Av1 - Cálculo Diferencial e Integral I

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1)
Marcos é dono de uma renomada fábrica de móveis em sua cidade e, visando saber informações sobre seus produtos, solicitou aos analistas de produção informações sobre o custo, a receita e o lucro.
Os analistas dessa fábrica apresentaram a Marcos que o custo de um dos seus principais produtos consiste em uma taxa fixa de R$7 000,00 mais R$ 50,00 por unidade produzida.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que forneça o custo da fábrica de Marcos se forem produzidas 250 unidades do seu principal produto.
Alternativas:
· a) R$ 5500,00.
· b) R$ 19500,00.
· c) R$ 350000,00.
· d) R$ 1750050,00.
· e) R$ 1762500,00.
2)
Podemos estudar os limites de funções a partir das propriedades operatórias, além das relações que podem ser estabelecidas com os limites laterais, desde que os limites envolvidos existam nos pontos em estudo.
Nesse contexto, analise a função cuja lei de formação é indicada no que segue:
Em relação à função apresentada, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. A função f, que consiste em uma função definida por partes, não admite limite quando x aproxima-se de 3.
PORQUE
II. Os limites laterais de f em torno de x = 3 existem e, portanto, são caracterizados por números reais.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
· a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
· b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
· c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
· d) A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
· e) As asserções I e II são proposições falsas.
3)
Ao calcular um limite, algumas vezes, podemos nos deparar com indeterminações matemáticas. Desse modo, é necessário realizar manipulações algébricas para que possamos determinar o limite. 
Sabendo disso, considere a função:
Calcule o limite da função f quando x tende ao infinito.
Qual das seguintes alternativas indica o resultado correto do limite?
Alternativas:
· a) 0.
· b) 3/10.
· c) 3.
· d) 10/3.
· e) ∞.
4)
As funções trigonométricas são aplicadas em diversas situações do nosso dia a dia. A partir disso, considere a função f(x) = sen(x), e analise as afirmativas que seguem:
I. A função f(x) é uma função trigonométrica e periódica.
II. No intervalo [0, 2π) existem dois zeros para a função.
III. Quando x = 0, a imagem correspondente é f(0) = 1.
Está correto o que se afirma apenas em:
Alternativas:
· a) I.
· b) III.
· c) I e II.
· d) II e III.
· e) I, II e III.
5)
Joaquim é um agricultor de soja e milho. Nesse ano, ele deseja reservar um espaço quadrado, com medida de lado x + 3, para o plantio de milho.
Sabemos que a área de um quadrado é dada pelo quadrado da sua medida de lado.
Assinale a alternativa que indica corretamente a função quadrática que representa a área A(x) com relação ao valor de x.
Alternativas:
· a) A(x) = x² + 6x + 9.
· b) A(x) = x² + 9.
· c) A(x) = x².
· d) A(x) = x² + 3.
· e) A(x) = 4x + 12.
ChatGPT
Você disse:
Marcos é dono de uma renomada fábrica de móveis em sua cidade e, visando saber informações sobre seus produtos, solicitou aos analistas de produção informações sobre o custo, a receita e o lucro. Os analistas dessa fábrica apresentaram a Marcos que o custo de um dos seus principais produtos consiste em uma taxa fixa de R$7 000,00 mais R$ 50,00 por unidade produzida. Com base nessas informações, assinale a alternativa que forneça o custo da fábrica de Marcos se forem produzidas 250 unidades do seu principal produto. 
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Para calcular o custo de produção de 250 unidades, basta usar a fórmula do custo total fornecida:
Custo total=Custo fixo+(Custo por unidade×Nuˊmero de unidades)Custo total=Custo fixo+(Custo por unidade×Nuˊmero de unidades)
Sabemos que:
· Custo fixo = R$ 7.000,00
· Custo por unidade = R$ 50,00
· Número de unidades = 250
Substituindo os valores na fórmula:
Custo total=7.000+(50×250)Custo total=7.000+(50×250)Custo total=7.000+12.500Custo total=7.000+12.500Custo\ total = R$ 19.500,00
Portanto, o custo de produzir 250 unidades é de R$ 19.500,00.
Você disse:
2) Podemos estudar os limites de funções a partir das propriedades operatórias, além das relações que podem ser estabelecidas com os limites laterais, desde que os limites envolvidos existam nos pontos em estudo. Nesse contexto, analise a função cuja lei de formação é indicada no que segue: f(x) = {√x-3,x 3 Em relação à função apresentada, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: I. A função f, que consiste em uma função definida por partes, não admite limite quando x aproxima-se de 3. PORQUE II. Os limites laterais de f em torno de x = 3 existem e, portanto, são caracterizados por números reais. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta. Alternativas: a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I. b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I. Alternativa assinalada c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa. d) A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira. e) As asserções I e II são proposições falsas.
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Agora que a função foi especificada como:
f(x)={x−3,se x3,f(x) = \begin{cases} \sqrt{x-3}, & \text{se } x 3, \end{cases}f(x)={x−3​,6−2x,​se x3,​
vamos analisar as asserções.
Análise da asserção I:
A asserção I afirma que a função fff não admite limite quando x→3x \to 3x→3. Para verificar isso, precisamos calcular os limites laterais.
