LISTA2 DERIVADA

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2º Trabalho de Cálculo 
Data de Entrega: 20/01/2016 
Resolva as questões em folha sulfite, em ordem e faça com capa o trabalho 
 
Este trabalho contempla a primeira parte da matéria de Derivadas, ou seja, derivada por definição, das 
regras de derivação e retas tangentes. 
 
1) Discurse sobre a motivação de se definir a derivada de uma função em um ponto 𝑎 da forma 
0
( ) ( )
'( ) lim .
h
f a h f a
f a
h
 

 
2) Faça: 
i) Encontre o domínio das funções dadas. 
ii) Determine as derivadas dessas funções. (Utilize somente a definição de derivada) 
iii) Encontre o domínio das derivadas. E mostre que onde a derivada existe a função é contínua. 
a) 
3 2( ) 2f x x x 
 b) 
3
2
( )g t
t

 c) 
2( ) 2K a a a 
 d) 
2( ) sen ( )n p p
 
3) Utilizando a função 
2( ) 2K a a a 
 e a derivada encontrada no exercício 2, letra c, determine a equação da 
reta tangente e da reta normal no ponto onde 
1
10
x 
. Utilizando um software que faça gráficos, anexe no trabalho 
o gráfico da função dada com o ponto e a reta tangente e normal. Sugestão: Para ficar um traçado melhor faça 
o gráfico da função no intervalo 
[0,0.3]
. 
 
4) Mostre que a função 
2( ) 4f x x 
 não é derivável em mas é contínua em . 
 
5) Faça: i) Determine o domínio das funções dadas. ii) Utilizando das regras de derivação encontre a derivadas 
das funções dadas. iii) Determine o domínio das funções derivadas. 
a) 
3( ) xf x x e 
 b) 
( ) cos(2 )f x x
 c) 
3( ) 3 cos( 1)f x x x 
 d) 
3 1
( )
sen(2 )
x
f x
x


 e) 
2
ln( )
( )
1
x x
f x
x


 
f) 
( ) sec( 2)f x x 
 g) 2
2
1
( )
1
x
x
e
f x
e



 h) 324 1( )
x x
xf x e


 i)
1
( ) arctg
1
x
f x
x
 
  
 
 
j) 
22 1( ) ( 1)xf x x  
 k) 
( ) (ln( ))xf x x
 
 
6) Abaixo temos representado o gráfico da função 
2( )f x x
 e uma circunferência de centro 𝐶 que é tangente à 
curva da função 𝑓 no ponto 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)). Encontre: 
a) As coordenadas do ponto C, e valor do raio da circunferência, todos em função de 𝑎. 
b) A equação reduzida da circunferência. 
c) O centro e o valor do raio da circunferência quando 𝑎 = 0. 

7) Utilizando a derivação implícita encontre as derivadas das seguintes funções: 
a) 
2 23 2x y xy 
 b) 
2 2 0x y xy 
 c) 
sen( ) yx y xe 
 d) 
2ln cos ( )
2
x
x y
y
 
  
 
 e) 
3( )y x x 
 
8) Seja 𝑓 uma função contínua onde 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) sabendo que 𝑓(0) = 5, 𝑓′(0) = 4, ℎ(0) = 0 e ℎ′(0) = 3, 
encontre a reta tangente à função 𝑔 quando 𝑥 = 0. 
 
9) Seja a função 0 se 0
( )
 se 0n
x
f x
x x

 

 , onde 𝑛 é um inteiro. 
a) Quais são os possíveis valores de 𝑛 de forma que 𝑓 seja uma função derivável para todo 𝑥 real. 
b) Quais são os possíveis valores de 𝑛 de forma que 𝑓 seja uma função contínua para todo 𝑥 real. 
 
10) Seja a função 
:f 
, onde 
2
 2 se 0 1
( )
2( 2) se 1 2
x x
f x
x x
 
 
  
 e f possui período igual a 2, ou seja, 
( 2) ( )f x f x 
. 
a) Faça um esboço do gráfico mostrando pelo menos dois períodos da função. 
b) Mostre que essa função é contínua em todo o 
.
 
c) Mostre que essa função não é derivável em todo o 
.
 
d) Mostre que essa função possui infinitos pontos de máximo e mínimo local e em nenhum deles
'( ) 0.f x 