Funcoes de variavel complexa

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA
Campus Apucarana
Prof. Dr. Márcio Hiran Simões
Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 3 -
Funções de uma Variável Complexa.
Apucarana - PR
2017
1
O Plano Complexo
1.1.Os números complexos
Os números complexos têm sua origem na dificuldade encontrada em resolver
certas equações algébricas tais como x2 = −1. Como não existe número real cujo
quadrado seja −1, esta equação só terá solução se introduzirmos um novo conceito de
número com a propriedade de que seu quadrado seja −1. Esse número, comumente
designado por i ou
√
−1 é chamado de unidade imaginária.
Combinando-se a unidade imaginária com números reais a e b, somos levados aos
números complexos da forma a+ bi como, por exemplo, −1 +
√
3i,
√
5− 9i.
Definição 1.1.1
Um número complexo é qualquer número da forma z = a + bi, onde a e b são
números reais e i é a unidade imaginária.
Terminologia: O número real x em z = x+ yi é chamado de parte real de z e
o número real y é chamado de parte imaginária de z. As partes real e imaginária
de um número complexo z são abreviadas como Re(z) e Im(z), respectivamente. Por
exemplo, se z = 4 − 9i, então Re(z) = 4 e Im(z) = −9. Um múltiplo constante real
da unidade imaginária é denominado de número imaginário puro. Por exemplo,
z = 5i é um número imaginário puro.
Definição 1.1.2
Os números complexos z1 = x1 + y1i e z2 = x2 + y2i são iguais, z1 = z2, se
x1 = Re(z1) = Re(z2) = x2 e y1 = Im(z1) = Im(z2) = y2.
Um número complexo x+ yi = 0 se x = 0 e y = 0.
Operações aritméticas Números complexos pode ser somados, subtráıdos, mul-
tiplicados e divididos. Essas operações são definidas a seguir, considerando z = a+ bi
- 1 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
e w = c+ di:
Adição: z + w = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i;
Subtração: z − w = (a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i;
Multiplicação: z · w = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i;
Divisão:
z
w
=
a+ bi
c+ di
=
ac+ bd
c2 + d2
+ i
bc− ad
c2 + d2
.
As leis comutativa, associativa e destributiva se aplicam aos números complexos.
Lei comutativa:
{
z1 + z2 = z2 + z1;
z1 · z2 = z2 · z1
Lei associativa:
{
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3;
z1(z2z3) = (z1z2)z3
Lei distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3
Em vista dessas leis, não há necessidade de se memorizar as definições de adição,
subtração e multiplicação. Para somar (subtrair) dois números complexos, simples-
mente somamos (subtráımos) as partes reais e imaginárias correspondentes. Para
multiplicarmos dois números complexos, aplicamos a lei distributiva e o fato de que
i2 = −1.
Os exemplos a seguir ilustram o uso dessas regras.
Exemplo 1.1.1 (Adição e multiplicação)
Se z1 = −5 + 7i e z2 = 3− 12i, determine z1 + z2 e z1z2.
Solução: Somando as partes real e imaginária dos dois números, obtemos:
z1 + z2 = (−5 + 7i) + (3− 12i) = −2− 5i.
Usando a propriedade distributiva da multiplicação e o fato de que i2 = −1,
obtemos:
z1z2 = (−5)(3) + (−5)(−12i) + (7i)(3) + (7i)(−12i)
= −15 + 60i+ 21i− 84i2 = −15 + 84 + 81i = 69 + 81i.
Não há a necessidade de se memorizar a definição de divisão, porém, antes de
discurtirmos isso, precisamos introduzir um outro conceito.
Conjugado de um número complexo. O complexo conjugado de z = x+yi (ou
simplesmente o conjugado de z) é definido com sendo o número complexo z = x− yi.
- 2 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
Por exemplo, se z = −3 + 2i então z = −3 − 2i. A partir da definição de adição
pode-se mostrar facilmente que o conjugado da soma de dois números complexos é a
soma dos conjugados, isto é,
z1 + z2 = z1 + z2.
Além disso, valem as seguintes propriedades:
z1 − z2 = z1 − z2; z1z2 = z1 z2;
(
z1
z2
)
=
z1
z2
.
As definições de adição e multiplicação mostram que a soma e o produto de um
número complexo e seu conjugado resultam em números reais.
z + z = (x+ yi) + (x− yi) = 2x. (1.1.1)
zz = (x+ yi)(x− yi) = x2 − i2y2 = x2 + y2 (1.1.2)
A diferença entre um número complexo e seu conjugado resulta em um número
imaginário puro:
z − z = (x+ yi)− (x− yi) = 2yi. (1.1.3)
Como x = Re(z) e y = Im(z), (1.1.1) e (1.1.3) resultam em duas fórmulas úteis:
Re(z) =
z + z
2
e Im(z) =
z − z
2i
.
Entretanto, (1.1.2) é a relação que nos permite calcular a divisão de uma forma
mais prática: para dividir z1 po z2, multiplicamos tanto o numerador quanto o deno-
minador de z1/z2 pelo conjugado de z2.
Exemplo 1.1.2
Se z1 = 2− 3i e z2 = 4 + 6i, calcule (a)
z1
z2
e (b)
1
z1
.
Solução:
(a)
z1
z2
=
z1
z2
z2
z2
=
z1 z2
z2 z2
=
(2− 3i) (4− 6i)
(4)2 + (6)2
=
−10− 24i
52
= − 5
26
− 6
13
i.
