Tópico 5 - Texto base - REGRAS DE DERIVAÇÃO - TEORIA DE LIMITES E DERIVADAS

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<p>Regras de derivação</p><p>2</p><p>Olá, seja bem-vindo(a)!</p><p>Vimos até agora que a derivada representa a taxa de variação de uma função, ou</p><p>seja, está relacionado a velocidade instantânea de um objeto móvel, e de uma forma geral,</p><p>a taxa segundo a qual uma variável muda em relação a outra. Usamos a definição de uma</p><p>derivada para calcular as derivadas de funções definidas pelas fórmulas, mas seria</p><p>trabalhoso usarmos sempre a definição.</p><p>Para facilitar nossos cálculos, neste tópico estudaremos as regras de derivação</p><p>para encontrarmos derivadas sem precisar usar diretamente a definição. Essas regras nos</p><p>ajudam a calcular com facilidade as derivadas de polinômios, funções racionais, funções</p><p>algébricas, funções exponenciais e logarítmicas, e funções trigonométricas.</p><p>1. REGRAS DE DERIVAÇÃO</p><p>1.1 REGRA DA CONSTANTE</p><p>A função constante é a função mais simples, 𝑓(𝑥) = 𝑐, onde o gráfico é a reta</p><p>horizontal 𝑦 = 𝑐, cuja sua inclinação é 0, logo, temos 𝑓′(𝑥) = 0:</p><p>Figura 1 - Gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒄</p><p>FONTE: STEWART (2005).</p><p>Podemos usar a definição de derivadas para a função constante 𝑓(𝑥) = 𝑐,</p><p>𝑓′(𝑥0) = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)</p><p>∆𝑥</p><p>= lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>𝑐 − 𝑐</p><p>∆𝑥</p><p>= lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>0 = 0</p><p>Regras de derivação</p><p>3</p><p>Podemos escrever a regra da derivada de uma constante como:</p><p>Se 𝒇 é a função constante definida por 𝒇(𝒙) = 𝒄, então, 𝒇′(𝒙) = 𝟎</p><p>1.2 REGRA DA POTÊNCIA</p><p>Vamos observar a função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , onde 𝑛 é um número inteiro positivo. Se</p><p>considerarmos 𝑛 = 1 , logo o gráfico da função de 𝑓(𝑥) = 𝑥 é a reta 𝑦 = 𝑥 e sua</p><p>inclinação é 1,</p><p>Figura 2 - Gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙</p><p>FONTE: STEWART (2005).</p><p>Logo, a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 é igual a 𝑓′(𝑥) = 1.</p><p>Se aplicarmos a definição de derivadas na função 𝑓(𝑥) = 𝑥 para 𝑛 = 2 , ou seja,</p><p>para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 obtemos os seguintes resultados:</p><p>A partir da definição das derivadas,</p><p>𝑓′(𝑥) = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)</p><p>∆𝑥</p><p>Identificando 𝑓(𝑥0) e 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥):</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑥2</p><p>𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2</p><p>Regras de derivação</p><p>4</p><p>Substituindo na definição de derivada:</p><p>𝑓′(𝑥) = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)</p><p>∆𝑥</p><p>= lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>(𝑥 + ∆𝑥)2 − 𝑥2</p><p>∆𝑥</p><p>=</p><p>= lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>[(𝑥 + ∆𝑥). (𝑥 + ∆𝑥)] − 𝑥2</p><p>∆𝑥</p><p>=</p><p>(𝑥2 + 𝑥∆𝑥 + 𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2) − 𝑥2</p><p>∆𝑥</p><p>=</p><p>∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥)</p><p>∆𝑥</p><p>Então:</p><p>𝑓′(𝑥) = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>2𝑥 + ∆𝑥 = 2𝑥</p><p>Do mesmo modo, se aplicarmos a definição de derivadas na função 𝑓(𝑥) = 𝑥 para</p><p>𝑛 = 3 e para 𝑛 = 4, obtemos os seguintes resultados:</p><p>Para 𝑛 = 3, 𝑓(𝑥) = 𝑥3, pela definição encontraremos que 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2</p><p>Para 𝑛 = 4, 𝑓(𝑥) = 𝑥4, pela definição encontraremos que 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3</p><p>Diante disso podemos ver uma similaridade nos resultados encontrados para a</p><p>função 𝑓(𝑥) = 𝑥 , para 𝑛 = 2 , 𝑛 = 3 e 𝑛 = 4 . A partir dessa similaridade podemos</p><p>definir uma regra, a regra da potência:</p><p>Se 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏, em que 𝒏 é um número real qualquer, então, 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏</p><p>** Essa regra pode ser comprovada pelo Teorema Binomial, demonstrado no livro</p><p>de James Stewart, 2005, página 182.