Vetores-no-R2-e-no-R32

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VETORES NO ² E NO ³ 
 
 
 
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga 
2.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO 
PLANO 
 Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, qualquer 
vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto 
segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste 
em determinar dois vetores cujas direções sejam as 
de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, 
iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que: 
 
 v=a1v1+a2v2 
 
Exemplos: 
 
 Sempre que v estiver representado por: 
 
 
 Dizemos que v é combinação linear de v1 e v2 e que o 
par de vetores v1 e v2 é a base no plano. Os números 
a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas 
de v em relação à base  v1 , v2 . 
v=a1v1+a2v2 
conjunto ordenado 
 Na prática as bases mais utilizadas são as 
ortonormais. Uma base  e1 , e2  é dita ortonormal se 
os vetores forem ortonormais e unitários, isto é, 
 e1  e2 e | e1 |= | e2 |=1. 
 v=3e1+2e2 
 
Projeções ortonormais de v 
{i,j} Base canônica Usaremos somente esta base 
Sempre ortogonal, então chamaremos de 
projeção. 
2.2 EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM 
VETOR 
ABSCISSA ORDENADA 
 Fixada a base canônica, a cada vetor pode-se associar um 
par ordenado(x,y) de números reais que são 
componentes na base dada. 
 Defini-se então: 
 Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números 
reais e se representa por v=(x,y) que é a expressão 
analítica de v. 
 
 
 
v=3i-5j 
v=-i+j 
v=3j 
v=-10i 
 
i=(1,0) 
j=(0,1) 
0=(0,0) 
 
2.3 IGUALDADE E OPERAÇÕES 
 Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2, y2) são iguais, se, e 
somente se, x1=x2 e y1=y2, e escreve-se u=v. 
 Exemplo: Os vetores são iguais. 
2.3.1 IGUALDADE 
2.3.2 OPERAÇÕES 
 Sejam os mesmos vetores u e v e a∈ℝ. Defini-se: 
 a) u+v=(x1+x2,y1+y2) 
 b)au=(a x1,ay1) 
 Exemplo: 
 
(3,5) (3,5)u e v 
 As definições acima e as operações algébricas dos 
números reais permitem demonstrar as propriedades 
estudadas anteriormente em operações com vetores. 
 a) para quaisquer vetores u, v e w, tem-se: 
 u+v=v+u 
 (u+v)+w=u+(v+w) 
 u+0=u 
 u+(-u)=0 
 b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b, 
tem-se: 
 a(bv)=(ab)v 
 (a+b)u=au+bu 
 a(u+v)=au+av 
 1v=v 
 
2.4 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS 
 Inúmeras vezes um vetor é representado por um 
segmento orientado que não parte da origem do 
sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto 
A(x1,y1) e a extremidade em B(x2, y2). 
 0A= (x1,y1) 0B= (x2, y2) 
 0A+AB=0B 
 AB=0B-0A 
 AB= (x2, y2)-(x1,y1) 
 AB= (x2-x1, y2-y1) 
 
 
 AB=B-A=(1,4)-(-2,3)=(3,1) 
 CD=D-C=(4,3)-(1,2)=(3,1) 
 OP=(3,1) 
 
 Isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-
se das coordenadas da extremidade B as coordenadas 
da origem A, razão pela qual também se escreve 
AB=B-A 
 
 
 No espaço, qualquer conjunto  v1 , v2 ,v3} de três vetores 
não coplanares é uma base e, de forma análoga, 
demonstra-se que todo vetor v do espaço é combinação 
linear dos vetores base, isto é, sempre existem números 
reais a1, a2 e a3 tais que: 
 
 
 
 Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores 
forem unitários e dois a dois, ortogonais. 
 Base canônica no espaço:  i , j ,k} 
2.5 DECOMPOSIÇÃO NO ESPAÇO 
v=a1v1+a2v2+a3v3 
ABSCISSA 
ORDENADA 
COTA 
Eixos coordenados 
 
Planos coordenados: xOy ou xy, xOz ou xz e yOz ou yz 
 Estes três planos se intercepta segundo os três eixos 
dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas 
chamada octante. 
 Obtenção do ponto P no espaço (a,b,c): 
 
 Exemplo: P(2,4,3) 
 A(2,0,0) – um ponto P(x,y,z) está no eixo dos x quando 
y=0 e z=0; 
 C(0,4,0) – um ponto está no eixo dos y 
 quando x=0 e z=0; 
 E(0,0,3) – um ponto está no eixo dos 
 z quando x=0 e y=0; 
 B(2,4,0) – um ponto está no plano 
 xy quando z=0; 
 D(0,4,3) – um ponto está no plano 
 yz quando x=0; 
 F(2,0,3) – um ponto está no plano xz quando y=0; 
 
 
 Vetor no espaço se representa por v=(x,y,z) que é a 
expressão analítica de v. 
v=2i-3j+k 
v=i-j 
v=2j-k 
v=4k 
 
 Representação geométrica do conjunto ℝ é uma reta 
real: 
 
 
 Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ 
ou ℝ²={(x,y)/x,y∈ℝ} é o plano cartesiano determinado 
por dois eixos ortogonais x e y: 
 Representação geométrica do produto cartesiano 
 ℝ x ℝ x ℝ ou ℝ3={(x,y,z)/x,y,z ∈ℝ} é o espaço cartesiano 
determinado por três eixos cartesianos, dois a dois 
ortogonais: 
 
 Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no 
espaço: 
 I) Dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são iguais se, e 
somente se, x1=x2 , y1=y2 e z1=z2; 
 II) Dados os vetores acima e a∈ℝ, defini-se: 
 u+v= =(x1+x2,y1+y2, z1 +z2) 
 au=(ax1,ay1,az1) 
 III) Se A =(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) são dois pontos 
quaisquer no espaço, então: 
 AB= (x2-x1,y2-y1, z2 -z1) 
 
2.6 IGUALDADE – OPERAÇÕES – 
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS 
 Vimos que se dois vetores u e v são colineares (ou 
paralelos), existe um número k tal que u=kv, ou seja, 
 (x1,y1,z1) =k(x2,y2,z2) ou 
 (x1,y1,z1) =(kx2, ky2,kz2) 
 mas pela definição de igualdade de vetores: 
 x1=kx2 
 y1= ky2 ou 
 z1=kz2 
 u//v 
 condição de paralelismo 
 coordenadas proporcionais 
2.7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE 
DOIS VETORES 
1 1 1
2 2 2
x y z
k
x y z
  