Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundação CECIERJ Cálculo II �������� ���� ���������� � ��� ����������������� � �������� � � � � ��� ��� � ��� ����� �� ������ �� �� cos 2x � 4 2 22 2 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )x x x x= 2 22 2cos 1 sen xx = − ���� ����������� ��� �� ����� ��� 2cos2du x dx= ������� ������� � ������ 5 22/5 2/5 2cos 2 sen 2 (sen 2 ) (1 sen ) cos2x x dx x x x dx= −∫ ∫ � � � 1 2 (sen 2 ) (1 sen ) 2cos2= −∫ � � � 2 5 2 21 ) 2 ( (1 )u du= −∫ � � � 2 5 12 5 22 51 2 ( 2 )u u u= −∫ � � � 7 5 17 5 27 5 7 5 17 5 27 51 2 5 2( ) ( ) 2 7 5 17 5 27 5 2 7 17 27 u u u u u u − + + = − + += � � � 7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( ) 2 7 17 27 = − + + ������ �� � �� ��� ������� ���� � �� ���� � ������ 5 52/5 2/51 2 cos 2 (sen 2 ) cos (sen )x x dx z z dz=∫ ∫ ����� �� ������ �� �� cos z ��� �� �� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ 4 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )z z z z= 2 2cos 1 senz z= − ��� �� ������ ��� ��� � � ����� ��� cosdu z dz= ������� ������� � ������ 5 2/51 2 cos (sen )z z dz∫ 1 2 (sen ) (1 sen ) cos= −∫ � � � 2 5 2 41 2 (1 2 )u du= −∫ � ��� �� ��������� � � Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância Cálculo II – EP07 (2016/1) Gabarito �������� ���� ���������� � ��� ����������������� � �������� x ��� �� �� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� 2 2 2 2(cos )(cos ) (cos ) (cos )x x x x �� ����� ������ ��� ����� �� � �� � � �� ������� ���� ���� ����������� ��� �� 2 2cos x ���� � ���� ��sen 2x �� ��� ���� � ��� !���� ���� �� ������ ������� � ������ sen 2u x= �� 5 22/5 2/5 2 2cos 2 sen 2 (sen 2 ) (1 sen ) cos2x x dx x x x dx= − � 2 5 22 2(sen 2 ) (1 sen ) 2cos2x x x dx= − � 2 5 2 2( (1 )uu du= − 2 5 2 41 2 (1 2 )u uu du+= −∫ � 2 5 12 5 22 5( 2 )u u u du+= − � 7 5 17 5 27 5 7 5 17 5 27 51 2 5 2( ) ( ) 2 7 5 17 5 27 5 2 7 17 27 u u u u u uC C− + + = − + + 7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( ) 2 7 17 27 x x x C= − + + �� �� ��� ������� ���� � �� ���� � ������ 2z x= ��� ��� 2dz dx= �� ������ 5 52/5 2/5cos 2 (sen 2 ) cos (sen )x x dx z z dz∫ ∫ � �� �� �� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� (cos )(cos ) (cos ) (cos )z z z z �� ����� ������ ��� ����� �� � �� � � �� ������� ���� �� �� ������ ��� ��� � � 2cos z ���� � ���� ��sen z �� � �� �� �� � � �� !� ��� �� �� �� ������ ������� � ������ sen u z= �� 22/5 2(sen ) (1 sen ) coszz z dz= −∫ 2 5 2 2 1 ) 2 ( (1 )uu du= −∫ 2 5 2 4(1 2 )u uu du+= − 2 5 12 5 22 51 2 ( 2 )u u u du+= −∫ Vice Presidência de Educação Superior a Distância �������� ���� ���������� � ��� ����������������� � �������� ���� ��� � 5 2cos x ������� �� ��� ����� �� � �� � � �� ������� ���� �� ��� ���� � ��� !���� ���� �� ( ) ( )C C− + + = − + + � ������ 2 dz dx= �� "���� ���� ��� � 5cos z ������� �� ��� ����� �� � �� � � �� ������� ���� �� � �� �� �� � � �� !� ��� �� �� �� 2 5 2 2( (1 )uu du= − � ( 2 )du � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � � 7 5 17 5 27 55 2( ) 2 7 17 27 u u u C= − + + 7 5 17 5 27 55 sen 2 2sen 2 sen 2( ) 2 7 17 27 x x x C= − + + . � � !�� 3 3 6 6 sen 5 sen 5 cos 5 cos 5 x x x dx x dx −= ∫∫ � ����� �� ������ �� �� sen 5x ��� 2� �� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� � 35sen x 3�� 25 5(sen )(sen )x x �� ����� ������ ��� ����� �� � �� � � �� ������� ���� 2 25 5sen 1 cos xx = − ��� �� ��� ��� � � 25sen x ���� � ���� �� cos5x �� ��� �� �� � � �� !