Buscar

Exercícios Programados 07-C2-2016-1-Gabarito

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 17 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 17 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 17 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ 
Cálculo II
��������	
����
����������
�
���
�����������������
�
��������
�
�
�
�
���	
���
�
��� ����� �� ������	�� 
�� cos 2x �
4 2 22 2 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )x x x x=
2 22 2cos 1 sen xx = − ����
�����������
���
��
�����
��� 2cos2du x dx= �������
�������	�	������
5 22/5 2/5 2cos 2 sen 2 (sen 2 ) (1 sen ) cos2x x dx x x x dx= −∫ ∫
� � �
1
2
(sen 2 ) (1 sen ) 2cos2= −∫
� � �
2 5 2 21 )
2
( (1 )u du= −∫
� � �
2 5 12 5 22 51
2
( 2 )u u u= −∫
� � �
7 5 17 5 27 5 7 5 17 5 27 51 2 5 2( ) ( )
2 7 5 17 5 27 5 2 7 17 27
u u u u u u
− + + = − + +=
� � �
7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( )
2 7 17 27
= − + +
������ 
��	
� �� ��� ������� ����
� �� ����	�	������
5 52/5 2/51
2
cos 2 (sen 2 ) cos (sen )x x dx z z dz=∫ ∫
����� �� ������	�� 
�� cos z ��� �� �� ����� �� ��� ����
�� ����
�� ������
4 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )z z z z=
2 2cos 1 senz z= − ���
�� ������ ���
���
� �
�����
��� cosdu z dz= �������
�������	�	������
5 2/51
2
cos (sen )z z dz∫
1
2
(sen ) (1 sen ) cos= −∫
� � �
2 5 2 41
2
(1 2 )u du= −∫
�
���	
��
���������
� �
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
 
Cálculo II – EP07 (2016/1) Gabarito 
��������	
����
����������
�
���
�����������������
�
��������
x ��� �� �� ����� �� ��� ����
�� ����
�� ������ 
����
���
2 2 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )x x x x �� ����� 
������ ���
����� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
����
����
�����������
���
��
2 2cos x ����	�
����
��sen 2x �� ���	
����	�
���
!����
����
��
������
�������	�	������ sen 2u x= ��
5 22/5 2/5 2 2cos 2 sen 2 (sen 2 ) (1 sen ) cos2x x dx x x x dx= − �
2 5 22 2(sen 2 ) (1 sen ) 2cos2x x x dx= − �
2 5 2 2( (1 )uu du= − 2 5 2 41
2
(1 2 )u uu du+= −∫ �
2 5 12 5 22 5( 2 )u u u du+= − �
7 5 17 5 27 5 7 5 17 5 27 51 2 5 2( ) ( )
2 7 5 17 5 27 5 2 7 17 27
u u u u u uC C− + + = − + +
7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( )
2 7 17 27
x x x C= − + + ��
�� ��� ������� ����
� �� ����	�	������ 2z x= ���	��� 2dz dx= �� ������
5 52/5 2/5cos 2 (sen 2 ) cos (sen )x x dx z z dz∫ ∫ �
�� �� �� ����� �� ��� ����
�� ����
�� ������ 
����
���
(cos )(cos ) (cos ) (cos )z z z z �� ����� 
������ ���
����� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
����
��
�� ������ ���
���
� �
2cos z ���� 	�
���� 
��sen z �� � ��	
�� ��	�
� ��
!� ���
�� ��
��
������
�������	�	������ sen u z= ��
22/5 2(sen ) (1 sen ) coszz z dz= −∫ 2 5 2 2
1 )
2
( (1 )uu du= −∫
2 5 2 4(1 2 )u uu du+= − 2 5 12 5 22 51
2
( 2 )u u u du+= −∫
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
��������	
����
����������
�
���
�����������������
�
�������� 
����
���
�
5 2cos x �������
�� ���
����� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
����
�� ���	
����	�
���
!����
����
��
( ) ( )C C− + + = − + + �
������
2
 
