AULA 05 - ESTATISTICA - ICMS SP

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
AULA 05 
 
 
 
XI PROBABILIDADE ................................................................................................................................... 2 
 
1 Introdução. .................................................................................................................................................. 2 
 
2 Probabilidade condicional .......................................................................................................................... 4 
 
3 Fórmula da probabilidade condicional ..................................................................................................... 14 
 
4 Probabilidade da união de dois eventos.................................................................................................... 21 
 
5 Probabilidade do evento complementar .................................................................................................... 34 
 
6 Teorema de Bayes...................................................................................................................................... 46 
 
XII NOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA ....................................................................................... 53 
 
1 Princípio fundamental da contagem.......................................................................................................... 53 
 
2 Noções de permutação .............................................................................................................................. 67 
 
3 Noções de Combinação ............................................................................................................................. 68 
 
XIII VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................................................. 82 
 
1 Esperança para uma variável aleatória discreta ...................................................................................... 83 
 
2 Propriedades da esperança ....................................................................................................................... 88 
 
3 Variância de uma variável aleatória ......................................................................................................... 90 
 
4 Desvio padrão e coeficiente de variação de uma variável aleatória ........................................................ 93 
 
5 Covariância ............................................................................................................................................... 94 
 
6 Distribuição de probabilidades de uma variável discreta....................................................................... 106 
 
7 Função densidade de probabilidade ....................................................................................................... 117 
 
8 Função distribuição de probabilidade .................................................................................................... 130 
 
ANEXO .............................................................................................................................................................. 142 
 
A) Teorema de Bayes................................................................................................................................ 142 
 
B) Esperança para variáveis contínuas ................................................................................................... 145 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ................................................................................................. 153 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ....................................................................................... 176 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
XI PROBABILIDADE 
 
1 Introdução. 
 
Daqui para frente vamos falar bastante em probabilidade. Probabilidade tem relação com 
a chance de um dado evento ocorrer. 
 
Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de probabilidade. Ao 
contrário, vamos dar uma explicação que, a rigor, está errada. Mas, como já disse desde a 
aula zero, a idéia aqui é conseguir resolver questões de concurso e apenas isso. 
 
Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e 
casos possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis. 
 
Vejamos o exemplo do lançamento de um dado. 
 
Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de 3. Então a pergunta é: 
qual a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 quando se lança um dado de seis 
faces? 
 
A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis. 
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, 
podemos obter os seguintes resultados: 
 
 
 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
 
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, 
estamos interessados nos múltiplos de 3. 
 
 
 
Casos favoráveis: 3, 6. 
 
 
 
Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis. 
 
 
 
Quantos são os múltiplos de 3 presentes nas faces de um dado? 
 
Resposta: são dois os múltiplos de 3 presentes nas faces de um dado (o número 3 e o 
número 6). 
 
 
 
Depois contamos quantos são os casos possíveis. 
 
 
Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado? 
Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
 
 
A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo número de 
casos possíveis. Ficaria assim: 
 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 2 casos _ possíveis 6 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Ou seja, a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 em um lançamento de um 
dado é de dois sextos. 
 
O conjunto com todos os casos possíveis é muitas vezes chamado de espaço amostral. 
No caso do lançamento do dado, o espaço amostral é: 
 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
 
Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os 
eventos servem para designar um resultado em particular. 
 
No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos de 3. Esses 
eram os nossos casos favoráveis. A esse resultado em particular, qual seja, “sair múltiplo 
de 3”, chamamos de evento. 
 
Neste caso, o evento “sair múltiplo de 3” corresponde ao seguinte conjunto: 
 
{3,6} 
 
Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral. 
 
Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que a 
probabilidade de um dado evento é a relação entre número de casso favoráveis e o 
número de casos possíveis, podemos dizer que é a relação entre o número de elementos 
do evento e o número de elementos do espaço amostral. 
 
 
 
P = numero _ de _ casos _ favoraveis = numero _ de _ elementos _ do _ evento numero _ de _ casos _ possiveis numero _ de _ elementos _ do _ espaço _ amostral 
 
 
 
A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos favoráveis e casos 
possíveis (ou ainda, como a relação entre o número de elementos do evento e o número 
de elementos do espaço amostral) quando todos os casos têm a mesma chance de 
ocorrer. A resolução acima só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado 
simétrico e de material homogêneo. 
 
Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em um lançamento 
qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é igual à probabilidade de sair a 
face de número 4, de número 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as 
faces são equiprováveis (ou seja, têm a mesma chance de ocorrer). 
 
Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para designar um resultado 
em particular. Assim, no lançamento de um dado, o evento “sair o número 1” tem a 
mesma probabilidade do evento “sair o número 2”, que por sua vez tem a mesma 
probabilidade do evento “sair o número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são 
equiprováveis. 
 
Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o 
dado não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for diferente da probabilidade de 
sair “2”? 
 
Resposta: bom, deixemos isto pra depois (daqui a pouco na verdade). Para concursos 
públicos, esta noção de casos favoráveis e possíveis já ajuda bastante. 
 
Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que 
provavelmente vocês estão pensando. 
 
 
Pergunta: Mas Vítor, você disse que essa explicação sobre probabilidade não é adequada. 
Por quê? 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 4 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade 
podem ser resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos 
calcular qual a probabilidade de, no dia 19/03/2011, a ação da empresa alfa subir. Não 
dá para transformar esse problema numa situação de número casos possíveis e 
favoráveis. 
 
Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e 
quantos são os casos favoráveis são os mais fáceis pra gente começar a se acostumar 
com probabilidade. Por isso, de início, vamos focar apenas neles. Ou então, “dar um 
jeitinho” para que a questão possa ser interpretada como uma relação entre casos 
favoráveis e possíveis. 
 
Um outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é 
igual à divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis quando 
todos os casos têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
 
Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de 
probabilidade. Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que 
pretendemos definir, não estamos definindo nada. 
 
Novamente, deixemos esses problemas pra lá. 
 
Antes de passarmos para o próximo tópico, só um alerta. Quando usamos as expressões 
“casos favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos 
apenas nos referindo aos casos em que estamos ou não interessados. Não estamos 
fazendo nenhum juízo de valor. Não nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou 
ruim, certo ou errado, etc. 
 
Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um 
produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma 
cobaia que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os 
casos favoráveis (=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, 
independentemente de se considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok? 
Continuemos com a matéria. 
 
 
 
2 Probabilidade condicional 
 
Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material 
homogêneo. Só que agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores: 
 
Cor azul: faces 1 e 2. 
 
Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6. 
 
Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a 
probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. 
 
 
 
Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3? 
 
2 
Resposta: . 
6 
 
 
É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma 
chance de sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
A probabilidade fica: 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 5 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 2 casos _ possíveis 6 
 
 
 
Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não 
viu o resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de cor verde”. 
 
Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação 
nova! Esta informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com 
certeza, que não saiu uma face azul. 
 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que 
saiu é verde. Esta questão pode ser enunciada como: 
 
 
Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado que saiu uma 
face verde? 
 
