Métodos Determinísticos I ADs, AP S e EP s 2015.1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

ADs 2015.1/ad1q1resolucao2015-1.pdf
AD1 – Questa˜o 1 – Gabarito
a) Determine o valor de cada expressa˜o nume´rica.
i) −
1
2
+
7
3
− 2
ii) 3− 7×
3
−5
iii) −
(
3
7
−
4
7
)
+
(
2
5
÷
7
5
)
Soluc¸a˜o:
i) −
1
2
+
7
3
− 2 = −
3
6
+
14
6
−
12
6
=
−3 + 14− 12
6
= −
1
6
ii) 3− 7×
3
−5
= 3− 7×
(−3)
5
= 3−
7× (−3)
5
= 3−
(−21)
5
= 3 +
21
5
=
15
5
+
21
5
=
36
5
iii) −
(
3
7
−
4
7
)
+
(
2
5
÷
7
5
)
= −
(
−
1
7
)
+
(
2
5
×
5
7
)
=
1
7
+
2
7
=
3
7
b) Uma pesquisa sobre a prefereˆncia dos consumidores por treˆs produtos A, B e C de uma empresa
revelou que dos 300 entrevistados:
160 indicaram o produto A;
120 indicaram o produto B;
90 indicaram o produto C;
30 indicaram os produtos A e B;
40 indicaram os produtos A e C;
50 indicaram os produtos B e C;
10 indicaram os treˆs produtos.
Determine:
i) Dos consumidores entrevistados, quantos na˜o tinham prefereˆncia por nenhum dos treˆs pro-
dutos.
ii) Quantos na˜o indicaram o produto C.
iii) Quantos na˜o indicaram os produtos B ou C.
Soluc¸a˜o: Vamos resolver este item representando as informac¸o˜es dadas no diagrama de Venn.
Sabemos que neste tipo de problema devemos comec¸ar com o nu´mero de consumidores na intersec¸a˜o
dos conjuntos envolvidos. Neste item, temos treˆs conjuntos envolvidos, que vamos representar por
A, B e C, onde:
• A representa o conjunto dos consumidores que indicaram o produto A,
• B representa o conjunto dos consumidores que indicaram o produto B,
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
• C representa o conjunto dos consumidores que indicaram o produto C.
Sabemos que 10 consumidores indicaram os treˆs produtos. Logo, temos a representac¸a˜o
10
A
B
C
consumidores entrevistados
Em seguida, utilizamos as informac¸o˜es sobre a intersec¸a˜o de dois conjuntos.
30 consumidores indicaram os produtos A e B: observemos que dentre estes consumidores
ha´ 10 consumidores que tambe´m indicaram o produto C. Logo, os que indicaram apenas A e
B sa˜o 20 = 30− 10;
40 consumidores indicaram os produtos A e C: observemos que dentre estes consumidores
ha´ 10 consumidores que tambe´m indicaram o produto B. Logo, os que indicaram apenas A e
C sa˜o 30 = 40− 10;
50 consumidores indicaram os produtos B e C: observemos que dentre estes consumidores
ha´ 10 consumidores que tambe´m indicaram o produto A. Logo, os que indicaram apenas B e
C sa˜o 40 = 50− 10;
10
A
B
C
consumidores entrevistados
20
30
40
A seguir, usamos as informac¸o˜es sobre o nu´mero de elementos de cada conjunto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3
160 consumidores indicaram o produto A: observemos que dentre estes consumidores esta˜o
sendo considerados tambe´m, aquelas pessoas que ale´m de indicarem A, indicaram B ou C. Essas
pessoas representam os
20 + 10 + 30 = 60
consumidores que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
160− 60 = 100
as pessoas que indicaram apenas o produto A.
120 consumidores indicaram o produto B: observemos que dentre estes consumidores esta˜o
sendo considerados tambe´m, aquelas pessoas que ale´m de indicarem B, indicaram A ou C. Essas
pessoas representam os
20 + 10 + 40 = 70
consumidores que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
120− 70 = 50
as pessoas que indicaram apenas o produto B.
90 consumidores indicaram o produto C: observemos que dentre estes consumidores esta˜o
sendo considerados tambe´m, aquelas pessoas que ale´m de indicarem C, indicaram A ou B.
Essas pessoas representam os
30 + 10 + 40 = 80
consumidores que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
90− 80 = 10
as pessoas que indicaram apenas o produto C.
10
100 50
10
A
B
C
consumidores entrevistados
20
30
40
Portanto,
i) Do diagrama observamos que 260 = 100+20+50+10+30+40+10 consumidores indicaram
A ou B ou C. Lembrando que foram entrevistados 300 consumidores segue que 40 = 300− 260
dos consumidores entrevistados na˜o tinham prefereˆncia por nenhum dos treˆs produtos.
ii) Na˜o indicaram o produto C, 210 = 100 + 20 + 50 + 40 consumidores.
iii) Na˜o indicaram os produtos B ou C, 140 = 100 + 40 consumidores.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad1q2resolucao2015-1.pdf
AD1 - Questa˜o 2 - Resoluc¸a˜o
a) (1.0 pt) Considere a proposic¸a˜o composta: “Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.”.
Vamos supor que: “Ana na˜o e´ elegante”.
i) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o composta acima, designando para
cada uma delas uma letra diferente.
ii) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item i), reescreva a proposic¸a˜o composta
e a suposic¸a˜o.
iii) Analisando a proposic¸a˜o composta e a suposic¸a˜o dadas, marque a afirmac¸a˜o que e´ verdadeira:
( ) Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa
( X ) Ana na˜o e´ loira ou baixa
( ) Ana e´ loira e na˜o e´ baixa
( X ) Ana e´ loira ou baixa
( X ) Ana e´ loira e baixa
Soluc¸a˜o:
i) Proposic¸o˜es simples:
p: Ana e´ elegante;
q: Ana e´ loira;
r: Ana e´ baixa;
ii) Proposic¸a˜o composta: p ∨ (q ∧ r) (Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.)
Suposic¸a˜o: ∼ p (Ana na˜o e´ elegante )
iii) Pela suposic¸a˜o sabemos que ∼ p e´ verdadeira, logo, p e´ falsa.
Como uma disjunc¸a˜o so´ e´ verdadeira quando pelo menos uma das duas proposic¸o˜es e´ ver-
dadeira segue de p ∨ (q ∧ r) que (q ∧ r) e´ verdadeira.
E como uma conjunc¸a˜o e´ verdadeira, se as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras,
segue de (q ∧ r) que q e r sa˜o verdadeiras. Ou seja, “Ana e´ loira” e “Ana e´ baixa” sa˜o
verdadeiras. Disso resulta que:
• “Ana na˜o e´ loira” e´ falsa.
• “Ana na˜o e´ baixa” e´ falsa.
Consequentemente,
• “Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa.
• “Ana na˜o e´ loira ou baixa” e´ verdadeira.
• “Ana e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa.
• “Ana e´ loira ou baixa” e´ verdadeira.
• “Ana e´ loira e baixa” e´ verdadeira.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 2
b) (1.5 pt) Numa situac¸a˜o idealizada entre dois estabelecimentos comerciais, A e B, para a venda
de x unidades de um produto, sabe-se que os lucros dos estabelecimentos A e B sa˜o medidos,
respectivamente, por
LA = x
(
1
2
+ 3
)
e LB = 5
(
27
5
− 2x
)
,
i) Determine a quantidade vendida pelo estabelecimento A, quando o lucro dele e´ de 140 reais.
ii) Determine para que quantidade vendida do produto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao
lucro do estabelecimento B.
Soluc¸a˜o:
i) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento A, quando LA e´ igual a
140 reais, temos de resolver a equac¸a˜o
140 = x
(
1
2
+ 3
)
⇐⇒ 140 = x
(
1
2
+
6
2
)
⇐⇒ 140 = x
(
7
2
)
⇐⇒ 280 = 7x
⇐⇒ 7x = 280
⇐⇒ x =
280
7
⇐⇒ x = 40.
Portanto, o estabelecimento A vende uma quantidade de 40 unidades do produto, quando o
lucro deste estabelecimento e´ de 140 reais.
ii) Para determinar a quantidade vendida x, para que o lucro LA do estabelecimento A seja
igual ao lucro LB do estabelecimento B, temos de resolver a equac¸a˜o
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 3
LA = LB
⇐⇒ x
(
1
2
+ 3
)
= 5
(
27
5
− 2x
)
⇐⇒ x
(
7
2
)
= 27− 10x
⇐⇒
7x
2
= 27− 10x
⇐⇒ 7x = 54− 20x
⇐⇒ 7x+ 20x = 54
⇐⇒ 27x = 54
⇐⇒ x =
54
27
⇐⇒ x = 2.
Portanto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao do estabelecimento B quando forem vendi-
das 2 unidades do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad1q3resolucao2015-1.pdf
AD1 - QUESTA˜O 3 - Resoluc¸a˜o
a) (1.1 pt) Se a fantasia de Pierroˆ esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata. Ou
a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na˜o usa fantasia de Pierroˆ. Ora, Manoel usa
fantasia de Pierroˆ.
i) (0.2 pt) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas nas premissas do enunciado acima e designe
para cada uma delas uma letra diferente.
ii) (0.2 pt) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as pre-
missas dadas no enunciado.
iii) (0.7 pt) Analise as premissas e marque a alternativa verdadeira.