dz dx= �� "����
����
���
�
5cos z �������
�� ���
����� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
����
�� � ��	
�� ��	�
� ��
!� ���
�� ��
��
2 5 2 2( (1 )uu du= − �
( 2 )du
�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
� � �
7 5 17 5 27 55 2( )
2 7 17 27
u u u C= − + +
7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( )
2 7 17 27
x x x C= − + + .
�
�
!��
3
3 6
6
sen 5
sen 5 cos 5
cos 5
x
x x dx
x
dx −= ∫∫ �
����� �� ������	�� 
�� sen 5x ��� 2� �� ����� �� ��� ����
�� ����
�� ������ 
����
���
� 35sen x 3��
25 5(sen )(sen )x x �� ����� 
������ ���
����� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
���� 2 25 5sen 1 cos xx = − ���
��
���
���
� �
25sen x ���� 	�
����
�� cos5x �� ���	
�� ��	�
� ��
!����
����
�������
��� 5sen5du x dx= − ���
����
�������	�	������ cos 5u x= ��
� ��
3 6 2 65 5 5 5sen cos sen cos sen5x x dx x x x dx− −=∫ ∫ �
2 6
2 61 cos 5 cos 5 ( 5sen 5 )
5
(1 )
u u du
x x x dx
−
−
= − −−∫ 123 14243 1442443 �
� � �
62 6 41 1
5 5
(1 ) ( )u u du u u du−− −= − = − +−∫ ∫ �
� � �
5 3
5 3
1 1 1
5 5 3 25 15
u u C C
u u
− − 
= − + + = + + 
− − 
�
� � � 5 3
1 1
25cos 5 15cos 5
C
x x
= + + ��
������ 
��	
� ����� ������� ����
��� ����	�	������ 5z x= ���	��� 5dz dx= �� ������ 5 
dz dx= ��	��� ��
�	��4���
��������
�������	�
��
��
�
2 (2 3 )sen x dx−∫ �
"���
��
�����
��	�
�
�5�
2 1 cos 2sen
2
α
α
−
= ��	������
2 1 cos 2(2 3 ) 1 cos(4 6 )sen (2 3 )
2 2
x x
x
− − − −
− == �
6������
2 1(2 3 ) [1 cos(4 6 )]
2
sen x x dxdx− = − −∫∫
1 1
cos(4 6 )
2 2
x x dx= − −∫ �
*����� 4 6u x= − ���	��� 6du dx= − ⇒ cos(4 6 )x dx−∫
1
sen
6
u C= − + 1 sen (4 6 )
6
x C= − − + �
"����
2 (2 3 )sen x dx−∫
1 1
sen (4 6 )
2 12
x x C= + − + ��
���
2
16
4
0
sen 4 cos 4x x dx
pi
∫
�
7������
���������
����
������
�����	��
�����
�����
��
2 4sen 4 cos 4x x dx∫ �
8�	�(������� ( )2 2 224 cos 4sen 4 cos 4 sen 4 xx x dx x dx=∫ ∫ �
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
"���
��
������
��	�
�
��5�
2 1 cos 2sen
2
α
α
−
= ��
2 1 cos 2cos
2
α
α
+
= �	�����
( )2 22 21 cos8 1 cos8cos 4 2 2sen 4 ( )( )
x x
xx dx dx− +=∫ ∫ � � � � � �
� � �
22 81 1 cos8 ) 1 cos8
8
( cos )( xx x dx= − + +∫ � � � � �
� � �
2 322 8 2 81 1 cos8 cos8 cos 8
8
cos cos )( x xx x x dx−= + −+ −∫ �
� � �
32 81 1 cos8 cos 8
8
cos )( xx x dx= + − −∫ �
� � �
� � �
216 ) 81 1 18cos8 (1 cos8
8 8 2
cos cosx xx x dx dx x dx
 
= + + 
 
 
− −∫ ∫∫ �
� � �
21 1 1 1sen8 cos16 (1 sen 8 ) cos8
8 8 2 2
x x x x dx x x dx
 
= + − − − − 
 
∫ ∫ �
� � �
2
2
(1 )
1 1 1 1 1
sen8 16cos16 (1 sen 8 ) 8cos8
8 2 8 32 8
u du
x x x dx x x dx
−
 
 = + − − −
 
 
∫ ∫ 14243 14243 �
� � �
31 1 1 1 1
sen 8 sen16 ( )
8 2 8 32 8 3
u
x x x u C = + − − − + 
 
����
��� sen 8u x= �
"����
2 4sen 4 cos 4x x dx∫
31 1 1 1 1 8
sen8 sen16 ( )
8 2 8 32 8 3
sen
sen 8 xx x x Cx = + − − − + 
 
�
� � �
31 1 1 8
sen16
8 2 32 24
sen x
x x C = − + 
 
+ �
"��������������
����
���
��,��
����*��
����	���
���!������	����������
�
2
16
4
0
sen 4 cos 4x x dx
pi
∫
�
3 16
0
1 1 1 8
sen16
8 2 32 24
sen x
x x
pi
 
−  
 
= + ��
3
0 1
1 1 1 1( ) sen16( ) sen 8( )
8 2 16 32 16 24 16
pi pi pi
 
 
= − + 
 
 
14243 14243
�
� � � ��
1 1 1 1 1 3 4 3 4
8 32 24 64 4 3 64 12 768
pi pi pi pi+ +     
= + = + = =     
     
�
�
����
�
3(2 3 )sen sen 7(2 3 )x x dx− −∫ �
*����� 2 3u x= − ���	��� 3du dx= − �������
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
13(2 3 ) sen3 sen 7
3
sen sen7(2 3 )x u u dux dx− − = − ∫∫ � � � � � 9/:�
;������������
1
sen sen [cos( ) cos( )]
2
α β α β α β= − − + �
�
"����
�
.
3 3 3 cos( 4 ) 10 cos(4 ) 101 1 1sen sen 7 [cos( 7 ) cos( 7 )] [ cos( )] [ cos( )]
2 2 2f par
u u u u u u uu u u −= − − + = − = −
14243
�
9"���
�(������������������(��������������������
����	���� cos( ) cos( )u u− = ���
��	�
������
��
���:�
"��������	��
�����
�����
��
����	��
�
6������
3sen sen 7u u du∫ � 3�
14 4 10 10
20
1
cos cos
8
u udu du−∫ ∫ �
1 14 10
8 20
sen senu u C= − + �
1 14(2 3 ) 10(2 3 )
8 20
sen senx x C− −= − + � � � � � 9.:�
;���	�	���
��9.:����9/:�	�����1 14(2 3 ) 10(2 3 )
8 20
13(2 3 ) sen sen
3
sen sen7(2 3 ) x xx Cx dx  − − 
 