���� ���� ������� ��� 5sen5du x dx= − ��� ���� ������� � ������ cos 5u x= �� � �� 3 6 2 65 5 5 5sen cos sen cos sen5x x dx x x x dx− −=∫ ∫ � 2 6 2 61 cos 5 cos 5 ( 5sen 5 ) 5 (1 ) u u du x x x dx − − = − −−∫ 123 14243 1442443 � � � � 62 6 41 1 5 5 (1 ) ( )u u du u u du−− −= − = − +−∫ ∫ � � � � 5 3 5 3 1 1 1 5 5 3 25 15 u u C C u u − − = − + + = + + − − � � � � 5 3 1 1 25cos 5 15cos 5 C x x = + + �� ������ �� � ����� ������� ���� ��� ���� � ������ 5z x= ��� ��� 5dz dx= �� ������ 5 dz dx= �� ��� �� � ��4��� �������� ������� � �� �� � 2 (2 3 )sen x dx−∫ � "��� �� ����� �� � � �5� 2 1 cos 2sen 2 α α − = �� ������ 2 1 cos 2(2 3 ) 1 cos(4 6 )sen (2 3 ) 2 2 x x x − − − − − == � 6������ 2 1(2 3 ) [1 cos(4 6 )] 2 sen x x dxdx− = − −∫∫ 1 1 cos(4 6 ) 2 2 x x dx= − −∫ � *����� 4 6u x= − ��� ��� 6du dx= − ⇒ cos(4 6 )x dx−∫ 1 sen 6 u C= − + 1 sen (4 6 ) 6 x C= − − + � "���� 2 (2 3 )sen x dx−∫ 1 1 sen (4 6 ) 2 12 x x C= + − + �� ��� 2 16 4 0 sen 4 cos 4x x dx pi ∫ � 7������ ��������� ���� ������ ����� �� ����� ����� �� 2 4sen 4 cos 4x x dx∫ � 8� �(������� ( )2 2 224 cos 4sen 4 cos 4 sen 4 xx x dx x dx=∫ ∫ � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � "��� �� ������ �� � � ��5� 2 1 cos 2sen 2 α α − = �� 2 1 cos 2cos 2 α α + = � ����� ( )2 22 21 cos8 1 cos8cos 4 2 2sen 4 ( )( ) x x xx dx dx− +=∫ ∫ � � � � � � � � � 22 81 1 cos8 ) 1 cos8 8 ( cos )( xx x dx= − + +∫ � � � � � � � � 2 322 8 2 81 1 cos8 cos8 cos 8 8 cos cos )( x xx x x dx−= + −+ −∫ � � � � 32 81 1 cos8 cos 8 8 cos )( xx x dx= + − −∫ � � � � � � � 216 ) 81 1 18cos8 (1 cos8 8 8 2 cos cosx xx x dx dx x dx = + + − −∫ ∫∫ � � � � 21 1 1 1sen8 cos16 (1 sen 8 ) cos8 8 8 2 2 x x x x dx x x dx = + − − − − ∫ ∫ � � � � 2 2 (1 ) 1 1 1 1 1 sen8 16cos16 (1 sen 8 ) 8cos8 8 2 8 32 8 u du x x x dx x x dx − = + − − − ∫ ∫ 14243 14243 � � � � 31 1 1 1 1 sen 8 sen16 ( ) 8 2 8 32 8 3 u x x x u C = + − − − + ���� ��� sen 8u x= � "���� 2 4sen 4 cos 4x x dx∫ 31 1 1 1 1 8 sen8 sen16 ( ) 8 2 8 32 8 3 sen sen 8 xx x x Cx = + − − − + � � � � 31 1 1 8 sen16 8 2 32 24 sen x x x C = − + + � "�������������� ���� ��� ��,�� ����*�� ���� ��� ���!������ ���������� � 2 16 4 0 sen 4 cos 4x x dx pi ∫ � 3 16 0 1 1 1 8 sen16 8 2 32 24 sen x x x pi − = + �� 3 0 1 1 1 1 1( ) sen16( ) sen 8( ) 8 2 16 32 16 24 16 pi pi pi = − + 14243 14243 � � � � �� 1 1 1 1 1 3 4 3 4 8 32 24 64 4 3 64 12 768 pi pi pi pi+ + = + = + = = � � ���� � 3(2 3 )sen sen 7(2 3 )x x dx− −∫ � *����� 2 3u x= − ��� ��� 3du dx= − ������� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � 13(2 3 ) sen3 sen 7 3 sen sen7(2 3 )x u u dux dx− − = − ∫∫ � � � � � 9/:� ;������������ 1 sen sen [cos( ) cos( )] 2 α β α β α β= − − + � � "���� � . 3 3 3 cos( 4 ) 10 cos(4 ) 101 1 1sen sen 7 [cos( 7 ) cos( 7 )] [ cos( )] [ cos( )] 2 2 2f par u u u u u u uu u u −= − − + = − = − 14243 � 9"��� �(������������������(�������������������� ���� ���� cos( ) cos( )u u− = ��� �� � ������ �� ���:� "�������� �� ����� ����� �� ���� �� � 6������ 3sen sen 7u u du∫ � 3� 14 4 10 10 20 1 cos cos 8 u udu du−∫ ∫ � 1 14 10 8 20 sen senu u C= − + � 1 14(2 3 ) 10(2 3 ) 8 20 sen senx x C− −= − + � � � � � 9.:� ;��� � ��� ��9.:����9/:� �����1 14(2 3 ) 10(2 3 ) 8 20 13(2 3 ) sen sen 3 sen sen7(2 3 ) x xx Cx dx − − − − +− = −∫ � � � 1 14(2 3 ) 10(2 3 ) 24 60 sen senx x C− + − += − �� � "�� 1 0 (4sen ) cos(5 )x x dxpi pi∫ � ;������������ 1 sen cos [sen( ) sen( )] 2 α β α β α β= + + − �������� . (4 )cos(5 ) 1 1 1sen [sen(4 5 ) sen(4 5 )] [sen(9 ) sen( )] [sen(9 ) sen( )] 2 2 2f impar x x x x x x x x x xpi pi pi pi pi pi pi pi pi pi= + + − = + − = − 14243 � 9"��� �(�������������������������������������� ���� ����sen( ) sen( )u u− = − ��� �� � ������ �� ���:� "�������� �� ����� ����� �� ���� ����� 1 1 1 1 0 0 00 (4 1 1 1sen ) cos(5 ) [sen(9 ) sen( )] sen(9 ) sen( ) 2 2 2 x x dx x x dx x dx x dxpi pi pi pi pi pi= − = −∫ ∫ ∫∫ � � � � ������� 1 1 sen(9 )9 sen( ) 18 2 x dx x dxpi pi pi pi pi pi = −∫ ∫ � ������� cos(9 ) cos( )1 1 18 2 x x Cpi pi pi pi += − + �� � "�������������� ���� ��� ��,�� ����*�� ���� ��� ���!������ ���������� � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � 11 00 1 1 1 1 (4 cos(9 ) cos( ) cos(9 ) cos( ) cos(0) cos(0)1 1 1 1 1 1sen ) cos(5 ) 18 2 18 2 18 2 x xx x dxpi pi pi pi pipi pi pi pi pi pi pi − − = − + = − + + −∫ 14243 123 123 123 � � 1 1 8 9 9 1 1 1 1 18 2 18 2 pi pi pipi pi pi pi = + = − = −− − �� ��� 7 0 3 5 7 7 cos cos x x dxpi pi∫ � ;������������ 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 α β α β α β= − + + ������� 3 5 3 5 3 5 2 8 cos 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 cos [cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )] 2 2 x x x x x x x xpi pi pi pi pi pi pi pi = − + + = − + � 9"��� �(������������������(�������������������� ���� ���� cos( ) cos( )u u− = ��� �� � ������ �� ���:� � "�������� �� ����� ����� �� ���� �� � 7 7 0 0 7 0 3 5 8 7 7 7 7 1 2 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 2 x x xxdx dx dxpi pi pipi= +∫ ∫∫ � ����<�� � 7 7 0 0 7 0 3 5 7 7 8 8( ) ( ) 7 7 2 7 7 8 7 7 1 2 2 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 2 x x xxdx dx dxpi pi pi pi pi pi pi pi = +∫ ∫∫ � � � "�������������� ���� ��� ��,�� ����*�� ���� ��� ���!������ ���������� � � 77 0 0 7 0 3 5 sen sen 7 7 7 7 7 2 7 8 cos cos ( ) ( ) 4 16 x x x xdxpi pi pi pi pi pi = +∫ � 0 0 0 0 sen 2 sen 0 sen sen 07 7 7 7( ) ( ) (8 ) (0) 4 4 16 16 pi pi pi pi pi pi == − + − 14243 14243 1442443 14243 �� � � ��� �� � � �� 2 4tg4 sec xx dx∫ ���� � 8�� ��������������� �� ������� ������ ����������� �� �� ����� ���� ���� ������� ����� ���� �� ���� �� ������ ���� ������5� � �� ����� �� ������ �� ��sec 4x ��� �� ���� �� �� � .�� =����� ���� � �� ���� � ������ � � tg 4u x= ������� 2(sec 4 ) 4du x dx= �� � { 2 214 tg 4 (sec 4 ) 4 4 tg 4 sec duu x x x dxx dx =∫ ∫ 1442443 21 4 8 u Cu du= = +∫ � *������� �������� 2 4tg4 sec xx dx∫ 2tg 4 8 x C= + �� � � � � � �9>:� ��� ����� �� ������ �� �� tg 4x ��� �� ���� �� ���� � /�� �� ����� �� ��� ��� �� ���� (sec 4 ) 4sec4 tg 4x x x′ = �� ������ ���� ��� � 2 4sec x ������ � 4(sec4 )(sec )x x �� ?�� ����� � ��� �� ��������� �#� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � �� �� � � sec 4x ��� �� ����� � 4sec4 tg 4du x x dx= ������� �� ���� � ������ sec 4u x= ��� 4sec4 tg 4du x x dx= � ���������������������� ������� 2 2 2 1 1 sec 44 sec 4 4sec 4 tg 4 4 4 8 8 tg 4 sec u du u x x x x x dx u du C Cx dx = = = + = +∫∫ ∫ 123 1442443 � 9>>:� ;������� ���� � 2 24 41+tg secx x= ������� �� ��� ����� �� �� ��� �����+��� ��4� ��� ��� 9>:� �� 9>>:� �� ���� � ���� �� ����� �� ���� ������@������������������ � !�� 4 5sec t dt∫ � ��� ������� { 2 4 2 2 2 215 5 5 5 5 5 5 (sec )(sec ) (1 tg )(sec )sec duu dt t dtt t t tdt = = +∫ ∫∫ 1442443 � � *���� � tg5u t= ������ 2sec 5 5du t dt= �� 6���� ������ �� ����� ���� �� �� � �� � � �� ������� ���� 2 2 5sec 5 1 tg tt = + ���� ����� ��� �� 2sec 5t ���� � ���� �� tg 5t ��6����� 3 3 4 21 1 1 15 (1 ) ( ) 5 5 5 3 5 15 sec u u u du u C u Ct dt = + = + + = + +∫∫ � 31 tg 5 tg 5 5 15 t t C= + + �� � $��� 31 cossec t t dt∫ � *���������� � ������ z t= ��� ��� 1 2 dtdz t = � 3 3 31 12 2 2 cossec cossec cossect t t t dt dt z dz= =∫ ∫ ∫ � � � � � 9/:� %� ����� ��� � �� �A ����� �� � ����� � �� ��� �!