 
Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação 
conhecida e que deve ser usada. 
 
Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos: 
 
 
 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 
 
Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem 
saído os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde. 
 
Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E 
estas duas faces podem ter saído, dado que ambas são da cor verde. 
 
 
 
Casos favoráveis: 3,6. 
Fazendo o cálculo, temos: 
Número de casos possíveis: 4 
 
Número de casos favoráveis: 2 
 
 
 
E a probabilidade fica: 
 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 2 casos _ possíveis 4 
 
 
 
A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o 
cálculo da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma 
condição a ser obedecida. Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um 
múltiplo de 3. Foi dada uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição 
alterou o cálculo da probabilidade. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 6 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Agora vejamos alguns exercícios para aplicarmos o que acabamos de aprender. 
 
 
EC 1 
 
Técnico Administrativo – MPU – 2004/2 [ESAF] 
 
Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria 
ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda 
todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, 
arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma 
pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseirade prata. 
Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria 
retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: 
a) 1/3 
b) 1/5 
c) 9/20 
d) 4/5 
e) 3/5 
 
 
 
 
Vamos dar nomes às pulseiras. 
 
JP1, JP2, JP3, JP4 são as pulseiras dadas por João que são de prata. 
 
JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 são as pulseiras dadas por João que são de ouro. 
 
PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, PP6, PP7, PP8 são as pulseiras dadas por Pedro que são de 
prata. 
 
PO1, PO2, PO3 são as pulseiras dadas por Pedro que são de ouro. 
 
 
Se não soubéssemos da informação de que a pulseira retirada é prata, teríamos os 
seguintes casos possíveis: 
 
 
Casos possíveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5, PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, 
PP6, PP7, PP8, PO1, PO2, PO3. 
 
 
Os casos favoráveis são aqueles em que estamos interessados. Estamos interessados nas 
pulseiras que tenham sido presentes de João. 
 
 
 
Casos favoráveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 
 
 
Entretanto, uma informação nova foi dada (uma condição!). Sabemos que a pulseira 
retirada é de prata. Logo, haverá mudanças nos casos possíveis e favoráveis. Temos 
certeza de que não foi retirada uma pulseira de ouro. Assim, temos que excluí-las da 
nossa lista: 
 
 
Casos possíveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5, PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, 
PP6, PP7, PP8, PO1, PO2, PO3. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Casos favoráveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 
 
 
 
Agora podemos prosseguir com nosso cálculo. 
 
 
 
Número de casos favoráveis: 4 
 
Número de casos possíveis: 12 
 
 
 
E a probabilidade fica: 
 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 4 casos _ possíveis 12 
 
Simplificando: 
 
 
 
P = 1 
3 
 
 
 
Resposta: A 
 
 
EC 2 
 
Analista de Planejamento e Orçamento – MPOG – 2005 [ESAF] 
 
Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em 
uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” 
em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do 
saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada 
para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas 
informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 2/3 
e) 3/4 
 
 
 
Vamos dar nomes às faces das moedas. 
 
 
Moeda A (é a moeda com uma face cara e outra coroa): 
Face cara → A_cara (moeda A, face cara). 
 
Face coroa → A_coroa (moeda A, face coroa). 
 
 
 
Moeda B (é a moeda com duas faces cara): 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Face cara → B_cara_1 (moeda B, primeira face cara). 
 
Outra face cara → B_cara_2 (moeda B, segunda face cara). 
 
 
 
Moeda C (é a moeda com duas faces coroa): 
 
Face coroa → C_coroa_1 (moeda C, primeira face coroa). 
 
Outra face coroa → C_coroa_2 (moeda C, segunda face coroa). 
 
 
Como de costume, vamos “fazer de conta” que não sabemos nada sobre a face que ficou 
para cima. Eu sei que talvez isso pareça meio perda de tempo. Mas faço questão de 
manter o procedimento para deixar bem claro como a informação nova altera todo o 
cálculo. 
 
São seis casos possíveis (identificados com os números de 1 a 6 na tabela abaixo): 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
 
Face de cima A_cara A_coroa B_cara_1 B_cara_2 C_coroa_1 C_coroa_2 
 
Face de baixo A_coroa A_cara B_cara_2 B_cara_1 C_coroa_2 C_coroa_1 
 
 
Estamos interessados nos casos em que a face que ficou para baixo seja coroa. Assim, 
nossos casos favoráveis seriam: 
 
 
 
 1 5 6 
 
Face de cima A_cara C_coroa_1 C_coroa_2 
 
Face de baixo A_coroa C_coroa_2 C_coroa_1 
 
 
Entretanto, foi dada a informação de que a face que ficou para cima é cara. Com essa 
informação nova (condição!), temos que alterar a nossa lista de casos possíveis e 
favoráveis. 
 
 
 
Casos possíveis: 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 
 
Face de cima A_cara A_coroa B_cara_1 B_cara_2 C_coroa_1 C_coroa_2 
 
Face de baixo A_coroa A_cara B_cara_2 B_cara_1 C_coroa_2 C_coroa_1 
 
 
 
Casos favoráveis: 
 
 
 
 1 5 6 
 
Face de cima A_cara C_coroa_1 C_coroa_2 
 
Face de baixo A_coroa C_coroa_2 C_coroa_1 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Portanto, temos três casos possíveis. E temos um único caso favorável. A probabilidade 
fica: 
 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 1 casos _ possíveis 3 
 
Reposta: B. 
 
 
EC 3 
 
Analista Administrativo – MPU – 2004 [ESAF] 
 
Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de 
forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é 
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a 
sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de 
costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está 
salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
 
 
No início desta aula, comentei que nem sempre todos os casos tinham a mesma chance 
de ocorrer. Vamos utilizar este exercício para visualizar esta questão. São três 
cozinheiros que fazem a sopa. Se a chance de cada um deles fazer a sopa fosse igual, 
teríamos: 
 
 
Casos possíveis: José faz a sopa, João faz a sopa, Maria faz a sopa. 
Casos favoráveis: José faz a sopa. 
 
 
 
1 
A probabilidade de José fazer a sopa seria de . 
3 
 
Mas a chance de cada um deles ter feito a sopa, num dado dia, não é igual. Maria faz 
sopa menos vezes que João e José. 
 
Neste tipo de questão, em que os casos não têm a mesma chance de acontecer, não 
temos que nos preocupar muito. Isto porque o enunciado tem que dizer quais são as 
chances de cada evento. Ora, se eles não são equiprováveis (ou seja, não têm a mesma 
chance de acontecer), o enunciado tem que falar qual a probabilidade de cada um (ou 
então dar todas as informações para que possamos calcular tais probabilidades). Se o 
enunciado não desse nenhuma informação, nós teríamos que simplesmente adivinhar a 
probabilidade de cada evento, algo absurdo. 
 
