I - DER. DEF. E INTR. RETAS TANG. TÉC. DE DER. E DER. TRIG.

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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
 CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
	
 ASSUNTO: DERIVADAS INTRODUÇÃO E DEFINIÇÃO 
 	 		
 PROFESSOR: MARCOS AGUIAR	 CÁLCULO I
Retas Tangentes e Taxas de Variação
Reta tangente
As retas tangentes a gráficos têm muitas aplicações no cálculo. Na geometria a reta tangente 
 em um ponto 
 de um círculo pode ser interpretada como a reta que intercepta (toca) o círculo em apenas um ponto figura 1. Não podemos estender esta interpretação ao gráfico de uma função 
qualquer, pois a reta pode “tocar” (tangenciar) o gráfico de 
 em um determinado ponto P e interceptá-la novamente em outro ponto figura 2.
 
 figura 1. figura 2.
Nosso intuito é definir o coeficiente angular da tangente em P, com objetivo de determinar a equação da reta 
.
Notação: 
: A secante por P e Q
 
: O coeficiente angular de 
 
: O coeficiente angular da tangente 
 em 
 figura 3. (i), (ii), (iii)
	Figura 3.
O coeficiente angular da reta secante 
 é 
Se 
é contínua em 
, podemos fazer 
 tender para 
 fazendo 
 tender para 
, então 
, desde que o limite exista.
Fazendo 
, ou equivalentemente, 
. Observando a figura 4. Podemos escrever.
 
 
 R
	Figura 4.
Como 
 equivale a 
, logo podemos definir o coeficiente angular 
 da tangente 
 assim:
Definição.
	
O coeficiente angular 
 da tangente ao gráfico de uma função 
 em 
 é
	
 
Desde que o limite exista.
Exemplo:
Use a definição para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de 
 em 
Determine a equação da tangente e da normal em 
Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal
Solução: 
	
	
Reta tangente.
 
Reta Normal.
Coeficiente angular da reta normal - 
Relação entre o coeficiente da reta tangente e da reta normal
Logo, 
 
Tangente horizontal
 
Logo o ponto e 
1.2. VELOCIDADE MÉDIA
 Definição
	
A velocidade média de um móvel que percorre uma distância 
 num tempo 
 é
 
Podemos escrever a definição acima como segue
Desde que o limite exista
 
 
 Exemplo:
De um balão a 150 m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância 
 do solo ao saco de areia em queda, após 
 segundos, é dada por 
. Determinar a velocidade do saco de areia.
quando 
 segundos
quando 
 segundos
 no instante que ele toca no solo.
Solução:
 a ) Considere o saco de areia movendo-se ao longo de uma coordenada vertical 
 com origem no solo. Note que no instante que o saco é jogado, 
 
 
Para achar a velocidade do saco de areia quando 
b) 
 
c) 
 
Neste instante, a velocidade de impacto é dada por 
1. 3 Taxa Média de Variação 
Definição:
	
Seja 
, onde 
 é definida em um intervalo aberto contendo 
.
A taxa média de variação de 
 em relação a 
 no intervalo 
 é
1.4. Taxa Instantânea de Variação
	
Seja 
, onde 
 é definida em um intervalo aberto contendo 
.
A taxa instantânea de variação de 
 em relação a 
 em 
 é
 
, desde que o limite exista 
1.5. Taxa de Variação Relativa
	
A taxa de variação relativa ( TVR ) de uma grandeza 
 em relação a 
 é dada pela razão
 
, 
1.6. Taxa de Variação Percentual
	
A taxa de variação percentual ( TVP ) de uma grandeza 
 em relação a 
 é dada pela razão
 
, 
Exemplo:
CUSTO DE PRODUÇÃO. Um gerente determina que o custo para produzir 
 unidades de um certo produto é C milhares de reais, onde 
.
Determine o custo médio quando o nível de produção varia de 
 para 
 unidades.
Use os métodos de cálculo para determinar a taxa instantânea de variação do custo com um nível de produção para 
 e compare o resultado com o do item (a). O custo está aumentando ou diminuindo quando a produção é de 10 unidades?
Solução:
 a) 
b) 
 a unidade
Exercícios.
a) Obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de 
 em 
.
Determine a equação da tangente em 
.
Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal
1. 
	2. 
	 3. 
4. 
	5. 
	 6. 
a) Obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com abscissa a.
b) Estabeleça a equação da tangente em P. 
1. 
	2. 
	 3. 
4. 
	
