Avaliação II - Individual Álgebra

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:1522449)
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Prova 105619161
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação 
linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações 
lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções III e IV estão corretas.
B As opções I e II estão corretas.
C As opções II e III estão corretas.
D Somente a opção IV está correta.
As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando 
estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas 
áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor 
resultante da operação w = u - 2v, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) w = (4,5).
( ) w = (-1,-1).
( ) w = (-5,4).
( ) w = (2,-1).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B F - F - V - F.
C F - V - F - F.
D V - F - F - F.
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A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor 
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida 
em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou 
módulo) do vetor z = (3,4):
A 3.
B Raiz de 10.
C 5.
D Raiz de 5.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por 
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou 
norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este 
resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, 
determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORREA que apresenta um conjunto de vetores LI:
A {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
B {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
C {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
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D {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na 
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um 
plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que 
estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B As sentenças I e III estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D As sentenças I e IV estão corretas.
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços 
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Baseado neste 
conceito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R².
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B F - F - V - V.
C F - F - F - V.
D V - V - V - F.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
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Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(0,-1,0);(1,0,-1)].
B [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
C [(0,1,0);(1,0,-1)].
D [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui 
a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação 
T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções I e IV estão corretas.
D As opções II e III estão corretas.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
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A V - F - F - F.
B V - V - V - F.
C F - F - F - V.
D F - V - F - F.
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