 
Voltando à questão, podemos pensar que, a cada 100 dias em que o Carlos freqüente o 
restaurante, temos que: em 40 dias a sopa é feita por João, em 40 dias a sopa é feita 
por José, em 20 dias a sopa é feita por Maria. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 10 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Para tornar o exemplo mais claro, vamos supor que o Carlos tenha freqüentado o tal 
restaurante do dia 01/01/07 até o dia 10/04/07, totalizando os 100 dias. Daí, pegamos o 
calendário e escolhemos um desses 100 dias aleatoriamente. A pergunta é: qual a 
chance de, no dia escolhido, a sopa ter sido feita por José, sabendo que estava salgada? 
 
 
 
Nestes 100 dias, vamos ver como cada cozinheiro se comporta. 
 
 
João fez a sopa 40 vezes. Em 10% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
José fez a sopa 40 vezes. Em 5% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
Maria fez a sopa 20 vezes. Em 20% dessas 20 vezes, ela salgou demais a sopa.Resumindo: 
Em 36 dias o João fez uma sopa normal. 
Em 4 dias o João fez uma sopa salgada. 
Em 38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
 
Com este artifício, contornamos o problema citado no começo da resolução. Quando 
listamos o que acontece em cada um dos cem dias, conseguimos levar em conta o fato 
de Maria fazer sopa menos vezes que João e José. 
 
Dentre os cem dias, selecionamos um ao acaso. Agora sim. Estamos focando nos dias, 
não nos cozinheiros. Todos os cem dias são equiprováveis. Todos têm a mesma chance 
de serem escolhidos. 
 
Continuemos com a resolução do problema. 
 
Se não soubéssemos que a sopa está salgada, teríamos: 
 
Casos possíveis: 100 dias, assim discriminados: 
 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
 
Estamos interessados nos dias em que José faz a sopa. Estes dias são nossos casos 
favoráveis. 
 
 
 
Casos favoráveis: 40, assim discriminados: 
 
38 dias em que o José fez uma sopa normal 
 
2 dias em que o José fez uma sopa salgada. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Contudo, temos a informação de que a sopa está salgada (condição!). Temos que rever 
nossa lista de casos possíveis e favoráveis. 
 
 
 
Casos possíveis: 10, assim discriminados: 
 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
 
 
Casos favoráveis: 2, assim discriminados: 
 
38 dias em que o José fez uma sopa normal 
 
2 dias em que o José fez uma sopa salgada 
 
 
 
A probabilidade fica: 
 
 
 
 
 
 
 
P = casos _ favoráveis � P = 2 
 
 
 
 
 
= ,0 2 
casos _ possíveis 10 
 
Resposta: D 
 
 
EC 4 
 
Analista Judiciário. Especialidade: estatística. TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
 
Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160 
assinam o jornal A; 35 assinam os dois jornais A e B; 201 não assinam B; e 155 assinam 
apenas 1 jornal. O valor de ‘n’ e a probabilidade de uma família selecionada ao acaso, 
dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados respectivamente, por: 
 
a) 180 e 160/266 
b) 250 e 35/75 
c) 266 e 7/12 
d) 266 e 35/76 
 
e) 266 e 35/266 
 
 
 
Vamos representar graficamente o que ocorre na cidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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famílias que 
assinam A 
 
 
 
famílias que assinam 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentro do círculo azul vamos representar as famílias que assinam o jornal ‘A’. Dentro do 
círculo vermelho, as famílias que assinam o jornal ‘B’. Fora dos dois círculos, as famílias 
que não assinam nenhum dos dois jornais. 
 
35 famílias assinam os dois jornais. Portanto, trinta e cinco famílias estão dentro dos dois 
círculos, ao mesmo tempo. 
 
 
 
famílias que 
assinam A 
 
 
 
 
 
35 
 
 
famílias que assinam 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
160 assinam o jornal A. Já colocamos dentro do círculo azul 35 famílias. Para inteirar 
160, faltam 125. 
 
famílias que 
assinam A 
 
 
 
 
 
125 35 
 
famílias que assinam 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
155 assinam apenas um jornal. Já sabemos que, destas, 125 assinam só o jornal ‘A’ 
(pois estão dentro do círculo azul e não estão dentro do círculo vermelho). 
Logo, 30 assinam somente o jornal ‘B’. 
 
 
 
 
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famílias que 
assinam A 
 
 
 
 
 
125 35 30 
 
 
famílias que assinam 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
201 famílias não assinam ‘B’. Já sabemos que, destas, 125 assinam ‘A’. Para chegar em 
201 faltam 76 famílias, que não assinam nenhum jornal. 
 
famílias que assinam 
famílias que B assinam A 
 
 
 
 
 
125 35 30 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
Pronto. Completamos nosso quadro. 
 
125 + 35 + 30 + 76 = 266 
 
Na cidade há 266 famílias, assim distribuídas: 
 
125 assinam apenas ‘A’ 
 
35 assinam ‘A’ e ‘B’ 
 
30 assinam apenas ‘B’ 
 
76 não assinam ‘A’ nem ‘B’ 
 
 
 
Estamos interessados nas famílias que assinam ‘A’. Os casos favoráveis são: 
 
125 assinam apenas ‘A’ 
 
35 assinam ‘A’ e ‘B’ 
 
 
Acontece que não se quer apenas calcular a probabilidade da família escolhida ao acaso 
assinar o jornal ‘A’. O que a questão pediu foi a probabilidade da família assinar ‘A’ dado 
que assina ‘B’. Há uma condição a ser obedecida. A condição é a família assinar ‘B’. 
Vamos rever nossos casos possíveis e favoráveis. 
 
 
 
Ficamos com 65 casos possíveis: 
 
125 assinam apenas ‘A’ 
 
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35 assinam ‘A’ e ‘B’ 
 
30 assinam apenas ‘B’ 
 
76 não assinam ‘A’ nem ‘B’ 
 
 
 
E ficamos com 35 casos favoráveis: 
 
125 assinam apenas ‘A’ 
 
35 assinam ‘A’ e ‘B’ 
 
 
 
A probabilidade pedida fica: 
 
P = 35 = 7 65 13 
 
Resposta: C. 
 
 
 
3 Fórmula da probabilidade condicional 
 
Uma outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma 
fórmula. 
 
Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a 
probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento? 
 
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos 
possíveis. 
 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, 
alguém nos informa: saiu um número maior que 4. 
 
Pronto. Agora temos uma informação nova. 
 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um 
número maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar. 
 
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os 
casos possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é 
igual a 1/2. 
 
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim: 
 
P( A | B) = P( A ∩ B) 
P(B) 
 
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Temos dois eventos. 
 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento 
‘A’ é um subconjunto do espaço amostral. 
A = {3, 6} 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento ‘B’. 
B = {5, 6}. 
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por: 
A ∩ B = {6} 
 
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O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça pra baixo indica a intersecção. Neste exemplo, 
está associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 
4 e múltiplo de 3. 
 
