3 - Exercícios de Álgebra I São Miguel - Sistemas Lineares 1

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 1 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
 
EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 
 
 (PUC/RS-96) O sistema 
2 4 2 4
2 3 9
3 3 3
x y z
x y z
x y nz
+ − =
− + =
+ − =





 
nas variáveis x, y, e z, tem como solução x = p, y = 2p e z 
= q. 
O valor de n + p – q é 
a) – 3 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 6 
 
(PUC/RJ-98) Seja a um número real. Para que valores de 
a o sistema linear: 
(1 + a)x + (1 – a)y = 1 
(1 – a)x + (1 + a)y = 1 
tem solução? Para quais desses valores a solução é única? 
 
(PUC/MG-97) O sistema 
x y z b
ax y z
x y az
− + =
+ + =
− + =





1
0
 admite 
uma infinidade de soluções. Então, sobre os parâmetros a 
e b, é CORRETO afirmar: 
a) a = 0 e b = 1 b) a = 0 e b = −1 
c) a = −1 e b = 1 d) a = 1 e b = −1 
e) a = 1 e b = 0 
 
(UFMG-97) Dado um sistema linear de três equações nas 
três variáveis x, y, z, 





=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
 associa-se 
a ele os seguintes determinantes: 
 
 
Considere o sistema linear de três equações nas três 
variáveis x, y , z em que m e n são números reais: 





=+++
=++
=++
3z)2m(nyx4
2z2myx2
1zyx
 
a) RESPONDA quais são todos os possíveis valores de m 
e n que anulam o determinante ∆ associado a este sistema. 
VERIFIQUE que, para esses valores, os outros três 
determinantes associados são nulos, ou seja, ∆x = 0, ∆y = 
0 e ∆z = 0. 
b) Dentre todos os possíveis valores de m e n para os 
quais ∆ = 0, ∆x = 0, ∆y = 0 e ∆z = 0, DETERMINE 
aqueles que tornam o sistema impossível. 
 
(CIABA-94) O sistema 
3 2
2 5
x y b
ax y
− =
+ =



 admite várias 
soluções se a soma (a + b) é igual a: 
a) 3 b) – 3 c) – 5 d) – 8 e) – 10 
 
(CIABA-94) Os valores de k para os quais o sistema 
x y z kx
x y z ky
x y z kz
+ + =
+ + =
+ + =





 admite soluções diferentes da solução 
nula pertencem ao intervalo: 
a) [– 2, 2] b) [– 1, 4] c) [1, 3] 
d) [2, 4] e) [– 3, 0] 
 
(CIABA-95) O valor de a para que o sistema 
ax y z
x ay z
x y z a
− + =
− + + =
+ + = −





2 1
4 4 2
2 2
 seja impossível é: 
a) 14 b) 12 c) 0 d) –2 e) –12 
 
(ESPCEX-93) Os valores de k para os quais o sistema 
x z
kx y z
x ky z
− =
+ + =
+ + =





1
3 0
3 1
 
tenha solução única são: 
a) k = 1 ou k = – 4 b) k ≠ 1 ou k = – 4 
c) k ≠ 1 ou k ≠ – 4 d) k ≠ – 1 ou k = 4 
 
(ESPCEX-94) O sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
+ + =





2 1
3 2
4 3 2 5
 é: 
a) possível e indeterminado. 
b) possível e determinado, sendo (1, – 1, 2) a solução. 
c) impossível. 
d) possível e indeterminado, sendo (2, 3, –7) uma solução. 
 
(ESPCEX-94) Os valores de a para os quais o sistema 
x y z
x ay z
ax y z
+ + =
− + =
− − =





2 0
0
0
 tem solução diferente da trivial são: 
a) 0 ou 1 b) – 1 ou 1 
c) 0 ou 1/2 d) – 1 ou 0 
 
(ESPCEX-95) Os valores de a e b, para que o sistema 
6 8 0
3 5
6 13
x ay z
x y z
x y z b
+ + =
+ + = −
+ + =





 seja indeterminado, são 
respectivamente: 
a) 2 e – 4 d) 8 e 2 
b) 8 e 6 e) – 4 e 8 
c) – 4 e – 15 
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 2 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
(ESPCEX-96) O sistema de equações 
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − = −
+ − =