− − +− = −∫ �
�
�
1 14(2 3 ) 10(2 3 )
24 60
sen senx x C− + − += − ��
�
"��
1
0
(4sen ) cos(5 )x x dxpi pi∫ �
;������������
1
sen cos [sen( ) sen( )]
2
α β α β α β= + + − ��������
.
(4 )cos(5 ) 1 1 1sen [sen(4 5 ) sen(4 5 )] [sen(9 ) sen( )] [sen(9 ) sen( )]
2 2 2f impar
x x x x x x x x x xpi pi pi pi pi pi pi pi pi pi= + + − = + − = −
14243
�
9"���
�(��������������������������������������
����	����sen( ) sen( )u u− = − ���
��	�
������
��
���:�
"��������	��
�����
�����
��
����	�����
1 1 1 1
0 0 00
(4 1 1 1sen ) cos(5 ) [sen(9 ) sen( )] sen(9 ) sen( )
2 2 2
x x dx x x dx x dx x dxpi pi pi pi pi pi= − = −∫ ∫ ∫∫ �
� � � �������
1 1
sen(9 )9 sen( )
18 2
x dx x dxpi pi pi pi
pi pi
= −∫ ∫ �
������� cos(9 ) cos( )1 1
18 2
x x Cpi pi
pi pi
+= − + ��
�
"��������������
����
���
��,��
����*��
����	���
���!������	����������
�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
11
00 1 1 1 1
(4 cos(9 ) cos( ) cos(9 ) cos( ) cos(0) cos(0)1 1 1 1 1 1sen ) cos(5 )
18 2 18 2 18 2
x xx x dxpi pi pi pi pipi
pi pi pi pi pi pi
− −

= − +
= − + + −∫ 14243 123 123 123
�
�
1 1 8
9 9
1 1 1 1
18 2 18 2 pi pi pipi pi pi pi
= + = − = −− − ��
���
7
0
3 5
7 7
cos cos
x x dxpi pi∫
�
;������������
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
α β α β α β= − + + �������
3 5 3 5 3 5 2 8
cos
7 7 7 7 7 7 7 7
1 1
cos [cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
2 2
x x x x x x x xpi pi pi pi pi pi pi pi
= − + + = − + �
9"���
�(������������������(��������������������
����	���� cos( ) cos( )u u− = ���
��	�
������
��
���:�
�
"��������	��
�����
�����
��
����	��
�
7 7
0 0
7
0
3 5 8
7 7 7 7
1 2 1
cos cos cos( ) cos( )
2 2
x x xxdx dx dxpi pi pipi= +∫ ∫∫ �
 ����<��
�
7 7
0 0
7
0
3 5 7 7 8 8( ) ( )
7 7 2 7 7 8 7 7
1 2 2 1
cos cos cos( ) cos( )
2 2
x x xxdx dx dxpi pi pi pi
pi pi
pi pi
= +∫ ∫∫ �
� �
"��������������
����
���
��,��
����*��
����	���
���!������	����������
�
�
77
0 0
7
0
3 5
sen sen
7 7 7 7
7 2 7 8
cos cos ( ) ( )
4 16
x x x xdxpi pi pi pi
pi pi

 
= +∫ �
0 0 0 0
sen 2 sen 0 sen sen 07 7 7 7( ) ( ) (8 ) (0)
4 4 16 16
pi pi
pi pi pi pi
== − + −
14243 14243 1442443 14243
��
�
�
���	
�� �
�
�� 
2 4tg4 sec xx dx∫ ���� �
8��	���������������	��
�������	������
�����������	��
��	�����	���� ����
�������	�����
���� ��
����
��
������
����
������5�
�
�� ����� �� ������	�� 
��sec 4x ��� �� ����
�� ��
� .�� =����� ����
� �� ����	�	������ � � tg 4u x= �������
2(sec 4 ) 4du x dx= ��
�
{
2 214 tg 4 (sec 4 ) 4
4
tg 4 sec
duu
x x x dxx dx =∫ ∫ 1442443
21
4 8
u Cu du= = +∫ �
*�������	��������
2 4tg4 sec xx dx∫
2tg 4
8
x C= + �� � � � � � �9>:�
��� ����� �� ������	�� 
�� tg 4x ��� �� ����
�� ����
� /�� �� �����
�� ��� ���	�� ����
(sec 4 ) 4sec4 tg 4x x x′ = �� ������ 
����
���
� 2 4sec x ������ � 4(sec4 )(sec )x x �� ?��
�����
�
���	
��
���������
�#�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�� ��	�
� sec 4x ���
�� �����
� 4sec4 tg 4du x x dx= ������� �� ����	�	������ sec 4u x= ���
4sec4 tg 4du x x dx= �	����������������������	�������
2 2
2 1 1 sec 44 sec 4 4sec 4 tg 4
4 4 8 8
tg 4 sec
u du
u x
x x x x dx u du C Cx dx = = = + = +∫∫ ∫ 123 1442443 � 9>>:�
;������� ���� �
2 24 41+tg secx x= ������� �� 
���
����� ��	
�� ��� �����+��� ��4�
��� ��� 9>:� �� 9>>:� �� ����
� ����	��	�����
	��	����
	������@������������������
�
!��
4 5sec t dt∫ �
 ���
�������
{
2
4 2 2 2 215 5 5 5 5 5
5
(sec )(sec ) (1 tg )(sec )sec
duu
dt t dtt t t tdt = = +∫ ∫∫ 1442443 �
�
*���� � tg5u t= ������
2sec 5 5du t dt= �� 6���� 
������ ��	����� ����
�� �� �
��	�
�
�� 	
�������	
����
2 2 5sec 5 1 tg tt = + ����
�����
���
�� 2sec 5t ����	�
����
�� tg 5t ��6�����
3 3
4 21 1 1 15 (1 ) ( )
5 5 5 3 5 15
sec
u u
u du u C u Ct dt = + = + + = + +∫∫ �
31 tg 5
tg 5
5 15
t
t C= + + ��
�
$���
31 cossec t
t
dt∫
�
*����������	�	������ z t= ���	���
1
2
dtdz
t
= �
3 3 31 12 2
2
cossec cossec cossect t
t t
dt dt z dz= =∫ ∫ ∫ � � � � � 9/:�
%�
����� ���
� �� �A
����� 
�� 
�
����� 
�
�� ��� �!����� �B� 
�� ��
�
��� 
�
!	���� ��� ��
����� 
������
�
�
�	����	���	������
������	��
�������
���
	�����
���������
�
3cossec z dz∫ �
*������ 2
cossec
cossec
u z
dv z dz
=