As probabilidades relacionadas são: 
 
· P( 
)A 
 
é a probabilidade de o evento A ocorrer. 
 
· P(B) é a probabilidade de o evento B ocorrer. 
 
· P( A ∩ B) é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que 
parece um “U” de cabeça para baixoindica intersecção. Ou seja, estamos 
interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem simultaneamente. 
· P( A | B) é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a 
probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B. 
 
No caso do lançamento do dado, ficamos com: 
 
 
P( 
)A 
 
 
= 2 (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6 
 
P(B) = 2 (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6 
 
P( A ∩ B) = 1 (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e 
6 
múltiplo de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Aplicando a fórmula: 
 
P( A | B) = P( A ∩ B) 
P(B) 
 
P( A | B) = 1 ÷ 2 = 1 
66 2 
 
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 
é de 50%. 
 
 
 
Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando P( A | B) = P( )A 
o fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na probabilidade de ‘A’. 
 
 
 
Fórmula da probabilidade condicional: 
 
P( A | B) = P( A ∩ B) 
P(B) 
 
 
 
. Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se A e B são independentes, então: 
 
P( A | B) = P( 
)A 
 
 e P(B |
 )
A 
 
= P(B) 
 
 
 
É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos 
chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos: 
 
 
 
 
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P( A | B) = P( A ∩ B) � P( A ∩ B) = P( A | B) × P(B) 
P(B) 
 
Na situação de independência entre os eventos, chegamos ao seguinte: 
 
P( A ∩ B) = P( A | B) × P(B)� 
 
P( A | B) = P( )A � � P( A ∩ B) = P( )A � 
× P(B) 
 
 
 
 
Quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao 
produto das probabilidades. 
 
 
 
Probabilidade da intersecção de dois eventos: 
 
P( A ∩ B) = P( A | B) × P(B) 
 
Quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual 
ao produto das probabilidades. A fórmula se reduz a: 
 
P( A ∩ B) = P( )A 
 
× P(B) 
 
 
 
EC 5 
 
Analista CGU/2008 [ESAF] 
 
A e B são eventos independentes se: 
 
a) P( A ∩ B) = P( )A 
 
b) P( A ∩ B) = P( )A 
 
c) P( A ∩ B) = P( )A 
 
d) P( A ∩ B) = P( )A 
 
e) P( A ∩ B) = P( )A 
 
+ P(B) 
 
÷ P(B) 
 
− P(B) 
 
+ P(B )A 
 
× P(B) 
 
Aplicação direta da fórmula vista. 
Resposta: E. 
 
EC 6 
Analista Previdenciário Pleno – Área Estatística – Paraná Previdência 2002 [CESPE] 
Texto IV 
 
Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se 
as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o 
seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa. 
 
 
Desempenho 
 
 
 
 
Tipo de deficiência 
Surdez Cegueira Outras Sem 
deficiência 
 
 
Total 
 
 
Bom 35 40 2 123 200 
Regular 5 20 18 157 200 
Total 40 60 20 280 400 
 
Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 
 
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1. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como 
tendo bom desempenho será igual a 0,50. 
 
2. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como 
tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. 
 
3. Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem 
desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a 
probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A 
∩ B), será igual a P(A) × P(B) = 0,05. 
 
4. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem 
desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade 
 
condicional será 
 
P(B | C ) = P(B ∩ C ) = 0 1, . 
P(B) 
 
5. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o 
empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois 
P(B ∩ D) = 0 . 
 
 
 
Questão do Cespe. 
 
Vamos ao primeiro item. Queremos a probabilidade de um empregado, escolhido ao 
acaso, ter bom desempenho. 
 
São 400 funcionários. Logo, são 400 casos possíveis. Todos eles são equiprováveis 
(todos os funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos). 
 
Estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho. Portanto, 
são 200 casos favoráveis. 
 
A probabilidade fica: 
 
P = casos _ favoraveis = 200 = 0 5, casos _ possiveis 400 
 
O item está correto. 
 
 
 
Segundo item. 
 
A escolha vai se dar apenas entre os empregados com bom desempenho. São 200 casos 
possíveis (há 200 empregados com bom desempenho). 
 
Estamos interessados apenas nos empregados que têm bom desempenho e são cegos. 
Nesta condição temos 40 funcionários. São 40 casos favoráveis. 
 
A probabilidade fica: 
 
P = casos _ favoraveis = 40 = ,0 2 casos _ possiveis 200 
 
O item está certo. 
 
 
 
Terceiro item. 
 
Queremos a probabilidade da intersecção de dois eventos. Queremos que o empregado 
seja, ao mesmo tempo, surdo e tenha desempenho regular. Estão nesta condição 5 
empregados. São 5 casos favoráveis. Os casos possíveis são 400. 
 
A probabilidade fica: 
 
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P = casos _ favoraveis = 5 = 0 0125, . casos _ possiveis 400 
 
O item está errado. 
 
 
 
Quarto item. 
 
Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. 
Trata-se de cálculo de probabilidade condicional. Note que a fórmula dada pelo exercício 
está errada. Já dava pra marcar errado de cara, sem fazer conta. 
 
 
Podemos fazer o problema aplicando a fórmula ou não. Primeiro, sem utilizar a fórmula. 
Queremos calcular a probabilidade de o funcionário ter desempenho regular. 
 
Se não tivéssemos nenhuma informação, os casos possíveis seriam 400, assim 
discriminados: 
 
 
 
35 funcionários têm desempenho bom e são surdos 
 
40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 
 
2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 
 
123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 
 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
 
 
Estamos interessados nos empregados que têm desempenho regular. São 200 casos 
favoráveis, assim discrimiandos: 
 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
 
 
Só que temos uma condição. É dado que o empregado escolhido é cego. Nossos casos 
possíveis passam a ser apenas 60, assim discriminados: 
 
35 funcionários têm desempenho bom e são surdos 
 
40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 
 
2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 
 
123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 
 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
 
157 funcionários têm desempenho regular e nãotêm deficiência 
 
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E os casos favoráveis ficam assim: 
 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
 
 
 
A probabilidade fica: 
 
P = 20 = ,0 ..333 
60 
 
O item está errado. 
 
Para resolver esse item, também poderíamos utilizar a fórmula. 
Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. 
Cegos com desempenho regular são apenas 20. 
 
Portanto: 
 
P(B ∩ C ) = 20 = 0 05, 
400 
 
A probabilidade de um cego ser escolhido é: 
 
P(C ) = 60 = 0 15, 
400 
 
Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, 
dado que foi escolhido um cego, é de: 
 
P(B | C ) = P(B ∩ C ) = 0 05, = ,0 ...333 
P(C ) 0 15, 
 
Item errado. 
 
 
 
Quinto item. 
 