����� �B� �� �� � ��� � ! ���� ��� �� ����� ������ � � � ���� ��� ������ ������ �� ������� ��� ����� ��������� � 3cossec z dz∫ � *������ 2 cossec cossec u z dv z dz = = ��� ��� cossec cotg cotg du z z dz v z = − = − � 3 2cossec cossec cotg cossec cotgz dz z z z z dz= − −∫ ∫ � 3 2cossec cossec cotg cossec (cossec 1)z dz z z z z dz= − − −∫ ∫ � 3 3cossec cossec cotg cossec cossecz dz z z z dz z dz= − − +∫ ∫ ∫ � "���� 32 cossec cotg ln | cossec cotg |cossec z z z z Cz dz = − + − +∫ � � � � � 9.: � ;��� � ��� ��9.:����9/:� ������������� �� � 31 cossec t t dt∫ cossec cotg ln | cossec cotg |t t t t C= − + − + � � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � ��� 3 3co(cossec tg )x x dx+∫ � ?��� �����A ������� � �����9.:� ����� �������� � �� ��� �������� �� ������� � 3 1 1cossec cossec cotg ln | cossec cotg | 2 2 x dx x x x x C= − + − +∫ ���� %� ��� ���� �� { 23 2 2 cotg cosseccotg cotg cotg (cossec 1)cotg cotg u du x x dxx dx x x dx x x dx x dx − = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫14243 � � � { 2 2 2 sen cos cotg cotgln | | ln | | 2 sen 2 2 dv v u x dx x x v C x C x − = − − + = − − += − ∫ 64748 � *������� �� ���� �� 3 3co(cossec tg )x x dx+∫ � 21 1 cossec cotg ln | cossec cotg | 2 2 cotg ln | sen | 2 x x x x x x C= − + − − − + .� �� 32 3 3 tg secx x dx∫ � 8�� �� ����� �� ������ �� �� 3 tg x ��� �� ���� �� �� � .� �� �� ������ �� �� 3 sec x ��� �� ���� �� ���� � 2�� ������ ������� ����� �� ����� �� �� ���������� ������� ����� �� � � �� ������� ����� 2 2 3 3 sec 1 tg xx − = �� �� ����� 3 3 5 3 5 32 2sec sec sec 3 3 3 3 3 3 3 3 tg ( sec (sec secsec 1) )x x x x x x x xdx dxdx dx dx= = = −−− ∫ ∫∫ ∫ ∫ � � � � { { { { 5 3 5 31 13 sec ( ) 3 sec ( ) 3 sec 3 sec 3 3 3 3 u du u du x xdx dx u du u du= − = −∫ ∫ ∫ ∫ � � � 9/:� %� ��� ���� ������� � ��� � ! ����6����./�9/:������ ��� �����A ����� sec ln | sec tg |x dx x x C= + +∫ C���� $������� ./�2� �� �� � �� �� � ��� ��� ��(��� ������ � �� �A ����� �� � ������ 2 21 2sec sec tg sec 1 1 n n nn x dx x x x dx n n − − − = + − − ∫ ∫ ����� �� �!�� �� �� �� 1n > �� ���� �� �� � ��� �� ��� $�������./�D������ ��� ������ 3 1 1sec sec tg ln | sec tg | 2 2 x dx x x x x C= + + +∫ � ��� "����� ������ ���������A �������� �������� �� ������ � � 5 5 2 5 2 3 31 5 2 1 3sec sec tg sec sec tg sec 5 1 5 1 4 4 u du u u u du u u u du− −−= + = + − − ∫ ∫ ∫ � 31 3 1 1sec tg ( sec tg ln | sec tg |) 4 4 2 2 u u u u u u C= + + + + � 31 3sec tg (sec tg ln | sec tg |) 4 8 u u u u u u C= + + + + � � $������� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � 3 1 1sec sec tg ln | sec tg | 2 2 u du u u u u C= + + +∫ ���,��������� 5 3 31 3 3 1 13 sec sec 3 sec tg sec tg ln | sec tg |) sec tg ln | sec tg | 4 8 8 2 2 u du u du u u u u u u u u u u C − = + + + − − + + ∫ ∫ � � � � 31 1 13 sec tg sec tg ln | sec tg | 4 8 8 u u u u u u C = − − + + � �������9.: � ;��� � ��� ��9.:����9/:��������� ������ ������� 3 x u = ���� ������������� �� 3 32 1 1 13 sec tg sec tg ln | sec tg | 3 3 4 3 3 8 3 3 8 3 3 tg secx x x x x x x x Cdx = − − + + ∫ � � � � � �� � � � � � � � ��� ��� � ��� ������� 3seny x= ����������������� ��������� ���������������� ������� � �����[0, ]pi �� �6����������� ��� ��������R �������� ����� ������ ����������� � �����[0, ]pi ��6������� 3 2 2 0 0 0 sen (sen )sen (1 cos )senA x dx x x dx x x dx pi pi pi = = = −∫ ∫ ∫ � *����� cosu x= ��� ��� sendu x dx= − ��� �� ��������� ��� ���� �� ����5�� 0x = ��� ���� cos 0 1u = = ������� x pi= ��� ��� cos 1u pi= = − � 1 1 2 2 2 0 1 1 (1 cos )sen (1 ) (1 ) ( 1)x x dx u du u du pi − − − = − − = − − −∫ ∫ ∫ � 13 1 1 1 2 4( ) (1 ) ( 1 ) 2 3 3 3 3 3 u u − = − = − − − + = − = ���� � ��� ��! ���� �� ;A��� ���������� ����������*��� ��'��/���� ��(����� �����������*��� ��'��.