Função Determinante unidde 02 geometria

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Função Determinante
e Matriz Inversa
2
2.1 Introdução
2.2 Regras de Sarrus
2.3 Propriedades dos determinantes
2.4 Calculando Determinantes através de redução por linhas
2.5 Expansão em Co-fatores: Regra de Cramer
2.6 Inversa de uma matriz
50
53
55
57
59
63
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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OBJETIVOS:
01_Calcular determinantes pelo método da triangularização; 
02_Encontrar o determinante pelo método de Cramer; 
03_Obter a matriz inversa (caso exista), pela definição; 
04_Aplicar operações elementares às linhas de uma matriz; 
05_Obter a matriz inversa (caso exista), por operações elementares; 
2.1 INTRODUÇÃO
O conceito de determinante de uma matriz quadrada tem grande relevância dentro da teoria 
de matrizes. Os determinantes têm grande utilidade na hora de resolver sistemas de equações 
lineares (os chamados sistemas de Cramer), discutir a existência das soluções dos sistemas de 
equações lineares e analisar a dependência linear de um conjunto de vetores (o que, entre outras 
coisas, nos permitirá identificar possíveis bases de um espaço vetorial). Além disso, a interpreta-
ção geométrica dos determinantes nos permite calcular, de forma específica, áreas e volumes de 
figuras geométrica, realizar produtos vetoriais e encontrar as equações de um plano no espaço.
Os campos de aplicações da teoria dos determinantes e, em geral, da teoria de matrizes são muito 
amplas, e envolvem desde as mais clássicas aplicações na área da física, economia e engenharia, 
além da geração de gráficos, a teoria da tecnologia da informação e a criptografia. Mas, por ora, 
vamos nos concentrar em apresentar adequadamente uma breve introdução sobre a teoria.
A toda matriz quadrada de ordem associaremos um número real segundo uma determinada lei, 
ou seja, definiremos a função: 
 det : Mn → R
do conjunto das matrizes quadradas de ordem n (Mn ), no conjunto dos números reais. Chama-
remos esta função de determinante.
Começaremos com a matriz de ordem 1, A = (a11) . Neste caso, definimos o determinante de A da 
seguinte forma: 
 det A = |A| = (a11)
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
ou seja, o determinante de uma matriz que contém apenas um elemento é o próprio elemento. 
Aproveitando, observe ainda que a notação do determinante da matriz A pode ser feita com a uti-
lização de barras laterais ( | | ).
A fim de definirmos o determinante de uma matriz de ordem 2 , vamos considerar o seguinte exemplo. 
Exemplo: 
Dados , e , determinar x e y de modo que A . x = b .
Resolvendo, podemos realizar a multiplicação proposta, a fim de verificar o Sistema Linear proposto, 
ou seja:
A =
4
2
3
5
x =
x
y
b =
11
9
·
4
2
3
5
 =
x
y
11
9
4x
2x
3y
5y
 =
11
9
+
+
 ▷
e pela igualdade, obtemos o seguinte sistema:
 4x
2x{ 3y
5y
 11
 9
+
+
=
=
Resolvendo pelo método da adição para a variável X , temos:
 4x
2x{ 3y
5y
 11
 9
+
+
=
=
5
(-3)
·
·
(4·5)x
(2·(-3))x
15y
15y
= 55
= -27
+
-
 ▷
ou
x = 28
(4·5) - (2·3)
Para a variável y , da mesma maneira, obteríamos: 
y = 14
(4·5) - (2·3)
{
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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Note que os valores das variáveis x e y foram encontradas. Porém, o que de fato desejamos des-
tacar é a presença nas nossas contas da expressão (4·5) - (2·3) , ou seja, o denominador comum 
das expressões que nos permite calcular o valor de x e y . Ao mesmo tempo, podemos observar 
que esse número está associado aos termos da matriz . 
Mais precisamente, trata-se da diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal 
(4·5) e o produto dos elementos da diagonal secundária (2·3). Este número é chamado de deter-
minante. Em geral, podemos estabelecer a definição a seguir.