1. Limite pela esquerda (x→3−x \to 3^-x→3−):
Para x3x > 3x>3, a função é f(x)=6−2xf(x) = 6 - 2xf(x)=6−2x.
Quando x→3+x \to 3^+x→3+, o limite é:
lim⁡x→3+f(x)=6−2(3)=0.\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6 - 2(3) = 0.x→3+lim​f(x)=6−2(3)=0.
Portanto, o limite pela direita existe e é igual a 0.
Como o limite pela esquerda não existe e o limite pela direita existe, o limite geral de f(x)f(x)f(x) quando x→3x \to 3x→3 não existe. Logo, a asserção I é verdadeira.
Análise da asserção II:
A asserção II afirma que os limites laterais de fff em torno de x=3x = 3x=3 existem e são números reais. No entanto, como vimos, o limite pela esquerda não existe (não é um número real), pois x−3\sqrt{x-3}x−3​ não está definido para xqual alternativa seria a correta!
Você disse:
3) Ao calcular um limite, algumas vezes, podemos nos deparar com indeterminações matemáticas. Desse modo, é necessário realizar manipulações algébricas para que possamos determinar o limite. Sabendo disso, considere a função: f(x) = (10x²-3x+4) / (3x²-1) Calcule o limite da função f quando x tende ao infinito. Qual das seguintes alternativas indica o resultado correto do limite? Alternativas: • a) 0. • b) 3/10. • c) 3. • d) 10/3. • e) ∞.
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Dada a função:
f(x)=10x2−3x+43x2−1f(x)=3x2−110x2−3x+4​
Vamos calcular o limite de f(x)f(x) quando x→∞x→∞.
Passo 1: Identificar os termos de maior grau
Os termos de maior grau no numerador e no denominador são 10x210x2 e 3x23x2, respectivamente. À medida que x→∞x→∞, esses termos de maior grau dominam o comportamento da função, enquanto os termos de menor grau se tornam insignificantes.
Passo 2: Dividir todos os termos pelo maior grau de xx (no caso, x2x2)
f(x)=10x2−3x+43x2−1f(x)=3x2−110x2−3x+4​
Dividimos o numerador e o denominador por x2x2:
f(x)=10−3x+4x23−1x2f(x)=3−x21​10−x3​+x24​​
Passo 3: Aplicar o limite
Quando x→∞x→∞, os termos 3xx3​, 4x2x24​, e 1x2x21​ tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
f(x)=103f(x)=310​
Resposta:
O limite da função quando x→∞x→∞ é:
lim⁡x→∞f(x)=103x→∞lim​f(x)=310​
Portanto, a alternativa correta é:
d) 10/3.
Você disse:
4) As funções trigonométricas são aplicadas em diversas situações do nosso dia a dia. A partir disso, considere a função f(x) = sen(x), e analise as afirmativas que seguem: I. A função f(x) é uma função trigonométrica e periódica. II. No intervalo [0, 2π) existem dois zeros para a função. III. Quando x = 0, a imagem correspondente é f(0) = 1. Está correto o que se afirma apenas em: Alternativas: • a) I. • b) III. • c) I e II. • d) II e III. • e) I, II e III. 
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Vamos analisar cada afirmativa sobre a função f(x)=sin⁡(x)f(x)=sin(x):
I. "A função f(x)f(x) é uma função trigonométrica e periódica."
· Verdadeiro. A função seno é uma função trigonométrica e periódica, com período de 2π2π. Isso significa que seu valor se repete a cada intervalo de 2π2π.
II. "No intervalo [0,2π)[0,2π) existem dois zeros para a função."
· Verdadeiro. A função sin⁡(x)sin(x) tem zeros quando x=0x=0 e x=πx=π dentro do intervalo [0,2π)[0,2π). Assim, existem dois zeros nesse intervalo.
III. "Quando x=0x=0, a imagem correspondente é f(0)=1f(0)=1."
· Falso. Para x=0x=0, temos sin⁡(0)=0sin(0)=0. Portanto, a afirmação está incorreta.
Conclusão:
As afirmativas I e II estão corretas, enquanto a afirmativa III está incorreta.
Portanto, a alternativa correta é:
c) I e II.
Você disse:
5) Joaquim é um agricultor de soja e milho. Nesse ano, ele deseja reservar um espaço quadrado, com medida de lado x + 3, para o plantio de milho. Sabemos que a área de um quadrado é dada pelo quadrado da sua medida de lado. Assinale a alternativa que indica corretamente a função quadrática que representa a área A(x) com relação ao valor de x. Alternativas: • a) A(x) = x² + 6x + 9. • b) A(x) = x² + 9. • c) A(x) = x². • d) A(x) = x² + 3. • e) A(x) = 4x + 12. 
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Sabemos que a área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado, e que o lado do quadrado é x+3x+3.
Então, a função que representa a área A(x)A(x) é:
A(x)=(x+3)2A(x)=(x+3)2
Agora, vamos expandir essa expressão:
A(x)=(x+3)(x+3)=x2+3x+3x+9=x2+6x+9A(x)=(x+3)(x+3)=x2+3x+3x+9=x2+6x+9
Portanto, a função que representa a área é:
A(x)=x2+6x+9A(x)=x2+6x+9
Resposta:
A alternativa correta é:
a) A(x) = x² + 6x + 9.
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