2 1
2 1
2 4 2 2
 
a) não admite solução 
b) admite apenas uma solução 
c) admite apenas duas soluções 
d) admite infinitas soluções 
e) admite apenas a solução (1, 2/3, 4/3) 
 
(ESPCEX-97) Sabendo que (x, y, z) é solução do sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ − +





1
2 3
2 3 1
, o valor de x2 + y2 + z2 é: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 
 
(ESPCEX-97) O valor de m, para que o sistema 
− − + =
+ − =
+ − =





x y z
x y z
x my z
2 3 0
2 4 0
4 10 0
 admita soluções além da solução 
trivial, é: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 
 
(AFA-94) Os valores de m, para os quais o sistema 
x y z
x y z
x y mz
− + =
− + =
+ + =





0
2 3 2 0
4 3 0
 
admite somente a solução x = y = z = 0, são: 
a) m = 4 b) m > 0 c) m ≠ 4 d) m < 5 
 
(AFA-94) O sistema a x ay b
ax y c
3 2
2
+ =
+ =



 é homogênio e 
determinado, se e somente se, 
a) a ≠ 4 e b = c = 0 
b) a ≠ 0 e a ≠ 4 e b = c 
c) a ≠ 0 e a ≠ a e b = c = 0 
d) a ≠ 0 e a = 4, b ≠ 0 e c ≠ 0 
 
(Escola Naval-91/92) O sistema de equações: 
x y kz
kx z
x y z
− + =
+ =
+ + = −





1
0
1
 
a) é sempre possível b) é impossível para k = 1 
c) é impossível para k = – 2 d) é determinado para k ≠ 1 
e) é determinado para k ≠ 2 
 
(Escola Naval-93/94) O sistema de equações: 
mx y
x y m
x y
+ =
− =
+ =





2
2
 é impossível se e somente se: 
a) m = 1 b) m = – 2 c) m = 1 ou m = – 2 
d) m ≠ – 2 e) m ≠ 1 e m ≠ – 2 
 
(FUVEST-92) a) Resolva o sistema 
2 3
2
x y
x y
− = −
− + =



 onde 
x e y são números reais 
b) Usando a resposta do item a, resolva o sistema 
2 1 1 3
1 1 2
2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
a b
a b
− − − = −
− − + − =



 
 
(FUVEST-94) Considere o sistema: 
x my m
m x y
− = −
+ + =



1
1 1( ) . 
a) Prove que o sistema admite solução única para cada 
número real m. 
b) Determine m para que o valor de x seja o maior 
possível. 
 
(FUVEST-96) Considere o sistema de equações lineares: 
x y z m
x y z m
x y z m
+ + = −
− − =
+ − = +





2
2 2
2 2 3 5
 
a) Para cada valor de m, determine a solução (xm, ym, zm) 
do sistema. 
b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, 
para os quais o produto xmymzm é igual a 32. 
 
(FUVEST-97) Seja o sistema 
x y z
x my z
x y mz m
+ − =
− − =
+ + =





2 0
3 0
3
 
a) Determine todos os valores de m para os quais o 
sistema admite solução. 
b) Resolva o sistema, supondo m = 0. 
 
(FUVEST-99) Considere o sistema linear nas incógnitas 
x, y, z, w: 
2 2
1
1 2 2
1
x my
x y
y m z w
z w
+ = −
+ = −
+ − + =
− =







( ) 
a) Para que valores de m, o sistema tem uma única 
solução? 
b) Para que valores de m, o sistema não tem solução? 
c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y – z – 2w. 
 
(UNICAMP-92) Sejam A e B duas matrizes de ordens 
nxm e mxn respectivamente, com m < n. Prove que 
det(A.B) = 0, baseado em propriedades do sistema de 
equações lineares. 
( . ). .
.
.
.
.
.
A B
x
x
xn
1
2
0
0
0


















=


















 
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ3 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
(UNICAMP-93) Resolva a seguinte sistema de equações 
lineares: 
2 1
2 2
2 3
2 4
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =







 
 
(UNICAMP-97) Considere o sistema: 
x y z p
y x z p
z x y p
+ + =
+ + =
+ + =









1
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
 
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y, z) com x, y 
e z inteiros, então o parâmetro p é mútiplo inteiro de 17. 
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro p for 
mútiplo inteiro de 17, entâo este sistema tem solução (x, 
y, z) com x, y e z inteiros. 
 