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 2x2
Dada a matriz quadrada de ordem 2 , A , chama-se determinante da matriz o 
número real obtido pela diferença:
a11 · a22 - a12 · a21
Indica-se 
A seguir apresentamos algumas atividades de fixação. 
 
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO 
01_Calcule os seguintes determinantes: 
02_Resolva as equações:
03_Dada a matriz , calcule:
A) det (A)
B) det (A²)
C) det (A³)
4
2
3
5
A =
a11
a21
a12
a22
= a11 · a22 - a12 · a21det A = |A| = a11
a21
a12
a22
A =
-5
 3
-2
-1 B =
1
 0
0
1 C =
5
2
0
0
A =
 x
 5
x+2
7 = 0 B =
 x
 5
x
x = 0
A =
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
2.2 REGRA DE SARRUS
Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regra prática muito 
simples, chamada Regra de Sarrus.
Considere a matriz .
Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras colunas de A à direita da matriz: 
Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos da duas 
diagonais paralelas à principal somando os resultados:
Agora, multiplicamos os elementos da diagonal secundária e as diagonais paralelas a ela, nova-
mente somando os resultados:
04_Calcule o determinante:
A =
 3
-2
5
4 B =
4
8
1
2 C =
-5
-7
6
2 D =
√2
4
√4
√3
A =
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
 a11
 a21
 a31
a12
a22
a32
 a13
 a23
 a33
a11
 a21
 a31
 a12
a22
a32
diagonal principal
diagonais paralelas
 a11
 a21
 a31
 a12
 a22
 a32
 a13
 a23
 a33
a11
 a21
 a31
 a12
a22
a32
a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
diagonal secundária
diagonais paralelas
 a11
 a21
 a31
 a12
 a22
 a32
 a13
 a23
 a33
a11
 a21
 a31
 a12
a22
a32
a13 · a22 · a31 + a11 · a23 · a32 + a12 · a21 · a33
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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Por fim, subtraímos o primeiro número encontrado pelo último, ou seja: 
det ( A ) = (a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32) - (a13 · a22 · a31 + a11 · a23 · a32 + a12 · a21 · a33 ) 
Recomendamos não tentar decorar a expressão acima, mais sim entender a aplicação da Regra 
de Sarrus. Você verá que naturalmente o valor do determinante será obtido. Vejamos um exem-
plo a seguir. 
Exemplo: 
Calcule o determinante da matriz 
Para resolvermos o problema, tomemos a regra de Sarrus, que produz as seguintes multiplicações:
-3
1
5
A =
1
3
4
4
-2
-1
-3
1
5
= a11 · a22 - a12 · a21det (A) = |A| = 1
3
4
4
-2
-1
=[( 1) · (-2) · (5)+ (4) · (1) · (4) + (-3) · (3) · (-1)] - [(-3) · (-2) · (4) + (1) · (1) · (-1) + (4) · (3) · (5)]
=[( -10 + 16 + 9)] - [(24 - 1 + 60)]
=[15] - [83]
=- 68
No caso de determinante de ordem superior a 3 a expressão resultante tende a ficar mais compli-
cada. Para contornamos esse problema, veremos a seguir uma forma de calcular o determinante 
para matrizes de qualquer de modo mais eficiente.
 
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO 
01_Calcule:
02_Resolva a equação:
A =
-1
 0
-2
2
1
-3
3
4
5
B =
 1
-1
 2
 5
0
2
0
1
2
1
4
2
1
3
1
2
 = 0
x
x
x
x
x
4
x
4
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
03_Encontre todos os valores de para os quais .
2.3 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Para o cálculos de alguns determinantes, pode ser muito útil recorrer a algumas das seguintes 
propriedades.
01_O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta. Por exemplo: 
02_Se em um determinante trocarmos de forma paralela duas linhas (ou duas colunas), o sinal 
do determinante será invertido. Por exemplo:
Note que trocamos as duas últimas linhas da matriz no lado direito da igualdade. E, consequen-
temente invertemos o sinal do determinante. 
Você deve calcular o determinante da matriz do lado esquerdo da igualdade a fim de verificar 
que o valor encontrado será 2.