(b)
1
z2
=
1
z2
z2
z2
=
z2
z2 z2
=
(4− 6i)
(4)2 + (6)2
=
4− 6i
52
=
1
13
− 3
26
i.
- 3 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
Interpretação geométrica A representação dos números complexos por pontos
do plano é muito útil e frequentemente utilizada. Com essa representação, um número
complexo z = x+yi pode ser identificado com o ponto de coordenadas x e y, ou com o
vetor Oz de componentes x e y (Fig. 1.1). As conhecidas regras do paralelogramo para
a adição e subtração de vetores se aplicam então para o caso de adição e subtração
de números complexos (Figs 1.1).
Figura 1.1: Representação geométrica
O módulo ou valor absoluto de um número complexo z = x + yi é definido
como sendo o número real não-negativo |z| =
√
x2 + y2, que é também chamado
de distância do ponto z à origem.
A representação geométrica do conjungado do número complexo z = x+ yi pode
ser vista na Fig. 1.2.
Figura 1.2: Complexo conjugado
Com a definição de módulo de um número complexo, é fácil verificar que, zz = |z|2.
- 4 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
� � �
1.1.1. Exerćıcios
1. Reduza à forma a+ bi cada uma das expressões complexas seguintes:
(a) (3 + 5i) + (−2 + i); (f) (3i− 1)
(
i
2
+ 1
3
)
;
(b) (−3 + 4i)− (1− 2i); (g) 7− 2i
(
2− 2i
5
)
;
(c) (
√
3− 2i)− i[2− i(
√
3 + 4)]; (h) (2 + 3i)2;
(d) (3− 5i)(−2− 4i); (i) (4− 2i)2;
(e)
(
1 + i
3
) (
−6
5
+ 3i
)
; (j) 1 + 2i+ 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5.
2. Mostre que (x+ yi)2 = x2 − y2 + 2xyi.
3. Mostre que (x− yi)2 = x2 − y2 − 2xyi.
4. Mostre que (1 + i)3 = −2 + 2i.
5. Mostre que 1 + i5 + 2i10 + 3i15 = −1− 2i.
6. Mostre que (x+ yi)2(x− yi)2 = (x2 + y2)2.
7. Reduza à forma a+ bi cada uma das expressões complexas seguintes:
(a)
1
2 + 3i
.
(b)
1
4− 3i
.
(c)
1 + i
3− 2i
.
(d)
3− i
−1 + 2i
.
(e)
1− i
1 + i
.
(f)
1 + i
1− i
.
(g)
(
1
1 + i
)
.
(h)
(
1 + i
1− i
)30
.
8. Verifique as seguintes relações:
(a) Re[−i(2−3i)2] = −12; (b) 1− i
√
2√
2 + i
= −1; (c) Im
[
(1− i
√
3)2
−2 + i
]
=
2(1 + 2
√
3)
5
.
9. Demonstre que
|α + β|2 + |α− β|2 = 2|α|2 + 2|β|2
quaisquer que sejam os números complexos α e β. Faça um gráfico para verificar a se-
guinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados do lado de um paralelogramo
é igual a soma dos quadrados de suas diagonais.
- 5 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
1.2.Representação polar
Considerando a representação geométrica de um número complexo z, chama-se
argumento de z ao ângulo θ formado pelo eixo Ox e o vetor Oz.
Figura 1.3: Representação polar
Como em trigonometria, a orientação dos ângulos é de Ox para Oz. Considera-se
positivo o sentido oposto ao dos ponteiros do relógio.
O argumento só fica determinado a menos de múltiplos inteiros de 2π. Como
x = |z| cos θ e y = |z| sin θ, temos a representação polar de z:
z = r(cos θ + i sin θ), r = |z|;
r e θ são designados as coordenadas polares de z.
De posse da representação polar, vamos deduzir uma regra muito conveniente para
a multiplicação. Sejam
z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1),
z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2),
dois números complexos quaisquer. Temos então
z1z2 = r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)
= r1r2(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2),
isto é,
z1z2 =r1r2[cos(θ1 + θ2) + i(θ1 + θ2)].
Vemos assim que o produto de dois números complexos é o número cujo módulo
é o produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é a soma dos argumentos dos
fatores (Fig.1.4).
- 6 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
Figura 1.4: Multiplicação de dois complexos
Vamos deduzir resultado análogo para a divisão. Temos
z1
z2
=
r1
r2
cos θ1 + i sin θ1
cos θ2 + i sin θ2
=
r1
r2
(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 − i sin θ2)
=
r1
r2
[(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2)].
Portanto,
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)],
isto é, para dividir números complexos basta fazer o quociente dos módulos e a dife-
rença dos argumentos.
Figura 1.5: Divisão de dois complexos
A fórmula de multiplicação acima estende-se para um número qualquer de fatores.
Sendo
zj = rj(cos θj + i sin θj), j = 1, 2, . . . , n,
- 7 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
teremos, por indução finita,
z1z2 . . . zn = r1r2 . . . rn[cos(θ1 + θ2 + · · ·+ θn) + i sin(θ1 + θ2 + · · ·+ θn)]
Em particular, quando todos os fatores são iguais e de módulo unitário, obtemos
a chamada Fórmula de De Moivre:
(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ.
Esta fórmula é válida também para expoentes negativos. De fato,
(cos θ + i sin θ)−n =
1
(cos θ + i sin θ)n
=
1
cosnθ + i sinnθ
= cosnθ − i sinnθ,
isto é
(cos θ + i sin θ)−n = cos(−nθ) + i sin(−nθ).