(A) A fantasia de Pierroˆ esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(B) A fantasia de Pierroˆ esta´ cara e a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.
(C) A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(D) A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.
(E) Se A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina esta´ barata.
Soluc¸a˜o:
i) Vamos escrever as proposic¸o˜es elementares envolvidas nas premissas do enunciado acima e
representa´-las por letras:
P : a fantasia de Pierroˆ esta´ cara;
C: a fantasia de Colombina esta´ barata;
M : Manoel usa fantasia de Pierroˆ.
ii) Agora, vamos escrever as premissas usando os s´ımbolos lo´gicos:
I) P ⇒∼ C (Se a fantasia de Pierroˆ esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.);
II) C∨˙ ∼M (Ou a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na˜o usa fantasia de Pierroˆ.);
III) M (Manoel usa fantasia de Pierroˆ.)
iii) Analisemos as premissas que temos.
Pela premissa III), sabemos que M e´ verdadeira. Logo, ∼M e´ falsa.
Na premissa II), temos uma disjunc¸a˜o exclusiva (ou ... ou...). Logo, apenas uma das
duas proposic¸o˜es envolvidas nessa premissa e´ verdadeira. Como ∼ M e´ falsa, segue que
C e´ verdadeira. O que significa que ∼ C e´ falsa.
Sabemos que a premissa I) e´ verdadeira. Assim, como ∼ C e´ falsa, a u´nica forma de ter a
premissa I) verdadeira e´ que P seja falsa. Ou seja, ∼ P e´ verdadeira.
Conclu´ımos que:
• Manoel usa fantasia de Pierroˆ.
• a fantasia de Colombina esta´ barata
• a fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - Questa˜o 3 2
Consequentemente, sa˜o verdadeiras as alternativas:
(C) “A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata”. (A
conjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es verdadeiras e´ verdadeira)
(E) “Se A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina esta´ barata”
. (A implicac¸a˜o em que a condic¸a˜o e a consequeˆncia sa˜o verdadeiras e´ verdadeira)
b) (1.4 pt) Considere os conjuntos A =
{
0,
2
9
,
4
3
,
16
3
}
e B =
{
−2,−
1
3
, 0,−8
}
. Escreva por extenso
as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas
respostas.
i) (0.5 pt) ∀ x ∈ A,
(
x2 + x < 15
)
ii) (0.4 pt) ∃ x ∈ B, (3x+ 3) e´ par
iii) (0.5 pt) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ A,
(x
3
− y = x
)
Soluc¸a˜o:
i) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se
que x2+x < 15”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que para
todo elemento x de A, a soma do quadrado de x com x seja menor do que 15. Isto e´ falso,
pois existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que a soma do quadrado de x com
x na˜o e´ menor do que 15. De fato, o elemento x =
16
3
∈ A e´ tal que
x2 + x =
256
9
+
16
3
=
256
9
+
48
9
=
304
9
> 15.
ii) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que
3x+3 e´ par”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar, pelo menos,
um elemento do conjunto B, de modo que 3x + 3 seja par. Isto e´ verdadeiro, pois, para
x = −
1
3
∈ B, temos que 3
(
−
1
3
)
+ 3 = −1 + 3 = 2 e´ par.
iii) Verdadeira.
∀ x ∈ B, ∃ y ∈ A,
(x
3
− y = x
)
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto A tal que
x
3
−y = x”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira,
para todo elemento x do conjunto B, devemos encontrar, pelo menos, um elemento y do
conjunto A, tal que
x
3
− y = x. Isto e´ verdadeiro pois temos
• para x = −2 ∈ B, y =
4
3
∈ A, que
x
3
− y =
−2
3
−
4
3
= −
6
3
= −2;
• para x = −
1
3
∈ B, y =
2
9
∈ A, que
−
1
3
3
−
2
9
= −
1
9
−
2
9
= −
3
9
= −
1
3
;
• para x = 0 ∈ B, y = 0 ∈ A, que
x
3
− y =
0
3
− 0 = 0;
• para x = −8 ∈ B, y =
16
3
∈ A, que
x
3
− y =
−8
3
−
16
3
= −
24
3
= −8.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad1q4resolucao2015-1.pdf
AD1 - QUESTA˜O 4 - Resoluc¸a˜o
a) (1.2 pt) Determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
0, 2
(
3− 5 x
)
= 9−
x
4
+ 5% x.
Soluc¸a˜o: Temos que
0, 2
(
3− 5 x
)
= 9−
x
4
+ 5% x ⇐⇒
2
10
(
3− 5 x
)
= 9−
x
4
+
5
100
x
⇐⇒
1
5
(
3− 5 x
)
= 9−
x
4
+
1
20
x
⇐⇒
3
5
− x = 9−
x
4
+
x
20
⇐⇒ −x+
x
4
−
x
20
= 9−
3
5
⇐⇒
−20x+ 5x− x
20
=
45− 3
5
⇐⇒ −
16x
20
=
42
5
⇐⇒ x = −
42
5
·
20
16
⇐⇒ x = −
21
2
.
Portanto, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ x = −
21
2
.
b) (1.3 pt) Uma indu´stria de autopec¸as produziu 450 unidades de uma pec¸a A e 150 unidades de
uma pec¸a B. Das pec¸as produzidas, 6% das pec¸as A estavam com algum defeito e 4% das pec¸as
B, tambe´m tinham algum defeito. Determine, em termos percentuais, o total das pec¸as com
defeitos em relac¸a˜o ao total de pec¸as produzidas pela indu´stria.
Soluc¸a˜o: Do enunciado, sabemos que o total de pec¸as produzidas foi de 600 = 450 + 150.
Temos de determinar o total de pec¸as com defeito. Para isso sabemos que:
• 6% das pec¸as A estavam com algum defeito. Isso significa que
6% de 450 =
6
100
· 450 = 27.
Ou seja, 27 unidades da pec¸a A estavam com defeito.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - Questa˜o 4 2
• 4% das pec¸as B tinham problema. Isso significa que
4% de 150 =
4
100
· 150 = 6.
Ou seja, 6 unidades da pec¸a B estavam com defeito.
Assim, o total de pec¸as com defeito e´ igual a 33 = 27 + 6.
Logo, o total das pec¸as com defeitos em relac¸a˜o ao total de pec¸as produzidas e´ dado por
33
600
= 0, 055 = 5, 5%
Portanto, o total das pec¸as com defeitos em relac¸a˜o ao total de pec¸as produzidas e´ de 5, 5%.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad2q1resolucao-2051-1.pdf
AD2 – Questa˜o 1 – Gabarito
a) (1,5 ponto) Sabe-se que 37, 5% da distaˆncia entre dois pontos de oˆnibus, A e B, na˜o ultrapassa
60 metros. Nestas condic¸o˜es, determine o intervalo em que se situa o ponto A em relac¸a˜o ao
ponto B.
Soluc¸a˜o: Do enunciado, temos que:
37, 5% |A−B| ≤ 60,
onde |A− B| e´ a distaˆncia entre os pontos de oˆnibus A e B, tal que |A−
B| > 0.
Da´ı,
37, 5
100
|A− B| ≤ 60 ⇐⇒ 37, 5 |A− B| ≤ 6000
⇐⇒ |A−B| ≤
6000
37, 5
=
60000
375
= 160.
Logo, |A− B| ≤ 60⇐⇒ −160 ≤ A−B ≤ 160⇐⇒ B − 160 ≤ A ≤ B + 160 .
Assim, o intervalo em que se situa o ponto A em relac¸a˜o ao ponto B e´ [B − 160, B + 160].
b) (1,0 ponto)
i) Responda, justificando, se o conjunto soluc¸a˜o de |2x+ 7| < 6 e´ um intervalo.
ii) Se a resposta do item i) for afirmativa, determine o centro e o raio desse intervalo.
Soluc¸a˜o:
i) O conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |2x+ 7| < 6 e´ um intervalo.
De fato, como |2x+ 7| < 6, segue que −6 < 2x+ 7 < 6.
Da´ı,
−6− 7 < 2x+ 7− 7 < 6− 7 ⇐⇒ −13 < 2x < −1
⇐⇒ −13
(
1
2
)
< 2
(
1
2
)
x < −1
(
1
2
)
⇐⇒ −
13
2
< x < −
1
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o acima e´
S = {x ∈ R| −
13
2
< x < −
1
2
}.
Isto e´, S e´ o intervalo aberto
(
−
13
2
,−
1
2
)
.
ii) O centro do intervalo
(
−
13
2
,−
1
2
)
e´ igual a
−
13
2
+
(
−
1
2
)
2
=
−
14
2
2
=
−7
2
= −
7
2
.