Não há nenhum funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um 
desempenho regular. Portanto: 
 
P(B ∩ D) = 0 
 
A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular 
é: 
 
P(B) = 200 = 0 5, 
400 
 
A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é: 
 
P(D) = 200 = 0 5, 
400 
 
Concluímos que: 
 
P(B ∩ D) ≠ P(B)P(D) 
 
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Portanto, os dois eventos não são independentes. Item errado. 
 
 
EC 7 
 
Técnico administrativo – MPU/2004 [ESAF] 
 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que 
dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, 
que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de 
ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema 
de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo 
telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz 
também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3. 
d) 5/7 
e) 4/7 
 
 
 
Primeiro vamos resolver sem a fórmula. 
Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula. 
Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta. 
Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta. 
 
 
Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo 
estudando para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é 
hoje. 
 
Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. 
Idem para qualquer outro dia da semana. 
 
E mais. 
 
A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e 
quarta). 
 
A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e 
quinta). 
 
A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta) 
 
 
 
Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. 
Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta. 
Ou seja, agora temos três casos possíveis: 
 
Segunda, terça, quarta. 
 
E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem 
um caso favorável: quarta feira. 
 
Caso favorável: 
 
Quarta. 
 
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Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é: 
 
P = 1 
3 
 
Resposta: C 
 
 
 
Agora vamos usar a fórmula. 
 
Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é 
um dia em que Ana está em Paris. 
Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris. 
O exercício disse que: 
 
P( 
)A 
 
= 3 / 7 
 
P(B) = 2 / 7 
 
P( A ∩ B) = 1 / 7 
 
E foi pedido: 
 
P(B )A = ? 
 
Usando a fórmula: 
 
 
P(B
 )
A 
 
= P(B ∩ )A = 1/ 7 = 1 
P( 
)A 
3 / 7 3 
 
 
 
4 Probabilidade da união de dois eventos 
 
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois 
eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do 
começo da aula? Queríamos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, 
seja ‘A’ o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face 
múltipla de 3. 
Sabemos que; 
A= {3, 6}. 
 
O espaço amostral é dado por: 
 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do 
evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6). 
 
 
 
Haveria uma outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A 
ainda pode ser decomposto em mais conjuntos. 
 
Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C o 
evento que ocorre quando se obtém a face ‘6’. 
B = {3} 
C = {6} 
 
 
 
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Podemos dizer que: 
 
A = B � C 
 
O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um 
múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e 
“sair 6”. 
 
Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento A, poderíamos ter 
calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união 
de dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’. 
 
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. 
Nem sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem 
sem ela. Mas é bom saber que existe. 
 
 
Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser decomposto 
em outros dois eventos (B e C). Já os eventos B e C não podem mais ser decompostos. 
Cada um deles é formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos 
elementares. 
 
 
EP 1 
 
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados 
cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois 
cursos. 
 
Atualmente temos a seguinte situação: 
 
· 30 alunos fazem inglês. 
 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
 
· 35 alunos fazem espanhol. 
 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês 
ou espanhol? 
 
 
Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o 
evento ‘I’. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’. 
 
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos 
interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem 
inglês e espanhol. 
 
Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”. 
 
P(E � I ) = ? 
 
Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados 
nos casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos 
interessados nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. 
 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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alunosque 
fazem ingles 
 
 
 
 
 
10 20 15 
 
 
 
alunos que fazem 
espanhol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do 
circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles 
estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. 
 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e 
espanhol. 
 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. 
 
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, 
são os alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis. 
 
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso 
de idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos. 
 
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é: 
 
P(E � I ) = 45 
70 
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos. 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é: 
 
P(I ) = 30 
70 
 
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é: 
 
P(E) = 35 
75 
 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é: 
 
P(E ∩ I ) = 20 
75 
 
Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos 
saber quantos são os casos favoráveis. 
 
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber 
quantos alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores. 
 
 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65 
 
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos 
que fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas 
 
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vezes. São 20 alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, 
temos que tirar 20. 
 
 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20 
 
 
Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos 
possíveis, achamos a probabilidade procurada. 
 
P(E � I ) = 30 + 35 − 20 75 
 
P(E � I ) = 30 + 35 − 20 
75 75 75 
 
P(E � I ) = P(E) + P(I ) − P(E ∩ I ) 
 
 
 
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos 
dois eventos é: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( A ∩ B) 
 
 
 
Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre 
ambos é nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes. 
 
Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos: 
 
P( A ∩ B) = 0 
 
Neste caso, a probabilidade da união fica: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) 
 
Probabilidade da união de dois eventos A e B: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( A ∩ B) 
 
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) 
 
 
EP 2 
Calcule a probabilidade de, ao lançarmos um dado honesto, sair um número par. 
Queremos calcular a probabilidade da união dos eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6”. 
Todos esses eventos são mutuamente exclusivos. Por quê? 
 
Porque não tem como o lançamento de um dado resultar, simultaneamente, em 2 e 4, ou 
em 2 e 6, ou em 4 e 6. 
 
Nestes casos, a probabilidade da soma é igual à soma das probabilidades dos eventos. 
 
P(sair _ par ) = P( )2 
 
+ P( )4 
 
+ P( )6 
 
= 1/ 3 + 1 / 3 + 1/ 3 = 3 / 6 = %50 
 
 
 
Outra forma de resolver é escrevendo os casos possíveis e os casos favoráveis. 
 
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São 6 casos possíveis: 
 
1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
São 3 casos favoráveis: 
 
2, 4, 6 
 
P = 3 / 6 = 50% 
 
 
EP 3 
 
No lançamento de dois dados honestos: 
 
a) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado e de sair o número 5 no 
segundo? 
 
b) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado ou sair o número 5 no 
segundo dado? 
 
 
Agora temos lançamentos de dois dados. O espaço amostral, que é o conjunto de todos 
os resultados possíveis, fica: 
 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), 
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), 
(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
Seja ‘A’ o evento “sair número par no primeiro dado”. Seja 
‘B’ o evento “sair o número 5 no segundo dado”. Vamos 
escrever os dois eventos: 
 
A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
 
 
B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} 
 
 
 
‘A’ tem 18 elementos. ‘B’ tem 6 elementos. O espaço amostral tem 36 elementos. 
 
P( 
)A 
 
= 18 / 36 
 
P(B) = 6 / 36 
 
 
 
Letra a). 
 
Queremos que os dois eventos ocorram simultaneamente. Estamos interessados na 
intersecção dos eventos ‘A’ e ‘B’. 
 
A intersecção de ‘A’ e ‘B’ tem 3 elementos: 
 
 
 
A ∩ B = {( ,2 
),5 
 
 
 
( ,4 
),5 
 
 
 
( ,6 )}5 
 
 
 
A probabilidade da interseção fica: 
 
 
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P( A ∩ B) = 3 / 36 
 
 
 
Interessante observar que o resultado do lançamento de um dado em nada influi no 
resultado do outro dado. Os resultados dos dois lançamentos são independentes. Os 
eventos ‘A’ e ‘B’ são independentes. 
 