���� �������� � E������ ������ ��� ������� � �� � � � *��� ��'�/���� � � � � � *��� ��'�.���� � � � � � ��� �� ��������� �%� � � �� #��������� ������������������ �� ����� ����� �� 3 ( )sen x dxpi −∫ �� *���� �� y xpi= − �� ��(��� dy dx= − ��%� �� �� 3 3( )sen x dx sen y dypi − = −∫ ∫ � � � ���9/:� 3 2(1 cos ).sen y dy y sen y dy= −∫ ∫ �� � � � � � � � ���9.:� � ��� �� ��������� �&� � ��� �� ��������� �%� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � 8�� ���� ������ �� ����� cosu y du sen y dy= ⇒ = − ������� 3 2 2 ` 3 3 2 (1 cos ). (1 ) cos( 1) cos 3 3 du sen y dy y sen y dy u du u y u du u y − = − = − − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 14243 � � � � � � ���9>:� %� ���������� � ��� �����9/:������� 3 3 3 cos cos ( )( ) cos cos( ) 3 3 y x sen x dx y x pipi pi −− = − = − −∫ �� ?��� ���������� ������������ ����� �� ��� ����� ������ ����,*�5� � 3 3 0 0 3 3 3 3 cos ( )( ) cos( ) 3 cos (0) cos ( ) 1 ( 1) 4 cos(0) cos( ) 1 1 ( ) 3 3 3 3 3 x sen x dx x pipi pi pi pi pi pi − − = − − = − − − − = − − − − = ∫ � � �!�'(� �� �� ���� ��� 9>:� ��� ����� � ����� � ���� �� �� ���� �� �� �� ��� �� �� ��� �� ����� ��� ����� �� ����� �� � ���� ��� ���� ��� ������� ������� � ���� �� �� ��� ����� �� �� �� �� ���� �� �� ��� ������� ���� 8��� ��� ������� ������ ���� ��� � ����� �� ���� �� �� ��� �!������� �� � �� �! ����� ������� �(�� ������� ��� ����� �� ������� ���� ��������! ���� � !� �7���� ���� ������ �� �� �������� � � 3 1/3 23 .cos ( ) .(1 ).cossen x x sen x sen x x= − � 6�� �������� ���� cosu sen x du x dx= ⇒ = ��"���� � � 3 1/3 2 1/3 23 4/3 10/3 1/3 7/3 4/3 10/3 .cos ( ) .(1 ).cos .(1 ) 3 3( ) .( ) .( )4 10 4 103 3 du sen x x dx sen x sen x x dx u u du u u u u du C sen x sen x C = − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 14243 � � ����������*���� ���� 12 3 2 2 y x dy dx dy dx= + ⇒ = ⇒ = �� ��(���� 6 61cos (2 3) cos 2 x dx y dy+ =∫ ∫ � 9/:� % ����������� ���������� ��� 6 1 cosI y dy= ∫ �� 5 4cos 5cos . cos u y du y sen y dy dv y dy v sen y = = − ⇒ = = � �� 6 5 4 2 5 4 2cos cos . 5cos . cos . 5 cos .(1 cos )y dy y sen y y sen y dy y sen y y y dy= − − = + −∫ ∫ ∫ � 6��������� 2 6 5 46 cos cos . 5 cos I y dy y sen y y dy= +∫ ∫ 14243 � � � � � � 9.:� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � 6��� �� ��� 2I �<!������������ �������������.&�2� ���� � ��� � ! ��������� ��� � ������������ ��� ����5� �!������ ��� 2I 5����� 3 2cos 3cos . cos u y du y sen y dy dv y dy v sen y = = − ⇒ = = ��"���� �� 4 3 2 2 3 2 2cos cos . 3cos . cos . 3cos .(1 cos )y dy y sen y y sen y dy y sen y y y dy= − − = + −∫ ∫ ∫ �� 6������� 4 3 24 cos cos . 3 cosy dy y sen y y dy= +∫ ∫ � 3 4 3 21 3cos cos . cos 4 4 I y dy y sen y y dy⇒ = +∫ ∫14243 � � � � � � � 92:� =����������������.&�/� ���� � ��� � ! �������������� 2 1cos 2 2 4 yy dy sen y= +∫ �� ;��� � ��� �����92:������� 4 31 3 1cos cos . 2 4 4 2 4 yy dy y sen y sen y = + + ∫ ��� 6�� ������ � ��� �����9.:������� � 6 5 3 6 5 3 1 3 16 cos cos . 5 cos . 2 4 4 2 4 1 5 15 15 cos cos . cos . 2 6 24 48 96 yy dy y sen y y sen y sen y yy dy y sen y y sen y sen y = + + + ⇒ = + + + ∫ ∫ � F����� ��@���������9/:������� 6 5 31 1 5 15(2 3) 15cos (2 3) cos (2 3). (2 3) cos (2 3). (2 3) (4 6) 2 6 24 48 96 x x dx x sen x x sen x sen x C+ + = + + + + + + + + + ∫ � ������?��� ����� �� � � �� ������� ����� 2 1 cos 2cos 2 x x + = � 6������ 2 2 21 cos 2cos . 