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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 2
Matriz inversa, Determinante e Sistemas Lineares
Resolva todos os exerc´ıcios nume´ricos dos cap´ıtulos 1 e 2 da apostila do professor
Reginaldo. Resolva tambe´m os Testes do Cap´ıtulo. Ale´m disso, tambe´m resolva os
exerc´ıcios desta lista.
Exerc´ıcio 1: Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule
(a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A)
(d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2)
(g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)
Exerc´ıcio 2: Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A) = 2 e que
A−1 =


1 2 2
0 −1 a
−1 2 −1

 .
Calcule o valor da constante a.
Exerc´ıcio 3: Utilizando operac¸o˜es elementares em linhas, transforme cada uma das
seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas
matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.
A =


2 −2 1 4
0 1 3 −1
1 0 2 5
0 1 3 7

 B =


0 1 3 −2
0 0 3 −1
0 2 0 5
1 1 3 0


Exerc´ıcio 4: Utilizando o desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma
coluna, calcule novamente os determinantes das duas matrizes do exerc´ıcio anterior.
Exerc´ıcio 5: Encontre todos os valores de a para os quais a matriz
A =


3 0 −1
3 1 a+ 1
2a+ 1 2 1


tem inversa. Se a = 17, deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homegeˆneo AX = 0.
Exerc´ıcio 6: Calcule, caso exista, a inversa de


1 −2 3
−2 4 −5
3 −5 2

 .
Exerc´ıcio 7: Suponha que a matriz
B =


2 0 0
−1 −3 0
9 7 −2


tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operac¸o˜es elementares:
(a) Troca da linha L1 com a linha L3;
(b) Substituic¸a˜o da linha L2 por L2 − 2L3;
(c) Substituic¸a˜o da linha L3 por
1
4
L3.
Calcule o determinante da matriz A.
Exerc´ıcio 8: Determine condic¸o˜es sobre a e b para que o sistema linear


ax + 2z = 2
5x + 2y = 1
x − 2y + bz = 3
possua uma u´nica soluc¸a˜o; infinitas soluc¸o˜es; e nenhuma soluc¸a˜o.
Exerc´ıcio 9: Para cada uma das matrizes a seguir, responda os itens (a) e (b).
A =


5 1 6
0 2 0
−1 2 0

 A =


2 −2 3
0 3 −2
0 −1 2

 .
(a) Encontre todos os valores do escalar λ para os quais o sistema linear homegeˆneo
(A− λI3)X = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial.
(b) Para cada um dos valores de λ encontrados no item (a), determine o conjunto
soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo (A− λI3)X = 0.
Exerc´ıcio 10: Considere a matriz
A =


1 1 −1
−3 x x
1 0 −1


(a) Encontre os valores da inco´gnita x para os quais a matriz A seja invert´ıvel.
(b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista.
(c) Resolva o sistema AX = B, onde B = [1, 1, 0]t.
Exerc´ıcio 11: Deˆ um exemplo de uma matriz na˜o diagonal A2×2 tal que A
−1 = A.
Exerc´ıcio 12: Dada uma matriz quadrada A, mostre que a matriz B = AAt e´ uma
matriz sime´trica. Isto e´, mostre que Bt = B.
Exerc´ıcio 13: Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(AB) = 0. Mostre que ou
A e´ na˜o invert´ıvel ou B e´ na˜o invert´ıvel.
Exerc´ıcio 14: Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 na˜o tem
inversa?
Exerc´ıcio 15: Uma matriz e´ chamada de ortogonal se a sua inversa e´ igual a sua
transposta. Mostre que se A e´ uma matriz ortogonal, enta˜o det(A) = ±1.
- FIM -