Métodos Determinísticos I GabQuestaoBonus2015 2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
QUESTA˜O BOˆNUS AD2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I –
2015-2
Esta questa˜o vale 2,5 pontos na AD2 e deve ser resolvida ate´ 28/10/2015 (o encerramento ocorrera´
dia 28/10/2015 a`s 23:55). Mesmo que, por algum erro do sistema, voceˆ consiga enviar apo´s o
prazo especificado, sua soluc¸a˜o na˜o sera´ considerada). A nota desta questa˜o substituira´ a nota mais
baixa obtida em uma das quatro questo˜es da AD2. Se ela for mais baixa que estas notas, ela sera´
desconsiderada.
Considere a func¸a˜o
f(x) =
√
x2 + 6x+ 9 +
2x2 + 2x− 4
2x− 2 .
a) Determine o dom´ınio de f na forma de intervalo ou reunia˜o de intervalos.
b) Simplifique ao ma´ximo a expressa˜o que define f e esboc¸e seu gra´fico.
c) Calcule o valor de
√
f(6) + f(−17).
Atenc¸a˜o:
• Para que sua resposta seja aceita, deve conter desenvolvimento que a justifique.
• Apo´s enviar a atividade (confirme o envio final), acesse de novo a questa˜o para verificar se chegou
corretamente e inclusive verifique se os anexos esta˜o abrindo de forma correta.
• Na˜o deixe para a u´ltima hora. Sob nenhuma condic¸a˜o sera˜o aceitas questo˜es fora do prazo.
Gabarito
a) Observe que f e´ a soma de uma raiz quadrada com um quociente. Desta forma, precisamos
que tanto a raiz quadrada, quanto o quociente, estejam bem definidos. Sabemos que uma raiz
quadrada esta´ bem definida quando o radicando (o que esta´ dentro do s´ımbolo de raiz) e´ maior ou
igual a zero. Por outro lado, um quociente esta´ bem definido quando o denominador do quociente
e´ diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de f , D, e´ formado pelos valores de x ∈ R que
satisfazem x2 + 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 2 6= 0.
• Primeiro, analisaremos quando x2 + 6x+ 9 ≥ 0.
Determinaremos as ra´ızes de x2 + 6x + 9 = 0 para fazer a ana´lise de sinais. Pela fo´rmula de
Bhaskara, com a = 1, b = 6 e c = 9, temos que
∆ = b2 − 4ac = (6)2 − 4(1)(9) = 36− 36 = 0,
Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 3 AD2 2
e,
x =
−b±√∆
2a
=
−(6)±√0
2
=
−6
2
= −3.
Desta forma, temos que as ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 6x+ 9 = 0 sa˜o x1 = x2 = −3. Da´ı, segue a
fatorac¸a˜o:
x2 + 6x+ 9 = (x+ 3)2.
Como (x+3)2 ≥ 0, para todo x ∈ R, temos que√x2 + 6x+ 9 esta´ bem definida para todo x ∈ R.
• Vamos agora analisar quando 2x− 2 6= 0.
2x− 2 6= 0⇔ 2x 6= 2⇔ x 6= 1.
Desta forma, o dom´ınio de f , D, e´ formado pelos valores de x ∈ R que satisfazem x ∈ R e
x 6= 1. Ou seja,
D = (−∞, 1) ∪ (1,∞).
b) Acharemos as ra´ızes de 2x2 + 2x− 4 = 0 para fatorar 2x2 + 2x− 4 e verificar as simplificac¸o˜es
poss´ıveis. Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = 2, b = 2 e c = −4, temos que
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(2)(−4) = 4 + 32 = 36,
e,
x =
−b±√∆
2a
=
−(2)±√36
2(2)
=
−2± 6
4
.