Note que: 
 
P( A ∩ B) = P( )A 
 
× P(B) 
 
 
 
Letra b) 
 
A união entre os dois eventos é dada por: 
 
A � B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,5), (3,5), (5,5)} 
A união tem 21 elementos. 
 
P( A � B) = 21 / 36 = 7 / 12 
 
 
 
Outra forma de resolução seria usar a fórmula da união. 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( A ∩ B) 
 
P( A � B) = 18 + 6 − 3 = 21 = 7 36 36 36 36 12 
 
 
EC 8 
 
Fiscal do Trabalho/98 [ESAF] 
 
De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em francês, 110 em inglês e 40 
não estão matriculados nem em inglês nem em francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 
200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em 
pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em inglês ou em francês) é igual a: 
a) 30/200 
b) 130/200 
c) 150/200 
d) 160/200 
e) 190/200 
 
 
São 200 estudantes. Há 200 estudantes que podem ser escolhidos. São 200 casos 
favoráveis. 
 
40 não fazem nem inglês nem francês. 
 
Sobram 160, que fazem pelo menos uma das duas disciplinas. Estamos interessados 
nesses estudantes. São 160 casos favoráveis. 
 
Portanto, a probabilidade de o estudante selecionado cursar pelo menos uma das 
disciplinas é: 
 
P = 160 200 
 
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Resposta: D. 
 
 
Vamos aproveitar o exercício para verificar a fórmula vista para a probabilidade da união 
de dois conjuntos. 
 
São 160 estudantes que fazem inglês ou francês. 
110 fazem inglês e 80 fazem francês. 
Somando esses dois valores, temos: 
 
110+80=190 
 
Ocorre que não temos 190 que fazem inglês ou francês. Sãosó 160. Porque a soma 
acima deu maior que 160? Porque estamos contando em duplicidade os estudantes que 
fazem, ao mesmo tempo, francês e inglês. 
 
190 − 30 = 160 
Precisamos retirar 30 estudantes para chegar nos 160. 
Portanto, 30 estudantes fazem francês e inglês. 
Resumindo, temos: 
 
· 80 estudantes fazem só inglês 
 
· 50 estudantes fazem só francês 
 
· 30 fazem francês e inglês 
 
· 40 não fazem nem francês nem inglês 
 
 
Sorteando-se um estudante ao acaso, ocorrerá o evento ‘I’ se este estudante cursar 
inglês. Ocorrerá o evento ‘F’ se este estudante cursar francês. 
 
Como são 200 estudantes ao todo, as probabilidades ficam: 
 
P(I ) = 110 
200 
 
P(F ) = 80 
200 
 
P(I ∩ F ) = 30 
200 
 
P(I � F ) = 160 
200 
 
Note que: 
 
P(I � F ) = P(I ) + P(F ) − P(I ∩ F ) 
 
Precisou da fórmula para resolver o exercício? Não, não precisou. Dava para resolver sem 
utilizá-la. 
 
 
EC 9 
 
Especialista em regulação de saúde suplementar. Especialidade: Estatística. Ministério da 
Saúde/2007 [FCC] 
 
A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de 500 pacientes que 
sofrem desta doença, internados num determinado hospital especializado na doença. 
 
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Idade Câncer 
estomacal 
 
 
Câncer 
pulmonar 
 
 
Outros Total 
 
[0;10) 0 6 60 66 
[10;30) 30 9 25 64 
[30;50) 100 75 55 230 
[50;70) 70 60 10 140 
Total 200 150 150 500 
 
 
Ao selecionar aleatoriamente um paciente, dentre esses 500, a probabilidade dele ter 
câncer pulmonar ou estomacal, dado que tem idade inferior a 30 anos, é: 
 
a) 16/125 
b) 9/26 
c) 39/64 
d) 13/50 
e) 32/65 
 
 
 
Temos 500 possíveis pacientes. São 500 casos possíveis, assim discriminados: 
Idade Câncer 
estomacal 
Câncer 
pulmonar 
Outros 
 
[0;10) 0 6 60 
[10;30) 30 9 25 
[30;50) 100 75 55 
[50;70) 70 60 10 
 
Estamos interessados nos pacientes que têm câncer de pulmão ou estomacal. São 350 
casos favoráveis, assim discriminados: 
Idade Câncer 
estomacal 
Câncer 
pulmonar 
[0;10) 0 6 
[10;30) 30 9 
[30;50) 100 75 
[50;70) 70 60 
 
 
Foi dada uma condição. O paciente tem menos de 30 anos. Temos que rever nossos 
casos possíveis e favoráveis. 
 
Ficamos com 130 casos possíveis: 
Idade Câncer 
estomacal 
Câncer 
pulmonar 
Outros 
 
[0;10) 0 6 60 
[10;30) 30 9 25 
[30;50) 100 75 55 
[50;70) 70 60 10 
 
 
 
Ficamos com 45 casos favoráveis: 
Idade Câncer 
estomacal 
 
 
 
 
Câncer 
pulmonar 
[0;10) 0 6 
[10;30) 30 9 
[30;50) 100 75 
 
 
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Idade Câncer 
estomacal 
 
 
Câncer 
pulmonar 
[50;70) 70 60 
 
A probabilidade do paciente ter câncer estomacal ou de pulmão, dado que tem menos de 
trinta anos, é: 
 
P = 45 = 9 130 26 
 
Resposta: B. 
 
Novamente tivemos um exercício de união de dois eventos em que não foi preciso usar a 
fórmula. 
 
 
EC 10 
 
Técnico de informática – MPU/2004 [ESAF] 
 
Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o 
nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 
0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a 
probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o 
nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
 
 
 
Primeiro vamos usar a fórmula. 
 
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). 
Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o 
pneu. 
 
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses 
dias, ocorre o evento ‘A’ quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento ‘B’ 
quando, no dia sorteado, ela verifica o pneu. 
 
Temos: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( A ∩ B) 
 
O enunciado disse que: 
 
P( 
)A 
 
= ,0 28 
 
P(B) = 0 11, 
 
P( A ∩ B) = 0 04, 
 
 
 
Portanto: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
 
 
 
 
+ P(B) − P( A ∩ B) 
 
P( A � B) = ,0 28 + 0 
11, 
 
− 0 
04, 
 
= 0 35, 
 
 
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A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%. 
Concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois é: 
 
P = 1 − 0 
35, 
 
= %65 
 
Resposta: E. 
 
 
Outra resolução, agora sem fórmula. 
Lígia foi ao posto durante 100 dias. 
Em 28 ela chegou o óleo. Em 11 ela checou os pneus. Em 4 ela checou os dois juntos. 
Vamos representar graficamente o que ocorreu. 
 
Em 4 dias, Lígia verifica o pneu e o óleo. 
 
 
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
Em 28 dias ela verifica o óleo. Já assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24. 
 