2 . 2 2 x x sen x sen x + = ������ �� �� 2 2 2 2 (1) (2) 1 1 cos . 2 2 cos 2 . 2 2 2 x sen x dx sen x dx x sen x dx= +∫ ∫ ∫14243 144424443 � � � � � 9>: � �!������ ���� �� ���9/:5�� 2 2 22 (1 cos 2 ) cos 2sen x dx x dx x x dx= − = −∫ ∫ ∫ � 9>>:� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � *���� �� 12 2 2 y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = �� ��(��� 2 21cos 2 cos 2 x dx y dy=∫ ∫ � ?��� ������ �� ���������� ������� � ��� � ! ����������������� ������ ����� � �� � 2 1cos 2 2 4 yy dy sen y= +∫ �� ��������� 2 21 1 1 1cos 2 cos 2 4 2 2 2 4 2 8 y x x dx y dy sen y sen x = = + = + ∫ ∫ ���� ;��� � ��� �����9>>:� ����� 2 1 12 4 4 2 8 2 8 x x sen x dx x sen x sen x = − + = − ∫ � � � � � � � 9/:� �!������ ���� �� ���9.:5� *���� �� 12 2cos 2 cos 2 2 u sen x du x dx du x dx= ⇒ = ⇒ = �� ��(��� 2 2 3 31 1 1cos 2 . 2 2 2 6 6 xsen x dx u du u sen x= = =∫ ∫ �� � � � � � � 9.:� ;��� � ��� ��9/:���9.:����9>:�� 2 2 3 3 1 1 1 1 cos . 2 4 2 2 2 8 2 6 1 14 2 4 16 12 x x sen x dx sen x sen x C x sen x sen x C = − + + = = − + + ∫ � � ���#��������� ������������������ �� ����� ����� ���%� ����������� �������� �� � � �� ������� ����� 2 1 cos 2 2 x sen x − = � 6������ 2 2 21 cos 2 .cos 2 .cos 2 2 x sen x x x − = ������ �� �� 2 2 2 3 (1) (2) 1 1 .cos 2 cos 2 cos 2 2 2 sen x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫14243 14243 � � � � � � 9>: � 6��� �� ���9/:������� � ������ ����� � �� 5� 2 1cos 2 4 2 8 x x dx sen x= +∫ � � � ���������������������� � � � � �9/:� %� ������ �� ���9.:�� ���� ���� ������5� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � 3 2 2 21cos 2 cos 2 .(1 2 ) cos 2 cos 2 . 2 2 cos 2 . 2 2 x dx x sen x dx x dx x sen x dx sen x x sen x dx= − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ � %����� ����� � �� �� 2 31cos 2 . 2 2 6 x sen x dx sen x=∫ �����5� 3 2 31 1cos 2 cos 2 .(1 2 ) 2 2 2 6 x dx x sen x dx sen x sen x= − = −∫ ∫ �� � � � 9.:� ;��� � ��� ��9/:���9.:����9>:������5� 2 2 3 3 1 1 1 1 1 .cos 2 4 2 2 2 2 8 2 2 6 1 1 14 2 2 4 16 412 x sen x x dx sen x sen x sen x x sen x sen x sen x = + − − = = + − + ∫ � %� �������� ��������� ����� �� ��� ����� ������� ����,*�5� /4/4 2 2 3 0 0 3 3 1 1 1 .cos 2 4 2 2 4 16 4 12 / 4 1 1 1 1 1 1( / 2) ( / 2) 0 0 0 0 4 16 4 12 16 4 12 3 8 48 x sen x x dx sen x sen x sen x sen sen sen sen sen sen pipi pi pi pi pi pi = + − + = + − + − + − + = − ∫ � � � ��� �� ��������� ����� (� � � ��8�� ����� ���������� ��������� �� � � ��� ������� ������� ���� � �������!�����DG� ���� � ��� � ! ����� ��� ������������� ����� � �� ���5� � [ ] [ ] [ ] 1( ) cos ( ) ( ) 2 1( ) cos( ) cos( ) 2 1( ) cos cos cos( ) cos( ) 2 i sen A B sen A B sen A B ii sen A sen B A B A B iii A B A B A B = − + + = − − + = − + + � � �� 8����� ������9��:������� �� 7A x= ��� 6B x= ������� [ ] [ ]1 17 6 cos(7 6 ) cos(7 6 ) cos cos(13 ) 2 2 sen x sen x x x x x x x= − − + = − ������� 1 1 1 17 . 6 cos cos(13 ) (13 ) 2 2 2 26 sen x sen x dx x dx x dx sen x sen x C= − = − +∫ ∫ ∫ � � !� 8����� ������9���:������� �� 8A x= ��� 5B x= ������� [ ] [ ]1 1cos8 cos5 cos(8 5 ) cos(8 5 ) cos(3 ) cos(13 ) 2 2 x x x x x x x x= − + + = + ������� � ��� �� ��������� �)� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � ����� 1 1 1 1 cos8 cos5 cos(3 ) cos(13 ) (3 ) (13 ) 2 2 6 26 x x dx x dx x dx sen x sen x C= + = + +∫ ∫ ∫ � � �� 8����� ������9��:������� �� 4A x= − ��� 2 xB = ������� 1 1 8 3 8( 4) cos ( 4) cos ( 4) cos cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x sen x sen x x − − − = − − − − + = − ������� (1) (2) 1 8 1 3 8( 4). cos cos 2 2 2 2 2 x x x sen x sen dx dx dx− − − = − ∫ ∫ ∫ 1442443 1442443 � � � � � 9>:� � � �!