03_Uma matriz que possui duas linhas (ou duas colunas) com todos os valores iguais, tem seu 
determinante igual a zero. Por exemplo:
A =
λ-2
 -5
1
λ+4 A =
λ-4
 0
0
0
λ
3
0
2
λ-1
 = 
1
1
0
2
0
0
3
0
1
 = -2
1
2
3
1
0
0
0
0
1
 = -
1
1
0
2
0
0
3
0
1
1
0
1
2
0
0
3
1
0
 = 0
1
1
1
2
2
0
3
3
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04_Se uma matriz possui uma linha (ou coluna) com todas as suas entradas iguais a zero, então 
o seu determinante será nulo. Por exemplo:
05_Multiplicar um determinante por um número real é equivalente a multiplicarmos qualquer 
linha (ou coluna) por esse número. Por exemplo:
Essa propriedade pode ainda ser compreendida da seguinte forma: dada uma matriz quadrada, 
de tamanho n , e um número real λ , temos que:
06_O determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes de cada matriz se-
parada, ou seja:
07_(TEOREMA DE JACOBI) Se somarmos a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada uma 
outra linha (ou coluna) multiplicada por um número qualquer, o determinante da matriz não se 
altera. 
Por exemplo, dada a matriz , o seu determinante é -2. Substituindo a 2ª linha de A 
pela soma desta linha com o produto da 1ª linha por -3, obteremos:
cujo determinante de B é det ( B ) = -2 = det ( A ).
08_Se A é uma matriz triangular (superior, inferior ou diagonal) de tamanho n x n, então det (A) 
é o produto das entradas na diagonal principal da matriz, ou seja:
det ( A ) = a11 a22 ... ann
 = 0
1
0
1
2
0
4
3
0
3
 = 
1
0
1
2
0
0
3
1
0
 = 4
1
0
1
2
0
0
3
1
0
 2 •
• 2
• 2
• 2
|λ • A | = λn • |A|
|A • B | = |A| • |B|
A =
1
3
2
4
B =
1
0
 2
-2
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
Por exemplo, vamos calcular o determinante de:
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO 
01_Verifique que det (A) = det (AT) para: 
02_Calcule os seguintes determinantes por inspeção. 
03_Por inspeção, resolva a equação: 
Explique seu raciocínio
2.4 CALCULANDO DETERMINANTES ATRAVÉS DE REDUÇÃO POR LINHAS
A ideia do método é permitir encontrar o determinante de uma matriz de qualquer ordem, utili-
zando para isso a teoria já estudada na unidade inicial.
O primeiro passo é reduzir a matriz dada ao formato triangular superior por operações elementa-
res. Depois calcular o determinante da matriz triangular superior (na prática, calcular a multipli-
cação dos elementos da diagonal principal). Finalmente, relacionamos aquele determinante com 
o da matriz original.
2
0
0
0
0
 7
-3
 0
 0
 0
-3
7
6
0
0
 = (2)(-3)(6)(9)(4) = - 1296
8
5
7
9
0
3
1
6
8
4
A =
-2
1
3
4
B =
2
1
5
-1
2
-5
3
4
6
3
0
0
-17
5
0
4
1
-2
A =
√2
-8
7
9
0
√2
0
5
0
0
-1
6
B =
0
0
0
1
-2
1
-2
1
-7
1
3
4
3
C =
1
2
5
-2
-4
-8
3
6
1
D =
x
0
0
5
x+1
0
7
6
2x-1
= 0
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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Antes de prosseguirmos, lembre-se de algumas das propriedades estudas na seção anterior, a 
saber: 
01_ Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou uma única coluna de A é multiplicada 
por um escalar k , então: 
det (B) = kdet (A) 
 
02_Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A são permutadas, então: 
 det (B) = - det (A) 
03_Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a uma outra 
linha ou quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a uma outra coluna, então: 
det (B) = det (A) 
04_Se A é uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais, 
então: 
 det (A) = 0 
Exemplo: 
Calcular o determinante da matriz: 
Vamos aos cálculos:
A =
0
3
2
1
-6
6
5
9
1
5
9
1
det (A) = 0
3
2
1
-6
6
9
5
1
 = - 3
0
2
-6
1
6
3
5
1
 = -3 1
0
2
-2
1
6
3
5
-5
 = -3 1
0
0
-2
1
10
3
5
-55
 = -3 1
0
0
-2
1
0
3
5
1
 = (-3) (-55) 1
0
0
-2
1
0
← A primeira e a segunda linha de A foram permutadas
← Fator comum primeira linha.