</p><p>Exemplo 1 – Se 𝑓(𝑥) = 𝑥6 , então 𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 , pois utilizando a regra da</p><p>potência 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 , temos 𝑛 = 6 , substituindo 𝑛 na regra da potência obtemos</p><p>𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙𝟔−𝟏 = 𝟔𝒙𝟓.</p><p>Exemplo 2 – Se 𝑦 = 𝑥1000, então 𝑓′(𝑥) = 1000𝑥999</p><p>Regras de derivação</p><p>5</p><p>Exemplo 3 – Se 𝑦 = 𝑡4, então 𝑓′(𝑥) = 4𝑡3</p><p>Exemplo 4 – Se</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑟</p><p>(𝑟3) = 3𝑟2</p><p>Para funções potências com expoentes negativos a regra da potência é verdadeira,</p><p>vejamos os exemplos.</p><p>Exemplo 5 – Se</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>), calcule sua derivada.</p><p>Primeiro reescrevemos a equação como uma potência de 𝑥,</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥−1), certo? Pois</p><p>como temos no denominador 𝑥 = 𝑥1 , podemos passar para cima multiplicando o</p><p>numerador e invertendo o sinal do expoente, então fica 1. 𝑥−1 = 𝑥−1, ok?</p><p>Agora aplicando a regra da potência, 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏) em</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥−1):</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥−1) = 𝑛𝑥𝑛−1 = −1. 𝑥−1−1 = −1. 𝑥−2 = −</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>Exemplo 6 – Se</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>√𝑥, calcule sua derivada.</p><p>Primeiro reescrevemos a equação como uma potência de 𝑥,</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥</p><p>1</p><p>2), para então</p><p>aplicarmos a regra da potência, 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏, logo</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥</p><p>1</p><p>2) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥−</p><p>1</p><p>2 =</p><p>1</p><p>2√𝑥</p><p>Exemplo 7 – Diferencie 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>Primeiro reescrevemos a função como uma potência de 𝑥 , 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 , agora</p><p>aplicamos a regra da potência, 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏, logo</p><p>𝑓′(𝑥−2) = −2𝑥−2−1 = −2𝑥−3 = −</p><p>2</p><p>𝑥3</p><p>Regras de derivação</p><p>6</p><p>1.3 REGRA DA SOMA E DA DIFERENÇA</p><p>A regra da soma diz que a derivada de uma soma de funções é uma soma das</p><p>derivadas de suas funções. É possível comprovar tal regra através da aplicação de</p><p>definição de derivadas 𝑓′(𝑥) = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)</p><p>∆𝑥</p><p>. Essa comprovação pode ser observada</p><p>no livro de James Stewart, 2005, página 185.</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 forem deriváveis, então 𝑓 + 𝑔 é derivável, então:</p><p>(𝒇 + 𝒈)′𝒙 = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)</p><p>A regra da soma pode ser estendida para a subtração da seguinte forma, se 𝑓 e 𝑔</p><p>forem deriváveis, então 𝑓 − 𝑔 é derivável, então:</p><p>(𝒇 − 𝒈)′𝒙 = 𝒇′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 8 – Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5, calcule 𝑓′(𝑥):</p><p>𝑓′(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) = 𝑓′(𝑥8) + 𝑓′(12𝑥5) − 𝑓′(4𝑥4) +</p><p>𝑓′(10𝑥3) − 𝑓′(6𝑥) + 𝑓′(5)</p><p>𝑓′(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) = 8𝑥7 + 12. 