=
���	���
cossec cotg
cotg
du z z dz
v z
= −

= −
�
3 2cossec cossec cotg cossec cotgz dz z z z z dz= − −∫ ∫ �
3 2cossec cossec cotg cossec (cossec 1)z dz z z z z dz= − − −∫ ∫ �
3 3cossec cossec cotg cossec cossecz dz z z z dz z dz= − − +∫ ∫ ∫ �
"����
32 cossec cotg ln | cossec cotg |cossec z z z z Cz dz = − + − +∫
� � � � � 9.:
�
;���	�	���
��9.:����9/:�	�������������	��
�
31 cossec t
t
dt∫ cossec cotg ln | cossec cotg |t t t t C= − + − + �
�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
���
3 3co(cossec tg )x x dx+∫ �
?���
�����A
�������	�
�����9.:�
�����
��������	�
��
���
��������
��
�������
�
3 1 1cossec cossec cotg ln | cossec cotg |
2 2
x dx x x x x C= − + − +∫ ����
%�
���	
����
��
{
23 2 2 cotg cosseccotg cotg cotg (cossec 1)cotg cotg
u du
x x dxx dx x x dx x x dx x dx
−
= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫14243 �
� �
{
2 2 2
sen
cos cotg cotgln | | ln | |
2 sen 2 2
dv
v
u x dx x x
v C x C
x
− = − − + = − − += − ∫
64748
�
*�������	��
����	��
3 3co(cossec tg )x x dx+∫ �
21 1
cossec cotg ln | cossec cotg |
2 2
cotg ln | sen |
2
x x x x
x
x C= − + − − − + .�
��
32
3 3
tg secx x dx∫
�
8��	�� ����� �� ������	�� 
��
3
tg x ��� �� ����
�� ��
� .� �� �� ������	�� 
��
3
sec 
x
��� �� ����
�� ����
� 2�� ������
�������	
�����
��
�����	��
��
����������	�������
�����
��	�
�
��	
�������	
�����
2 2
3 3
sec 1 tg xx − = ��
��	�����
3 3 5 3 5 32 2sec sec sec
3 3 3 3 3 3 3 3
tg ( sec (sec secsec 1) )x x x x x x x xdx dxdx dx dx= = = −−− ∫ ∫∫ ∫ ∫ �
�
� �
{ { { {
5 3 5 31 13 sec ( ) 3 sec ( ) 3 sec 3 sec
3 3 3 3
u du u du
x xdx dx u du u du= − = −∫ ∫ ∫ ∫ � � � 9/:�
%�
���	
����
�������
�
���
�
!	����6����./�9/:������
���
�����A
����� sec ln | sec tg |x dx x x C= + +∫ C����
$������� ./�2� 
�� ��	�
�� ��
�
��� ���	
��(��� 	������ � �� �A
����� 
�� 
�
������
2 21 2sec sec tg sec
1 1
n n nn
x dx x x x dx
n n
− −
−
= +
− −
∫ ∫ ����� �� �!��
�� ��
�� 1n > �� ����
�� ��	�
��� �� ���
$�������./�D������
���
������
3 1 1sec sec tg ln | sec tg |
2 2
x dx x x x x C= + + +∫ � ���
"�����	������
���������A
��������
��������
��
������
�
�
5 5 2 5 2 3 31 5 2 1 3sec sec tg sec sec tg sec
5 1 5 1 4 4
u du u u u du u u u du− −−= + = +
− −
∫ ∫ ∫ �
31 3 1 1sec tg ( sec tg ln | sec tg |)
4 4 2 2
u u u u u u C= + + + + �
31 3sec tg (sec tg ln | sec tg |)
4 8
u u u u u u C= + + + + � �
$�������
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
3 1 1sec sec tg ln | sec tg |
2 2
u du u u u u C= + + +∫ ���,���������
5 3 31 3 3 1 13 sec sec 3 sec tg sec tg ln | sec tg |) sec tg ln | sec tg |
4 8 8 2 2
u du u du u u u u u u u u u u C
   
− = + + + − − + +   
  
∫ ∫
� � � �
31 1 13 sec tg sec tg ln | sec tg |
4 8 8
u u u u u u C = − − + + 
 
� �������9.:
� ;���	�	���
��9.:����9/:���������
������	�������
3
x
u = ����	�������������	��
3 32 1 1 13 sec tg sec tg ln | sec tg |
3 3 4 3 3 8 3 3 8 3 3
tg secx x x x x x x x Cdx  = − − + + 
 ∫
�
�
� � � �� � � � � � �
�
���	
���
�
 ���
�������
3seny x= �����������������
���������
����������������
�������	�
�����[0, ]pi �� �6�����������
���	��������R ��������
	�����
������	�����������	�
�����[0, ]pi ��6�������
3 2 2
0 0 0
sen (sen )sen (1 cos )senA x dx x x dx x x dx
pi pi pi
= = = −∫ ∫ ∫ �
*����� cosu x= ���	��� sendu x dx= − ���
��
���������	���
����	��
����5�� 0x = ���	���� cos 0 1u = = �������
x pi= ���	��� cos 1u pi= = − �
1 1
2 2 2
0 1 1
(1 cos )sen (1 ) (1 ) ( 1)x x dx u du u du
pi −
−
− = − − = − − −∫ ∫ ∫ �
13
1
1 1 2 4( ) (1 ) ( 1 ) 2
3 3 3 3 3
u
u
−