E o raio do intervalo
(
−
13
2
,−
1
2
)
e´ dado por
−
1
2
−
(
−
13
2
)
2
=
−
1
2
+
13
2
2
=
12
2
2
=
6
2
= 3.
ADs 2015.1/ad2q2resolucao-2051-1.pdf
AD2 – Questa˜o 2 – Gabarito
Em cada item determine o que se pede.
a) (1.0 pt) Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa o
lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o. Em uma empresa que produziu x unidades
de um produto, verificou-se que R = 600x− x2 e C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que
ela produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
Soluc¸a˜o:
i)
L = R − C = (600x− x2)− (x2 − 200x)
= 600x− x2 − x2 + 200x
= −2x2 + 800x.
ii)
L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0
⇐⇒ 2x2 − 800x = 0
⇐⇒ x2 − 400x = 0
⇐⇒ x(x− 400) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 400.
Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa
empresa produziu 400 unidades do produto.
iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400
R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais,
bem como
C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais.
b) (1,5 pt) Obtenha o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
i) |x2 − 6x| = 9
ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
Soluc¸a˜o:
i) |x2 − 6x| = 9⇐⇒ x2 − 6x = ±9.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 2 2
1o Caso:
x2 − 6x = 9 ⇐⇒ x2 − 6x− 9 = 0
⇐⇒ x = 6±
√
36 + 36
2
=
6±√2(36)
2
=
6± 6√2
2
= 3± 3
√
2
⇐⇒ x1 = 3− 3
√
2, x2 = 3 + 3
√
2.
2o Caso:
x2 − 6x = −9 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 = 0
⇐⇒ x = 6±
√
36 − 36
2
=
6
2
= 3
⇐⇒ x1 = x2 = 3.
Logo, S = {3− 3√2, 3 + 3√2, 3}.
ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0.
Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|.
1o Caso: x > 0
Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo,
x =
−3±√9 + 16
4
=
−3±√25
4
=
−3± 5
4
,
Isto e´, x =
−3 + 5
4
=
1
2
ou x =
−3− 5
4
= −2
Como x > 0, a resposta deste item e´ x =
1
2
.
2o Caso: x < 0
Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0.
Logo,
x =
3±√25
4
=
3± 5
4
,
Isto e´, x =
3 + 5
4
= 2 ou x =
3− 5
4
= −1
2
Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1
2
.
Consequentemente, S =
{
−1
2
,
1
2
}
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad2q3resolucao-2051-1.pdf
AD2 – Questa˜o 3 – Gabarito
a) (1.5 pt) Determine o que e´ pedido em cada item abaixo:
i) Encontre a equac¸a˜o do c´ırculo de raio 3/2 e centro no ponto (1/2,−1).
ii) Encontre as coordenadas dos pontos P e Q onde o c´ırculo do item i) intercepta o eixo das
ordenadas Y.
Soluc¸a˜o:
i) Um c´ırculo de raio
3
2
e de centro no ponto
(
1
2
,−1
)
e´ dado pela equac¸a˜o
(
x− 1
2
)2
+
(
y − (−1)
)2
=
(
3
2
)2
⇐⇒ x2 − 2
(
1
2
)
x+
1
4
+ y2 + 2y + 1 =
9
4
⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y + 1
4
+ 1− 9
4
= 0
⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y − 1 = 0.
ii) Os pontos P e Q onde o c´ırculo x2 + y2 − x + 2y − 1 = 0 intercepta o eixo das ordenadas
Y teˆm abscissa x = 0. Da´ı, levando este valor nesta equac¸a˜o, tem-se
y2 + 2y − 1 = 0 ⇐⇒ y = −2±
√
4− 4(−1)
2
⇐⇒ y = −2±
√
8
2
=
−2± 2
√
2
2
= −1±
√
2
⇐⇒ y1 = −1 +
√
2, y2 = −1−
√
2.
Consequentemente, as coordenadas de P e Q sa˜o P(0,−1 +
√
2), Q(0,−1−
√
2).
b) (1,0 pt) Os pontos A = (3,−2) e C = (−1, 2) do plano cartesiano sa˜o os ve´rtices do quadrado
ABCD cujas diagonais sa˜o AC e BD. Em qual ponto do plano cartesiano, a diagonal BD
intercepta o eixo das ordenadas Y ? Este item deve ser resolvido algebricamente.
Sugesta˜o: Utilize o fato de que, no quadrado, todo ponto de uma diagonal e´ equidistante dos
dois pontos extremos da outra.
Soluc¸a˜o: Seja P o ponto de intersec¸a˜o da diagonal BD com o eixo das ordenadas Y , conforme
Figura 1. Assim, este ponto P tem coordenadas (0, y).
Utilizando a sugesta˜o, tem-se que
d
(
(0, y), A
)
= d
(
(0, y), C
)
.
Da´ı,√
(0− 3)2 + (y − (−2))2 =
√
(0− (−1))2 + (y − 2)2 ⇐⇒
√
9 + (y + 2)2 =
√
1 + (y − 2)2
⇐⇒
(√
9 + (y + 2)2
)2
=
(√
1 + (y − 2)2
)2
⇐⇒ 9 + (y + 2)2 = 1 + (y − 2)2
⇐⇒ 9 + y2 + 4y + 4 = 1 + y2 − 4y + 4
⇐⇒ 13 + 4y = −4y + 5
⇐⇒ 8y = −8
⇐⇒ y = −1.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 3 2
Logo, a diagonal intercepta o eixo das ordenadas Y no ponto P = (0,−1).
P
AB
C D
-1 3
x
-2
2
y
Figura 1: Item b)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
ADs 2015.1/ad2q4resolucao-2051-1.pdf
AD2 – Questa˜o 4 – Gabarito
a) (1.5 pt) Quatro pessoas foram a uma lanchonete e consumiram 1 pastel integral e 1 suco natural,
cada uma, gastando um total de 40, 00 reais. Em um outro dia, uma dessas pessoas voltou a`
lanchonete e comprou 6 pasteis integrais e 4 sucos naturais para viagem, quando, enta˜o, gastou
54, 50 reais. Qual a diferenc¸a entre os prec¸os do pastel integral e do suco natural?
Soluc¸a˜o: Chamando pelas letras x e y os prec¸os do pastel integral e do suco natural, respecti-
vamente, temos o sistema: {
4x+ 4y = 40
6x+ 4y = 54, 50.
Da´ı, multiplicando a primeira equac¸a˜o deste sistema por −1 e somando suas duas equac¸o˜es vem:
−4x− 4y = −40
6x+ 4y = 54, 50
2x+ 0y = 14, 50.
Assim,
2x = 14, 50⇐⇒ x = 14, 50
2
= 7, 25 reais.
Levando este valor de x na primeira equac¸a˜o do sistema, temos:
4 · 7, 25 + 4y = 40⇐⇒ 29 + 4y = 40⇐⇒ 4y = 40− 29 = 11⇐⇒ y = 11
4
= 2, 75 reais.
Logo, a diferenc¸a entre os prec¸os do pastel integral e do suco natural sera´ dada pela diferenc¸a
entre x e y, isto e´,
x− y = 7, 25− 2, 75 = 4, 50 reais.
b) (1,0 pt) Pedro pensou em um nu´mero maior que 10 e menor que 80. A soma de seus algarismos
e´ 15 e o produto de seus algarismos e´ 56. Qual e´ esse nu´mero?
Soluc¸a˜o: Seja N este nu´mero que Pedro pensou, tal que 10 < N < 80. Sejam x e y os
algarismos que formam este nu´mero N . Temos que:{
x+ y = 15
xy = 56.
Substituindo na segunda equac¸a˜o do sistema acima o valor de y obtido na primeira equac¸a˜o,
temos:
x(15 − x) = 56 ⇐⇒ 15x− x2 = 56
⇐⇒ x2 − 15x+ 56 = 0
⇐⇒ x = 15±
√
(−15)2 − 4(56)
2
=
15±√225 − 224
2
=
15 ±
√
1
2
=
15± 1
2
.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 3 2
Da´ı, x1 =
15 + 1
2
=
16
2
= 8 ou x2 =
15− 1
2
=
14
2
= 7.
Levando estes dois valores de x para a primeira equac¸a˜o, vem que y1 = 15− x1 = 15− 8 = 7 e
y2 = 15− x2 = 15− 7 = 8.
Consequentemente, N podera´ ser o nu´mero 87 ou o nu´mero 78.
Como 10 < N < 80, N = 78.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP's 2015.1/AP1-MetDet_I-2015-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pts) : Um comerciante que na˜o possu´ıa conhecimento de matema´tica, tem um
custo de R$ 250,00 para a comercializac¸a˜o de uma certa mercadoria. Ele acresce a esse valor 50%
de lucro. Certo dia, um fregueˆs pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre
o novo prec¸o, pensando que, assim, teria um lucro.
a) (1.5 pt) Determine por quanto o comerciante vendeu a mercadoria.
b) (1.0 pt) Determine, em termos percentuais, se houve, de fato, um lucro ou se houve um preju´ızo
na venda da mercadoria. O percentual e´ calculado sobre o valor de custo da mercadoria.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos, inicialmente, determinar o valor da mercadoria acrescido do lucro. Esse novo valor e´
calculado por
250 + 50% · 250 = 250 + 50
100
· 250 = 250 + 1
2
· 250 = 250 + 125 = 375
Assim, o novo valor da mercadoria e´ igual a R$ 375,00.
