Aula 20

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Matrizes Ortogonais; Mudanc¸a de Bases
Sec¸a˜o 6.5
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
18 de outubro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Matrizes Ortogonais; Mudanc¸a de BasesSec¸a˜o 6.5
Matrizes Ortogonais
Definic¸a˜o
Uma matriz ortogonal e´ uma matriz quadrada A com a propriedade
A−1 = AT .
Exemplo
A matriz  37 27 67−67 37 27
2
7
6
7 −37

e´ ortogonal por AAT = I . Teste!
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Matrizes Ortogonais
Exemplo
A matriz canoˆnica para a rotac¸a˜o anti-hora´ria do R2 por um aˆngulo θ e´[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
Esta matriz e´ tambe´m ortogonal!
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Matrizes Ortogonais
Theorem (Teorema 6.5.1)
As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes para uma matriz A de tamanho
n × n:
(a) A e´ ortogonal.
(b) Os vetores-linha de A formam um conjunto ortonormal de
Rn em relac¸a˜o ao produto interno euclidiano.
(c) Os vetores-coluna de A formam um conjunto ortonormal de
Rn em relac¸a˜o ao produto interno euclidiano.
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Matrizes Ortogonais
Demonstrac¸a˜o.
Prova: mostraremos a equivaleˆncia entre (a) e (b) primeiro. Escrevendo a
matriz A como uma matriz de n linhas ~ri , temos que
AAT =

~r1 ·~r1 ~r1 ·~r2 · · · ~r1 ·~rn
~r2 ·~r1 ~r2 ·~r2 · · · ~r2 ·~rn
...
...
...
~rn ·~r1 ~rn ·~r2 · · · ~rn ·~rn

Para que A seja ortogonal, AAT = I , ou seja,
~r1 ·~r1 = ~r2 ·~r2 = · · · = ~rn ·~rn = 1 enquanto que ~ri ·~rj = 0 quando i 6= j . A
prova de (c) e´ equivalente.
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Matrizes Ortogonais
Theorem (Teorema 6.5.2)
(a) A inversa de uma matriz ortogonal e´ ortogonal.
(b) Um produto de matrizes ortogonais e´ ortogonal.
(c) Se A e´ ortogonal, enta˜o det(A) = 1 ou det(A) = −1.
Demonstrac¸a˜o.
Prova: (a) Se A e´ ortogonal, enta˜o AAT = I . Tomando a inversa deste
produto temos (AAT )−1 =
(
A−1
)T
A−1 = I = A−1
(
A−1
)T
. (b) Se A e B
sa˜o ortogonais, enta˜o o produto AB tambe´m sera´ pois
AB(AB)T = ABBTAT = AAT = I . (c) Usando a propriedade dos
determinantes, se A e´ ortogonal, enta˜o det(AAT ) = det(A)2 = 1, o que
implica em det(A) = ±1.
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Matrizes Ortogonais
Exemplo
A matriz
A =
[
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
]
e´ ortogonal pois seus vetores-linha formam um conjunto ortonormal do R2.
Ale´m do mais, e´ fa´cil verificar que det(A) = 1.
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Matrizes Ortogonais
Theorem (Teorema 6.5.3)
Se A e´ uma matriz n × n, as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes.
(a) A e´ ortogonal.
(b) ||A~x || = ||~x || para qualquer ~x ∈ Rn.
(c) A~x · A~y = ~x · ~y para quaisquer ~x , ~y ∈ Rn.
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Matrizes Ortogonais
Demonstrac¸a˜o.
Prova: Iremos verificar as implicac¸o˜es (a) −→ (b) −→ (c) −→ (a).
(a) −→ (b): temos que se A e´ ortogonal, enta˜o
||A~x || =
√
(A~x)TA~x =
√
~xTATA~x = ||~x ||. (b) −→ (c): temos, pelo
teorema 4.1.6 que
A~x ·A~y = 1
4
||A~x +A~y ||2+ 1
4
||A~x−A~y ||2 = 1
4
||~x +~y ||2+ 1
4
||~x−~y ||2 = ~x ·~y .
(c) −→ (a): Note que, em notac¸a˜o de matrizes,
A~x · A~y = (A~x)TA~y = ~xTATA~y = ~x · ~y para quaisquer ~x , ~y ∈ Rn, o que
demanda ATA = I .
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Matrizes Coordenadas
Matrizes Coordenadas Vimos que se S = {v1, v2, · · · , vn} e´ uma base
num espac¸o vetorial V , enta˜o cada vetor v ∈ V pode ser escrito de
maneira u´nica como uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base, ou seja,
v = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn .
Os escalares k1, k2, · · · , kn sa˜o as coordenadas de v em relac¸a˜o a S , e o
vetor
(v)S = (k1, k2, · · · , kn)S
e´ o vetor de coordenadas de v em relac¸a˜o a S . Mesmo que o espac¸o na˜o
seja o Rn, e´ conveniente listar as coordenadas como uma matriz n × 1.
Definimos enta˜o
[v]S =