= − = − − − + = − =

����
�
���
��!
����
��
;A���
����������
����������*���
��'��/����	
��(�����
�����������*���
��'��.����	
��������
�	E������	������
���
�������
�
�� � �
� *���
��'�/���� � � � � � *���
��'�.���� � � �
�
�
���	
��
���������
�%�
�
�
�� #���������	������������������	��
�����
�����
��
3 ( )sen x dxpi −∫ ��
*����
�� y xpi= − ��	��(��� dy dx= − ��%�
	��	�� 3 3( )sen x dx sen y dypi − = −∫ ∫ � � � ���9/:�
3 2(1 cos ).sen y dy y sen y dy= −∫ ∫ �� � � � � � � � ���9.:�
�
���	
��
���������
�&�
�
���	
��
���������
�%�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
8��	����	������	��
����� cosu y du sen y dy= ⇒ = − �������
3 2 2
`
3 3
2
(1 cos ). (1 )
cos( 1) cos
3 3
du
sen y dy y sen y dy u du
u y
u du u y
−
= − = − − =
− = − = −
∫ ∫ ∫
∫
14243
� � � � � � ���9>:�
%�
����������	�	���
�����9/:�������
3 3
3 cos cos ( )( ) cos cos( )
3 3
y x
sen x dx y x pipi pi −− = − = − −∫ ��
?���
����������
������������
�����	��
���
�����
������
����,*�5�
�
3
3
0 0
3 3 3 3
cos ( )( ) cos( )
3
cos (0) cos ( ) 1 ( 1) 4
cos(0) cos( ) 1 1 ( )
3 3 3 3 3
x
sen x dx x
pipi pi
pi pi
pi
pi
 −
− = − − = 
 
       −
− − − = − − − − =       
       
∫
�
�
�!�'(� ��	�� ���� ��� 9>:� ���	����� �
�����	�
����	�� �� ����	��	�� �� ��� ��	��
��� ��
�����
��� ����� ��	�����
��	�
����
��� ���� ��� ������� �������
� ���� ��	��
��� 
�����
�� ��
�� �� ����	��	�� ��� �������
���� 8��� ���
�������
������	���� ���	�
����� �� ����	��	�� ��� �!������� ��	�
��
�!
����� �������
�(�� ������� ��� 
�����	�� �������
����
��������!
����
�
!� �7����
����
������	��
��
��������
�
�
3 1/3 23
.cos ( ) .(1 ).cossen x x sen x sen x x= −
�
6��
��������
���� cosu sen x du x dx= ⇒ = ��"����
�
�
3 1/3 2 1/3 23
4/3 10/3
1/3 7/3 4/3 10/3
.cos ( ) .(1 ).cos .(1 )
3 3( ) .( ) .( )4 10 4 103 3
du
sen x x dx sen x sen x x dx u u du
u u
u u du C sen x sen x C
= − = − =
− = − + = − +
∫ ∫ ∫
∫
14243
�
�
����������*����
����
12 3 2
2
y x dy dx dy dx= + ⇒ = ⇒ = ��	��(���� 6 61cos (2 3) cos
2
x dx y dy+ =∫ ∫ � 9/:�
%
�����������	����������
���
6
1 cosI y dy= ∫ ��
5 4cos 5cos .
cos
u y du y sen y dy
dv y dy v sen y
 = = −
⇒ 
= =  �
��
6 5 4 2 5 4 2cos cos . 5cos . cos . 5 cos .(1 cos )y dy y sen y y sen y dy y sen y y y dy= − − = + −∫ ∫ ∫ �
6���������
2
6 5 46 cos cos . 5 cos
I
y dy y sen y y dy= +∫ ∫
14243
� � � � � � 9.:�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
6���	��
��� 2I �<!������������
�������������.&�2�
����
�
���
�
!	���������
���	�
������������
���
	����5�
�!������
��� 2I 5�����
3 2cos 3cos .
cos
u y du y sen y dy
dv y dy v sen y
 = = −
⇒ 
= = 
��"����
��
4 3 2 2 3 2 2cos cos . 3cos . cos . 3cos .(1 cos )y dy y sen y y sen y dy y sen y y y dy= − − = + −∫ ∫ ∫ ��
6�������
4 3 24 cos cos . 3 cosy dy y sen y y dy= +∫ ∫ �
3
4 3 21 3cos cos . cos
4 4
I
y dy y sen y y dy⇒ = +∫ ∫14243
� � � � � � � 92:�
=����������������.&�/�
����
�
���
�
!	��������������
2 1cos 2
2 4
yy dy sen y= +∫ ��
;���	�	���
�����92:�������
4 31 3 1cos cos . 2
4 4 2 4
yy dy y sen y sen y = + + 
 
∫ ���
6��
������	�	���
�����9.:�������
�
6 5 3
6 5 3
1 3 16 cos cos . 5 cos . 2
4 4 2 4
1 5 15 15
cos cos . cos . 2
6 24 48 96
yy dy y sen y y sen y sen y
yy dy y sen y y sen y sen y
  
= + + +  
  
⇒ = + + +
∫
∫
�
F�����	��@���������9/:�������
6 5 31 1 5 15(2 3) 15cos (2 3) cos (2 3). (2 3) cos (2 3). (2 3) (4 6)
2 6 24 48 96
x
x dx x sen x x sen x sen x C+ + = + + + + + + + + + 
 