Desta forma, temos que as ra´ızes da equac¸a˜o 2x2 + 2x − 4 = 0 sa˜o x1 = −2 e x2 = 1. Da´ı,
segue a fatorac¸a˜o:
2x2 + 2x− 4 = 2(x+ 2)(x− 1)
Portanto, para todo x 6= 1, segue que
f(x) =
√
x2 + 6x+ 9 +
2x2 + 2x− 4
2x− 2
=
√
x2 + 6x+ 9 +
2(x+ 2)(x− 1)
2(x− 1)
=
√
(x+ 3)2 + (x+ 2)
= |x+ 3|+ (x+ 2)
=

(x+ 3) + (x+ 2), se x+ 3 ≥ 0
−(x+ 3) + (x+ 2), se x+ 3 < 0
=

2x+ 5, se x ≥ −3,
−1, se x < −3.
Observe que se x ≥ −3, x 6= 1, o gra´fico de f e´ dado pela parte da reta y = 2x+5 cujos pontos
possuem abscissa maior ou igual a −3 e diferente de 1. Vamos inicialmente esboc¸ar a reta para
x real para depois selecionar apenas a parte da reta correspondente ao gra´fico de f (pontos de
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abscissa maior ou igual a −3 e diferente de 1). Para esboc¸ar a reta y = 2x + 5, sabemos que
basta determinarmos dois pontos da mesma. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta como os
eixos coordenados. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ f(0) = 2(0) + 5 = 5. Ou seja, (0, 5) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x+ 5 = 0⇐⇒ x = −5
2
. Ou seja,
(
−5
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
i) Gra´fico de y = 2x+ 5, para todo x ∈ R ii) Gra´fico de y = 2x+ 5, para x ≥ −3 e x 6= 1
-
5
2
x
5
y
-3 - 52 1
x
-1
5
7
y
Observac¸a˜o: Como x = 1 na˜o pertence ao dom´ınio da func¸a˜o f , devemos colocar
uma pequena bola aberta na reta no ponto correspondente a x = 1. Ou seja, o ponto
(1, 2(1)+5) = (1, 7) sera´ marcado com uma bolinha aberta. Ale´m disso, como x = −3
pertence ao dom´ınio da func¸a˜o f , devemos colocar uma pequena bola fechada na reta
no ponto correspondente a x = −3. Ou seja, o ponto (−3,−1) sera´ marcado com uma
bolinha fechada.
Note agora que se x < −3, o gra´fico de f e´ dado pela parte da reta y = −1 cujos
pontos possuem abscissa menor do que −3. Vamos inicialmente esboc¸ar a reta para
x real para depois selecionar apenas a parte da reta correspondente ao gra´fico de f
(pontos de abscissa menor do que −3). Observe que a reta y = −1 e´ a reta horizontal
que corta o eixo y em −1, ou seja, a reta horizontal que conte´m o ponto (0,−1).
i) Gra´fico de y = −1, para todo x ∈ R ii) Gra´fico de y = −1, para x < −3
x
-1
y
-3
x
-1
y
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Observac¸a˜o: Como vamos aproveitar para o gra´fico de f apenas os pontos da reta com abscissa
menor do que −3, devemos colocar uma pequena bola aberta na reta no ponto correspondente a
x = −3. Ou seja, o ponto (−3,−1) sera´ marcado com uma bolinha aberta.
Vamos agora esboc¸ar o gra´fico de f , fazendo as devidas selec¸o˜es de acordo com o valor de x.
-3 - 52 1
x
-1
5
7
y
Observac¸a˜o: No esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f , temos que a pequena bola aberta no ponto
(−3,−1) relativa a` parte do gra´fico da reta x = −3 se sobrepo˜e a` pequena bola fechada no ponto
(−3,−1) relativa a` parte do gra´fico da reta y = 2x + 5. Desta forma, eliminamos as pequenas
bolas e fazemos um trac¸ado cont´ınuo, sem difenciac¸a˜o alguma no ponto (−3,−1).
c) Como 6 > −3,
f(6) = 2(6) + 5 = 12 + 5 = 17
e como −17 < −3,
f(−17) = −1.
Logo, temos que √
f(6) + f(−17) = √17− 1
=
√
16
= 4.
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