← Processo de escalonamento.
← Fator comum da última linha será retirado.
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
ou seja,
det (A) = (-3) (-55) (1) = 165
ESTE MÉTODO É EXTREMAMENTE EFICIENTE PARA APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS! ! ! 
 
O método de redução por linhas, por ser sistemático e facilmente programável, é muito conve-
niente para calcular determinantes usando computadores. No entanto, muitos dos problemas 
que aparecem em Engenharia, Economia, Biologia, etc., costumam envolver um grande número 
de incógnitas, de ordem 100 ou 1000, por exemplo. Sendo assim, mesmo os métodos de elimina-
ção e redução por linhas podem não ser adequados. Daí, em meios computacionais prefere-se 
usar métodos numéricos iterativos como, por exemplo, Gauss-Seidel.
Na próxima seção nós iremos desenvolver um método que, em geral, pode ser mais intuitivo para 
cálculos feitos à mão.
 
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO 
Calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas. 
2.5 EXPANSÃO EM CO-FATORES: REGRA DE CRAMER
MENORES E CO-FATORES
Nesta seção nós vamos considerar um método para calcular determinantes que é útil para cál-
culos manuais e também é importante para a teoria.
Seja a matriz: 
01_
3
0
-2
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1
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-2
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1
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4
-2
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1
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3
-2
0
-6
7
1
9
-2
5
A =
a11
a21
a31
a12
a22a32
a13
a23
a33
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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Calculando seu determinante, encontraremos:
Rearranjando os termos, e fatorando, obtemos:
As expressões destacadas em vermelho são, elas mesmo, determinantes. Observe:
As submatrizes de A (Mji ) que aparecem nestes determinantes têm o nome de MENOR.
Tendo em vista o arranjo acima, o det ( A ) pode ser escrito como: 
onde Cij = ( -1 )i+j Mij é denominado CO-FATOR. 
A equação acima mostra que o determinante de pode ser calculado multiplicando as entradas 
da primeira linha de A elos co-fatores correspondentes e somando os produtos que resultam. Este 
método de calcular det(A) é chamado expansão em co-fatores ao longo da primeira linha de A .
A seguir, apresentamos a definição dessas duas novas relações.
MENOR E CO-FATOR
Se A é uma matriz quadrada, então o DETERMINANTE MENOR DA ENTRADA aij , ou simples-
mente o MENOR DE aij é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que 
sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A . O número (-1)i+j Mij é denotado 
por Cij e é chamado o Co-fator de aij . 
Uma dica importante é que, em geral, a melhor estratégia para calcular o determinante pela ex-
pansão em co-fatores é expandindo ao longo de linha ou coluna que tenha o maior número de 
zeros.
det ( A ) = a11 a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21 a32 - a13a22 a31 - a12a21 a33 - a11a23 a32
det ( A ) = a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)
M11 =
a22
a32
a23
a33
M22 =
a21
a31
a23
a33
M33 =
a21
a31
a22
a32
det ( A ) = a11 M11 + a12(-M12 ) + a13 M13
 = a11 C11 + a12C12+ a13 C13
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
Simultaneamente, é possível fazer o desenvolvimento por colunas. Veja: 
01_Usando a primeira coluna: 
 |A|= a11 C11 + a21C21+ .... + an1Cn1
02_Deixamos para você chegar ao seguinte desenvolvimento para uma coluna qualquer: 
 |A|= ∑ aik C1ik
 
O desenvolvimento dado acima para encontrarmos o valor do determinante (usando linhas ou 
colunas) é comumente conhecido como o desenvolvimento de Laplace.
Por fim, note também que a diferença entre o co-fator e o menor de um elemento é somente de 
sinal, ou seja, Cij ± Mij . O exemplo a seguir ilustra essa afirmação.