k1
k2
...
kn

como sendo a matriz coordenadas de v em relac¸a˜o a` S .
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Matrizes Coordenadas
Exemplo
Seja o espac¸o vetorial P2 e seja a base
S = {p1 = 1 + x , p2 = 1− x , p3 = x2}. Qualquer polinoˆmio em P2 pode
ser escrito como uma combinac¸a˜o dos vetores da base
p(x) = k1p1 + k2p2 + k3p3 .
A matriz de coordenadas de p(x) em relac¸a˜o a S e´
[p(x)]S =
k1k2
k3

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Mudanc¸a de Base
Problema da mudanc¸a de base
Se no´s mudarmos a base de um espac¸o vetorial V , de uma base velha B para
uma base nova B ′, qual e´ a relac¸a˜o entre a velha matriz de coordenadas [v]B de
um vetor v em relac¸a˜o a nova matriz de coordenadas [v]B′?
Resposta
Sejam duas bases de um espac¸o vetorial n-dimensional V
B = {u1,u2, · · · ,un} e B ′ = {u′1,u′2, · · · ,u′n}
Sejam as matrizes de coordenadas dos vetores da base B ′ escritas em relac¸a˜o a
base velha B
[u′1]B =

p11
p21
...
pn1
 , [u′2]B =

p12
p22
...
pn2
 , · · · , [u′n]B =

p1n
p2n
...
pnn

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Mudanc¸a de Base
continuac¸a˜o
isto e´,
u′1 = p11u1 + p21u2 + · · ·+ pn1un
...
u′n = p1nu1 + p2nu2 + · · ·+ pnnun
Seja
P ≡

p11 p12 · · · p1n
p21 p22 · · · pn2
...
...
...
pn1 pn2 · · · pnn
 = [[u′1]B [u′2]B · · · [u′n]B ]
e considere o vetor v ∈ V na base B ′, ou seja
v = k1u
′
1 + · · ·+ knu′n = k1(p11u1 + p21u2 + · · ·+ pn1un)
+ · · ·+ kn(p1nu1 + p2nu2 + · · ·+ pnnun)
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Mudanc¸a de Base
continuac¸a˜o
Re-arranjando os termos obtemos
[v]B = P[v]B′
onde P e´ a matriz de transic¸a˜o, composta por colunas formadas pelas matrizes
da base nova escritas em termos da base velha.
Exemplo
Considere as bases B = {~u1, ~u2} e B ′ = {~u′1, ~u′1} de R2, onde
~u1 = (1, 0), ~u2 = (0, 1), ~u
′
1 = (1, 1), ~u
′
2 = (2, 1) .
(a) Encontre a matriz transic¸a˜o de B ′ para B.
(b) Encontre [~u]B se [~u]B′ =
[−3
5
]
(c) Verifique que P na˜o e´ uma matriz ortogonal! Isso vem do fato de
as bases na˜o serem ambas ortonormais!
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Mudanc¸a de Base
Propriedades da matriz P (Teorema 6.5.4)
Se P e´ a matriz de transic¸a˜o de uma base B ′ para uma base B em um
espac¸o vetorial de dimensa˜o finita V , enta˜o:
(a) P e´ invert´ıvel.
(b) P−1 e´ a matriz de transic¸a˜o de B para B ′.
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Mudanc¸a de Base
Theorem (Teorema 6.5.5)
Se P e´ a matriz de transic¸a˜o de uma base ortonormal para outra base
ortonormal em um espac¸o com produto interno, enta˜o P e´ uma matriz
ortogonal, isto e´,
P−1 = PT
Demonstrac¸a˜o.
Se ambas sa˜o bases ortonormais, enta˜o 〈ui ,uj〉 = δij = 〈u′i ,u′j〉. Pelo
teorema 6.3.2a mostramos que a norma de qualquer vetor v ∈ V e´ a
mesma em qualquer base ortonormal, sendo assim
||[v]B || = ||P[v]B′ ||
o que implica em PPT = I pelo teorema 6.5.3.
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Mudanc¸a de Base
Exemplo
Considere a rotac¸a˜o de um sistema de coordenadas retangulares xy no
sentido anti-hora´rio em torno da origem por um aˆngulo θ, produzindo um
novo sistema de coordenadas retangulares x ′y ′. Dado ~u = (u1, u2) no
sistema de coordenadas na˜o rotado, encontre suas coordenadas escritasno
novo sistema de coordenadas.
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 6.5 do livro texto
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