Gab 1ºEE q1 e q4 - 2012 1

Prévia do material em texto

1a Questa˜o Considere a func¸a˜o f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{
xy+x−2y−2√
x2+y2−4x+2y+5 , para (x, y) 6= (2,−1),
1, para (x, y) = (2,−1).
a) (1,0 ponto) Determine, caso exista, o valor de lim(x,y)→(2,−1) f(x, y).
Soluc¸a˜o: Para (x, y) 6= (2,−1), a func¸a˜o pode ser reescrita como
f(x, y) =
x(y + 1)− 2(y + 1)√
x2 − 4x+ 4 + y2 + 2y + 1 =
(x− 2)(y + 1)√
(x− 2)2 + (y + 1)2 .
Realizando as substituic¸o˜es a = x− 2 e b = y + 1, o limite solicitado equivale ao seguinte:
lim
(a,b)→(0,0)
ab√
a2 + b2
.
Empregando coordenadas polares, a u´ltima expressa˜o se torna
lim
r→0+
r cos θr sin θ
r
= lim
r→0+
r cos θ sin θ = 0.
b) (0,5 ponto) A func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua em (x, y) = (2,−1)? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em (2,−1) pois lim(x,y)→(2,−1) f(x, y) 6= f(2,−1).
c) (0,5 ponto) A func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua em (x, y) = (0, 0)? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o e´ cont´ınua em (0, 0) pois a expressa˜o que define f(0, 0), uma raza˜o entre um
polinoˆmio e a raiz quadrada de um outro polinoˆmio, e´ cont´ınua em todos os pontos para os quais
ela esta´ definida.
4a Questa˜o
a) (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o u = u(x, y, z) = x2 − yz, em que x = x(p, r, θ) = prsen(θ),
y = y(p, r, θ) = prcos(θ) e z = z(p, r, θ) = p − 2r. Utilizando a regra da cadeia, calcule as
derivadas parciais ∂u∂p ,
∂u
∂r e
∂u
∂θ , para p = 3, r = 2 e θ = 0.
Soluc¸a˜o: Empregando a regra da cadeira, as derivadas parciais solicitadas sa˜o obtidas pelas
expresso˜es
∂u
∂p
=
∂u
∂x
∂x
∂p
+
∂u
∂y
∂y
∂p
+
∂u
∂z
∂z
∂p
,
∂u
∂r
=
∂u
∂x
∂x
∂r
+
∂u
∂y
∂y
∂r
+
∂u
∂z
∂z
∂r
e
∂u
∂θ
=
∂u
∂x
∂x
∂θ
+
∂u
∂y
∂y
∂θ
+
∂u
∂z
∂z
∂θ
.
Calculando ∂u∂x = 2x,
∂u
∂y = −z e ∂u∂z = −y, para x(3, 2, 0) = 0, y(3, 2, 0) = 6 e z(3, 2, 0) = −1,
e ∂x∂p = r sin θ,
∂x
∂r = p sin θ,
∂x
∂θ = pr cos θ,
∂y
∂p = r cos θ,
∂y
∂r = p cos θ,
∂y
∂θ = −pr sin θ, ∂z∂p = 1,
∂z
∂r = −2, ∂z∂θ = 0, para p = 3, r = 2 e θ = 0, obte´m-se ∂u∂p = −4, ∂u∂r = 15 e ∂u∂θ = 0.
b) (1,0 ponto) Considere a func¸a˜o z = f(x, y) definida implicitamente por xyz = cos(x +
z) + ln(y + z). Utilizando a regra da cadeia, obtenha as expresso˜es das derivadas parciais
∂z
∂x e
∂z
∂y .
Soluc¸a˜o: Definindo F (x, y, z) = xyz− cos(x+ z)− ln(y+ z) = 0, as derivadas parcias solicitadas
sa˜o obtidas por
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂z
= − yz + sin(x+ z)
xy + sin(x+ z)− 1y+z
e
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂z
= −
xz − 1y+z
xy + sin(x+ z)− 1y+z
.