A função posição 
 de um ponto p que se move em uma reta coordedenada P é dada por 
 segundos e 
 em centímetros.
Ache a velocidade media em P nos seguintes intervalos de tempo: 
Determine a velocidade de P em 
.
 13. 
 14. 
15. Um balonista deixa cair, de um balão, um saco de areia, de 160 m do solo. Após 
 segundos, o saco de areia está a 
 do solo.
Ache a velocidade do saco de areia em 
.
Com que velocidade o saco de areia atinge o solo.
16. LUCRO. Um fabricante de DVD determina que, quando 
 centenas de unidades são produzidas, o lucro é 
 reais.
Calcule a taxa instantânea de variação do custo com um nível de produção?
Determine o valor de 
 para o qual 
 ( taxa instantânea ). Qual é o significado do nível de produção 
 para o qual isto acontece?
PRODUÇÃO DE UMA FÁBRICA. Em uma certa fábrica determina-se que Q unidades são produzidas quando L homens-horas são usados na produção, onde 
.
Determine a taxa média de variação de produção quando a mão-de-obra varia de 
 homens-horas para 
 homens-horas.
Use os métodos de cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da produção com a mão-de-obra para 
.
DESPESA DO CONSUMIDOR. A demanda de um certo produto é dada por 
, ou seja, 
 unidades são demandadas ( vendidas ) quando o preço unitário é 
 reais.
A despesa do consumidor 
 reais é a quantia total paga pelos consumidores para comprar 
 unidades. Expresse a despesa do consumidor E em função de 
.
Determine a variação média da despesa do consumidor quando 
 varia de 
 para 
.
Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da despesa do consumidor com o número de unidades compradas para 
. A despesa está aumentando ou diminuindo para 
?
A DERIVADA
 Estudamos anteriormente o limite 
, este limite é a base de um dos conceitos fundamentais do cálculo, a derivada, definida a seguir.
Definição:
	
 A derivada de uma função 
 é a função 
 definida por 
Desde que o limite exista.
A afirmação 
 existe significa que o limite existe. Neste caso dizemos que 
 é diferenciável em 
, ou que 
tem derivada em 
. Se o limite não existe então 
 não é diferenciavel em 
.
Definição alternativa da derivada
	
Aplicações da derivada
	
Tangente: o coeficiente angular da tangente ao gráfico de 
 no ponto 
 é 
Taxa de variação: se 
, a taxa instantânea de variação de 
 em relação a 
em 
 é 
Como caso especial de (ii), que se 
 denota o tempo 
 é a posição de um ponto P em uma reta coordenada, então 
 é a velocidade P no instante t.
Uma função é diferenciável em um intervalo aberto 
 se 
 existe para todo 
 em 
.
Definição.
	
Uma função 
 é diferenciável em um intervalo fechado 
 se 
 é direrenciável no intervaloaberto 
 e se os seguintes limites existirem:
 e 
Os limites laterais da definição costumam ser designados por derivada à direita e derivada à esquerda de 
.
O domínio da derivada.
O domínio da derivada 
 consiste em todos pontos ou números para os quais 
 é diferenciável, e também, possivelmente em pontos extremos do domínio de 
sempre que exista os limites laterais, tal como indicada na figura 1.
 
 Figura 1.
Se 
 é definida em um intervalo aberto que contém 
, então 
 existe se e somente se as derivadas à esquerda e à direita existem e são iguais. As funções cujos gráficos se acham esboçados na figura 2 tem derivadas à esquerda e à direita de 
, as quais são os coeficientes angulares das retas 
 respectivamente. Como os coeficientes de 
 são diferentes, 
 não existe. O gráfico de 
 tem um ponto anguloso em 
 se 
 é contínua em 
 e se as derivadas à esquerda e à direita de 
 existem e são diferentes, ou se uma das derivadas em 
 existe e 
 quando 
 ou 
. 
 Figura 2.
Definição:
	
O gráfico de uma função 
 tem uma tangente vertical 
 no ponto 
 se 
 é contínua em 
 e se 
A figura 3 (i) e (ii) ilustra alguns casos típicos de tangente Vertical.
A figura 3 (iii). O ponto P, é chamada de ponto de reversão ou ponto cuspidal.
Definição:
	
Um ponto 
 do gráfico de uma função 
 é chamado Ponto de reversão, ou ponto cuspidal, se 
 é contínua em 
 e prevalecem as duas condições seguintes:
(i) 
 quando 
tende para 
 por um lado.
(ii) 
 quando 
tende para 
 pelo outro lado.
 
 Figura 3.
Teorema:
	
Se uma função 
 é diferenciável em 
, então é contínua em 
2.1 Derivada de uma função linear
	
Se 
2.2 Derivada de uma constante.
	
Se 
2.3 Regra da potência.
	
Seja 
 inteiro. Se 
, então 
, desde que 
 quando 
Teorema:
	
2.4 Notações para a derivada de 
	 
Cada um dos símbolos 
 é chamado operador diferencial.
, Chamamos a derivada de 
 em relação a 
 
 Derivadas Sucessivas.
Derivadas de derivadas são chamadas de derivadas sucessivas
Notação de derivadas sucessivas.
Exercícios:
Use a definição para achar 
Determine o domínio de 
Escreva a equação da tangente ao gráfico no ponto P
Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
1. 
	 2. 
	 
 3. 
	4. 
	
 
II. Determine 
Determine o domínio de 
Escreva a equação da tangente ao gráfico no ponto P
Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
1. 
	 2. 
	 
3. 
	 4. 
	
5. 
	 6. 
	 
7. 
	 8. 
 