� � �
1.2.1. Exerćıcios
1. Determine o argumento dos números complexos abaixo, escreva-os na forma polar
e represente-os geometricamente.
a) z = −2 + 2i
b) z = 1 + i
√
3
c) z = −
√
3 + i
d) z =
(
i
1 + i
)5
e) z =
1
−1− i
√
3
f) z = −1− i
g) z =
−3 + 3i
1 + i
√
3
h) z =
−4√
3− i
2. Reduza os números z1 e z2 abaixo à forma polar e determine as representações
polares de z1z2 e
z1
z2
.
a) z1 =
√
3 + 3i, z2 =
3− i
√
3
2
b) z1 = 1 + i, z2 =
√
3 + i
c) z1 = 1− i, z2 = −1 + i
√
3
3. Mostre que cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ e que sin 3θ = − sin3 θ + 3 cos2 θ sin θ.
Sugestão: Desenvolva (cos θ+ i sin θ)3 pela fórmula do binômio e pela Fórmula de De
Moivre.
- 8 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
1.3. Ráızes n-ésimas
As ráızes n-ésimas n
√
a = a
1
n de um número complexo a 6= 0 são obtidas como as
soluções da equação zn = a. Pondo
a = r(cos θ + i sin θ),
z = ρ(cosφ+ i sinφ)
e usando a Fórmula de De Moivre obtemos
ρn(cosnφ+ i sinnφ) = r(cos θ + i sin θ).
Como a igualdade de números complexos exige a igualdade de suas partes reais e
a igualdade de suas partes imaginárias separadamente devemos ter
ρn cosnφ = r cos θ e ρn sinnφ = r sin θ.
Estas equações são equivalentes a
ρn = r, nφ = θ + 2kπ,
onde k é um inteiro. Segue daqui que ρ é a raiz n-ésima positiva de r e
z = n
√
r
(
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
. (1.3.1)
Esta fórmula produz n ráızes distintas, quando a k se atribuem os valores k =
0, 1, . . . , n − 1. Como é fácil ver, qualquer outro valor atribúıdo a k conduz a uma
raiz já obtida com um dos valores acima, precisamente aquele que é o resto da divisão
de k por n. Vemos assim que um número complexo a 6= 0 possui n ráızes n-ésimas
z0, z1, . . . , zn−1, todas com o mesmo módulo ρ =
n
√
|a| e com argumentos
φk =
θ
n
+
2kπ
n
, k = 0, 1, . . . , n− 1.
No caso particular a = 1 obtemos as ráızes n-ésimas da unidade: 1, ω, ω2, . . . , ωn−1,
onde
ω = cos
2π
n
+ i sin
2π
n
.
A Fig.1.6 ilustra o caso n = 6.
- 9 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
Figura 1.6: Ráızes da unidade
A fórmula (1.3.1) pode ser escrita na forma
z = n
√
r
(
cos
θ
n
+ i sin
θ
n
)(
cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
)
,
ou seja,
z = n
√
r
(
cos
θ
n
+ i sin
θ
n
)
ωk, k = 0, 1, . . . , n− 1.
Esta expressão nos diz que as ráızes n-ésimas de um número complexo podem ser
obtidas como o produto de uma raiz n-ésima do número, precisamente
z0 =
n
√
r
(
cos
θ
n
+ i sin
θ
n
)
,
pelas ráızes n-ésimas da unidade, 1, ω, ω2, . . . , ωn−1.
Por exemplo, suponha que queremos determinar as ráızes cúbicas de a = 8. Uma
delas é z0 = 2. As ráızes cúbicas de unidade são dadas por 1, ω e ω
2, com
ω = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
= −1
2
+ i
√
3
2
.
Logo, as ráızes cúbicas de 8 são (Fig. 11)
z0 = 2,
z1 = 2
(
−1
2
+ i
√
3
2
)
= −1 + i
√
3,
z2 = 2ω
2 = 2
(
cos
4π
3
+ i sin
4π
3
)
= 2
(
−1
2
− i
√
3
2
)
= −1− i
√
3.
- 10 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
Figura 1.7: 3
√
8
No cálculo da raiz quadrada, muitas vezes é mais conveniente seguir o procedi-
mento do exemplo abaixo. Seja
√
−7− 24i = x+ yi,
logo,
x2 − y2 + 2xyi = −7− 24i,
donde
x2 − y2 = −7, xy = −12
resolvendo essa última equação em relação a x e substituindo na primeira, obtemos
uma equação quadrática para y2, cuja solução é y2 = 16 (como y é real, y2 > 0).
Logo y = ±4 e x = ∓3,donde
√
−7− 24i = ±(3− 4i).
� � �
1.3.1. Exerćıcios
1. Calcule as ráızes abaixo.
a)
√
−4; b) (1 + i
√
3)1/2; c) 3
√
i;
d)
√
−i e)(−1 + i
√
3)1/4 f)
√
−1− i
√
3.
2. Usando o procedimento do fim desta seção, calcule as ráızes seguintes:
a)
√
−5− 12i; b)
√
3 + 4i; c)
√
1 + 2i
√
6.
3. Nos casos abaixo, resolva as equações P (z) = 0 e fatore os polinômios P (z):
a) P (z) = z6−64; b) P (z) = z4+9; c) P (z) = 3z2−i.
- 11 -
Caṕıtulo 1. O Plano Complexo
4. Resolva as seguintes equações:
a) z2 − 2z + 2 = 0 b) z2 + (1− 2i)z + (1 + 5i) = 0.
