Construção de gráficos

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Função : )x(fy =
Passos: 
1. Encontrar o domínio de . f
2. Calcular as intersecções com os eixos, fazendo para isto, 0x = e 0y = . 
3. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, fazendo o estudo do sinal da primeira derivada. 
4. Encontrar os máximos e mínimos. 
5. Calcular a concavidade e os pontos de inflexão, estudando o sinal da segunda derivada. 
6. Encontrar as assíntotas. 
7. Construir o gráfico. 
Exemplos 
(A) 34 x4x3)x(f +=
 
1. R=)f(Dm
 
2. Intersecção: ( )0,000.40.3y0x 34 ⇒=+=⇒= 
( ) ( )0,3/40,03/4x0x0)4x3(x0x4x30y 334 −⇒−==⇒=+⇒=+⇒= e ou 
 
3. Derivando. 
23 x12x12'y += 
⇒= 0'y 1x0x0)1x(x120x12x12 223 −==⇒=+⇒=+ ou 
 -1 
Sinal. : + 'y
Logo, 
 
Crescente: e Decrescente: )[ ∞+− ,1 ]( 1,−∞−
 
4. é ponto de mínimo. Assim, 1x −= ( ) ( ) ( )1,111.41.3y 34 −−⇒−=−+−= . Não existe ponto de máximo. 
 
5. Calculando . ''y
x24x36''y 2 += 
⇒= 0''y (parábola com concavidade 
voltada para cima) 
3/2x0x0)2x3(x120x24x36 2 −==⇒=+⇒=+ ou 
 -2/3 0 
 Sinal. + + Logo, :''y
 
CVB: [ ] 0,3/2−
CVC: ]( )[ ∞+∪−∞− ,03/2,
 
Pontos de inflexão: e . Assim, 3/2x −= 0x = ( )59,0;3/2 −− e ( )0,0 . 
 
6. Assíntotas não existe, pois é um polinômio. )x(fy =
 
7. Gráfico 
 -1 -2/3 0 
 
 ↓ ↑ ↑ ↑ 'f
 
 C C B C ''f
−1 1
−1
1
x
y
 
 
 
 
−2/3
−16/27
−4/3
 
 
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8,1
4x
x)x(f 2
2
−−= (B) 
 
1. { }2,-2-R=)f(Dm
 
2. Intersecção: ( )8,1;08,1y0x −⇒−=⇒= 
3x3x9
8,0
2,7x02,7x8,00
4x
2,7x8,1x08,1
4x
x0y 222
22
2
2
−==⇒==⇒=+−⇒=−
+−⇒=−−⇒= ou ( )0,3 e ( ) 0,3−
 
3. Derivando. 
( )22 4x x8'y −−= ⇒ 0x0x80'y =⇒=−⇒= 
 0 
Sinal. : + (Observe que o denominador é positivo.) 'f
Logo, 
Crescente: e Decrescente: ] {( 20, −−∞− } )[ { }2,0 −∞+ . (Observe que )f(Dm2,2x ∉−= .) 
4. =x é ponto de máximo. Assim, ( )8,1;08,18,1
40
0y −⇒−=−−= 
5. Calculando , temos que ''y ( )32
2
4x
32x24''y −
+= . 
impossível
24
32x032x240''y 2 ∴−±=⇒=+⇒= . Logo, não existe raiz. Assim, , pois a 
parábola tem concavidade voltada para cima. 
032x24 2 >+
 -2 2 
 Sinal. + + Logo, CVB: :''y ( )2,2− e CVC: ( ) ( )+∞∪−∞− ,22, 
 
Ponto de inflexão não existe pois . )f(Dm2,2x ∉−=
 
6. Assíntotas. 
Horizontal. 
1y18,1
4x
xlim18,1
4x
xlim 2
2
x2
2
x
−=⇒−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −− −∞→+∞→ e é uma assíntota horizontal. 
Vertical. ( “Os pontos fora do domínio”.) 
2x2x8,1
0
48,1
4x
xlim8,1
0
48,1
4x
xlim 2
2
2x2
2
2x
=−=⇒∞=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−∞=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −− ++ →−→ e e são assíntotas verticais. 
 
7. Gráfico 
 
 -2 0 2 
 
 ↑ ↑ ↓ ↓ 'f
 
 C B B C ''f
−6 −3 3 6 9
−9
−6
−3
3
6
x
y
 
 
 −1
−1,8