O valor que o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs com desconto de 40% sobre o
novo valor e´ calculado por
375− 40% · 375 = 375− 40
100
· 375 = 375− 2
✁✁✕
1
5
·✟✟✟✯75375 = 375− 2 · 75
1
= 375− 150 = 225.
Portanto, o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs por R$ 225,00.
b) Como o comerciante teve um custo de R$ 250,00 para comercializar a mercadoria e depois vendeu
por R$ 225,00, ele teve um preju´ızo de R$ 25,00. Ja´ que
250− 225 = 25.
Vamos determinar em termos percentuais o valor do preju´ızo em relac¸a˜o ao valor de custo da
mercadoria para o comerciante. Temos que:
25
250
=
1
10
=
10
100
= 10%.
Portanto, houve um preju´ızo de 10% sobre o valor de custo.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) : Considere as afirmac¸o˜es:
i) O felino tigre e´ o mais bonito.
ii) O enunciado iii) e´ verdadeiro.
iii) Dentre os felinos, somente um e´ o mais bonito.
iv) Os felinos lea˜o e guepardo sa˜o os mais bonitos.
v) O felino puma na˜o e´ o mais bonito.
vi) Somente uma das afirmac¸o˜es anteriores e´ falsa.
Sabendo que a afirmac¸a˜o vi) e´ verdadeira, pode-se concluir que o valor-verdade (V, se verdadeiro;
F, se falso) de cada uma das afirmac¸o˜es de i) a v) e´, respectivamente,
a) VVVVF b) VVVFV c) VVFVV d) VFVVV e) FVVVV
Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que a afirmac¸a˜o i) seja falsa. Da´ı, pela afirmac¸a˜o vi), segue
que as afirmac¸o˜es ii), iii), iv) e v) sa˜o verdadeiras. Assim, como a afirmac¸a˜o ii) e´ verdadeira, iii)
e´ verdadeira, isto e´, dentre os felinos um e´ o mais bonito. Mas enta˜o, a afirmac¸a˜o iv) e´ falsa, e
ter´ıamos duas falsas. O que contradiz a afirmac¸a˜o vi). Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o i) e´ V.
A partir da´ı, vamos, agora, considerar que a afirmac¸a˜o ii) e´ falsa. Disso segue, que a afirmac¸a˜o iii)
sera´, tambe´m, falsa. Mas, isso contradiz o afirmac¸a˜o vi) que afirma que so´ ha´ uma afirmac¸a˜o falsa.
Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o ii) e´ V.
Consequentemente, o valor-verdade da afirmac¸a˜o iii) tambe´m e´ V. Disto segue que a afirmac¸a˜o iv)
e´ F, pois se o felino tigre e´ o mais bonito, o lea˜o e o guepardo na˜o o podem ser.
Finalmente, a afirmac¸a˜o v) e´ V por dois motivos: primeiro, porque como o felino tigre e´ o mais
bonito, o puma na˜o e´ o mais bonito; e segundo, porque, ter´ıamos duas afirmac¸o˜es falsas, de novo,
contradizendo a afirmac¸a˜o vi).
Assim, temos a sequeˆncia de valores-verdade V
i)
V
ii)
V
iii)
F
iv)
V
v)
.
Questa˜o 3 (3.5 pts) : Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos
de vendedores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos
grupos A e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
e LB = 3x− 1
5
,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 100 reais.
b) (1.0 pt) Determine para que quantidade vendida, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) (1.5 pt) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A,
sabendo que essas quantidades pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x < 14}.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 100 reais, temos
de resolver a equac¸a˜o
100 = 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 2 · 14
3
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 28
3
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 30
3
⇐⇒ 100 = 2x− 10
⇐⇒ −2x = −10− 100
⇐⇒ −2x = −110
⇐⇒ x = −110−2
⇐⇒ x = 55.
Portanto, o grupo A vende uma quantidade de 55 unidades do produto, quando o lucro deste
grupo e´ de 100 reais.
b) Para determinar quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a
equac¸a˜o
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
LA = LB
⇐⇒ 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
=
3x− 1
5
⇐⇒ 2x− 10 = 3x− 1
5
⇐⇒ 5 · (2x− 10) = 3x− 1
⇐⇒ 10x− 50 = 3x− 1
⇐⇒ 10x− 3x = −1 + 50
⇐⇒ 7x = 49
⇐⇒ x = 7.
Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 7 unidades do
produto.
c) Para determinar para quais quantidades, LB e´ menor que LA, temos de resolver a desigualdade
LB < LA
⇐⇒ 3x− 1
5
< 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
⇐⇒ 3x− 1
5
< 2x− 10
⇐⇒ 3x− 1 < 5(2x− 10)
⇐⇒ 3x− 1 < 10x− 50
⇐⇒ 3x− 10x < −50 + 1
⇐⇒ −7x < −49
⇐⇒ x > −49−9
⇐⇒ x > 7.
Portanto, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A para as quantidades 8, 9, 10, 11, 12
ou 13 unidades do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 4 (2.5 pts) :
a) (0.5 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica
(3)−1 − (27)2/3
b) (1.0 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
c) (1.0 pt) Simplifique a expressa˜o alge´brica
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b ,
sabendo que a > 0, b > 0 e a 6= b.
Dica: Racionalize a expressa˜o: − 1√
a+
√
b
.
Soluc¸a˜o:
a) (3)−1 − (27)2/3 = 1
3
− 3√(27)2 = 1
3
− 9 =
1
3
− 27
3
=
1− 27
3
= −26
3
b)
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
− = −2
5
[
1 +
(
7
2
− 10
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1 +
(
−3
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1− 3
2
· 4
3
− 7
2
]
= −2
5

1− ✁3
✁2
· ✁✁✕
2
4
✁3
− 7
2


= −2
5
[
1− 2− 7
2
]
= −2
5
[
2
2
− 4
2
− 7
2
]
= −2
5
[
−9
2
]
= −✁2
5
[
−9
✁2
]
=
9
5
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
c)
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b =
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b
= ✘
✘✘✘(a− b)(a+ b)
(a− b)✁2
−
√
a−√b
(
√
a+
√
b)(
√
a−√b) +
√
a−√b
a− b
=
a+ b
a− b −
√
a−
√
b
a− b +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b− (√a−
√
b) +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b−√a+√b+√a−√b
a− b
=
a+ b
a− b
Boa Prova!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP's 2015.1/AP2-MetDet_I-2015-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pts) : Sabe-se que os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
pertencem a uma reta l.
a) (1.5 pt) Encontre a equac¸a˜o da reta l.
b) (0.5 pt) Esboce a reta l no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
a) A equac¸a˜o de uma reta e´ da forma y = ax+ b. Como o ponto
(
2
3
, 1
)
pertence a` reta l, vamos
substituir x =
2
3
e y = 1 em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
1 = a · 2
3
+ b.
Da mesma forma, como o ponto
(
3 , −2
5
)
tambe´m pertence a` reta l, vamos substituir x = 3 e
y = −2
5
em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
−2
5
= a · 3 + b.
Temos assim que resolver o sistema
a · 2
3
+ b = 1 (1)
a · 3 + b = −2
5
(2)
Multiplicando a equac¸a˜o (2) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e. fazendo (1)-(2),
temos 
a · 2
3
+ b = 1
−a · 3− b = −
(
−2
5
)
+ (
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Encontramos enta˜o que(
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
⇔
(
2
3
− 9
3
)
a =
5
5
+
2
5
⇔ −7
3
a =
7
5
⇔ a = −7
5
· 3
7
⇔ a = −3
5
.
Substituindo agora a = −3
5
em (1), chegamos a
−3
5
· 2
3
+ b = 1 ⇔ −2
5
+ b = 1
⇔ b = 1 + 2
5
⇔ b = 5
5
+
2
5
⇔ b = 7
5
.
Conclu´ımos portanto que
a = −3
5
e b =
7
5
.
Desta forma, a equac¸a˜o da reta l e´:
y = −3
5
x+
7
5
.
b) Observe que uma vez encontrada a equac¸a˜o da reta l: y = −3
5
x+
7
5
, voceˆ pode fazer seu esboc¸o
no plano cartesiano encontrado as intersec¸o˜es com os eixos coordenados.
Intersec¸a˜o com o eixo x:
−3
5
x+
7
5
= 0 ⇔ −3
5
x = −7
5
⇔ x = −7
3
.
Intersec¸a˜o com o eixo y:
y = −3
5
.0 +
7
5
⇔ y = 7
5
.
Entretanto, uma outra opc¸a˜o, ate´ mais imediata, seria marcar os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
no plano cartesiano e liga´-los.
Esboc¸o da reta
y = −3
5
x+
7
5
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
2
3 3
x
-
2
5
1
y
Questa˜o 2 (2.0 pt) : O nu´mero p de barris de petro´leo produzidos em um certo per´ıodo varia de
acordo com a seguinte desigualdade
|p− 2.250.000| ≤ 125.000.