- 12 -
2
Funções Anaĺıticas
2.1.Conjuntos no plano complexo
Daremos aqui as definições de alguns conjuntos e elementos do plano complexo
que serão usados na caracterização de funções complexas..
Consideremos z0 = x0 + iy0. Como |z−z0| =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 é a distância
entre os ponto z = x+ iy e z0, os pontos que satisfazem a equação
|z − z0| = ρ, ρ > 0,
estão localizados em um ćırculo de raio ρ centrado no ponto z0.
Exemplo 2.1.1
a) |z| = 1 é a equação de um ćırculo de raio 1 centrado na origem.
b) |z − 1− 2i| = 5 é a equação de um ćırculo de raio 5 com centro em 1 + 2i.
Os pontos z que satisfazem a desigualdade |z−z0| < ρ, ρ > 0, estão localizados no
interior de um ćırculo, de raio ρ centrado em um ponto z0. Esse conjunto é chamado
de vizinhança de z0 ou um disco aberto. Um ponto z0 é dito ser um ponto
interior de um conjunto S do plano complexo se existir alguma vizinhança de z0 que
esteja inteiramente contida em S. Se todo ponto z de um conjunto S for um ponto
interior, então S será denominado de conjunto aberto. Por exemplo, a desigualdade
Re z > 0, define um conjunto aberto chamado de semi-plano aberto. Por outro lado,
o conjunto S de pontos no plano complexo para os quais Re(z) ≥ 0 não é aberto, pois
toda vizinhança de um ponto sobre o eixo y contém pontos dentro de S e pontos fora
de S.
- 13 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Exemplo 2.1.2
São conjuntos abertos do plano complexo:
(a) Im z < 0.
(b) −1 < Re z < 1.
(c) |z| > 1.
(d) 1 < |z| < 2.
O conjunto de números que satisfazem a desigualdade
ρ1 < |z − z0| < ρ2,
é chamado de anel aberto.
Se toda vizinhança de um ponto z0 contiver ao menos um ponto que esteja em
um conjunto S e ao menos um ponto que não esteja em S, então z0 é um ponto de
contorno de S. O contorno de um conjunto S é o conjunto de todos os pontos de
contorno de S.
Se qualquer par de pontos z1 e z2 em conjunto aberto S puder ser conectado
por uma reta poligonal que esteja inteiramente contida no conjunto, então S é um
conjunto conexo. Um conjunto conexo aberto é chamado de domı́nio. O conjunto
de números que satisfaz Re z 6= 0 é um conjunto aberto mas não é conexo.
Uma região é um domı́nio no plano complexo com todos, alguns ou nenhum dos
seus pontos de contorno. Como um conjunto conexo aberto não contém quaisquer
pontos de contorno, ele é automaticamente uma região. Uma região contendo todos
os seus pontos de contorno é dita ser fechada.
Observação 2.1.1
A definição de domı́nio dada acima não se refere à definição de domı́nio de uma
função seja qual for o espaço topológicoutilizado.
� � �
2.1.1. Exerćıcios
1. Descreva geometricamente a região determinada por cada uma das seguintes
condições:
a) |Re (z)| < 2; d) |z − 4| > 3; g) |z − 1 + 3i| ≤ 1;
b)| Im (z) > 1; e) Re (z) > 0; h) 0 ≤ arg z ≤ π/4, z 6= 0;
c) − π < arg z < π, |z| > 2; f) 1 < |z − 2i| < 2; i) |2z + 3| > 4.
- 14 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
2.2. Funções de uma variável complexa
Vamos considerar funções definidas em conjuntos complexos, cujos valores são,
em geral, complexos. Mais precisamente, seja D um conjunto de números complexos
e seja f uma lei que faz corresponder, a cada elemento z do conjunto D, um único
número complexo, que designamos por f(z). Nestas condições diz-se que f é uma
função com domı́nio D. O conjunto I dos valores w = f(z) correspondentes a todos
os valores de z em D é chamado a imagem de D pela função f . Nestas condições, o
número complexo z é chamado de variável independente e w é a variável dependente.
Figura 2.1:
É importante notar que, para caracterizar uma função, não basta especificar a lei
de correspondência f ; é preciso especificar também o domı́nio de definição D. Entre-
tanto, frequentemente consideramos funções dadas em termos de relações anaĺıticas
bem definidas w = f(z), sem especificar o domı́nio de definição. Nestes casos, fica
subentendido que o domı́nio de definição de f é o maior subconjunto de números com-
plexos z para os quais tenha sentido a expressão anaĺıtica f(z). Por exemplo,quando
falamos ”seja a função
w =
3z − 5
(z − i)(z + 7)
”,
estamos usando esta relação para especificar a lei de correspondência f que liga z a w;
ao mesmo tempo fica subentendido que o domı́nio desta função é o plano complexo,
exceto os pontos z = i e z = −7.
Uma função da variável complexa z pode assumir valores puramente reais. Por
exemplo,
f(z) = |z| =
√
x2 + y2, onde z = x+ yi,
é uma função real da variável complexa z.
A cada função w = f(z) de uma variável complexa z = x + yi estão associadas
duas funções reais das variáveis reais x e y, dadas por
u = u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z).
- 15 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Assim, se z = x+ yi então
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (2.2.1)
onde u, v : D ⊂ R2 −→ R.
Por exemplo, sendo f(z) = z2 + 3z − 5, temos
u = x2 − y2 + 3x− 5, v = 2xy + 3y.