 
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu 
 
 
 
 
 
 
24 4 
 
 
 
 
 
 
Em 11 dias ela verifica os pneus. Já assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu 
 
 
 
 
 
 
24 4 7 
 
 
 
 
 
 
 
Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica nem 
pneus nem óleo. 
 
 
 
 
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu 
 
 
 
 
 
 
24 4 7 
 
 
65 
 
 
 
 
 
Em 65 dos 100 dias ela não verifica nem pneus nem óleo. A probabilidade procurada, 
portanto, é de 65%. 
 
 
EC 11 
 
Analista Judiciário. Área apoio especializado. Especialidade: Estatística. TRF 2ª 
Região/2007 [FCC] 
 
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que 
 
P( 
)A 
 
= ,0 4 e 
P( A � B) = 0 7, e P(B) = p . Os valores de p que fazem com que A e B sejam 
mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente, 
a) 0,3 e 0,5 b) 0,4 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,6 e 0,2 e) 0,3 e 0,4 
 
 
 
Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condição: 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) 
 
Substituindo os valores: 
 
0 7, 
 
= ,0 4 + p � p = 0 3, 
 
Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condição: 
 
 
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P( A ∩ B) = P( )A 
 
 
× P(B) 
 
 
 
Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da união de A e B. 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( A � B) 
 
P( A � B) = P( )A 
 
+ P(B) − P( )A 
 
× P(B) 
 
Substituindo os valores: 
 
0 7, 
 
= ,0 4 + p − ,0 4 × p � 
0 6, 
 
× p = 0 3, 
 
� p =0 5, 
 
Resposta: A 
 
 
EP 4 
 
Maria tem dois filhos (Otávio e Pedro) e duas filhas (Quênia e Renata). Hoje ela vai fazer 
compras e vai escolher, aleatoriamente, duas crianças para lhe acompanharem. Ela não 
pode levar todas, senão elas fazem muita bagunça. Acontece que todas elas adoram ir ao 
supermercado, pois podem escolher qual chocolate comprar. 
 
Maria, de forma bem democrática, escreve o nome de todos eles em pedaços de papel. 
Coloca numa caixa e sorteia a primeira criança. Depois disso, sorteia a segunda. Qual a 
probabilidade de Maria escolher duas crianças do mesmo sexo? 
 
 
Vamos representar as crianças pelas iniciais de seus nomes (O, P, Q, R). 
O espaço amostral, conjunto de todas as possibilidades, é dado por: 
{(P,O), (P, Q), (P,R), (O,P), (O,Q), (O,R), (Q,P), (Q,O), (Q,R), (R,P), (R,O), (R,Q)} 
Seja ‘A’ o evento que ocorre quando Maria escolhe duas crianças do mesmo sexo. 
 
 
 
A = {(O,P), (P,O), (Q,R), (R,Q)} 
 
 
 
O espaço amostral tem 12 elementos. O evento tem 4 elementos. A probabilidade fica: 
 
P( 
)A 
 
= 4 / 12 = 1/ 3 
 
 
 
Resolvemos o exercício sem utilizar fórmulas. Isto foi relativamente fácil, pois foi bem 
rápido listar todos os casos possíveis (espaço amostral), bem como os casos favoráveis 
(elementos do evento A). 
 
Quando o número de casos possíveis e favoráveis cresce muito (ou seja, quando os 
números de elementos do espaço amostral e do evento são grandes), é complicado listar 
todos eles. 
 
Para evitar esse tipo de problema, existem alguns conceitos, muito úteis, de análise 
combinatória. Em concursos, esta matéria é mais cobrada em raciocínio lógico. Aqui, 
neste curso de estatística, veremos apenas algumas noções (a partir da página 53). 
 
 
 
Vamos, agora, a uma segunda resolução, utilizando fórmulas. 
 
Seja ‘B’ o evento que ocorre quando as duas crianças selecionadas são do sexo maculino. 
Seja ‘C’ o evento que ocorre quando as duas crianças selecionadas são do sexo feminino. 
 
 
 
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O evento ‘A’ pode ser decomposto na união dos eventos ‘B’ e ‘C’. 
 
Os eventos B e C são mutuamente exclusivos. Não é possível escolher dois meninos que 
também sejam meninas. Deste modo, a probabilidade da união dos eventos B e C é igual 
à soma das probabilidades. 
 
P( 
)A 
 
= P(B � C ) = P(B) + P(C ) 
 
 
 
Os eventos B e C podem ser decompostos ainda mais. 
 
 
Vamos calcular a probabilidade de B. Seja ‘b1’ o evento que ocorre quando a primeira 
criança sorteada é um menino. Seja ‘b2’ o evento que ocorre quando a segunda criança 
sorteada é um menino. 
 
O evento B (escolher dois meninos) é a intersecção dos eventos b1 e b2. Queremos que 
seja escolhido um menino no primeiro sorteio e, além disso, outro menino no segundo 
sorteio. 
 
B = 1b 
 
∩ b2 
 
P(B) = P( 1b 
 
∩ b )2 
 
Mas nós vimos, lá em probabilidade condicional, a fórmula da probabilidade da 
intersecção de dois eventos. 
 
P( 1b 
 
∩ b2) = P(b )1 × P(b2 b )1 
 
Vamos calcular a probabilidade de ter saído um menino no primeiro sorteio. Ou seja, 
vamos calcular a probabilidade do evento b1. 
 
No primeiro sorteio, temos dois meninos e duas meninas. São 4 crianças. São 4 casos 
possíveis. E temos dois casos favoráveis (são dois meninos). 
 
 
P(b )1 
 
= 2 = 1 4 2 
 
Agora vamos calcular a probabilidade de, no segundo sorteio, ser sorteado um menino, 
DADO que no primeiro sorteio já foi sorteado um menino. Ou seja, vamos calcular a 
probabilidade do evento b2, dado que ocorreu b1. 
Temos 3 casos possíveis, pois restaram 3 crianças (uma já foi sorteada). 
Temos 1 caso favorável. Só resta um menino (o outro já foi sorteado). 
 
P(b2 b )1 
 
= 1/ 3 
 
 
 
Logo: 
 
 
P( 1b 
 
 
∩ b )2 
 
 
= P(b )1 × P(b2 b 
)1 
 
= 1 × 1 = 1 
32 6 
 
 
 
Portanto: 
 
P(B) = P( 1b 
 
P(B) = 1 
6 
 
 
 
 
∩ b )2 
 
 
 
 
 
 
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Analogamente, a probabilidade de C (sortear duas meninas) também é 1/6. 
 
P(C ) = 1 
6 
 
E a probabilidade do evento “A” fica: 
 
P( 
)A 
 
 
P( 
)A 
 
= P(B � C ) = P(B) + P(C ) 
 
= 1 + 1 = 1 
66 3 
 
 
 
5 Probabilidade do evento complementar 
 
Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possível é 
o espaço amostral. 
Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
O espaço amostral é: 
 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
 
Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O 
espaço amostral é: 
 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), 
(4,2), (4,3), (4,4)} 
 
 
 
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos: 
 
· a união dos dois eventos resulta no espaço amostral 
 
· os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; a 
intersecção entre ambos é vazia) 
 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois 
eventos, juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não 
há nenhum resultado que satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos. 
 