Resolva esta inequac¸a˜o e determine os valores de p que representam a menor e a maior produc¸a˜o
verificadas no per´ıodo considerado.
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| ≤ 125.000, vamos utilizar que: |y| ≤ a ⇔
−a ≤ y ≤ a, para todo y, a ∈ R. Desta forma, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000. Temos
enta˜o, que
|p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ −125.000 ≤ p− 2.250.000 ≤ 125.000
⇔ −125.000 + 2.250.000 ≤ p ≤ 125.000 + 2.250.000
⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000
Conclusa˜o: |p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000. Desta forma, a
produc¸a˜o mais baixa e´ de 2.125.000 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.375.000 barris
de petro´leo.
Questa˜o 3 (2.2 pts) : Considere a func¸a˜o P dada abaixo.
P(x) =
√
−x2 + 16x− 55.
a) (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o P .
b) (0.7 pt) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x ∈ Dom(P), temos que
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o:
a) Como a func¸a˜o P e´ definida a partir de uma raiz quadrada, seu radicando deve ser maior ou igual
a zero, i.e. devemos ter −x2 + 16x− 55 ≥ 0.
−x2 + 16x− 55 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ 5 ≤ x ≤ 11.
Portanto, chamando de Dom(P) o dom´ınio da func¸a˜o P , temos que
Dom(P) = {x ∈ R | 5 ≤ x ≤ 11} = [5, 11].
b) Observe que
(P(x))2 = −x2 + 16x− 55, x ∈ [5, 11].
Para determinar os valores de x ∈ [5, 11] que satisfazem a desigualdade
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57,
devemos, portanto, resolver a inequac¸a˜o
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11].
Uma vez que x ∈ [5, 11], temos que |x| = x. Desta forma,
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
16x ≥ 57 + 55, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ 16x ≥ 112, x ∈ [5, 11]
x ≥ 112
16
, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ≥ 7, x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7,∞) ∩ x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7, 11]
Temos assim, que (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57 se x ∈ [7, 11].
Questa˜o 4 (3.8 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado
produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 16P − 15 e Q(P ) = 4P + 5, 3 ≤ P ≤ 15
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, por
unidades de medida.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) (0.8 pt) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor
ma´ximo da demanda?
c) (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e
da oferta referentes a este prec¸o?
d) (1.5 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda
e de oferta deste produto, marcando os pontos encontrados nos itens anteriores (b) e (c).
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda, D. Neste caso, temos que
D(1, 2) = −(1, 2)2 + 16.(1, 2)− 15 = 2, 76
= −1, 44 + 19, 2− 15
= 2, 76
Resposta: 2,76 unidades de medida.
b) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −P 2+16P − 15. Observe que esta para´bola
possui
concavidade voltada para baixo, pois a = −1 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no
ve´rtice da para´bola. O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos
assim que
Pv = − b
2a
= − 16−2 = 8.
Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos
assim que
yv = −∆
4a
= −(16)
2 − 4.15
4
= −256
60
=
196
4
= 49.
Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 49 unidades de medida e ela ocorre quando o
prec¸o do produto e´ de R$8,00.
c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
−P 2 + 16P − 15 = 4P + 5 ⇔ −P 2 + 16P − 15− P − 5 = 0⇔ −P 2 + 12P − 20 = 0
⇔ P 2 − 12P + 20 = 0⇔ P = 12±
√
(12)2 − 4.20
2
⇔ P = 12±
√
144− 80
2
⇔ P = 12±
√
64
2
⇔ P = 12± 8
2
⇔ P = 2 ou P = 10.
Como 3 ≤ P ≤ 15, devemos descartar P = 2 e ficar apenas com P = 10.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Quando P = 10, temos que
D(10) = P(10) = 4 · 10 + 5 = 45.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de R$10,00. E a demanda e a oferta e´ de 45
unidades de medida para este prec¸o.
d) Gra´ficos:
D
QV HvérticeL
3 8 10 15
x
13
45
49
y
Boa Prova!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP's 2015.1/AP3_MetDet_I-2015-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de:
a) (0.5 pt)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
b) (1.0 pt)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
onde f(x) = x2.
c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2 [(0.5)2 −√9]
Soluc¸a˜o:
a)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
=
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
√
x−√2√
x−√2
=
√
x−√2
x− 2 −
(√
x−√2)
x− 2
=
√
x−√2−√x+√2
x− 2
= 0
b)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
=
x2 − 4
x− 2 −
x2
x
=
(x− 2)(x + 2)
x− 2 − x = x+ 2− x = 2.
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c)
(27)−1/3 − 2
[
(0.5)2 −
√
9
]
=
1
(27)1/3
− 2
[(
5
10
)2
− 3
]
=
1
(33)1/3
− 2
[(
1
2
)2
− 3
]
=
1
33/3
− 2
[
1
4
− 3
]
=
1
3
− 2
[
1− 12
4
]
=
1
3
− 2
[
−11
4
]
=
1
3
+
22
4
=
1
3
+
11
2
=
2 + 33
6
=
35
6
.
Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de ape-
nas 5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%,
um aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste
conseguido.
Soluc¸a˜o: Como a categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 5%,
temos que calcular 120% de 5%, isto e´,
120% · 5% = 120
100
· 5% = 6
5
· 5% = 6%.
Como os trabalhadores ja´ tinham conseguido 5%, somando-se agora os 6%, obte´m-se o percentual
de reajuste conseguido que foi de 11%.
Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 6x+ 9+√2x− 1 na forma
de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x tais que x2−6x+9 ≥ 0
e 2x− 1 ≥ 0.
Vamos seguir o seguinte procedimento:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 1 ≥ 0;
• e, finalmente fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
i) ii)
+ +
3
x
y
+
-
1
2
x
y
iii)
S1
S2
S1 Ý S2
1
2
Figura 1: Questa˜o 3
Determinac¸a˜o de S1 = {x ∈ R : x2 − 6x+ 9 ≥ 0} .
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2 − 6x + 9 = 0, com a = 1, b = −6 e c = 9 e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√0
2(1)
=
6
2
= 3.
Assim, x2 − 6x+ 9 = 0 quando x = 3.
Na Figura 1-i). plotamos a para´bola y = x2 − 6x+ 9. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero para qualquer valor de x 6= 3. Dessa forma, y = x2 − 6x+ 9 ≥ 0, quando x ∈ R.
Da´ı, S1 = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Uma outra soluc¸a˜o para a determinac¸a˜o de S1 e´ observar que x
2 − 6x + 9 = (x − 3)2 e que
(x− 3)2 ≥ 0, para qualquer x ∈ R. Desta forma, S1 = R.
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 1 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 1 = 0 e´ x = 1
2
.
A reta y = 2x− 1 esta´ plotada na Figura 1-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x >
1
2
. E, que y = 2x− 1 ≥ 0, quando x ∈
[
1
2
,∞
)
.
Da´ı, S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 1-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita
e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a
quantidade do produto.
a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo.
b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os
pontos (x, y) em que a receita e´ igual ao custo.
c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima.
d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
R(x) = C(x) ⇐⇒ −x2 + 5x = x2 + 2
⇐⇒ −x2 − x2 + 5x− 2 = 0
⇐⇒ −2x2 + 5x− 2 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −2, b = 5 e c = −2, segue que
∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4(−2)(−2) = 9,
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√9
2(−2) =
−5± 3
−4 ⇐⇒ x1 =
−5 + 3
−4 =
1
2
, x2 =
−5− 3
−4 = 2.
Logo, os valores de x que satisfazem R(x) = C(x), isto e´, a receita e´ igual ao custo, sa˜o:
x1 =
1
2
, x2 = 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
b) Os gra´ficos de R(x) e de C(x) sa˜o representados por para´bolas. Para desenha´-las, vamos deter-
minar onde cada uma delas intercepta os eixos coordenados, a concavidade e o ve´rtice.
Para R(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para baixo pois o coefi-
ciente de x2 e´ negativo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ R(0) = −(0)2 + 5(0) = 0.
Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• R(x) = 0⇐⇒ −x2 + 5x = 0⇐⇒ −x(x− 5) = 0⇐⇒ x = 0 ou x− 5 = 0.
Logo, os valores que satisfazem −x2 + 5x = 0, sa˜o
x1 = 0, x2 = 5.
E, portanto a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (5, 0).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(−1) ,−
25
4(−1)
)
=
(
5
2
,
25
4
)
.
Para C(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para cima pois o coefi-
ciente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0 ⇐⇒ R(0) = (0)2 + 2 = 2. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto
(0, 2).
• C(x) = 0⇐⇒ x2 + 2 = 0.
Note que x2+2 e´ um nu´mero maior do que zero para qualquer valor de x real, logo na˜o
existe x que satisfaz a equac¸a˜o x2 + 2 = 0, ou seja, a pa´rabola na˜o intercepta o eixo
x. Um outro modo para verificar esse fato,e´ observando que ∆ = 02− 4(1)(2) = −8 e´
negativo. O que significa que na˜o existe x real que satisfaz a equac¸a˜o.