 
Exemplo: 
Seja A a matriz dada por:
Vejamos o cálculo de alguns menores, e de respectivos co-fatores. O primeiro menor calculado é 
em referência a a11 .
O Co-fator de a11 é:
C11 = (-1)1+1 M11 = M11 = 16
Similarmente, o menor de a32 é:
n
i=u
A =
3
2
1
1
5
4
-4
6
8
M11 =
3
2
1
1
5
4
-4
6
8
M32 =
3
2
1
1
5
4
-4
6
8
 = 5
4
6
8
 = 16
 = 3
2
-2
4
 = 26
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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O Co-fator de a32 é:
C11 = (-1)3+2 M32 = -M11 = -26
A REGRA DE CRAMER
Se Ax = b é um sistema de n equações lineares em x incógnitas, tal que det ( A ) ≠ 0, então o 
sistema tem uma única solução. Esta solução é: 
onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da 
matriz:
Vejamos como aplicar a regra de Cramer.
 
Exemplo:
Use a Regra de Cramer para resolver o sistema abaixo: 
Solução:
 x1=
det ( A1 )
det ( A )
 ; x2=
det ( A2 )
det ( A )
 ; x3 =
det ( A2 )
det ( A )
 ;
b1
b2
...
bn
 b =
 
 -3x1
 -x1 
{ x1
 4x2
 2x2
 2x3
 6x3
3x3
 6
30
8
+
-
+
+
+
=
=
=
A =
1
-3
-1
0
4
-2
2
6
3
 ; A1 =
6
30
8
0
4
-2
2
6
3
 ;
A2 =
1
-3
-1
6
30
8
2
6
3
 ; A3 =
1
-3
-1
0
4
-2
2
30
8
 ;
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
Portanto:
Para resolver um sistema de n equações lineares em n incógnitas pela regra de Cramer é neces-
sário calcular n + 1 determinantes de matrizes n x n. Para sistemas com mais de três equações, 
a eliminação gaussiana é muito mais eficiente, pois somente requer a redução de uma matriz 
aumentada n • (n + 1). No entanto, a regra de Cramer dá uma fórmula para a solução se o deter-
minante da matriz de coeficientes é não-nulo.
Como um exemplo, para resolvermos um sistema de 10 equações e 10 incógnitas, pela Regra de 
Cramer teríamos um número de operações superior a 102 • 10! = 362.880.000 operações, enquanto 
que pelo método de redução por linhas não chegaríamos a 14.000.
Atividade de Fixação do Conhecimento
Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer: 
2.6 INVERSA DE UMA MATRIZ
MATRIZ SINGULAR
Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso contrário, dizemos que a matriz é 
não singular. 
Por exemplo, a matriz: 
 x1=
det ( A1 )
det ( A )
= -40
44
= - 10
11
 x2=
det ( A2 )
det ( A )
= 72
44
= 18
11
 x3=
det ( A3 )
det ( A )
= 152
44
= 38
11
 x
{
2y
2x
y
2z
y
5z
1
3
4
 - +
+
-
=
=
=
 B = 1
2
-2
-4
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é uma matriz singular, pois:
det ( B ) = ( 1 ) • ( -4 ) - [( 2 ) • ( -2 )] = -4 +4 = 0
Já a matriz identidade de ordem 3 é não singular¹ , pois det (I3) = 1.
MATRIZ INVERSÍVEL
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se existe uma única matriz 
B (da mesma ordem), tal que:
AB = BA = In
em que B é denominada matriz inversa de A , cuja notação é dada por:
B = A-1
Por exemplo, se , a matriz é a respectiva matriz inversa, 
pois:
AB = BA = 
PROPRIEDADES DA INVERSA DE UMA MATRIZ
Se A e B são inversíveis, então valem as seguintes propriedades: 
 
Propriedades básicas 
01_Se A é inversível, então, A não é singular; 
02_( AB )-1 = B-1 + A-1; 
03_( A-1 ) -1 = A; 
04_( At )-1 = ( A-1 )t; 
05_ det ( A-1 ) ; 
A fim de demonstrar as igualdades acima, faremos uso de propriedades já vistas ao longo do 
nosso curso. Se for necessário, revise. E lembre-se que o domínio desse tipo de exercício mate-
mático é muito importante para sua melhor formação.