(ITA-66) Consideremos o sistema de 2 equações nas 2 
incógnitas x, y: 



=+−
=−
kyyx
kxyx
5
 
a) qualquer que seja o valor de k, o sistema tem solução 
diferente da solução x = 0, y = 0. 
b) existe pelo menos um valor k para o qual o sistema tem 
solução diferente da solução x = 0, y = 0. 
c) para nenhum valor de k, o sistema tem solução 
diferente da solução x = 0, y = 0. 
 
(ITA-67) O sistema 





=++−
=++
=++
03
97
042
zyx
azyx
zyx
 
a) não tem solução ∀ a 
b) somente tem solução para a = 1 
c) tem solução para ∀ a 
d) possue somente solução x = 0, y = 0, z = 0 para a = 0 
e) tem solução difrente da solução x = 0, y = 0, z = 0 para 
a = 0 
 
(ITA-68) Seja 





=+
=++
=+
0.
0.
0.
zy
zyx
yx
λ
λ
λ
 
O sistema acima terá solução não trivial para certo 
conjunto de valores de λ. Para que isto se verifique este 
conjunto é constituído: 
a) apenas por números complexos não reais 
b) apenas por números reais 
c) apenas por números racionais 
d) apenas por números irracionais 
e) apenas por números inteiros 
 
(ITA-69) Para que valores reais de a e b o seguinte 
sistema não admite solução? 





=+−
−=++
=++
bzyx
zyx
zayx
32
53
043
 
a) a = – 2 e b = 5 b) a > – 2 e b ≠ 4 
c) a = – 2 e b ≠ 5 d) a = b = 1 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
(ITA-72) Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer 
tal que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução? 
x y z a
x y z b
x y z c
+ − =
+ − =
− + =





2 3
2 6 11
2 7
 
a) 5a = 2b – c b) não existe relação entre a, b, c 
b) 5a = 2b + c e) nenhuma das respostas anteriores 
c) 5a ≠ 2b + c 
 
(ITA-72) Quais os valores de α de modo que o sistema 
(sen ) (sen )
( sen )
( sen )
α α
α
α
− + − =
+ =
+ + =





1 2 0
3 4 0
3 7 6 0
x y z
y z
x z
 
a) α = npi, n = 0, ±1, ±2, ±3, … 
b) α = npi + pi/3, n = 0, ±1, ±2, ±3, … 
c) α = npi + pi/2, n = 0, ±1, ±2, ±3, … 
d) não há valores de α 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
(ITA-81) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais verificou-se que os pontos A = (a, 1, a); B = 
(2a, 1, a) e C = (b, a, a) são colineares. Além disso, o 
sistema 
 





=++
=++
=+
0
0
0
bzaybx
zybx
byax
 
nas incógnitas x, y e z é indeterminado. Sendo a > 0 e b > 
0, qual é a alternativa correta? 
a) a e b são números pares 
b) a e b são números inteiros consecutivos 
c) a não é divisor de b 
d) 0 < a < 1/2 e 0 < b < 1 
e) nenhuma das anteriores 
 
(ITA-83) Seja a um número real tal que a ≠ pi/2 + kpi, 
onde k ∈ Z. Se (x0, y0) é solução do sistema 
( sec ) ( tan ) cos
( tan ) ( sec )
2 3 2
2 3 0
a x a y a
a x a y
+ =
+ =



 então podemos 
afirmar que: 
a) x0 + y0 = 3 – 2sen a 
b) 2
3
4
9
20
2
0
2 2x y a




 − = +cos 
c) x0 – y0 = 0 
d) x0 + y0 = 0 
e) 2
3
4
90
2
0
2 2x y a




 − = cos 
 
(ITA-84) Os valores reais de a, que tornam o sistema 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 4 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
3 1
0
3 10 3 1
2 1a
a
x y
x y
x y
+ + =
+ =
− + =





.
( . )
 possível e determinado, são: 
a) qualquer valor de a. b) apenas a = 0 e a = 3. 
c) apenas a = 2. d) apenas a = 1 e a = –1. 
e) não existe valor de a nestas condições. 
 