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2(1)
,−(−8)
4(1)
)
= (0, 2)
Determinemos, agora, a segunda coordenada dos pontos (x, y) da intersec¸a˜o da receita com o
custo. No item a), determinamos os nu´meros x1 =
1
2
, x2 = 2 em que R(x) = C(x). Para marcar
o ponto (x, y) em que isso ocorre, usando y = C(x) = x2 + 2 (podemos tambe´m usar a func¸a˜o
R(x)) temos
• para x1 = 1
2
que
y1 =
(
1
2
)2
+ 2
=
1
4
+ 2
=
1 + 8
4
=
9
4
Logo,
(
1
2
,
9
4
)
sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
• para x1 = 2 que
y2 = (2)
2 + 2
= 4 + 2
= 6.
Logo, (2, 6) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de R(x), de C(x) e dos pontos em que R(x) = C(x).
VR H52, 254L
VC H0,2L
R
C
1
2
2
5
2
5
x
94
6
27
y
Figura 2: Questa˜o 4
c) Como o gra´fico de R e´ uma para´bola, com concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de
x2 e´ negativo, segue que o valor de x em que a receita e´ ma´xima ocorre em x = xv onde xv e´ a
primeira coordenada do ve´rtice VR da para´bola. Assim, x = xv = − b
2a
= − 5
2(−1) =
5
2
.
d) Como o gra´fico de C e´ uma para´bola, com concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2
e´ positivo, segue que o valor do custo m´ınimo ocorre em y = yv onde yv e´ a segunda coordenada
do ve´rtice VC da para´bola. Assim, y = yv = −∆
4a
= − [0
2 − 4(1)(2)]
4(1)
= −(−8)
4
=
8
4
= 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Exerc�cios/EP10-2015-1gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP10 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es do segundo grau:
a) x2 − 6x+ 5 = 0 b) 3x2 − 12x+ 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
Soluc¸a˜o:
a) Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau, vamos usar a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1,
b = −6 e c = 5. Temos que:
∆ = b2 − 4ac = 36− 20 = 16.
Como ∆ > 0, a equac¸a˜o do segundo grau tem duas ra´ızes reais. Ou seja,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√16
2
=
6± 4
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e´ formado por x =
10
2
= 5 ou x =
2
2
= 1. Isto e´:
S = {1, 5}.
b) Observe que na equac¸a˜o dada os coeficientes sa˜o mult´ıplos de 3. Assim, multiplicando os dois
membros da igualdade por
1
3
obtemos a equac¸a˜o
x2 − 4x+ 2 = 0,
cujo conjunto soluc¸a˜o e´ o mesmo da equac¸a˜o dada.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o de 3x2 − 12x+ 6 = 0 e x2 − 4x+ 2 = 0 sa˜o iguais. Isso, so´ foi
poss´ıvel porque temos uma igualdade. Isoladamente a expressa˜o 3x2 − 12x+ 6 e´ diferente da
expressa˜o x2 − 4x+ 2.
Agora, usando Bhaskara para resolver a equac¸a˜o simplificada, com a = 1, b = −4 e c = 2,
temos
∆ = b2 − 4ac = 16− 8 = 8,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
4±√8
2
=
4± 2√2
2
= 2±
√
2.
Logo,
x = 2 +
√
2, ou x = 2−
√
2.
Portanto, S = {2−√2, 2 +√2}.
Sugesta˜o:: Resolva este exerc´ıcio usando Bhaskara na equac¸a˜o inicial 3x2 − 12x+ 6 = 0, ou
seja, com a = 3, b = −12 e c = 6. Veja que, de fato, esta equac¸a˜o tem o mesmo conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o simplificada.
Me´todos Determin´ısticos I EP10 2
c) Esta equac¸a˜o na˜o tem termo independente de x, ou seja, c = 0, o que torna mais simples sua
soluc¸a˜o. Assim,
x2 − 4x = 0 ⇔ x(x− 4) = 0
⇔ x = 0 ou x− 4 = 0
⇔ x = 0 ou x = 4
Portanto, S = {0, 4}.
d) Nesta equac¸a˜o, veja que b = 0. Logo,
x2 − 49 = 0 ⇔ x2 = 49
⇔ x = 7 ou x = −7.
Portanto, S = {−7, 7}.
Exerc´ıcio 2 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
a) −
(
x+
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −1
5
(10x2 − 60x+ 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x+ 3 d) 2x2 − 2x+ 10 > 0
e) 2x2 − 2x+ 10 < 0 f) x2 ≥ |5x+ 6|
Soluc¸a˜o:
a) Notemos que
−
(
x+
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 ⇐⇒ −
(
x2 − 3x+ x
2
− 3
2
)
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 3x− x
2
+
3
2
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 6x− x− 5x
2
+
3 + 29
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 16 ≤ 0.
Agora, observe que a forma mais pra´tica de resolver inequac¸o˜es do tipo acima e´ fatorando−x2+16
e fazendo uma ana´lise de sinais de cada um dos fatores de −x2 + 16.
Para fazer a fatorac¸a˜o, lembramos que se uma expressa˜o do segundo grau ax2+ bx+ c tem ra´ızes
x1 e x2, enta˜o ele e´ fatorado como a(x− x1)(x− x2), ou seja,
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 3
Assim, como a = −1, temos
−x2 + 16 = −(x+ 4)(x− 4).
Logo,
−x2 + 16 ≤ 0 ⇐⇒ −(x+ 4)(x− 4) ≤ 0
⇐⇒ (x+ 4)(x− 4) ≥ 0.
Vamos fazer a ana´lise de sinal para a u´ltima inequac¸a˜o acima.
Para isso, vamos estudar o sinal de x+ 4 e de x− 4;
Estudo do sinal de x+ 4
• x+ 4 = 0⇐⇒ x = −4
• x+ 4 > 0⇐⇒ x > −4
• x+ 4 < 0⇐⇒ x < −4
Estudo do sinal de x− 4
• x− 4 = 0⇐⇒ x = 4
• x− 4 > 0⇐⇒ x > 4
• x− 4 < 0⇐⇒ x < 4
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es x + 4 = 0 e x− 4 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−4) (−4, 4) (4,∞)
(x+ 4) − + +
(x− 4) − − +
(x+ 4)(x− 4) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x+ 4)(x− 4) > 0 ⇐⇒ x < −4 ou x > 4.
E, lembrando que (x+ 4)(x− 4) = 0⇐⇒ x = −4 ou x = 4.
Temos que, (x+ 4)(x− 4) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −4 ou x ≥ 4.
Portanto, x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞), ou seja, S = (−∞,−4] ∪ [4,∞).
b) Em primeiro lugar, observe que
−1
5
(
10x2 − 60x+ 30)− 12 > 0 ⇐⇒ −10x2
5
+
60x
5
− 30
5
− 12 > 0
⇐⇒ −2x2 + 12x− 18 > 0.
Simplificando a equac¸a˜o (dividindo por -2) obtemos:
−2x2 + 12x− 18 > 0 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 < 0
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 4
E´ fa´cil fatorar x2 − 6x+ 9 pois trata-se de um produto nota´vel:
x2 − 6x+ 9 = (x− 3)2
Portanto,
x2 − 6x+ 9 < 0 ⇐⇒ (x− 3)2 < 0
Observe que, como o quadrado de qualquer nu´mero real e´ sempre maior ou igual a zero, na˜o ha´
valor de x que satisfaz a inequac¸a˜o.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio. Ou seja, S = ∅.
c) Para determinar os valores de x que satisfazem
(x− 1)2 ≥ −x+ 3
transformamos esta inequac¸a˜o em uma forma equivalente
Expressa˜o em x ≥ 0.
Assim,
(x− 1)2 ≥ −x+ 3 ⇐⇒ (x− 1)2 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − x− 2 ≥ 0.
Agora podemos resolver essa u´ltima inequac¸a˜o pelo processo de fatorac¸a˜o e ana´lise de sinal. Por
Bhaskara determinamos as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2 − x− 2 = 0, que sa˜o x1 = 2 e
x2 = −1. Da´ı, segue a fatorac¸a˜o:
x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1)
Portanto,
x2 − x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ (x− 2)(x+ 1) ≥ 0.
Fazendo a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o (x− 2)(x+ 1) > 0, segue a tabela:
(−∞,−1) (−1, 2) (2,∞)
(x− 2) − − +
(x+ 1) − + +
(x− 2)(x+ 1) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x− 2)(x+ 1) > 0 ⇐⇒ x < −1 ou x > 2.
E, como (x− 2)(x+ 1) = 0⇐⇒ x = 2 ou x = −1,
temos que, (x− 2)(x+ 1) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 2.