∫
�
������?���
�����
��	�
�
��	
�������	
�����
2 1 cos 2cos
2
x
x
+
= �
6������
2 2 21 cos 2cos . 2 . 2
2
x
x sen x sen x
+
= ������
	��	��
2 2 2 2
(1) (2)
1 1
cos . 2 2 cos 2 . 2
2 2
x sen x dx sen x dx x sen x dx= +∫ ∫ ∫14243 144424443 � � � � � 9>:
�
�!������
����	��
���9/:5��
2 2 22 (1 cos 2 ) cos 2sen x dx x dx x x dx= − = −∫ ∫ ∫ � 9>>:�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
*����
��
12 2
2
y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = ��	��(��� 2 21cos 2 cos
2
x dx y dy=∫ ∫ �
?���
������	��
����������
�������
�
���
�
!	�����������������
������	�����	�
��
�
2 1cos 2
2 4
yy dy sen y= +∫ ��	���������
2 21 1 1 1cos 2 cos 2 4
2 2 2 4 2 8
y x
x dx y dy sen y sen x = = + = + 
 
∫ ∫ ����
;���	�	���
�����9>>:�	�����
2 1 12 4 4
2 8 2 8
x x
sen x dx x sen x sen x = − + = − 
 
∫ � � � � � � � 9/:�
�!������
����	��
���9.:5�
*����
��
12 2cos 2 cos 2
2
u sen x du x dx du x dx= ⇒ = ⇒ = ��	��(���
2 2 3 31 1 1cos 2 . 2 2
2 6 6
xsen x dx u du u sen x= = =∫ ∫ �� � � � � � � 9.:�
;���	�	���
��9/:���9.:����9>:��
2 2 3
3
1 1 1 1
cos . 2 4 2
2 2 8 2 6
1 14 2
4 16 12
x
x sen x dx sen x sen x C
x
sen x sen x C
   
= − + + =   
   
= − + +
∫
�
�
���#���������	������������������	��
�����
�����
���%�
�����������
��������
��	�
�
��	
�������	
�����
2 1 cos 2
2
x
sen x
−
= �
6������
2 2 21 cos 2
.cos 2 .cos 2
2
x
sen x x x
−
= ������
	��	��
2 2 2 3
(1) (2)
1 1
.cos 2 cos 2 cos 2
2 2
sen x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫14243 14243
� � � � � � 9>:
�
6���	��
���9/:�������	�
������	�����	�
��
5�
2 1cos 2 4
2 8
x
x dx sen x= +∫ � � � ���������������������� � � � � �9/:�
%�
������	��
���9.:��
����
����
������5�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
3 2 2 21cos 2 cos 2 .(1 2 ) cos 2 cos 2 . 2 2 cos 2 . 2
2
x dx x sen x dx x dx x sen x dx sen x x sen x dx= − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
�
%�����	�����	�
��
��
2 31cos 2 . 2 2
6
x sen x dx sen x=∫ �����5�
3 2 31 1cos 2 cos 2 .(1 2 ) 2 2
2 6
x dx x sen x dx sen x sen x= − = −∫ ∫ �� � � � 9.:�
;���	�	���
��9/:���9.:����9>:������5�
2 2 3
3
1 1 1 1 1
.cos 2 4 2 2
2 2 8 2 2 6
1 1 14 2 2
4 16 412
x
sen x x dx sen x sen x sen x
x
sen x sen x sen x
   
= + − − =   
   
= + − +
∫
�
%�
��������
���������
�����	��
���
�����
�������
����,*�5�
/4/4
2 2 3
0 0
3 3
1 1 1
.cos 2 4 2 2
4 16 4 12
/ 4 1 1 1 1 1 1( / 2) ( / 2) 0 0 0 0
4 16 4 12 16 4 12
3 8
48
x
sen x x dx sen x sen x sen x
sen sen sen sen sen sen
pipi
pi
pi pi pi
pi
 
= + − + = 
 
   
+ − + − + − + =   
   
−
∫
�
�
�
���	
��
���������
�����
(�
�
�
��8��	�����
����������
���������
��	�
�
���	
�������	
�������
����	�
�������!�����DG�
����
�
���
�
!	�����
���
�������������
�����	�
��	���5�
�
[ ]
[ ]
[ ]
1( ) cos ( ) ( )
2
1( ) cos( ) cos( )
2
1( ) cos cos cos( ) cos( )
2
i sen A B sen A B sen A B
ii sen A sen B A B A B
iii A B A B A B

= − + +


= − − +


= − + +

�
�
�� 8�����
������9��:�������
�� 7A x= ��� 6B x= �������
[ ] [ ]1 17 6 cos(7 6 ) cos(7 6 ) cos cos(13 )
2 2
sen x sen x x x x x x x= − − + = − �������
1 1 1 17 . 6 cos cos(13 ) (13 )
2 2 2 26
sen x sen x dx x dx x dx sen x sen x C= − = − +∫ ∫ ∫ �
�
!� 8�����
������9���:�������
�� 8A x= ��� 5B x= �������
[ ] [ ]1 1cos8 cos5 cos(8 5 ) cos(8 5 ) cos(3 ) cos(13 )
2 2
x x x x x x x x= − + + = + �������
�
���	
��
���������
�)�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
	
�
�����
1 1 1 1
cos8 cos5 cos(3 ) cos(13 ) (3 ) (13 )
2 2 6 26
x x dx x dx x dx sen x sen x C= + = + +∫ ∫ ∫ �
�
�� 8�����
������9��:�������
�� 4A x= − ���
2
xB = �������
1 1 8 3 8( 4) cos ( 4) cos ( 4) cos cos
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
sen x sen x x
   − −       
− = − − − − + = −          
          
�������
(1) (2)
1 8 1 3 8( 4). cos cos
2 2 2 2 2
x x x
sen x sen dx dx dx− −   − = −   
   