Com alguns exemplos fica mais fácil. 
 
Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado. 
 
Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número ímpar”. 
 
Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem como lançar um 
dado e dar um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar. 
 
Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um 
dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. 
 
Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares. 
 
 
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
 
Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento “sair um 
número menor que 4”. 
 
 
 
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Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e 
obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4. 
Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos. 
Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares. 
 
 
 
Continuemos com o lançamento do dado. 
 
Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair um número 
maior que 3”. 
 
Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis. 
 
Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois 
eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é menor que 5. 
 
 
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
 
Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair um número 
maior que 4”. 
 
‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os casos possíveis. 
O resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado não está 
contemplado em nenhum dos dois eventos. ‘G’ e ‘H’ não são complementares. 
 
 
 
Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra. 
 
Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um múltiplo de 3”. O 
evento complementar de Z é indicado por: Z 
 
Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”. 
 
Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm elementos em 
comum. São eventos complementares.Agora vem o que interessa pra gente. Sejam A e A dois eventos complementares. Vamos 
calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da 
probabilidade da união, temos: 
 
P( A �
 )
A 
 
= P( 
)A 
 
+ P( 
)A 
 
− P( A ∩ )A 
 
Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua 
probabilidade é nula. 
 
P( A �
 )
A 
 
P( A �
 )
A 
 
= P( 
)A 
 
= P( 
)A 
 
+ P( )A − 0 
 
+ P( )A 
 
E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço 
amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1. 
 
Ficou em dúvida? 
 
Considere o lançamento do dado. 
 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
 
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Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número de 1 a 6. Qual 
a probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, quando lançarmos o dado, vai 
sair um número de 1 a 6. Isto porque esse evento é simplesmente igual ao espaço 
amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é de 100%. 
 
P( A �
 )
A 
 
1 = P( 
)A 
 
= P( 
)A 
 
+ P( )A 
 
+ P( )A 
 
 
 
 
E é esse resultado que nos interessa. 
 
Probabilidade do evento complementar: Sejam 
A e A dois eventos complementares. Então: 
 
1 = P( 
)A 
 
+ P( )A 
 
 
 
A probabilidade do evento complementar é algo até bem intuitivo. Nós até já a usamos 
nesta aula, sem comentar. Foi lá no EC 10 (fl. 29). 
 
Sugiro que vocês parem a leitura da aula e dêem uma revisada lá naquele exercício. Era 
uma questão de Técnico do MPU, em que Lígia ia ao posto e poderia verificar o óleo e o 
pneu. 
 
Naquela ocasião, encontramos a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois 
(óleo/pneu). A probabilidade foi de 35%. 
 
Com isso, concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois era de 
65%. 
 
Ora, ou Lígia verifica alguma coisa (pneu, óleo ou ambos, pneu e óleo) ou não verifica 
nada. Não tem outra possibilidade. Portanto, se há 35% de chance de ela verificar 
alguma coisa, então há 65% de chance de ela não verificar nada. 
 
São dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%. 
 
 
Existem alguns tipos de problema em que a probabilidade pedida é muito difícil de ser 
calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil calcular a probabilidade do 
evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questão. 
 
Vejamos alguns exercícios. 
 
 
EP 5 
 
Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o 
número 5? 
 
 
 
Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o 
resultado 5. 
 
Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos 
favoráveis. 
 
Casos possíveis: 
 
1; 1; 1; 1; 1; 1 
 
1; 1; 1; 1; 1; 2 
 
 
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1; 1; 1; 1; 1; 3 
 
[...] 
E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá. 
Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, uma união de 
vários eventos. 
 
Precisaríamos calcular a probabilidade de: 
 
· Sair o número 5 exatamente 1 vez 
 
· Sair o número 5 exatamente 2 vezes 
 
· Sair o número 5 exatamente 3 vezes 
 
· Sair o número 5 exatamente 4 vezes 
 
· Sair o número 5 exatamente 5 vezes 
 
· Sair o número 5 exatamente 6 vezes 
 
Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união de todos esses 
eventos é o resultado procurado. 
 
Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos acima são difíceis 
de lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lançando o 
dado seis vezes, obtém-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a 
probabilidade relacionada, teríamos que dividir este evento em diversos outros eventos: 
 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento; 
 
· Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento. 
 
 
 
Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros eventos (sair 
5 exatamente 1 vez; sair 5 exatamente três vezes; etc). 
Vamos procurar outra saída. 
O evento pedido no enunciado foi “sair 5 pelo menos 1 vez”. 
Qual seu evento complementar? 
 
 
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Seu evento complementar é “não sair 5 nenhuma vez”. Vamos chamá-lo de A 
Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a probabilidade. 
Ele é a intersecção dos seguintes eventos: 
 
· Não sai 5 no primeiro lançamento 
 
· Não sai 5 no segundo lançamento 
 
· Não sai 5 no terceiro lançamento 
 
· Não sai 5 no quarto lançamento 
 
· Não sai 5 no quinto lançamento 
 
· Não sai 5 no sexto lançamento 
 
Todos os eventos acima têm probabilidade de 5/6. E todos eles são independentes. Isto 
porque o resultado de um lançamento não interfere em nada no resultado de qualquer 
outro lançamento. Vimos que, quando os eventos são independentes, a probabilidade da 
intersecção é igual ao produto das probabilidades. 
 
Ficamos com: 
 
 
P( 
)A 
 
6 
= 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = � 5 � 
� � 
6 6 6 6 6 6 
 
Portanto: 
� 6 � 
 
 
 
 
P( 
)A 
 
6 
= 1 − � 5 � 
� � 
� 6 � 
 
A utilização do evento complementar facilitou muito as contas. 
 
O enunciado típico de utilização do evento complementar geralmente contém expressões 
como: “calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer pelo menos uma vez.” 
 
Sempre que você se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar se a utilização 
do evento complementar facilita o cálculo. 
 
 
EC 12 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 
5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 
pagar a sua mensalidade sem atraso é: 
 
a) 1 – 0,955 
 
b) 0,955 
 
c) 4,75 . 0,955 
 
d) 5 . 0,955 
 
e) 1- 0,055 
 
 
 
Seja A o evento “pelo menos 1 associado atrasa o pagamento”. Queremos calcular a 
probabilidade de A . Podemos imaginar que o evento A é uma união de vários eventos: 
exatamente 1 associado paga a mensalidade com atraso; exatamente 2 associados 
pagam suas mensalidades com atraso; exatamente 3 associados pagam suas 
mensalidades com atraso; exatamente 4 associados pagam suas mensalidades com 
atraso; exatamente 5 associados pagam suas mensalidades com atraso. 
 
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