12 

24k=-12 

k=-12/24 

k=-1/2 
4- Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v . v
1 
=10 e v . v
2
=-5, sendo v
1
=(2,3,-1) e v
2
=(1,-1,2). 
Para que um vetor v =(x,y,z) seja ortogonal ao eixo Oz, terá a sua 
terceira componente nula. Assim: 
v =(x,y,0) 
Sabemos que v . v
1
=10 e v . v
2
=-5, sendo v
1
=(2,3,-1) e v
2
=(1,-1,2). 
Então: 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 33
v . v
1
=10 

(x,y,0).(2,3,-1)=10 

2x+3y=10 equação (1) 
v . v
2
=-5 (x,y,0).(1,-1,2)=-5 x-y=-5 x(3) equação (2) 
Multiplicando a equação (2) por 3 e somando membro a membro com a 
equação (1), vem 5x=-5 

x=-1 
Se x=-1, resulta: x-y=-5 

-1-y=-5 

y=4 
5- Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do 
vetor 3BA – 2BC. 
3BA - 2BC = 3(A-B) – 2(C-B) = 3( (1, 2, 3) – (-6, -2, 3) ) – 2( (1, 2, 1) – (-6, -2, 3) 
) 
= 3(7, 4, 0) – 2(7, 4, -2) = (21, 12, 0) – (14, 8, -4) = (7, 4, 4) 
Logo, w = 1/|3AB – 2BC| . (3BA – 2BC) 

w = 1/9 . (7, 4, 4) 

w = (7/9, 4/9, 
4/9) 
6- Dados os pontos A(3, m-1, -4) e B(8, 2m-1, m), determinar m de modo que 
|AB| = √35 
|v| = √38 

|(m+7)i + (m+2)j + 5k| = RAIZ 38 

(√(m+7)² + (m+2)² + 5²)²= (√38)² 

(m+7)² + (m+2)² + 25 = 35 

(m+7)² + (m+2)² = 13 

m² + 14m + 49 + m² + 4m + 4 = 13 

2m² + 18m + 40 = 0 /(2) 

m² + 9m + 20 = 0 

m = -9 ±√81 – 80/ 2 

m = -9±1/ 2 
m¹ = -9+1/ 2 = -4 
Geometria Analítica – Vetores
Página 34
m² = -9-1/ 2 = -5 
Logo, m = -4 ou m = -5 
7- Dados os vetores a = (1, 2, 1) e b = (2, 1, 0), calcular – (a + 2b) x (a – 2b). 
a + 2b = (1, 2, 1) + 2(2, 1,0) = (1, 2, 1) + (4, 2, 0) = (5, 4, 1) 
a – 2b = (1, 2, 1) – 2(2, 1,0) = (1, 2, 1) – (4, 2, 0) = (-3, 0, 1) 
Logo: (a + 2b) x (a – 2b) = |i j k| 
|5 4 1| = 4i – 3j + 0k + 12k – 5j 
|-3 0 1| 
(a + 2b) x (a – 2b) = 4i – 8j + 12k = (4, -8, 12) 
8- 
Sejam 
os 
vetores 
a 
= 
(1, 
–m, 
–3), b 
= 
(m+3, 
4–m, 
1)e 
c 
=(m, 
–2, 7)
(1, -m, -3) . (m+3, 4-m, 1) = (1, -m, -3) + (m+3, 4-m, 1) . (m, -2, 7) 
(m+3, -4m+m, -3) = (m+4, 4-2m, -2) . (m, -2, 7) 
(m+3, -4m+m, -3) = m+4m, -8+4m, -8+4m, -14 
m - 4m + m - m - 4m - 4m = -8 - 14 - 3 + 3 
m - 4m - 4m - 4m + = -8 - 14 
-11m = -22 
m = 2 
RESP: m=2 
Geometria Analítica – Vetores 								Página 35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Ebah 
- 
Geometria 
Analítica 
- 
Lista 
de 
vetores 
resolvida 
-
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAz84AJ/geometria-analitica-lista-
vetores-resolvida - Acessado 17 de abril de 2015. 
Prof. Marcus Vinícius Reis Ferreira - Geometria Analítica e Espacial. Barra 
do Piraí - RJ. Mavisa Gráfica e Editora Ltda. 
Winterle, Paulo, Vetores e geometria analítica, São Paulo: Pearson Makron 
books, 2000 
Steinbruch, Alfredo, geometria analítica, São Paulo: Makron book, 1987 
Fabiano Jose dos santos, Silvimar Fabio ferreira, Geometria analítica, 
Porto Alegre: Bookman, 2009