∫ ∫ ∫
1442443 1442443 � � � � � 9>:�
�
�
�!������
��9/:5������
��
8 1 2
2 2
xy dy dx dx dy−= ⇒ = ⇒ = ���	��(���
8 8
cos 2 cos 2 2
2 2
x xdx y dy sen y sen− −   = = =   
   
∫ ∫
� � 9/:�
�
�!������
��9.:5������
��
3 8 3 2
2 2 3
xy dy dx dx dy−= ⇒ = ⇒ = ���	��(���
3 8 2 2 2 3 8
cos cos
2 3 3 3 2
x xdx y dy sen y sen− −   = = =   
   
∫ ∫ � 9.:�
�
;���	�	���
��9/:���9.:����9>:�������
�
1 8 1 2 3 8( 4). 2
2 2 2 2 3 2
8 1 3 8
2 3 2
x x x
sen x sen dx sen sen C
x x
sen sen C
 −   −    
− = − + =      
      
− −   
= − +   
   
∫
�
�
�� �8�����
������9�:�������
�� 3 1A x= − ��� 4 3B x= + �������
[ ] [ ]
[ ]
1 1(3 1)cos(4 3) (3 1 4 3) (3 1 4 3) ( 4) (7 2)
2 2
1 (7 2) ( 4)
2
sen x x sen x x sen x x sen x sen x
sen x sen x
− + = − − − + − + + = − − + + =
+ − +
"����
(1) (2)
1 1(3 1).cos(4 3) (7 2) ( 4)
2 2
sen x x dx sen x dx sen x dx− + = + − +∫ ∫ ∫1442443 1442443 � � � � 9>:�
�!������
��9/:5������
��
17 2 7
7
y x dy dx dx dy= + ⇒ = ⇒ = ���	��(���
1 1 1(7 2) cos cos(7 2)
7 7 7
sen x dx sen y dy y x+ = = − = − +∫ ∫ � � � � � 9/:�
�
�!������
��9.:5������
�� 4y x dy dx= + ⇒ = ���	��(���
�
( 4) cos cos( 4)sen x dx sen y dy y x+ = = − = − +∫ ∫ � � � � � � 9.:�
� �
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
;���	�	���
��9/:���9.:����9>:�������
�
( )1 1 1(3 1).cos(4 3) cos(7 2) cos( 4)
2 7 2
1 1
cos( 4) cos(7 2)
2 14
sen x x dx x x C
x x C
 
− + = − + − − + + = 
 
+ − + +
∫
�
�
�
;�������
��$��
������05�
�
�� ���������	)�����
����������	������
��
����
�����������	��
��
��
��������	����
���
�
3 4 3 2 2 3 2 22 .csc 2 2 .csc 2 .csc 2 2 .(1 2 ).csc 2cotg x x cotg x x x cotg x cotg x x= = +
��
"����
3 4 3 2 22 .csc 2 2 .(1 2 ).csc 2cotg x x dx cotg x cotg x x dx= +∫ ∫
�
*����
��
2 212 2csc 2 csc 2
2
y cotg x dy x dx dy x dx= ⇒ = − ⇒ − = ��	������
4 6 4 6
3 4 3 2 3 51 1 1 2 22 .csc 2 .(1 ).
2 2 2 8 12 8 12
y y cotg x cotg x
cotg x x dx y y dy y dy y dy C = + − = − − = − − = − − + 
 
∫ ∫ ∫ ∫
 
!� *����
��
2secy tg t dy t dt= ⇒ = ��	�����
�
( )2 5 5sec .sec sect tg t dt y dy=∫ ∫ � � � � � � � � 9/:�
�
#�	��
��
����
���
	��5�
�
3 2
2
sec 3sec .sec .
sec
u y du y y tg y
v tg ydv y
 =  =
⇒ 
==  �����	�����
�
5 3 2 3 3 2sec sec .sec sec . 3sec .y dy y y dy y tg y y tg y dy= = −∫ ∫ ∫ �
�
?���
�����������
��	�
�
��	
�������	
����
2 2sec 1y tg y= + *�	��(���
5 3 3 2 3 5 3
5 3 3
sec sec . 3sec .(sec 1) sec . 3 sec 3 sec
4 sec sec . 3 sec
y dy y tg y y y dy y tg y y dy y dy
y dy y tg y y dy
= − − = − +
⇒ = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
�
�
5 3 31 3sec sec . sec
4 4
I
y dy y tg y y dy⇒ = +∫ ∫14243
� � � � � � � � 9.:�
�
�!������
���5���	��
��
����
���
	���
�
 
�
���	
��
���������
�+�
 
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
2
sec sec .
sec
u y du y tg y dy
v tg ydv y dy
= = 
⇒ 
== 
��	�����
�
3 2 2
3 3
sec sec . sec . sec . sec .(sec 1)
1 12 sec sec . sec sec sec . sec
2 2
y dy y tg y y tg y dy y tg y y y dy
y dy y tg y y dy y dy y tg y y dy
= − = − −
⇒ = + ⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
�
�
8����������./�2�
����
�
���
�
!	���������������
�
sec ln secy dy y tg y= +∫ ��
�
"�����
3 1 1sec sec . ln sec
2 2
y dy y tg y y tg y= + +∫ ��
;���	�	���
�����9.:�������
�
5 3
3
1 3 1 1
sec sec . sec . ln sec
4 4 2 2
1 3 3
sec . sec . ln sec
4 8 8
y dy y tg y y tg y y tg y
y tg y y tg y y tg y
 