Portanto, x ∈ (−∞,−1] ∪ [2,∞). Ou seja, S = (−∞,−1] ∪ [2,∞).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 5
d) Simplificando a equac¸a˜o (dividindo por 2) obtemos:
2x2 − 2x+ 10 > 0 ⇐⇒ x2 − x+ 5 > 0
Ao tentar resolver a equac¸a˜o x2−x+5 = 0 por Bhaskara, percebemos que a equac¸a˜o na˜o possui
ra´ızes reais, pois ∆ < 0. Isso significa que na˜o existe valor de x que faz com que x2− x+5 = 0,
isto e´, x2 − x+ 5 nunca se anula, sendo enta˜o, ou sempre positivo ou sempre negativo.
Para descobrir qual e´ o caso em questa˜o, vamos substituir x por um real qualquer na expressc¸a˜o
x2 − x+ 5. Por exemplo, substituindo x = 0, temos que 02 − 0 + 5 = 5 > 0. Por causa disso, a
expressa˜o x2 − x+ 5 e´ sempre maior que zero para qualquer valor de x.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto dos nu´meros reais. Ou seja, S = R.
e) Como foi visto no item anterior, na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual tenhamos 2x2−2x+10 < 0.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio.
f) Para resolver a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+6|, precisamos encontrar |5x+6|. Aplicando a definic¸a˜o de
mo´dulo, temos que
|5x+ 6| =

5x+ 6, se 5x+ 6 ≥ 0⇐⇒ x ≥ −6
5
,
−(5x+ 6), se 5x− 6 < 0⇐⇒ x < −6
5
.
Tomando como refereˆncia o nu´mero real −6
5
, escrevemos a reta real como a unia˜o dos intervalos
(−∞,−6/5) e [−6/5,∞).
Ou seja, R = (−∞,−6/5) ∪ [−6/5,∞).
Assim, para x ∈ (−∞,−6/5), temos que |5x + 6| = −(5x + 6), de modo que a inequac¸a˜o
x2 ≥ |5x+ 6| pode ser escrita como x2 ≥ −(5x+ 6).
E, para x ∈ [−6/5,∞), temos que |5x + 6| = 5x + 6, de modo que a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
pode ser escrita como x2 ≥ 5x+ 6. Colocando estas informac¸o˜es numa tabela, temos:
(−∞,−6/5) [6/5,∞)
|5x+ 6| −(5x+ 6) 5x+ 6
x2 ≥ |5x+ 6| x2 ≥ −(5x+ 6) x2 ≥ 5x+ 6
De acordo com a subdivisa˜o da reta real, vemos que a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
equivale a` resoluc¸a˜o de duas diferentes inequac¸o˜es dependendo da localizac¸a˜o de x em R. Va-
mos, portanto, dividir em casos e resolver cada uma das inequac¸o˜es encontradas dentro de seus
respectivos intervalos.
Caso 1: x < −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6| equivale a` inequac¸a˜o
x2 ≥ −(5x+ 6). De modo que
x2 ≥ −(5x+ 6)⇐⇒ x2 + 5x+ 6 ≥ 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 6
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 + 5x + 6 = 0. Utili-
zando a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = 5 e c = 6, temos que:
∆ = b2 − 4ac = 25− 24 = 1,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√1
2
=
−5± 1
2
.
Logo, as soluc¸o˜es de x2 + 5x+ 6 = 0 sa˜o x = −2, x = −3.
Desta forma, podemos escrever que x2 + 5x+ 6 = (x+ 2) (x+ 3).
Portanto,
x2 + 5x+ 6 ≥ 0 ⇔ (x+ 2) (x+ 3) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)
(x+ 2) − − +
(x+ 3) − + +
(x+ 2) (x+ 3) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x+ 2) (x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > −2.
E, como (x+ 2) (x+ 3) = 0⇐⇒ x = −2 ou x = −3,
temos que,
(x+ 2) (x+ 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ −2⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 + 5x + 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo (−∞,−6/5).
Desta forma, devemos fazer a intersec¸a˜o da unia˜o de intervalos (−∞,−3] ∪ [−2,∞) com o
intervalo (−∞,−6/5). Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 1, o qual chamaremos de
S1, e´ dado por
S1 = ((−∞,−3] ∪ [−2,∞)) ∩ (−∞,−6/5) = (−∞,−3] ∪ [−2,−6/5).
Caso 2: x ≥ −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+6| equivale a inequac¸a˜o x2 ≥ 5x+6.
Dessa forma,
x2 ≥ 5x+ 6⇐⇒ x2 − 5x− 6 ≥ 0.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 − 5x − 6 = 0. Pela
fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = −5 e c = 6, temos que
∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 7
e,
x =
−b±√∆
2a
=
5±√7
2
=
5± 7
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o de x2 − 5x− 6 = 0 e´ formado pelos nu´meros x = 6, x = −1.
Desta forma, temos que
x2 − 5x− 6 = (x+ 1) (x− 6) .
Portanto,
x2 − 5x− 6 ≥ 0 ⇐⇒ (x+ 1) (x− 6) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−1) (−1, 6) (6,∞)
(x+ 1) − + +
(x− 6) − − +
(x+ 1) (x− 6) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x+ 1) (x− 6) ≥ 0 ⇔ x < −1 ou x > 6.
E, como (x+ 1) (x− 6) = 0⇐⇒ x = −1 ou x = 6,
temos que,
(x+ 1) (x− 6) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 6⇐⇒ x ∈ (−∞,−1] ∪ [6,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − 5x − 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [−6/5,∞).
Desta forma, devemos interceptar a unia˜o de intervalos (−∞,−1] ∪ [6,∞) com o intervalo
[−6/5,∞).
Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 2, o qual chamaremos de S2, e´ dado por
S2 = ((−∞,−1] ∪ [6,∞)) ∩ [−6/5,∞) = [−6/5,−1] ∪ [6,∞).
Unindo as respostas obtidas em cada um dos dois casos, temos que
x2 ≥ |5x+ 6| ⇐⇒ x ∈ S1 ∪ S2
⇐⇒ x ∈ ((−∞,−3] ∪ [−2,−6/5)) ∪ ([−6/5,−1] ∪ [6,∞))
⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,−1] ∪ [6,∞)
⇐⇒ x ≤ −3 ou − 2 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 6 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 8
Exerc´ıcio 3 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 e LB = −(x+ 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 30 reais, temos
de resolver a equac¸a˜o
30 =
5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75
⇐⇒ 30 = 5x
2
· 4x
5
− 5x
2
· 38
5
+ 75
⇐⇒ 30 = 2x2 − 19x+ 75
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75− 30 = 0
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 45 = 0
⇐⇒ x = 19±
√
192 − 4 · 2 · 45
4
⇐⇒ x = 19±
√
361− 360
4
⇐⇒ x = 19±
√
1
4
⇐⇒ x = 19± 1
4
⇐⇒ x = 5 ou x = 18
4
=
9
2
.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que , o grupo A vende uma
quantidade de 5 unidades do produto, quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 9
b) Para determinar a quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a
equac¸a˜o
LA = LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 = −(x+ 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −(x2 − 10x+ 2x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −(x2 − 8x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −x2 + 8x+ 20 + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −x2 + 8x+ 33
⇐⇒ 3x2 − 27x+ 42 = 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x+ 14) = 0
⇐⇒ x2 − 9x+ 14 = 0
⇐⇒ x = 9±
√
92 − 4 · 14
2
⇐⇒ x = 9±
√
81− 56
2
⇐⇒ x = 9±
√
25
2
⇐⇒ x = 9± 5
2
⇐⇒ x = 2 ou x = 7.
Portanto, o lucro do
grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 2 ou 7 unidades do
produto.
c) Para determinar para quais quantidades, LA e´ menor que LB, temos de resolver a desigualdade
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP10 10
LA < LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 < −(x+ 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 < −x2 + 8x+ 33
⇐⇒ 3x2 − 27x+ 42 < 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x+ 14) < 0
⇐⇒ x2 − 9x+ 14 < 0
⇐⇒ (x− 2) (x− 7) < 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞, 2) (2, 7) (7,∞)
(x− 2) − + +
(x− 7) − − +
(x− 2) (x− 7) + − +
Da tabela acima, temos que (x− 2) (x− 7) < 0 ⇐⇒ 2 < x < 7.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que o lucro do grupo A e´
menor que o do grupo B para as quantidades 3, 4, 5 ou 6 unidades do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Exerc�cios/EP10-2015-1questoes.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP10 – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es do segundo grau:
a) x2 − 6x+ 5 = 0 b) 3x2 − 12x+ 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
Exerc´ıcio 2 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
a) −
(
x+
1
2
)
(x− 3) +
1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −
1
5
(10x2 − 60x+ 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x+ 3 d) 2x2 − 2x+ 10 > 0
e) 2x2 − 2x+ 10 < 0 f) x2 ≥ |5x+ 6|
Exerc´ıcio 3 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA =
5
2
x
(
4
5
x−
38
5
)
+ 75 e LB = −(x+ 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Exerc�cios/EP11-2015-1gabarito.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP11 – Gabarito – Métodos Determinísticos I – 2015-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e
calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.
a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)
b) A = (3, 1) e B = (2, 2)
c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)
Solução:
a) b) c)
1 unid
3 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
1 unid
1 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
3 unid
4 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 1: Exercício 1
a) No gráfico da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:
d(A,B)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
10.
b) No gráfico da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:
d(A,B)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
2.
c) No gráfico da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:
d(A,B)2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
25 = 5.