������ ��9/:5������ �� 8 1 2 2 2 xy dy dx dx dy−= ⇒ = ⇒ = ��� ��(��� 8 8 cos 2 cos 2 2 2 2 x xdx y dy sen y sen− − = = = ∫ ∫ � � 9/:� � �!������ ��9.:5������ �� 3 8 3 2 2 2 3 xy dy dx dx dy−= ⇒ = ⇒ = ��� ��(��� 3 8 2 2 2 3 8 cos cos 2 3 3 3 2 x xdx y dy sen y sen− − = = = ∫ ∫ � 9.:� � ;��� � ��� ��9/:���9.:����9>:������� � 1 8 1 2 3 8( 4). 2 2 2 2 2 3 2 8 1 3 8 2 3 2 x x x sen x sen dx sen sen C x x sen sen C − − − = − + = − − = − + ∫ � � �� �8����� ������9�:������� �� 3 1A x= − ��� 4 3B x= + ������� [ ] [ ] [ ] 1 1(3 1)cos(4 3) (3 1 4 3) (3 1 4 3) ( 4) (7 2) 2 2 1 (7 2) ( 4) 2 sen x x sen x x sen x x sen x sen x sen x sen x − + = − − − + − + + = − − + + = + − + "���� (1) (2) 1 1(3 1).cos(4 3) (7 2) ( 4) 2 2 sen x x dx sen x dx sen x dx− + = + − +∫ ∫ ∫1442443 1442443 � � � � 9>:� �!������ ��9/:5������ �� 17 2 7 7 y x dy dx dx dy= + ⇒ = ⇒ = ��� ��(��� 1 1 1(7 2) cos cos(7 2) 7 7 7 sen x dx sen y dy y x+ = = − = − +∫ ∫ � � � � � 9/:� � �!������ ��9.:5������ �� 4y x dy dx= + ⇒ = ��� ��(��� � ( 4) cos cos( 4)sen x dx sen y dy y x+ = = − = − +∫ ∫ � � � � � � 9.:� � � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � ;��� � ��� ��9/:���9.:����9>:������� � ( )1 1 1(3 1).cos(4 3) cos(7 2) cos( 4) 2 7 2 1 1 cos( 4) cos(7 2) 2 14 sen x x dx x x C x x C − + = − + − − + + = + − + + ∫ � � � ;������� ��$�� ������05� � �� ��������� )����� ���������� ������ �� ���� ����������� �� �� �� �������� ���� ��� � 3 4 3 2 2 3 2 22 .csc 2 2 .csc 2 .csc 2 2 .(1 2 ).csc 2cotg x x cotg x x x cotg x cotg x x= = + �� "���� 3 4 3 2 22 .csc 2 2 .(1 2 ).csc 2cotg x x dx cotg x cotg x x dx= +∫ ∫ � *���� �� 2 212 2csc 2 csc 2 2 y cotg x dy x dx dy x dx= ⇒ = − ⇒ − = �� ������ 4 6 4 6 3 4 3 2 3 51 1 1 2 22 .csc 2 .(1 ). 2 2 2 8 12 8 12 y y cotg x cotg x cotg x x dx y y dy y dy y dy C = + − = − − = − − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ !� *���� �� 2secy tg t dy t dt= ⇒ = �� ����� � ( )2 5 5sec .sec sect tg t dt y dy=∫ ∫ � � � � � � � � 9/:� � #� �� �� ���� ��� ��5� � 3 2 2 sec 3sec .sec . sec u y du y y tg y v tg ydv y = = ⇒ == ����� ����� � 5 3 2 3 3 2sec sec .sec sec . 3sec .y dy y y dy y tg y y tg y dy= = −∫ ∫ ∫ � � ?��� ����������� �� � � �� ������� ���� 2 2sec 1y tg y= + *� ��(��� 5 3 3 2 3 5 3 5 3 3 sec sec . 3sec .(sec 1) sec . 3 sec 3 sec 4 sec sec . 3 sec y dy y tg y y y dy y tg y y dy y dy y dy y tg y y dy = − − = − + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ � � 5 3 31 3sec sec . sec 4 4 I y dy y tg y y dy⇒ = +∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:� � �!������ ���5��� �� �� ���� ��� ��� � � ��� �� ��������� �+� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � 2 sec sec . sec u y du y tg y dy v tg ydv y dy = = ⇒ == �� ����� � 3 2 2 3 3 sec sec . sec . sec . sec .(sec 1) 1 12 sec sec . sec sec sec . sec 2 2 y dy y tg y y tg y dy y tg y y y dy y dy y tg y y dy y dy y tg y y dy = − = − − ⇒ = + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ � � 8����������./�2� ���� � ��� � ! ��������������� � sec ln secy dy y tg y= +∫ �� � "����� 3 1 1sec sec . ln sec 2 2 y dy y tg y y tg y= + +∫ �� ;��� � ��� �����9.:������� � 5 3 3 1 3 1 1 sec sec . sec . ln sec 4 4 2 2 1 3 3 sec . sec . ln sec 4 8 8 y dy y tg y y tg y y tg y y tg y y tg y y tg y = + + + = + + + ∫ � � %� ���������� � ��� ���� ���� ������� ����������9/:������5� � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 31 3 3sec .sec sec . sec . ln sec 4 8 8 t tg t dt tg t tg tg t tg t tg tg t tg t tg tg