(ITA-87) Suponha que x e y são números reais, 
satisfazendo simultaneamente às equações 2x + 3y = 21 e 
7x – 4x = 1. Nestas condições, se S = x + y, então: 
a) S = 10 b) S = 8 c) S = 5 d) S = – 8 e) S = 15 
 
(ITA-88) Sobre o sistema 





=+−
=−+
=−−
032
037
028
zyx
zyx
zyx
 
Podemos afirmar que: 
a) é possível e determinado 
b) é impossível 
c) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os 
números x, y, z formam nesta ordem, uma progressão 
aritmética de razão igual a x. 
d) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que y = (x + 
z)/3 
e) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os 
números x, y, z formam nesta ordem, uma progressão 
aritmética de razão igual a (x + y + z)/3. 
 
(ITA-89) O sistema de equações: 
 x + 3y – z = 6 
7x + 3y + 2z = 6 
5x – 3y + 4z = 10 
a) tem somente uma solução. 
b) tem infinitas soluções com 9(x + y) = 14 e 9(2x – z) = 
40. 
c) tem infinitas soluções com 9(x + y) = 34 e 9(2x – z) = 
20. 
d) tem infinitas soluções com x dado em função de y e z. 
e) não possui solução. 
 
(ITA-89) Considere a equação 
x y z
4
16
4
5
1
2
7
0
3
0
0
0
−










+










+










=










, onde x, y e z são 
números reais. É verdade que: 
a) a equação admite somente uma solução 
b) em qualquer solução, x2 = z2 
c) em qualquer solução, 16x2 = 9z2 
d) em qualquer solução, 25y2 = 16z2 
e) em qualquer solução, 9y2 = 16z2 
 
(ITA-90) Dizemos que dois sistemas de equações lineares 
são equivalentes se, e somente se, toda solução de 
qualquer um dos sistemas for também solução do outro. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. Dois sistemas de equações lineares 3 x 3, ambos 
homogêneos, são equivalentes. 
II. Dois sistemas de equações lineares 3 x 3, ambos 
indeterminados, não são equivalentes. 
III. Os dois sistemas de equações lineares dados a seguir 
são equivalentes: 
x y
y z
x y z
+ =
+ =
+ + =





5
8
10
 
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− + =





2 3
4
4 2 14
 
De acordo com a definição dada podemos dizer que: 
a) as três afirmações são verdadeiras 
b) apenas a afirmação (I) é verdadeira 
c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras 
d) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras 
e) as três afirmações são falsas 
 
(ITA-90) Considere o sistema linear homogêneo nas 
incógnitas x1, x2, …, xn dado por 







=−+++++
=−+++++
=−+++++
0)1(...)1(
...............................................................
0)1(...)1(
0)1(...)1(
21
22212
12111
nnnn
n
n
xnaxaxa
xnaxaxa
xnaxaxa
 
em que a1, a2, …, an são números reais dados. Sobre a 
solução deste sistema podemos afirmar que: 
a) se a1 > 0, i = 1, 2, …, n o sistema possui uma única 
solução. 
b) se a1 < 0, i = 1, 2, …, n o sistema possui uma única 
solução. 
c) se a1 > 0, i = 1, 2, …, n o sistema é impossível. 
d) se a1 < 0, i =1, 2, …, n o sistema é impossível. 
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer que 
sejam os valores dos números a1, a2, …, an dados. 
 
(ITA-91) Considere o sistema: 
(P) 
x z w
x ky k w
x k z w
x z kw
+ + =
+ + =
+ + + =
+ + =







0
1
1 1
2
2
( ) 
Podemos afirmar que (P) é possível e determinado 
quando: 
a) k ≠ 0 b) k ≠ 1 c) k ≠ – 1 d) k ≠ 0 e k ≠ – 1 e) n.d.a 
 
(ITA-91) Se (x, y, z, t) é solução do sistema 
x – y + 2z – t = 0 
3x + y +3z + t = 0 
x – y – z – 5t = 0 
qual das altenativas abaixo é verdadeira? 
a) x + y + z + t e x tem o mesmo sinal 
b) x + y + z + t e t tem o mesmo sinal 
c) x + y + z + t e y tem o mesmo sinal 
d) x + y + z + t e z tem o mesmo sinal 
e) n.d.a. 
 