 A = -2
0
1
3 B = -1/2
0
1/6
1/3
1
0
0
1
1
det ( A )
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
A fim de demonstrar as igualdades acima, faremos uso de propriedades já vistas ao longo do nos-
so curso. Se for necessário, revise. E lembre-se que o domínio desse tipo de exercício matemático 
é muito importante para sua melhor formação.
01_Será suficiente encontrar que o det ( A ) não é nulo. Demonstrandopor absurdo, supomos o 
contrário, isto é, det ( A ) = 0 , e devemos chegar a uma contradição.
Assim, usando o fato de que para os determinantes vale a seguinte propriedade: 
det ( AB ) = det ( A ) • det ( B ) 
= 0 • det ( B ) = 0
Por outro lado, temos por hipótese que A é inversível, então existe B tal que AB = I , assim:
det ( AB ) = det ( I ) 
= 1
Assim, 0 = 1 , o que é impossível. Logo, é uma contradição! 
Uma vez que essa contradição foi encontrada, então o enunciado é verdadeiro. Logo, A é não 
singular.
02_Para provarmos que: 
( AB )-1 = B-1 A-1
em primeiro lugar, vejamos se existe( AB )-1 . Calculando det ( AB ) , obtemos:
det ( AB ) = det ( A ) • det ( B )
Por hipótese existem as inversas das matrizes A e B, isto é, det ( A ) ≠ 0 e det ( B ) ≠ 0. 
Assim, det ( AB ) ≠ 0 e com isso existe ( AB )-1 , ou seja:
( AB ) • ( AB )-1 = I
UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
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Como:
 A • A-1 = I e B • B-1 = I
na segunda parte dessa última relação, multiplicamos em ambos os lados pela inversa de A(pe-
la direita):
(B • B-1 ) • A-1 = I • A-1
Associando e multiplicando por I , temos:
B • ( B-1 • A-1 ) = A-1
e multiplicando à esquerda por A :
A • (B • ( B-1 • A-1 )) = A • A-1
Associando novamente e, sabendo que A • A-1 = I, temos:
(A • B) • ( B-1 • A-1 ) = I 
Sendo que a existência da matriz inversa é única e comparando as expressões (b) e (c), concluí-
mos que:
(A B)-1 = ( B-1 A-1 )
Deixamos as demais demonstração a cargo do estudante.
Perceba que da propriedade (a) acima, ou seja, de que det ( A ) ≠ 0 para A ser inversível, temos 
uma forma de verificar a existência da matriz inversa. Trata-se de um dos mais fundamentais 
teoremas de Álgebra Linear; ele fornece um critério importante pra a invertibilidade em termos 
de determinante. 
TEOREMA 
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, 
 det ( A ) ≠ 0
Na sequência veremos como encontrar a inversa de uma matriz a partir de uma sequência de 
operações elementares sobre linhas que reduz a matriz estudada na forma de uma matriz iden-
tidade. 
Trata-se de um método simples e já estudado! 
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA POR OPERAÇÕES ELEMENTARES
Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade, por uma sequência de operações ele-
mentares com linhas, então, A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz iden-
tidade, aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas.
Na prática, operamos simultaneamente com as matrizes A e I , através de operações elementares, 
até chegarmos à matriz A na posição correspndente à matriz A . A matriz obtida no lugar corres-
pondente à matriz I será a inversa de A . 
( A|I ) →( I |A-1 )
Vejamos como este procedimento pode ser colocado em prática. Para isso, retornemos a um pro-
blema visto na Unidade (1), ou seja, o sistema linear:
 
que possui, como vimos, a seguinte relação matricial:
ou ainda:
A . x = b
Desejamos calcular a inversa da matriz de coeficientes A , ou seja, A-1. Porém, antes precisamos 
verificar se essa matriz possui inversa. E faremos isso calculando seu determinante:
= ( - 20 - 9 + 24 ) - ( 24 - 18 - 10 )
= -5 + 4
= -1
 x
 2x
 3x {
 y
 4y
6y
 2z
 3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
•
1
2
3
1
4
6
2
-3
-5
x
y
z
=
9
1
0
2
-3
-5
det (A) = 1
2
3
1
4
6
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e como det ( A ) ≠ 0 , a matriz possui uma inversa.