t C= + + + +∫ � � ���7���� ���� ������ �� �� �������� � � ( ) ( )2/3 1/333 2 2 2sec. sec . . sec . (sec 1). sec . .sec sec tg tg tg tgθθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = = − � "����� ( ) 1/333 2 2. sec (sec 1). sec . .sectg d tg dθ θ θ θ θ θ θ θ−= −∫ ∫ � � � ;�<�� sec .secy dy tg dθ θ θ θ= ⇒ = ������ � 8/3 2/3 8/3 2/3 33 2 2 1/3 5/3 1/3 3 3 . sec ( 1). ( ) 8 2 8 233 y y y y tg d y y dy y y dyθ θ θ − −= − = − = − = −∫ ∫ ∫ � ( ) ( )8/3 2/333 2 3 3. sec sec sec 8 2 tg d Cθ θ θ θ θ⇒ = − +∫ � � � �� 2 2 4 4 .csc cotg x dx cotg x x dx sen x =∫ ∫ � � ?��� ����� �� � � �� ������� ���� 2 2csc 1x cotg x= + ������ �� ����������� ���� � ���� � ������� � �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 .csc .csc .csc .(1 ).csc cotg x dx cotg x x dx cotg x x x dx cotg x cotg x x dx sen x = = = +∫ ∫ ∫ ∫ � � #� �� �� ���� ��� ������������ 2cscy cotg x dy x dx= ⇒ = − ��� ����� � ( )2 3 52 2 2 44 .(1 ) 3 5 cotg x y ydx y y dy y y dy sen x = − + = − − = − −∫ ∫ ∫ � ( ) ( )3 52 4 3 5 cotg x cotg xcotg x dx C sen x ⇒ = − − +∫ � � � � ��� �� ��������� �,(� � �� #��������� �������� �� 12 2 2 y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = ������� 5 51cos 2 cos 2 x dx y dy=∫ ∫ � � � � � � � � � 9/:� � 6������ �� �� �A ����� �� � ����� �� �!����� DB� �� �� � ��� � ! ���� 1 21 ( 1)cos cos . cosnn nny dy y sen y y dy n n − − − = +∫ ∫ ����� 5n = �������� � 5 4 31 4cos cos . cos 5 5 I y dy y sen y y dy= +∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:� 6������ �����A ����� �� � �������� I ��� ��� 3n = ������5� � 3 2 21 2 1 2cos cos . cos cos . 3 3 3 3 y dy y sen y y dy y sen y sen y= + = +∫ ∫ �� ;��� � ��� ����������9.:������� � ( )5 4 2 4 21 4 1 2 1cos cos . cos . . 3cos 4cos 85 5 3 3 15y dy y sen y y sen y sen y sen y y y = + + = + + ∫ � � $���������� � ��� �����9/:������� � ( )5 4 21cos 2 2 . 3cos 2 4cos 2 830x dx sen x x x C= + + +∫ � � !� #��������� �������� �� 13 3 3 y x dy dx dy dx= ⇒ = ⇒ = ������� � 4 41sec 3 sec 3 x dx y dy=∫ ∫ � � � � � � � � � � 9/:� � 6������ �� �� �A ����� �� � ����� �� �!����� ��� �� �� � ��� � ! ���� 9�!�� �� �� � 1n > : 2 21 2sec sec . sec 1 1 n n nny dy y tg y y dy n n − − − = + − − ∫ ∫ ������ 4n = �����5�� � � ��� �� ��������� �,� �!������##� $%&'�(�#� �� ����� ��%� )��������% � � ��� ��*���+���, ������� �����(�-��� � �� .&/01/ Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � 4 2 21 2sec sec . sec 3 3 I y dy y tg y y dy= +∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:� 6������ �����A ����� �� � �������� I ��� ��� 2n = ������5� � 2 0 01 0sec sec . sec 1 1 y dy y tg y y dy tg y= + =∫ ∫ '� ;��� � ��� ����������9.:������5� � 4 21 2sec sec . 3 3 y dy y tg y tg y= +∫ '� $���������� � ��� �����9/:������5� � ( )4 21sec 3 3 . sec 3 29x dx tg x x C= + +∫ � � �� #��������� �������� �� 3y x dy dx= − ⇒ = ������� � 3 3( 3)cotg x dx cotg y dy− =∫ ∫ � � � � � � � � � 9/:� � 6������ �� �� �A ����� �� � ����� �� �!����� �B� �� �� � ��� � ! ���� 9�!�� �� �� � 1n > :� 1 2 1 n n ncotg ycotg y dy cotg y dy n − − = − − − ∫ ∫ ������ 3n = �����5� � 2 3 2 I cotg y cotg y dy cotg y dy= − −∫ ∫14243 � � � � � � � � 9.:� � 8����� ����������� ����A ����� �� � ������� ��������� ����������� �����!�� ����������� �� 1n > ��� � $� � �� �������� cos y cotg y sen y = ���� ��������� � cosu sen y du y dy= ⇒ = ��������5� 1 ln lncotg y dy du u sen y u = = =∫ ∫ ��;��� � ��� �����9.:������� � 2 3 ln 2 cotg y cotg y dy sen y= − −∫ �� � �$���������� � ��� �����9/:������5� � 2 3 ( 3)( 3) ln ( 3) . 2 cotg x cotg x dx sen x C−− = − − − +∫ �
Compartilhar