 
Determine as três primeiras derivadas.
1. 
	 2. 
	3. 
4. 
	 5. 
	6. 
4. 
	 5. 
	6. 
5. 
	6. 
IV. 
 é diferenciável no intervalo dado?. Explique.
1. 
2. 
V. Utilize o gráfico de 
 para determinar se 
 é diferenciável no intervalo dado.
1. 
2. 
VI. Determine se 
 tem
a) Tangente vertical em 
b) Ponto de reversão em 
1. 
	 2. 
	3. 
1. 
	 2. 
	3. 
Dada a função posição 
 de um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada 
, determine os instantes em que a velocidade tem o valor 
1. 
	 2. 
	
VII. Resolva os problemas:
1. A relação entre a temperatura 
 na escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius é dada por 
. Determine a taxa de variação de F em relação a C.
2. A lei de Chales para gases afirma que se a pressão permanece constante, então a relação entre o volume V que um gás ocupa e sua temperatura T ( em °C ) é dada por 
. Determine a taxa de variação de T em relação a V
3. Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio é numericamente igual à área da esfera.
4. Mostre que a taxa de variação do raio de um círculo em relação à circunferência é independente do tamanho de círculo.
5. Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a área A da superfície da mancha varia em relação ao o raio do círculo para:
a) 
 arbitrario	b) 
6. Um balão esférico está sendo inflado. Determine a taxa na qual seu volume varia em relação ao raio do balão para:
a) 
 arbitrario	b) 
7. Em algumas aplicações, os valores funcionais 
 podem ser conhecidos apenas para alguns valores de 
, próximos de 
. Em tais situações, 
 costuma ser aproximada pela fórmula 
a) Interprete esta fórmula graficamente.
b) Mostre que 
c) Se 
, use a fórmula de aproximação para estimar 
 com 
d) Determine o valor exato de 
 8. Use a fórmula de aproximação 
 para mostrar que se 
, então 
a) 
b) Se 
, use a fórmula de aproximação para estimar 
 com 
 
3. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
Sejam 
 e 
 funções diferenciáveis , 
 são números reais e 
 é um número racional.
Regras de derivação.
	
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
(v) 
(vi) 
Regra do produto.
	
 ou
Regra do Quociente
	
 ou 
 
EXERCÍCIOS:
Calcule a derivada
1. 
	 2. 
	3. 
4. 
	 5. 
	6. 
7. 
 8. 
 9. 
 
10. 
 11. 
 12. 
 
13. 
 14. 
 15. 
 
 
II. Resolva a equação 
16. 
	17. 
18. 
	19. 
	20. 
III. Resolva a equação 
21. 
	22. 
	20. 
4. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4.1 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		
Para obter fórmulas para derivadas de funções trigonométricas, é necessário provar vários resultados sobre limites. Sempre que nos referimos a limites de expressões trigonométricas envolvendo 
 etc. Supondo que cada variável representa a medida de um ângulo em radianos ou em um número real.
Considerando o círculo trigonométrico da figura 1. Onde 
 é o ângulo na posição padrão no sistema de coordenadas. As coordenadas do ponto 
. Pela definição de seno e co – seno se 
, então 
 e 
, sugere o teorema.
 
 Figura 1.
Teorema 1.
	
Demonstrações.
De acordo com a figura 1, vemos que.
 (1)
Pela definição da medida em radianos de um ângulo 
 assim podemos escrever a desigualdade (1) pode ser escrita
Como 
 segue – se que 
.
Para concluir a prova basta mostrar 
. Se 
, então 
, daí 
, como 
 temos, 
.
Como 
 segue – se que 
.
 
Como 
, obtemos 
.
 Se 
, então 
 é positivo e 
. Conseqüentemente,
 
Teorema 2.
	
Demonstração.
Se 
, como mostra na figura 2 onde U é um círculo unitário. Note que 
.
 
 Figura 2
Observando a figura 2.
Área do 
Área do 
Área do 
Área do 
Podemos escrever a desigualdade
 dividindo por 
,temos
 , é verdadeira se 
 ou 
 daí
Como 
, pelo teorema do Sanduíche 
, logo 
Teorema 3.
	
Levantando a indeterminação 
Derivadas de funções trigonométricas.
	
Demonstração.
�� EMBED Equation.DSMT4 
Como 
, logo
Como exercício demonstrar (ii) usando a definição de derivada e provar (iii), (iv), (v) e (vi).
Exercícios.
Calcule a derivada.
1. 
	2. 
	3. 
 4. 
5. 
	6. 
	7. 
 8. 
9.10. 
 11.
 12.
13. 
 14. 
 15.
 16. 
17. 
 18. 
 19. 
 
20. 
 21. 
 22. 
 23.
 24.
 25. 
 26. 
 27.
 28. 
 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 
 SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do 
 Brasil, 1994.
Laurence D. Hoffmann e Gerald L. Bradley, Cálculo Um Curso Moderno e Suas Aplicações 7ª ed. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2002. 
 ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000
GUIDORIZZI, HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. V. 1 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2003. 
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