= + + + 
 
= + + +
∫
�
�
%�
����������	�	���
����	����	�������
����������9/:������5�
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 31 3 3sec .sec sec . sec . ln sec
4 8 8
t tg t dt tg t tg tg t tg t tg tg t tg t tg tg t C= + + + +∫ �
�
���7����
����
������	��
��
��������
�
� ( ) ( )2/3 1/333 2 2 2sec. sec . . sec . (sec 1). sec . .sec
sec
tg tg tg tgθθ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
−
= = − �
"�����
( ) 1/333 2 2. sec (sec 1). sec . .sectg d tg dθ θ θ θ θ θ θ θ−= −∫ ∫ �
� �
;�<�� sec .secy dy tg dθ θ θ θ= ⇒ = ������
�
8/3 2/3 8/3 2/3
33 2 2 1/3 5/3 1/3 3 3
. sec ( 1). ( ) 8 2 8 233
y y y y
tg d y y dy y y dyθ θ θ − −= − = − = − = −∫ ∫ ∫ �
( ) ( )8/3 2/333 2 3 3. sec sec sec
8 2
tg d Cθ θ θ θ θ⇒ = − +∫ �
�
�
��
2
2 4
4 .csc
cotg x dx cotg x x dx
sen x
=∫ ∫
�
�
?���
�����
��	�
�
��	
�������	
����
2 2csc 1x cotg x= + ������	��
�����������
����
�
����
�	�������
�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
2
2 4 2 2 2 2 2 2
4 .csc .csc .csc .(1 ).csc
cotg x dx cotg x x dx cotg x x x dx cotg x cotg x x dx
sen x
= = = +∫ ∫ ∫ ∫
�
�
#�	��
��
����
���
	������������
2cscy cotg x dy x dx= ⇒ = − ���	�����
�
( )2 3 52 2 2 44 .(1 ) 3 5
cotg x y ydx y y dy y y dy
sen x
= − + = − − = − −∫ ∫ ∫
�
( ) ( )3 52
4 3 5
cotg x cotg xcotg x dx C
sen x
⇒ = − − +∫
�
� �
�
���	
��
���������
�,(�
�
�� #���������	��������
��
12 2
2
y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = �������
5 51cos 2 cos
2
x dx y dy=∫ ∫ � � � � � � � � � 9/:�
�
6������
�� �� �A
����� 
�� 
�
����� 
�� �!����� DB� 
�� ��
�
��� 
�
!	����
1 21 ( 1)cos cos . cosnn nny dy y sen y y dy
n n
− −
−
= +∫ ∫ ����� 5n = ��������
�
5 4 31 4cos cos . cos
5 5
I
y dy y sen y y dy= +∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:�
6������
�����A
�����
��
�
�������� I ���
��� 3n = ������5�
�
3 2 21 2 1 2cos cos . cos cos .
3 3 3 3
y dy y sen y y dy y sen y sen y= + = +∫ ∫ ��
;���	�	���
����������9.:�������
�
( )5 4 2 4 21 4 1 2 1cos cos . cos . . 3cos 4cos 85 5 3 3 15y dy y sen y y sen y sen y sen y y y = + + = + +  ∫ �
�
$����������	�	���
�����9/:�������
�
( )5 4 21cos 2 2 . 3cos 2 4cos 2 830x dx sen x x x C= + + +∫ �
�
!� #���������	��������
��
13 3
3
y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = �������
�
4 41sec 3 sec
3
x dx y dy=∫ ∫ � � � � � � � � � � 9/:�
�
6������
�� �� �A
����� 
�� 
�
����� 
�� �!����� ��� 
�� ��
�
��� 
�
!	���� 9�!��
�� ��
� 1n > :
2 21 2sec sec . sec
1 1
n n nny dy y tg y y dy
n n
− −
−
= +
− −
∫ ∫ ������ 4n = �����5��
�
 �
���	
��
���������
�,�
�!������##� $%&'�(�#�	��
�����
��%�	)��������%
�
�	���
��*���+���,
�������	
�����(�-���
�	�� .&/01/ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
4 2 21 2sec sec . sec
3 3
I
y dy y tg y y dy= +∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:�
6������
�����A
�����
��
�
�������� I ���
��� 2n = ������5�
�
2 0 01 0sec sec . sec
1 1
y dy y tg y y dy tg y= + =∫ ∫ '�
;���	�	���
����������9.:������5�
�
4 21 2sec sec .
3 3
y dy y tg y tg y= +∫ '�
$����������	�	���
�����9/:������5�
�
( )4 21sec 3 3 . sec 3 29x dx tg x x C= + +∫ �
�
�� #���������	��������
�� 3y x dy dx= − ⇒ = �������
�
3 3( 3)cotg x dx cotg y dy− =∫ ∫ � � � � � � � � � 9/:�
�
6������
�� �� �A
����� 
�� 
�
����� 
�� �!����� �B� 
�� ��
�
��� 
�
!	���� 9�!��
�� ��
� 1n > :�
1
2
1
n
n ncotg ycotg y dy cotg y dy
n
−
−
= − −
−
∫ ∫ ������ 3n = �����5�
�
2
3
2
I
cotg y
cotg y dy cotg y dy= − −∫ ∫14243
� � � � � � � � 9.:�
�
8�����
�����������
����A
�����
��
�
�������
���������
�����������	�����!��
�����������
�� 1n > ���
�
$�	
�	��	��������
cos y
cotg y
sen y
= ����
���������
� cosu sen y du y dy= ⇒ = ��������5�
1 ln lncotg y dy du u sen y
u
= = =∫ ∫ ��;���	�	���
�����9.:�������
�
2
3 ln
2
cotg y
cotg y dy sen y= − −∫ ��
�
�$����������	�	���
�����9/:������5�
�
2
3 ( 3)( 3) ln ( 3) .
2
cotg x
cotg x dx sen x C−− = − − − +∫ �

Continue navegando