Deve-se notar que uma função complexa é completamente determinada pelas
funções reais u e v. Isso significa que uma função complexa w = f(z) pode ser
definida especificando-se arbitrariamente u(x, y) e v(x, y), embora u + iv não possa
ser obtida por meio de operações elementares sobre o śımbolo z. Por exemplo, se
u(x, y) = xy2 e v(x, y) = x2 − 4y3, então f(z) = xy2 + i(x2 − 4y3) é uma função de
uma variável complexa. Para calcularmos f(3 + 2i), substitúımos x = 3 e y = 2 em
u e v para obtermos f(3 + 2i) = 12− 23i.
Inerente à definição matemática de função de variável complexa está o fato de
não ser posśıvel traçar o esboço do gráfico de tais funções. Para tal, necessitaŕıamos
de um sistema de quatro dimensões. Porém, existem outras formas de analisarmos
geometricamente uma função complexa.
Funções complexas como fluxos Podemos também interpretar uma função
complexa w = f(z) como um fluxo de fluido bidimensional considerando o número
complexo f(z) como um vetor baseado no ponto z. O vetor f(z) especifica a veloci-
dade e o sentido do fluxo em um determinado ponto z.
Se x(t)+iy(t) for uma representação paramétrica para o caminho de uma part́ıcula
no fluxo, o vetor tangente T = x′(t) + iy′(t) tem que coincidir com f(x(t) + iy(t)).
Quando f(z) = u(x, y)+ iv(x, y), o caminho da part́ıcula tem que satisfazer o sistema
de equações diferenciais
dx
dt
= u(x, y)
dy
dt
= v(x, y).
Chamamos a famı́lia de soluções desse sistema como linhas de fluxo do fluxo
associado a f(z).
Exemplo 2.2.1
Determine as linhas de fluxo associadas às funções complexas (a) fi(z) = z e (b)
f2(z) = z
2.
Solução: (a) As linhas de fluxo que correspondem a f1(z) = x − iy satisfazem o
sistema
dx
dt
= x;
dy
dt
= −y,
- 16 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
e, portanto, x(t) = c1e
t e y(t) = c2e
−t. Multiplicando essas duas equações pa-
ramétricas vemos que o ponto x(t) + iy(t) se localiza na hipérbole xy = c1c2.
(b) Para obter as linhas de fluxo que correspondem a f2(z) = (x
2 − y2) + i(2xy),
observe que
dx
dt
= x2 − y2, dy
dt
= 2xy, e assim
dy
dx
=
2xy
x2 − y2
.
Essa equação diferencial homogênea tem como solução x2 + y2 = c2y, uma famı́lia
de ćırculo que tem centros no eixo y e que passam pela origem.
Definição 2.2.1 (Limite de uma função)
Suponha que uma função f seja definida em uma vizinhança de z0, exceto pos-
sivelmente no próprio z0. Então, dizemos que f tem um limite L quando z se
aproxima de z0 e escrevemos
lim
z→z0
f(z) = L
se, para cada � > 0, existir um δ > 0 tal que |f(z) − L| < � sempre que 0 <
|z − z0| < δ.
A diferença fundamental entre essa definição e o conceito de limite em variáveis
reais está na forma como z se aproxima de z0. No caso de funções de uma única
variável real, a notação x → x0 significa que x se aproxima de x0 sobre a reta real
tanto à direita de x0 quanto a esquerda. Aqui, z → z0 significa que o ponto z se
aproxima do ponto z0 a partir de qualquer direção.
Teorema 2.2.1 (Limite da soma, produto e quociente)
Considere lim
z→z0
f(z) = L1 e lim
z→z0
g(z) = L2. Então:
(i) lim
z→z0
[f(z) + g(z)] = L1 + L2.
(ii) lim
z→z0
f(z)g(z) = L1L2.
(iii) lim
z→z0
f(z)
g(z)
=
L1
L2
, se L2 6= 0.
Definição 2.2.2 (Continuidade em um ponto)
Uma função f é cont́ınua em um ponto z0, se lim
z→z0
f(z) = f(z0).
Como consequência do Teorema 2.2.1, se duas funções f e g forem cont́ınuas em
um ponto z0, então a soma e o produto delas serão cont́ınuas em z0. O quociente f/g
das duas funções será cont́ınuo em z0, desde que g(z0) 6= 0.
- 17 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Uma função f definida por
f(z) = anz
n + an−1z
n−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0, an 6= 0 (2.2.2)
onde n é um inteiro não negativo e os coeficientes ai, i = 0, 1, 2 · · · , n, são cons-
tantes complexas, é chamada de função polinomial de grau n. Pode-se provar
que a função polinomial (2.2.2) é cont́ınua em todo o plano complexo. Uma função
racional
f(z) =
g(z)
h(z)
,
onde g e h são funções polinomiais é cont́ınua em todos os pontos, exceto naqueles
em que h(z) = 0.
Definição 2.2.3 (Derivada)
Seja f uma função complexa definida em uma vizinhança de z0. A derivada de
f em z0 é
f ′(z0) = lim
∆z→0
f(z + ∆z)− f(z)
∆z
, (2.2.3)
se o limite existir.
O śımbolo ∆z da definição de derivada refere-se ao número complexo ∆x + i∆y.
Se o limite (2.2.3) existir, diremos que a função f é diferenciável em z0. Quando
w = f(z) a notação
dw
dz
pode ser utilizada.