5𝑥4 − 4.4𝑥3 + 10.3𝑥2 −</p><p>6 + 0</p><p>𝑓′(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) = 8𝑥7 + 60𝑥4 − 16𝑥3 + 30𝑥2 − 6</p><p>1.4 REGRA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>A função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 tem como derivada ela mesma, devido a</p><p>inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑒𝑥 ser igual a coordenada 𝑦 do ponto (livro de</p><p>James Stewart, 2005, página 188).</p><p>Assim podemos deduzir a regra da função exponencial como:</p><p>Regras de derivação</p><p>7</p><p>Se 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙, então 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙</p><p>Exemplo 9 – Se 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥, calcule 𝑓′(𝑥)</p><p>Usando a regra da subtração juntamente com a regra da função exponencial,</p><p>obtemos a seguinte derivada:</p><p>𝑓′(𝑒𝑥 − 𝑥) = 𝑓′(𝑒𝑥) − 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1</p><p>1.5 REGRA DO PRODUTO</p><p>A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira</p><p>função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da</p><p>primeira função, ou seja:</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 são deriváveis, então, 𝑓. 𝑔 é derivável e</p><p>(𝒇. 𝒈)′(𝒙) = 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙)</p><p>Exemplo 10 – Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥, calcule 𝑓′(𝑥).</p><p>Podemos dizer que 𝑓(𝑥) = 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, então vamos derivar as função 𝑓 e 𝑔:</p><p>𝑓′(𝑥) = 1</p><p>𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥</p><p>Pela regra do produto (𝒇. 𝒈)′(𝒙) = 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙), então:</p><p>(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥 + 1. 𝑒𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥</p><p>Colocando 𝑒𝑥 em evidência chegamos ao resultado final:</p><p>(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥 + 1)</p><p>Regras de derivação</p><p>8</p><p>1.6 REGRA DO QUOCIENTE</p><p>A regra do quociente diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes</p><p>a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos</p><p>divididos pelo quadrado do denominador, ou seja:</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 são deriváveis, então,</p><p>𝑓</p><p>𝑔</p><p>é derivável e</p><p>(</p><p>𝒇</p><p>𝒈</p><p>) ′(𝒙) =</p><p>𝒈(𝒙). 𝒇′(𝒙) − 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙)</p><p>[𝒈(𝒙)]𝟐</p><p>, 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎</p><p>Exemplo 11: Seja 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥2+𝑥−2</p><p>𝑥3+6</p><p>, calcule 𝑓′(𝑥).</p><p>Podemos dizer que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 6, então vamos derivar as</p><p>função 𝑓 e 𝑔:</p><p>𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1</p><p>𝑔′(𝑥) = 3𝑥2</p><p>Pela regra do quociente (</p><p>𝒇</p><p>𝒈</p><p>) ′(𝒙) =</p><p>𝒈(𝒙).𝒇′(𝒙)−𝒇(𝒙).𝒈′(𝒙)</p><p>[𝒈(𝒙)]𝟐 , , então:</p><p>(</p><p>𝑓</p><p>𝑔</p><p>) ′(𝑥) =</p><p>(𝑥3 + 6). (2𝑥</p><p>+ 1) − (𝑥2 + 𝑥 − 2). (3𝑥2)</p><p>(𝑥3 + 6)2</p><p>=</p><p>−𝑥4 − 2𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 6</p><p>(𝑥3 + 6)2</p><p>1.7 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>Para as funções trigonométricas precisamos de dois limites especiais:</p><p>• lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>𝑥</p><p>= 1</p><p>• lim</p><p>𝑥→0</p><p>cos 𝑥−1</p><p>𝑥</p><p>= 0</p><p>Regras de derivação</p><p>9</p><p>Desta forma podemos concluir que derivada das funções seno e cosseno são</p><p>válidas as seguintes regras de derivação:</p><p>1. Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 então 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥.</p><p>2. Se 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 então 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥.</p><p>A confirmação dessas regras pode ser encontrada no livro de James Stewart, 2005,</p><p>página 209.</p><p>As funções trigonométricas restantes podem ser encontradas aplicado a regra do</p><p>quociente. Para facilitar, podemos utilizar a Tabela 1, para calcularmos as derivadas das</p><p>funções trigonométricas.</p><p>Tabela 1 - Derivas de funções trigonométricas</p><p>cos′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥</p><p>𝑡𝑔′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥</p><p>FONTE: SOARES, 2021</p><p>Exemplo 12 – Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 cos 𝑥, calcule 𝑓′(𝑥).</p><p>𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 + 2(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) = cos 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>Exemplo 13 – Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥, calcule 𝑓′(𝑥).</p><p>Vamos identificar os termos para aplicar a regra do produto ( (𝑓. 𝑔)′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥)) e a regra das funções trigonométricas:</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓′(𝑥) = 2𝑥</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑔′(𝑥) = cos 𝑥</p><p>Aplicando a derivação na função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥, então:</p><p>𝑓′(𝑥) = 𝑥2. 𝑐𝑜𝑥 𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>Regras de derivação</p><p>10</p><p>1.8 REGRA DA CADEIA</p><p>Essa regra de derivação é utilizada para obter derivas de funções compostas, ou</p><p>seja, ela será aplicada quando as outras regras que estudamos até agora não nos permitam</p><p>diferenciar uma função, no caso, as funções compostas.</p><p>Vamos calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥)2, para aplicação das regras</p><p>estudadas até agora seria necessário expandirmos o binômio, da seguinte forma:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥). (𝑥3 + 𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥4 + 𝑥2</p><p>Agora conseguimos aplicar as regras estudadas anteriormente, e a derivada desta função</p><p>ficaria</p><p>𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 + 8𝑥3 + 2𝑥</p><p>Simples não é? Mas imagine se a função fosse 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥)𝟑𝟎, precisaríamos</p><p>expandir a potência (𝑛 = 30) 30 vezes. Seria trabalhoso e a possibilidade de erros seria</p><p>enorme nessa manipulação algébrica!</p><p>É aí que entra a Regra da Cadeia, um método mais direto e que simplifica as</p><p>manipulações algébricas.</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 forem deriváveis com 𝐼𝑚(𝑔) ⊂ 𝐷(𝑓) e ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) , então, ℎ é</p><p>derivável e ℎ′ é dada pelo produto:</p><p>𝒚′(𝒙) = 𝒇′(𝒈(𝒙)). 𝒈′(𝒙) ∴ 𝒚(𝒙) = (𝒇(𝒙))𝒏 = 𝒏. (𝒇𝒙)𝒏−𝟏. 𝒇′𝒙</p><p>De forma equivalente, na notação de Leibniz, se 𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔(𝑥)</p><p>forem deriváveis, então:</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑢</p><p>.</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>Exemplo 14 – Se 𝑦 = (𝑥5 + 1)30, determine 𝑦′.</p><p>Regras de derivação</p><p>11</p><p>Primeiramente expressamos 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), em que 𝑓(𝑢) = 𝑢30 e 𝑢 =</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑥5 + 1, então:</p><p>𝑓′(𝑢) = 30𝑢29</p><p>𝑔′(𝑥) = 5𝑥4</p><p>Aplicando a regra da cadeia 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)</p><p>𝑦′(𝑥) = 30𝑢29. 