O cálculo da inversa é feito utilizando a relação ( A|I ):
Note que já deixamos indicadas as primeiras operações sobre linhas, que nos fornecem:
A próxima iteração nos fornece:
obtendo:
encontrando uma forma triangular obtendo:
A partir das transformações indicadas acima, continuamos as operações sobre linhas:
e, por fim, com a última operação registrada acima, obtemos:
que é a forma ( I | A-1 ) . Sendo assim, a inversa da matriz é:
2
-3
-5
1
2
3
1
4
6
0
0
1
1
0
0
0
1
0
ľ2 ← l2 - 2· l1
ľ3 ← l3 - 3· l1
2
-7
-11
1
0
0
1
2
3
0
0
1
1
-2
-3
0
1
0
 ľ2 ←
(l2)
2
2
-7/2
-11
1
0
0
1
1
3
0
0
1
1
-1
-3
0
1/2
0
ľ3 ← l3 - 3l2
2
-7/2
-1/2
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
-1
0
0
1/2
-3/2
ľ3 ← (-2)l3
2
-7/2
1
1
0
0
1
1
0
0
0
-2
1
-1
0
0
1/2
3
ľ1 ← l1 - 2· l3
ľ2 ← l2 + (7/2) l3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
4
-7
-2
1
-1
0
-6
11
3
ľ1 ← l1 - l2
0
0
1
1
0
0
0
1
0
11
-7
-2
2
-1
0
-17
11
3
A-1 =
2
-1
0
-17
11
3
11
-7
-2
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
Se calculármos o det (A-1) podemos verificar que o resultado encontrado deverá ser -1 . Isso por-
que, valem algumas das propriedades estudadas!
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES INVERSAS
Até aqui, nós estudamos dois métodos para resolver sistemas lineares: forma escalonada (elimi-
nação gaussiana) e reduzida por linhas (eliminação de Gauss-Jordan). O seguinte teorema forne-
ce um novo método para resolver certos sistemas lineares.
TEOREMA 
Se A é uma matriz inversível n • n , então para cada matriz b de tamanho n x 1, o sitema de equa-
ções Ax = b tem exatamente uma solução, a saber, x = A-1 b . 
Retornando ao sistema da seção anterior, vimos que:
que possui, como vimos, a seguinte relação matricial:
com: 
A • x = b
Como já calculamos A-1, a solução do sistema é:
x = A-1 b
 x
 2x
 3x {
 y
 4y
6y
 2z
 3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
•
1
2
3
1
4
6
2
-3
-5
x
y
z
=
9
1
0
•
2
-1
0
-17
11
3
11
-7
2
=
9
1
0
18
-9
17
11=
-
+
13
=
1
2
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RESUMO:
Nesta unidade estudamos as FUNÇÕES DETERMINANTES, que são funções reais de uma variável 
matricial, o que significa que associam um número real ƒ (X) a uma matriz quadrada X . Nosso 
objetivo neste módulo, portanto, foi aprender a calcular o determinante de uma matriz de 
qualquer ordem, conhecer as propriedades dos determinantes, comprovar as suas aplicações - 
inclusive no cálculo da matriz inversa. 
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UNIDADE 2 : DETERMINANTE E INVERSA DE MATRIZES
REFERÊNCIA:
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica: um tratamento 
vetorial. Pearson / Prentice Hall (Grupo Pearson), 2004.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. Makron Books (Grupo 
Pearson), 2000.
ANTON, Howard. Álgebra Linear com Aplicações - 8ª edição. Bookman,2001.
MACHADO, Antonio dos Santos. Álgebra Linear e Geometria Analítica - 2ª 
edição. São Paulo: Atual Editora, 1996.
MURDOCK, David D. Geometria Analítica - 2ª edição. Rio de Janeiro: LCT 
Editora, 1971.
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lucia; 
WETZLER, Henry G. Álgebra Linear - 3ª edição. São Paulo: Harper e How do 
Brasil, 1980.