Assim como em funções de uma variável real, aqui diferenciabilidade implica em
continuidade. Além disso, as regras de derivação de funções reais também são válidas
para funções complexas. Se f e g são funções diferenciáveis em um ponto z e se c for
uma constante complexa, então:
Regra da constante:
d
dz
c = 0,
d
dz
[cf(z)] = cf ′(z);
Regra da soma:
d
dz
[f(z) + g(z)] = f ′(z) + g′(z);
Regra do produto:
d
dz
[f(z)g(z)] = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z);
Regra do quociente:
d
dz
[
f(z)
g(z)
]
=
g(z)f ′(z)− f(z)g′(z)
[g(z)]2
;
Regra da cadeia:
d
dz
f(g(z)) = f ′(g(z))g′(z).
- 18 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
A regra usual para a diferenciação de potências de z também é válida, isto é,
d
dz
zn = nzn−1, n ∈ Z.
Exemplo 2.2.2
Diferencie (a) f(z) = 3z4 − 5z3 + 2z e (b) f(z) = z
2
4z + 1
.
Solução:
Para que uma função complexa f seja diferenciável em um ponto z0, o valor
do limite dado na definição de derivada de ser o mesmo não importa como ∆z se
aproxime de zero. Logo, dizer que uma função complexa é diferenciável em z0 é mais
importante doque para variáveis reais.
Exemplo 2.2.3
Mostre que a função f(z) = x+ 4yi não é diferenciável em nenhum lugar.
Solução: Como ∆z = ∆x+ i∆y, temos
f(z + ∆z)− f(z) = (x+ ∆x) + 4i(y + ∆y)− x− 4i∆y = ∆x+ 4i∆y
e assim
lim
∆z→0
f(z + ∆z)− f(z)
∆z
= lim
∆z→0
∆x+ 4i∆y
∆x+ i∆y
.
Agora, ∆z → 0 ao longo da reta y = 0 temos que ∆y = 0 e o limite acima é igual
a 1. Por outro lado, se ∆z → 0 pela reta x = 0 teremos ∆x = 0 e, nesse caso, o limite
dá 4. Como os limites resultantes são diferentes segue que esse limite não existe e,
portanto, f(z) = x+ 4iy não é diferenciável em nenhum ponto.
Definição 2.2.4 (Funções Anaĺıticas em um Ponto)
Uma função complexa w = f(z) é anaĺıtica em um ponto z0 se f for dife-
renciável em z0 e em todo ponto de alguma vizinhança de z0.
- 19 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Uma função f é anaĺıtica em um conjunto D se ela for anaĺıtica em todo ponto
de D.
Note que a analiticidade em um ponto não é uma propriedade pontual e sim
uma propriedade em uma vizinhança. Assim, podemos dizer que a classe de funções
anaĺıticas é mais restrita que a classe da funções diferenciáveis.
Uma função que é anaĺıtica em qualquer ponto z é uma função completa. As
funções polinomias são funções completas.
� � �
2.2.1. Exerćıcios
Nos problemas de 1 a 8, expresse a função indicada na forma f(z) = u+ iv.
1. f(z) = 6z − 5 + 9i 5. f(z) = z3 − 4z
2. f(z) = 7z − 9i z − 3 + 2i 6. f(z) = z4
3. f(z) = z2 − 3z + 4i 7. f(z) = z + 1
z
4. f(z) = 3z2 + 2z 8. f(z) =
z
z + 1
Nos problemas 9 a 12, calcule a função dada nos pontos indicados.
09. f(z) = 2x− y2 + i(xy3 − 2x2 + 1); (a) 2i (b) 2− i (c) 5 + 3i.
10. f(z) = (x+ 1 + 1/x) + i(4x2 − 2y2 − 4); (a) 1 + i (b) 2− i (c) 1 + 4i.
11. f(z) = 4z + iz + Re z; (a) 4− 6i (b) − 5 + 12i (c) 2− 7i.
12. f(z) = ex cos y + iex sin y; (a)
πi
4
(b) − 1− πi (c) 3 + πi
3
.
Nos problemas 13 a 16, o limite indicado existe. Determine o seu valor.
13. lim
z→i
(4z3 − 5z2 + 4z + 1− 5i) 15. lim
z→i
z4 − 1
z − i
14. lim
z→1−i
5z2 − 2z + 2
z + 1
16. lim
z→1+i
z2 − 2z + 2
z2 − 2i
Nos problemas 17 e 18, mostre que o limite indicado não existe.
17. lim
z→0
z
z
18. lim
z→1
x+ y − 1
z − 1
- 20 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Nos problemas 19 a 26 determine a derivada f ′(z) para a função indicada.
19. f(z) = 4z3 − (3 + i)z2 − 5z + 4 23. f(z) = (z2 − 4i)3
20. f(z) = 5z4 − iz3 + (8− i)z2 − 6i 24. f(z) = 3z − 4 + 8i
2z + i
21. f(z) = (2z + 1)(z2 − 4z + 8i) 25. f(z) = 5z
2 − z
z3 + 1
22. f(z) = (z5 + 3iz3)(z4 + iz3 + 2z2 − 6iz) 26. f(z) = (2z − 1/z)6
Nos problemas 27 a 30, defina os pontos para os quais a função indicada não será
anaĺıtica.
27. f(z) =
z
z − 3i
29. f(z) =
2i
z2 − 2z + 5iz
28. f(z) =
z3 + z
z2 + 4
30. f(z) =
z − 4 + 3i
z2 − 6z + 25
Nos problemas 31 a 34, determine as linhas de fluxo associadas à função complexa
indicada.
31. f(z) = 2z 33. f(z) = iz
32. f(z) =
1
z
34. f(z) = x2 − iy2
2.3.Equações de Cauchy – Riemann
Na seção anterior vimos que uma função complexa f é anaĺıtica em um ponto z0
se ela for diferenciável em z0 e em qualquer ponto de alguma vizinhança de z0. Dito
de outra forma consideramos que uma função complexa f é anaĺıtica em um domı́nio
D se f for diferenciável em todos os pontos de D. Nesta seção daremos um critério
de analiticidade para funções complexas na forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Teorema 2.3.1 (Equações de Cauchy – Riemann)
Suponha que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é diferenciável em um ponto z = x + iy.
Então, as derivadas parciais de primeira ordem de u e v existem em z e satisfazem
as equações de Cauchy – Riemann
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
. (2.3.1)
Note que, se uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) for anaĺıtica em
domı́nio D então as funções reais u e v satisfazem as equações de Cauchy – Riemann
(2.3.1) em todo ponto de D.
- 21 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Exemplo 2.3.1
A função polinomial f(z) = z2 + z é anaĺıtica para todo z e f(z) = (x2 − y2 +
x) + i(2xy + y). Assim, u(x, y) = x2 − y2 + x e v(x, y) = 2xy + y. Para qualquer
ponto (x, y), vemos que as equações de Cauchy – Riemann são satisfeitas:
∂u
∂x
= 2x+ 1 =
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −2y = −∂v
∂x
.
Exemplo 2.3.2
Mostre que a função f(z) = (2x2 + y) + i(y2 − x) não é anaĺıtica em qualquer
ponto.
Solução: Temos u(x, y) = 2x2 + y e v(x, y) = y2 − x. Assim,
∂u
∂x
= 4x e
∂v
∂y
= 2y
∂u
∂y
= 1 e
∂v
∂x
= −1.
Das igualdades acima vemos que
∂u
∂y
= −∂v
∂x
, para todo (x, y), mas
∂u
∂x
=
∂v
∂y
somente nos pontos sobre a reta y = 2x. Contudo, em pontos sobre essa reta, não
existe qualquer vizinhança onde f é diferenciável. Portanto, f não é anaĺıtica em
nenhum ponto do plano complexo.
Para que a rećıproca do teorema 2.3.1 tenha validade é preciso uma hipótese
adicional sobre as funções reais u e v.
Teorema 2.3.2 (Critério para analiticidade)
Suponha que as funções reais u(x, y) e v(x, y) tenham derivadas parciais de pri-
meira ordem cont́ınuas em um domı́nio D. Se u e v satisfizerem as equações de
Cauchy – Riemann em todos os pontos de D, então a função complexa f(z) =
u(x, y) + iv(x, y) é anaĺıtica em D.
- 22 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Exemplo 2.3.3
Para a função f(z) =
x
x2 + y2
− i y
x2 + y2
, temos
∂u
∂x
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= − 2xy
(x2 + y2)2
= −∂v
∂x
.
Em outras palavras, as equações de Cauchy – Riemann são satisfeitas, exceto no
ponto onde x2 +y2 = 0, ou seja, em z = 0. Conclúımos, a partir do Teorema 2.3.2
que f é anaĺıtica em qualquer domı́nio que não contenha o ponto z = 0.
Observe que para obtermos as equações de Cauchy – Riemann precisamos basica-
mente, que a função f(z) = u+ iv seja diferenciável no ponto z. Em outras palavras,
as equações de Cauchy – Riemann nos dão uma fórmula de cálculo para f ′(z):
f ′(z) =
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− ∂u
∂y
. (2.3.2)
Por exemplo, sabemos que f(z) = z2 é diferenciávem em todo z. Com u(x, y)x2−
y2, ∂u/∂x = 2x, v(x, y) = 2xy e ∂v/∂x = 2y, vemos que
f ′(z) = 2x+ i2y = 2(x+ iy) = 2z.
Lembre-se que analiticidade implica em diferenciabilidade, mas a rećıproca não
é verdadeira. O Teorema 2.3.2 possui uma versão análoga que apresenta condições
suficientes para a diferenciabilidade de uma função complexa:
Se as funções reais u(x, y) e v(x, y) são cont́ınuas e tem derivadas parciais de
primeira ordem cont́ınuas em uma vizinhança de z, e se u e v satisfazem as equações
de Cauchy – Riemann no ponto z, então a função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
é diferenciável em z, e f ′(z) é dada por (2.3.2).
A função f(z) = x2− iy2 não é anaĺıtica em nenhum lugar. Com as identificações
u(x, y) = x2 e v(x, y) = −y2, vemos a partir de
∂u
∂x
= 2x,
∂v
∂y
= −2y e ∂u
∂y
= 0,
∂v
∂x
= 0
que as equações de Cauchy – Riemann são satisfeitas apenas quando y = −x. Porém,
como as funções u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x e ∂v/∂y são cont́ınuas em todos os pontos,
temos que f é diferenciável na reta y = −x, sendo que (2.3.2) define a derivada
f ′(z) = 2x = −2y.
- 23 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Funções Harmônicas A equação de Laplace
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
descreve, dentre outros fenômenos f́ısicos, problemas envolvendo a distribuição de
temperaturas em regime permanente (independente do tempo). Essa equação dife-
rencial parcial também desempenha um papel importante em outras áreas da ma-
temática aplicada. De fato, as partes real e imaginária de uma função anaĺıtica não
podems ser escolhidas arbitrariamente pois tanto u quanto v tem que satisfazer a
equação de Laplace. É essa ligação entre funções anaĺıticas e a equação de Laplace
que torna as variáveis complexas tão essenciais no estudo da matemática aplicada.
Definição 2.3.1 (Funções Harmônicas)
Uma função de valor real φ(x, y) que tenha derivadas parciais de segunda ordem
cont́ınuas em um domı́nio D e que satisfaça aequação de Laplace é chamada de
função harmônica.
Teorema 2.3.3
Suponha que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) seja uma função anaĺıtica em um domı́nio
D. Então, as funções u(x, y) e v(x, y) são funções harmônicas em D.
Demonstração : Nessa demonstração, consideraremos que u e v tem derivadas parciais
de segunda ordem cont́ınuas. Como f é anaĺıtica, as equações de Cauchy – Riemann
são satisfeitas. Diferenciando ambos os lados de ∂u/∂x = ∂v/∂y em relação a x e
diferenciando ambos os lados de ∂u/∂y = −∂v/∂x em relação a y, obtemos
∂2u
∂x2
=
∂2v
∂x∂y
e
∂2u
∂y2
= − ∂
2v
∂y∂x
.
Considerando a continuidade, temos que as derivadas mistas são iguais. Por-
tanto, somando as duas equações temos
∂2u
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0.
Isso mostra que u(x, y) é harmônica. A demonstração de que v(x, y) é harmônica se
faz de modo análogo.
Funções harmônicas conjugadas Se f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) for anaĺıtica em
um domı́nio D, então u e v são funções harmônicas em D. Suponha agora que u(x, y)
seja uma função harmônica em D. Então, é posśıvel obter outra função v(x, y) que
seja harmônica em D de modo que u(x, y) + iv(x, y) seja uma função anaĺıtica em D.
A função v(x, y) é chamada de função harmônica conjugada de u.
- 24 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
Exemplo 2.3.4
(a) Verifique que a função u(x, y) = x3 − 3xy2 − 5y é harmônica em todo o plano
complexo. (b) Obtenha a função harmônica conjugada de u.
Solução: (a) Por derivação parcial, obtemos
∂u
∂x
= 3x2 − 3y2, ∂
2u
∂x2
= 6x,
∂u
∂y
= −6xy − 5, ∂
2u
∂y2
= −6x
e assim,
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 6x− 6x = 0.
Logo u satisfaz a equação de Laplace, o que mostra que u é harmônica.
(b) Como a função harmônica conjugada deve satisfazer as equações de Cauchy –
Riemann, devemos ter
∂v
∂y
=
∂u
∂x
= 3x2 − 3y2 e ∂v
∂x
= −∂u
∂y
= 6xy + 5. (2.3.3)
A integração parcial da primeira equação de (2.3.3) em relação a y nos fornece
v(x, y) = 3x2y − y3 + h(x). A partir disso, temos
∂v
∂x
= 6xy + h′(x).
Substituindo esse resultado na segunda equação de (2.3.3) obtemos h′(x) = 5, e
portanto h(x) = 5x + C. Consequentemente, a função harmônica conjugada de u é
v(x, y) = 3x2y − y3 + 5x+ C. A função anaĺıtica é
f(z) = x3 − 3xy2 − 5y + i(3x2y − y3 + 5x+ C).
� � �
2.3.1. Exerćıcios
Nos problemas 01 e 02, a função dada é anaĺıtica para todo z. Mostre que as equações
de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos.
01. f(z) = z3 02. f(z) = 3z2 + 5z − 6i
Nos problemas de 03 a 08, mostre que a função indicada não é anaĺıtica em qualquer
ponto.
03. f(z) = Re(z) 04. f(z) = y + ix
05. f(z) = 4z − 6z + 3 06. f(z) = z2
- 25 -
Caṕıtulo 2. Funções Anaĺıticas
07. f(z) = x2 + y2 08. f(z) =
x
x2 + y2
+ i
y
x2 + y2
Nos problemas 09 a 13, utilize o Teorema 2.3.2 para mostrar que a função indicada é
anaĺıtica em um domı́nio apropriado.
09. f(z) = ex cos y + iex sin y
10. f(z) = ex
2−y2 cos(2xy) + iex
2−y2 sin(2xy)
11. f(z) = 4x2 + 5x− 4y2 + 9 + i(8xy + 5y − 1)
12. f(z) =
x− 1
(x− 1)2 + y2
− i y
(x− 1)2 + y2
13. f(z) =
x3xy2 + x
x2 + y2
+ i
x2y + y3 − y
x2 + y2
Nos problemas 14 a 17, mostre que a função indicada não é anaĺıtica em qualquer
ponto, porém é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s).
14. f(z) = x2 + y2 + 2xyi; eixox.
15. f(z) = 3x2y2 − 6x2y2i; eixos coordenados
16. f(z) = x3 + 3xy2 − x+ i(y3 + 3x2y − y); eixos coordenados.
17. f(z) = x2 − x+ y + i(y2 − 5y − x); y = x+ 2
Nos problemas 18 a 23, verifique que a função indicada u é harmônica. Determine
v, a função harmônica conjugada de u. Forme a função anaĺıtica correspondente
f(z) = u+ iv.
18. u(x, y) = x 19. u(x, y) = 2x− 2xy
20. u(x, y) = x2 − y2 21. u(x, y) = 4xy3 − 4x3y + x
22. u(x, y) = loge(x
2 + y2) 23. u(x, y) = ex(x cos y − y sin y)
- 26 -
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