5𝑥4</p><p>Substituindo 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥5 + 1, então:</p><p>𝑦′(𝑥) = 30(𝑥5 + 1)29. 5𝑥4 = 150𝑥4(𝑥5 + 1)29</p><p>Exemplo 15 – Se 𝑦 = √𝑥2 + 3, determine 𝑦′.</p><p>Reescrevendo a função para 𝑦 = (𝑥2 + 3)</p><p>1</p><p>2, expressamos 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), em</p><p>que 𝑓(𝑢) = 𝑢</p><p>1</p><p>2 e 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3, então:</p><p>𝑓′(𝑢) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑢</p><p>1</p><p>2</p><p>−1 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑢−</p><p>1</p><p>2 =</p><p>1</p><p>2𝑢</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑔′(𝑥) = 2𝑥</p><p>Aplicando a regra da cadeia 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)</p><p>𝑦′ =</p><p>1</p><p>2𝑢</p><p>1</p><p>2</p><p>. 2𝑥</p><p>Substituindo 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3, então:</p><p>𝑦′ =</p><p>1</p><p>2(𝑥2 + 3)</p><p>1</p><p>2</p><p>. 2𝑥 =</p><p>2𝑥</p><p>2(𝑥2 + 3)</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>(𝑥2 + 3)</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>√𝑥2 + 3</p><p>Regras de derivação</p><p>12</p><p>1.9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E A REGRA DA CADEIA</p><p>Para funções trigonométricas compostas podemos aplicar a regra da cadeia da</p><p>mesma forma. Para facilitar podemos utilizar a Tabela 2:</p><p>Tabela 2 - Resumo das derivadas de função trigonométrica composta</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑢 = cos 𝑢 . 𝑢′</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −sen 𝑢 . 𝑢′</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑡𝑔 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑢. 𝑢′</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐2𝑢. 𝑢′</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑠𝑒𝑐 𝑢 = sec 𝑢 . 𝑡𝑔𝑢. 𝑢′</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑐𝑠𝑐 𝑢 = −csc 𝑢 . 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢. 𝑢′</p><p>FONTE: SOARES, 2021</p><p>Exemplo 16 – Se 𝑦 = cos(𝑥2), calcule 𝑦′.</p><p>Consideramos 𝑦 = cos 𝑢, onde 𝑢 = 𝑥2, assim aplicando a regra da cadeia</p><p>𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥), em que 𝑓(𝑢) = cos 𝑢 e 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2, então:</p><p>𝑓′(𝑢) = −𝑠𝑒𝑛 𝑢</p><p>𝑔′(𝑥) = 2𝑥</p><p>Assim,</p><p>𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑢. 2𝑥</p><p>Substituindo 𝑢 = 𝑥2, obtemos 𝑦′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥2. 2𝑥 = −2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥2</p><p>Exemplo 17 – Se 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥</p><p>Consideramos 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢, onde 𝑢 = 5𝑥, assim aplicando a regra da cadeia</p><p>𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥), em que que 𝑓(𝑢) = sen 𝑢 e 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 5𝑥, então</p><p>𝑓′(𝑢) = 𝑐𝑜𝑠 𝑢</p><p>𝑔′(𝑥) = 5</p><p>Regras de derivação</p><p>13</p><p>Assim,</p><p>𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) = cos 𝑢 . 5</p><p>Substituindo 𝑢 = 5𝑥, obtemos 𝑦′(𝑥) = cos 5𝑥 . 5 = 5 cos 5𝑥</p><p>Regras de derivação</p><p>14</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>FACCIN, Giovani Manzeppi. Elementos de cálculo diferencial e integral. [livro</p><p>eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 2015.</p><p>FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian. Cálculo A. [livro eletrônico]. São</p><p>Paulo: Pearson, 2006.</p><p>STEWART, James. Cálculo. Volume I. Edição 4. São Paulo: Pioneira Thomson</p><p>Learning, 2005.</p>