Métodos Determinísticos I EP11 2
Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}
b) {(x, y) ∈ R2; x = 3 e y ∈ (0, 5]}
c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2}
d) {(x, y) ∈ R2; x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)}
Solução: A solução está plotada na Figura 2.
a) b)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 2: Exercício 2
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 3
Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na Figura 3 - a),
b), c), d).
a) b)
A
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
C
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
D
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 3: Exercício 3
Solução:
a) {(x, y) ∈ R2; x = 2 e 1 ≤ y < 3}.
b) {(x, y) ∈ R2; y = 1 e 1 ≤ x < 5}.
c) {(x, y) ∈ R2; x ∈ [1, 5) e y ∈ [2, 4]}.
d) {(x, y) ∈ R2; x ∈ [−2,−1] e y ∈ (1, 3]}.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 4
Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio R em cada um dos itens a
seguir.
a) C = (1, 1) e R = 5
b) C = (0,−1) e R = 3
c) C = (0, 0) e R = 2
Solução:
a) O círculo é caracterizado pelos pontos que distam 5 de C.
Esses pontos satisfazem
√
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 5.
Desenvolvendo esta expressão, segue que√
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 5
⇐⇒ (x− 1)2 + (y − 1)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + y2 − 2y + 1 = 25
⇐⇒ x2 + y2 − 2x− 2y = 23
b) O círculo é caracterizado pelos pontos que distam 3 de C.
Esses pontos satisfazem
√
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 3.
Desenvolvendo esta expressão, segue que√
(x− 0)2 + (y + 1)2 = 3
⇐⇒ x2 + (y + 1)2 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y = 8
c) O cículo é caracterizado pelos pontos que distam 2 de C.
Esses pontos satisfazem
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 2.
Desenvolvendo esta expressão: √
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 2
⇐⇒ x2 + y2 = 4
Exercício 5 Construa o gráfico de:
a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x+ 2y = 4 e) y = 3x+ 1
2
Solução: Para determinar o gráfico de cada uma das retas deste exercício, temos de determinar
dois pontos pelos quais a reta passa.
a) Sendo (x, y) um ponto da reta y = −2, temos que a segunda coordenada deste ponto deve ser
−2. Quanto a primeira coordenada, que é x, ela pode assumir qualquer valor real. Em particular,
para x = 0 temos que o par ordenado (0,−2) é um ponto da reta. E, para x = 2, temos o par
ordenado (2,−2) da reta. Unindo estes dois pontos temos a reta desenhada na Figura 4-a) que
é paralela ao eixo x.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 5
a) b) c)
1 2
x
-2
-1
y
1
x
1
y
1 3
2
2 x
1
y
d) e)
-4 -3 -2 -1
x
1
2
y
-1
x
1
2
1
y
Figura 4: Exercício 5
b) A reta deste item está sobre o eixo x, já que a segunda coordenada do ponto (x, y) desta reta é
y = 0 para qualquer valor da primeira coordenada x. Ela está plotada na Figura 4-b).
c) Note que nos pares ordenados (x, y) da reta dada, a primeira coordenada x é igual a 3/2 e a
segunda coordenada y pode assumir qualquer valor real. Assim, essa reta é paralela ao eixo y.
Veja que, em particular,
ela passa pelos pontos (3/2, 0) e (3/2, 1). Ela está plotada na Figura 4-c).
d) Vamos determinar dois pontos da reta −x+ 2y = 4.
• para x = 0, temos −(0) + 2y = 4⇐⇒ y = 2. Logo, a reta passa pelo ponto (0, 2).
• para y = 0, temos −x+ 2(0) = 4⇐⇒ x = −4. Logo, a reta passa pelo ponto (−4, 0).
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-d).
e) Vamos determinar dois pontos da reta −x+ 2y = 4.
• para x = 0, temos y = 3(0) + 1
2
⇐⇒ y = 1
2
. Logo, a reta passa pelo ponto
(
0,
1
2
)
.
• para y = 0, temos 0 = 3x+ 1
2
⇐⇒ x = −1
6
. Logo, a reta passa pelo ponto
(
−1
6
, 0
)
.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-e).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 6
Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação da reta y = 2000 +
15x
4
onde
y representa o valor do salário e x representa o tempo de horas extras realizadas em um mês.
a) Represente o gráfico desta reta.
b) Quando o salário é igual a R$ 2030 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele mês?
c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário?
Solução:
a) Para determinar o gráfico desta reta, temos de determinar dois pontos pelos quais a reta passa.
Temos que:
• para x = 0, y = 2000 + 15(0)
4
= 2000. Logo, a reta passa pelo ponto (0, 2000).
• para y = 0, 2000 + 15x
4
= 0. Ou seja,
15x
4
= −2000⇐⇒ x = −2000 · 4
15
⇐⇒ x = −1600
3
.
Logo, a reta passa pelo ponto
(
−1600
3
, 0
)
.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 5.
-
1600
3
x HhorasL
2000
y HreaisL
Figura 5: Gráfico de y = 2000 +
15
4
x
b) Quando y = 2030 temos que 2000 +
15x
4
= 2030. Ou seja,
2000 +
15x
4
= 2030⇐⇒ 15x
4
= 2030− 2000⇐⇒ 15x
4
= 30⇐⇒ x = 30 · 4
15
⇐⇒ x = 8.
Portanto, quando o sálario é igual R$ 2030, a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês é igual a 8 h.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 7
c) Quando x = 12, temos que y = 2000 +
15(12)
4
= 2045.
Portanto, quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, o valor do salário é
igual a R$ 2045.
Exercício 7 Construa o gráfico, em R2, de cada equação a seguir e, quando possível, fatore-a.
a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3
c) y = 3x2 − 4x+ 2 d) y = −x
2
2
− x− 3
2
Solução: Para construir o gráfico da parábola y = ax2 + bx+ c, vamos seguir o seguinte roteiro:
• determinar onde a parábola intercepta o eixo x, o que equivale a dizer que y = 0. Ou seja,
devemos resolver a equação ax2 + bx+ c = 0.
• determinar onde a parábola intercepta o eixo y, o que equivale a dizer que x = 0. Ou seja,
devemos substituir x = 0 na equação y = ax2 + bx+ c para determinar o valor de y.
• determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
E, finalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções
de ax2 + bx+ c = 0.
a) Temos que
• y = 0⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1,
b = −2 e c = −3, temos
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(−2)±√16
2
=
2± 4
2
.
Logo, os valores que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são
x1 =
2 + 4
2
= 3, x2 =
2− 4
2
= −1.
E, portanto a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0).
• x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0)− 3 = −3. Portanto a parábola intercepta o eixo y no ponto
(0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−−2
2
,−16
4
)
= (1,−4)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 8
a) b)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
c) d)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
Figura 6: Exercício 7
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-a).
Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x+ 1).
b) Temos que
• y = 0⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0.
Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter-
minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(2)±√0
−2 =
−2
−2 = 1.
Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação
−3x2 + 6x− 3 = 0.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 9
Portanto a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
• x = 0⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3.
Portanto a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 2−2 ,−
0
−4
)
= (1, 0)
Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-b).
Além disso, temos que y = −3x2 + 6x− 3 = −3(x− 1)(x− 1) = −3(x− 1)2.
Observe que o gráfico da parábola dada y = −3x2+6x−3 e o gráfico da parábola y = −x2+2x−1
são diferentes, apesar de interceptarem o eixo x nos mesmos pontos e terem o mesmo vértice.
c) Temos que
• y = 0⇐⇒ 3x2 − 4x+ 2 = 0.
Usando a fórmula de Baskara, com a = 3, b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16− 24 = −8 < 0.
Logo, a equação 3x2 − 4x+ 2 = 0 não tem raízes reais.
Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = 3(0)2 − 4(0) + 2 = 2.
Portanto a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(−4)
2(3)
,−(−8)
2(3)
)
=
(
2
3
,
4
3
)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-c).
Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x+ 2.
d) Temos que
• y = 0⇐⇒ −x
2
2
− x− 3
2
= 0.
A última equação é equivalente a x2 + 2x+ 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 < 0.
Logo, temos que x2+2x+3 = 0 não tem raízes reais, assim como a equação−x
2
2
−x−3
2
= 0.
Ou seja, a parábola y = −x
2
2
− x− 3
2
= 0 não intercepta o eixo x.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determinísticos I EP11 10
• x = 0⇐⇒ y = −(0)
2
2
− 0− 3
2
= −3
2
.
Portanto a parábola intercepta o eixo y no ponto
(
0,−3
2
)
.
• (xv, yv)
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(2)
2
,−(−8)
4
)
= (−1,−2)
Como em y = −x
2
2
− x − 3
2
, a = −1
2
< 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-d).
Observe que o gráfico da parábola dada y = −x
2
2
−x− 3
2
e o gráfico da parábola y = x2+2x+3
são diferentes, apesar de não interceptarem o eixo x e terem o mesmo vértice.
Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela