aula 1 - naturais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA- UFBA 
DISCIPLINA: Matemática Discreta II – MAT A97 
Michele Novais 
 
1. INTRODUÇÃO DOS NÚMEROS 
 
1.1 . NÚMEROS NATURAIS 
Toda a teoria dos números naturais pode ser deduzida dos três 
axiomas abaixo, conhecidos como axiomas de Peano. 
São dados, como objetos não definidos, um conjunto cujos 
elementos são chamados números naturais, e uma função . Para 
cada o número , valor que a função assume no ponto n, é 
chamado sucessor de n. 
A função s satisfaz aos seguintes axiomas: 
P1: é injetiva, isto é, dois números que tem o mesmo sucessor 
são iguais. 
P2: consta de um único elemento. Isto é, existe um único 
número natural que não é sucessor de nenhum outro. 
P3: (Princípio de indução) Se é um subconjunto tal que e, 
 e e e e . 
Uma demonstração na qual o axioma P3 é empregado, chama-se 
demonstração por indução. 
Podemos definir em as seguintes operações: 
(I) Operaç Adiç perad r “+” 
a. + 
b. + + + 
(II) Operaç de l iplicaç perad r ” .” 
a. . 
b. + . + 
 
Precisamos provar que essas operações são de fato operações em 
 .Isto é, mostrar que: 
 + e . estão bem definidas. 
 
(I) Mostrar que a soma está bem definida. 
Demonstração: 
 
 
 
 
2 
 
 
(II) Mostrar que o produto está bem definido. 
Demonstração: 
 
 
 
 
Lema 1: e : 
I. + + 
II. n.1 = 1.n 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
PROPOSIÇÃO 2: As operações de adição e multiplicação, preservam, 
 : 
(i) + + + + ( associatividade) 
(ii) + + (distributividade) 
(iii) . . . . (associatividade da multiplicação.) 
(iv) + + c a i idade da adiç 
(v) . . (comutatividade da multiplicação) 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Assim, podemos apresentar os números naturais da seguinte forma: 
 
 
 ç 
 ç 
 ç . 
 ç 
 ç 
 ç ç ç . 
 
1.2. NÚMEROS INTEIROS 
No conjunto dos números naturais, a diferença entre e não está 
definida. Mas há questões sobre os números naturais em que o minuendo 
é maior que subtraendo – exemplo gastar mais do que se tem . Por isso foi 
preciso ampliar o conjunto dos números,adicionando a os números 
negativos e naturalmente houve a necessidade de estender as operações e 
as relações de ordem de . 
Chama-se conjunto dos números inteiros – símbolo - O seguinte 
conjunto: 
 
No conjunto distinguem-se três subconjuntos notáveis: 
(1) 
 
(2) 
(3) 
 
Em estão definidas as operações as operações de multiplicação e adição, 
todas as propriedades de e as seguinte propriedades: 
 ç + 
[A4] + .
 ç 
Uma importante noção que devemos ter a respeito de é a noção de 
divisor. 
 ç . . . Dizemos que o inteiro é divisor de - notação 
quando existe um inteiro al e . 
Quando é divisor de dizemos que é divisível por . Ou é múltiplo 
de . 
1.3. NÚMEROS RACIONAIS 
4 
 
Dado um número e o inverso de não existe em . Isto é, 
 
 
 . Por isso não podemos definir em a peraç e de di i , dando 
significado ao símbolo 
 
 
. Daí surge a necessidade de definir outro 
conjunto de números. Os números racionais. 
 ç . . . Chama-se conjunto dos números racionais – notação - 
o conjunto das frações 
 
 
 onde e para os quais adotam-se as 
seguintes propriedades: 
(i) Igualdade 
 
 
 
 
 
 
(ii) Adição 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
(iii) Multiplicação 
 
 
.
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades; 
[A1] 
 
 
+
 
 
 +
 
 
 
 
 
+ 
 
 
+
 
 
 
[A2] 
 
 
+
 
 
 
 
 
+
 
 
 
[A3] 
 
 
+ 
 
 
 
[A4] 
 
 
+ 
 
 
 
[M1] 
 
 
.
 
 
 .
 
 
 
 
 
. 
 
 
.
 
 
 
[M2] 
 
 
. 
 
 
 
[M3] ] 
 
 
.
 
 
 
 
 
.
 
 
 
[D] 
 
 
. 
 
 
+
 
 
 
 
 
.
 
 
+
 
 
.
 
 
 
Isto é, as mesmas propriedades vistas para os números 
inteiros. Além dessas: 
[M4] Simétrico ou inverso para a multiplicação 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 al e 
 
 
.
 
 
 
Devido a propriedade [M4]. Devido à propriedade [M4] podemos definir 
em as operações de divisão, estabelecendo que 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 
NOTA: notemos que os números racionais 
 
 
 pode ser representado por 
um número decimal. 
 
 
5 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Mostre que: 
(a) + + + + 
(b) + + + + 
 
2. Demonstre por indução que : 
 
a. 
b. 
 
3. Prove que o produto de dois números inteiros é ímpar se, e 
somente se, ambos os números são ímpar. 
 
4. Prove que: 
a. ad par e par e par. 
b. par e par. 
c. par e + par.