(ITA-92) Sejam a, b, c, d números reais não nulos que 
estão nesta ordem em progressão aritmética. Sabendo que 
o sistema a seguir: 
4 2 2 2
3
2
3 9 3 81
. . . .
. . .
a c b
d b
x y
x y
+ =
+ =




 
É possível e indeterminado, podemos afirmar que a soma 
desta progressão aritmética é: 
a) 13 b)16 c) 28 d) 30 e) n.d.a 
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 5 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
(ITA-93) Analisando o sistema 
3 2 7
0
2 2 1
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
+ − = −





 
concluímos que este é: 
a) possível e determinado com xyz = 7 
b) possível e determinado com xyz = – 8 
c) possível e determinado com xyz = 6 
d) possível e indeterminado 
e) impossível 
 
(ITA-94) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y e z. 
 
3 9 3 2
3 5 9 2
3 3 1
1 1
1 1
a a a
a a
a a
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
+ + =





+ +
− +
 
é possivel e determinado quando o número a é diferente 
de: 
a) log32 e 1
2
(1 + log25) b) log23 e 1
2
log25 
c) log21 e 1
2
log23 d) 1
2
(–1 + log21) e 1
2
(–1 + log23) 
e) log31 e 1
2
(–1 + log35) 
 
(ITA-95) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais 
o sistema 
x y z
x a y z
x y
a
z
+ + =
+ + =
+ + =







0
0
2 2 27 0
3
2
3
(log ) .
(log )
 
é indeterminado, então: 
a) S ⊂ [– 3, 3] b) S é vazio c) S ⊂ [2, 4] 
d) S ⊂ [1, 3] e) S ⊂ [0, 1] 
 
(ITA-96) Sejam a1, a2, a3 e a4 quatro números reais (com 
a1 ≠ 0) formando nesa ordem uma progressão geométrica. 
Então, o sistema em x e y 
a x a y
a a x a a y a
1 3
1 2 1 4 2
1+ =
+ =



 é um 
sistema: 
a) impossível. 
b) possível determinado. 
c) possível indeterminado. 
d) possível determinado apenas para a1 > 1. 
e) possível determinado apenas para a1 < – 1. 
 
(ITA-97) Sejam a, b, c ∈ ℜ* com a2 = b2 + c2. Se x, y e z 
satisfazem o sistema 
c y b z a
c x a z b
b x a y c
.cos .cos
.cos .cos
.cos .cos
+ =
+ =
+ =





 
então cos x + cos y + cos z é igual a: 
a) (a – b)/c b) (a + b)/c c) (b + c)/a 
d) (c + a)/b e) (b2 + c2)/a 
 
(ITA-97) A sequência (a1, a2, a3, a4) é uma progressão 
geométrica de razão q ∈ ℜ* com q ≠ 1 e a1 ≠ 0. Com 
relação ao sistema 
a x a y c
a x a y d
1 2
3 4
+ =
+ =



 podemos 
afirmar que 
a) é impossível para c, d ∈ [– 1, 1]. 
b) é possível e determinado somente se c = d. 
c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d ∈ ℜ. 
d) é impossível quaisquer que sejam c, d ∈ ℜ*. 
e) é indeterminado somente se d = cq2. 
 
