AP2 2022-2 Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito – AP2 – Métodos Determińısticos II – 2/2022
Código da disciplina EAD06077
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 ATÉ 6.
Seja a função f(x) = x−2
x−5 .
Questão 1 [1,0 pto] Calcule e determine o doḿınio da função f .
Solução:
Para a função estar bem definida, é necessário e suficiente que o denominador (x − 5) não se anule.
Logo,
x − 5 ̸= 0 ⇔ x ̸= 5.
.Portanto, o doḿınio Dom(f) = R − {5}. Também pode ser escrito Dom(f) = {x ∈ R | x ̸= 5}.
Questão 2 [1,0 pto] Determine a derivada primeira da função f .
Solução:
f ′(x) = (x−2)′(x−5)−(x−2)(x−5)′
(x−5)2 = (x−5)−(x−2)
(x−5)2 = x−5−x+2
(x−5)2 = −3
(x−5)2 .
Questão 3 [1,0 pto] Faça o estudo de sinal da derivada primeira de f calculada na questão anterior
e também diga como o sinal da derivada influencia o gráfico da função. Ou seja, determine para
quais valores de x o valor da função f ′(x) será positivo, negativo ou nulo, e qual influência estes
resultados têm no gráfico de f .
Solução:
Como f ′(x) = −3
(x−5)2 é uma fração com o numerador sempre negativo e denominador sempre positivo
(observe que em x = 5 a função f não está definida, então não precisamos fazer o estudo de sinal),
a derivada será sempre negativa em todo o doḿınio de f . Logo,
• a derivada f ′(x) é negativa para todo x ∈ Dom(f) = R − {5};
• o gráfico da função f é sempre decrescente em todo o seu doḿınio.
Questão 4 [1,0 pto] Determine a derivada segunda da função f .
Solução:
f ′′(x) =
(
−3
(x−5)2
)′
= (−3)′(x−5)2−(−3)((x−5)2)′
(x−5)4 = 6(x−5)
(x−5)4 = 6
(x−5)3 .
Métodos Determińısticos II AP2 2
Questão 5 [1,0 pto] Faça o estudo de sinal da derivada segunda de f calculada na questão anterior
e também diga como o sinal da derivada segunda influencia o gráfico da função. Ou seja, determine
para quais valores de x o valor da função f ′′(x) será positivo, negativo ou nulo, e qual influência
estes resultados têm no gráfico de f .
Solução:
Observando que a derivada f ′′(x) é uma fração de numerador positivo, podemos concluir que o sinal
da derivada segunda de f será o mesmo sinal do denominador (x − 5)3 da fração, quando este for
diferente de zero. Quando o denominador for igual a zero, a função f não está definida e, por isso,
não precisamos fazer uma análise mais detalhada.
Percebemos que o o denominador (x−5)3 é uma potência ı́mpar da função (x−5). Portanto, ambas
têm o mesmo sinal. Por sua vez, x − 5 > 0 ⇔ x > 5 e x − 5 0 ⇔ x > 5, a função f terá a concavidade voltada para cima nestes valores de x;
• f ′′(x) x3 ou
3x 1, temos 3x > x3.
Portanto, a primeira integral de cálculo de área deverá ser
∫√
3
0 (3x − x3)dx.
Analogamente, no intervalo
√
3