(ITA-98) Sejam a, b ∈ ℜ. Considere os sistemas lineares 
em x, y e z: 
x y z
x y z
y z a
+ − =
− + =
− + =





0
3 1
2
 e 
x y
x y z
x by z
− =
+ − =
− + =





0
2 0
2 3 0
 
Se ambos admitem infinitas soluções reais, então: 
a) a/b = 11 b) b/a = 22 c) ab = 1/4 
c) ab = 22 e) ab = 0 
 
(ITA-99) A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2pi[ que 
tornam o sistema 
x y z
x a y a z a a
x a y a z a a
+ + =
+ + + =
+ + + + =





0
2 0
1 3 2 2 02 2 2
sen cos ( sen cos )
sen cos ( sen sen )
 
Possível e indeterminado é: 
a) 5pi b) 4pi c) 3pi d) 2pi e) pi 
 
(IME-76/77) Dada equação matricial 
1 2 0 1
3 5 2 1
0 3 1 5
1 1 1 1
5
10
6
4
1
2
3
4
− −
− −
























=
−
−
−












x
x
x
x
. Determine a 
matriz X = 
x
x
x
x
1
2
3
4












 
 
(IME-79/80) Resolva o seguinte sistema: 
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
3 4 2 2
2 5 0
+ − =
− + = −
+ + =





 
 
(IME-79/80) Determine os valores de k para que o 
sistema abaixo tenha solução única: 
x k y z
x y z
x y ky
+ + − = −
+ − = −
+ + = −
(5 ) 3 6
5 4 5
5 1
 
 
(IME-80/81) Determine a e b para que o sistema 
x y az b
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =





2
2 3 3
3 4
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 6 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
a) tenha solução única; b) tenha um no infinito de 
soluções; c) não tenha solução. 
 
(IME-83/84) Dado o sistema: 
1 1 1 1
2 3 3 4
1 1 2 2
1 1 1 3
17
53
28
27
























=












x
y
w
z
 encontre o seu conjunto 
solução. 
 
(IME-84/85) Seja o sistema: 
1 2 1
2 1 1
0 5 1
1
2
3
−
−




















=










x
y
z
y
y
y
. Discutir os valores de y1, y2 
e y3 para que este sistema admita solução. 
 
(IME-87/88) Determine os valores de k para que o 
sistema 
x x
x kx x
x x kx
1 3
1 2 3
1 2 3
3 3
2 2
2 1
− = −
+ − = −
+ + =





 
a) tenha solução única; b) não tenha solução; c) tenha 
mais de uma solução. 
 
(IME-87/88) Resolva e discuta o sistema: 
mx y z
x my z m
x y mz m
+ + =
+ + =
+ + =





1
2
 
 
(IME-87/88) Determine o valor de a para que o sistema 
abaixo tenha mais de uma solução e resolva-o, neste caso: 
x y z
x y az
x ay z
+ − =
+ + =
+ + =





1
2 3 3
3 2
 
 
(IME-88/89) Discuta o sistema: 
x y z
x ay z
x y z b
+ − =
− + =
+ − =





2 2
2 3 9
3 3 2
 
 
(IME-88/89) Dado o sistema de equações lineares 
x y az
ax y z
x ay z
+ − =
+ − =
+ − =





0
0
1
, pede-se: 
a) os valores de a para que o sistema tenha solução; 
b) os valores de a para que a solução (x, y, z) satisfaça à 
equação x + y + z = 1 
 
(IME-88/89) Dados: 
M x y x y=





 +





 ∈ℜ






1 0
0 1
0 1
0 0
| , , 
A
a a
a
=






'
0
e B
b b
b
=






'
0
, onde a, a’, b, b’ ∈ ℜ, 
resolva a equação AZ = B, sabendoque Z ∈ M, discutindo 
as condições que a, a’, b e b’ devem satisfazer para que a 
equação tenha solução. 
 
(IME-91/92) Determine o parâmetro a de modo que o 
sistema seja compatível: 
2 3 5 18
3 4 20
4 2 5
1 2 3 76
x y z
x y z
x y z
a x a y a z
− + =
− + =
+ − =
+ + + + + =






( ) ( ) ( )
 
 
(IME-97/98) Resolva e interprete, geometricamente, o 
sistema abaixo, em função de α e β. 
1 2 3
5 6 7
6 8
4
8
−
−




















=
−
−









α β
x
y
z
 
 
(IME-98/99) Determine os valores de α e β para que a 
equação matricial abaixo seja impossível. 
1 2
2 1 3
3 1 1
3
4
α β
− −
−




















=










x
y
z
 
 
(IME-98/99) Determine α para que seja impossível o 
sistema: 
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ + − = +





2 3 4
3 5 2
4 14 22( )α α