Lista de Exercício - Aplicações de Equações Diferenciais

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Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5 Ns /m. O objeto sai do repouso.
Determine a expressão da velocidade em função do tempo obtida por ele durante sua
queda. Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s .
2
2
v(t)=50(1-e )m/s -0,1t
v(t)=150(1-e )m/s -0,2t
v(t)=100(1-e )m/s -0,1t
v(t)=150(1-e )m/s -0,1t
v(t)=50(1-e )m/s -0,2t
Resposta correta
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Questão 1
de
10
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Aplicações De Equações… Sair
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
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A
B
C
D
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A expressão correta para a velocidade do objeto em função do tempo durante a
queda é v(t)=100(1-e )m/s. Esta expressão é derivada da equação do movimento
de um objeto em queda livre com resistência do ar, onde a velocidade é dada pela
aceleração da gravidade multiplicada pelo tempo, menos o produto da constante
de proporcionalidade da resistência do ar e a velocidade. Neste caso, a aceleração
da gravidade é 10 m/s , a massa do objeto é 5 kg e a constante de
proporcionalidade da resistência do ar é 0,5 Ns /m, resultando na expressão dada.
-0,1t
2
2
2 Marcar para revisão
Um circuito em série consiste em um indutor de , um resistor de , um
capacitor de e uma força eletromotriz dada por . Se a
corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a carga no
capacitor para qualquer tempo .
0, 25H 40Ω
4 × 10−4F V (t) = 5 sen 100tV
t > 0
q(t) = e−20t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
80
1
60
1
80
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 10t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
600
1
800
1
800
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
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Rearranjando após multiplicar os membros por 4 :
Note que se trata de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea de
coeficientes.
A equação característica da equação homogênea associada é
As raízes são: e .
Como tem raízes complexas conjugadas, a solução geral será da forma
Logo,
Usando o método dos coeficientes a determinar, chega-se à solução particular:
A solução dessa EDO é
Das condições iniciais e segue que
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é:
L + Ri + = V (t) → 0, 25 + 40i + = 5 sen 100tV
di
dt
q
C
di
dt
q
4 × 10−4
+ 160 + 10000q = 20 sen 100t
d2q
dt2
dq
dt
r2 + 160r + 10000 = 0
r′ = −80 + 60i r′′ = −80 − 60i
y(x) = eax (C1 cos bx + C2 sen bx)
qh(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x)
qp(t) = − cos 100t
1
800
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x) − cos 100t
1
800
q(0) = 0C i(0) = 0A
C1 − = 0
−80C1 + 60C2 = 0
1
800
C1 = 1
800
C2 = 1
600
q(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x) − cos 100t
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t
1
800
1
800
1
600
1
800
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A
B
C
D
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3 Marcar para revisão
Um estagiário em seu primeiro dia de trabalho recebeu a tarefa desafio de com apenas
1200 cm de papelão construir um caixa. Quais devem ser as dimensões desta caixa
para que seu volume seja máximo, sabendo que ela deve ter uma base quadrada e sem
tampa?
2
Vmáx  = 1000cm3.
Vmáx  = 2000cm3.
Vmáx  = 3000cm3.
Vmáx  = 4000cm3.
Vmáx  = 5000cm3.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Considerando uma caixa de base quadrada, com lado de tamanho e altura .
A área superficial será dada soma da área da base com as áreas dos lados dessa
caixa e tem área máxima de :
Já seu volume será dado pelo produto da área da base pela sua altura:
Isolando na equação da área:
Substituindo na equação do volume:
y x
1200cm2
A = y2 + 4xy = 1200cm2
x
x =
1200 − y2
4y
x
V = y2 ( ) = 300y −
1200 − y2
4y
y3
4
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
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A
B
C
D
E
Derivando o volume para determinar o ponto de máximo:
Voltando na equação do volume, para determinar o volume máximo:
V ′ = 300 − = 0
3y2 = 4 ⋅ 300 → y2 = 400 → y = 20cm
3y2
4
V = 300y − = 300 ⋅ 20 −
Vmáx  = 4000cm3.
y3
4
203
4
4 Marcar para revisão
Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de , um resistor de , um
capacitor de e um indutor de todos conectados em série. Determine a
carga que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver
totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.
1, 5V 20Ω
10−3F 0, 1H
q(t) = 0, 0015 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 0, 015 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 0, 15 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 1, 5 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 15 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
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Rearranjando:
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
Com as condições iniciais e . A equação característica é
As raízes são: .
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
Por outro lado, uma solução particular é
A carga é dada por:
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito:
Usando as condições iniciais, e , obtemos as equações:
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é:
L + Ri + = V (t) → 0, 1 + 20i + 10−3q = 1, 5
di
dt
q
C
di
dt
+ 200 + 104q = 15
d2q
dt2
dq
dt
+ 200 + 104q = 0
d2q
dt2
dq
dt
q(0) = 0C i(0) = 0A
r2 + 200r + 104 = 0
r′ = r′′ = −100
qh(t) = C1e
−100t + C2e
−100t
qp(t) = = 0, 0015
15
10000
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = 0, 0015 + C1e
−100t + C2e
−100t
i(t) = −100C1e
−100t + C2e
−100t − 100C2e
−100t
q(0) = 0C i(0) = 0A
0, 0015 + C1 = 0
−100C1 + C2 = 0
C1 = −0, 0015 C2 = −0, 15
q(t) = 0, 0015 + (−0, 0015)e−100t + (−0, 15)e−100t
q(t) = 0, 0015 − 0, 0015e−100t − 0, 15e−100t
q(t) = 0, 0015 (1 − e−100t − 100e−100t)C
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A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R =
20Ω, C = 2 x 10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a corrente
elétrica para t = 0 são nulas.
e [0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)-10t
e [0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024sen(10t)-20t
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)-10t
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)-20t
0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A carga de um capacitor em um circuito RLC pode ser determinada pela equação e
[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t). Esta equação é
derivada da equação diferencial que descreve o comportamento de um circuito
RLC, levando em consideração as condições iniciais do problema, que são a carga
e a corrente elétrica nulas para t = 0. As demais alternativas não correspondem à
solução correta da equação diferencial para as condições dadas.
-
10t
6 Marcar para revisão
Seja um circuito RC em série com resistência de 100Ω e capacitor de 1F. A tensão é
fornecida por meio de uma fonte contínua de 50V ligada em t = 0s. Determine a
corrente no capacitor após 2 s.
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A
B
C
D
E
A
B
C


0,25 e-
1
100


0,5 e -
1
50


0,5 e -
1
100


0,25 e -
1
50
0,25 e -1
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A corrente em um circuito RC em série é dada pela fórmula I(t) = V/R * e^(-t/RC),
onde V é a tensão, R é a resistência, C é a capacitância e t é o tempo. Substituindo
os valores fornecidos na questão, temos I(2) = 50/100 * e^(-2/(100*1)) = 0,25
e^(-1/50). Portanto, a corrente no capacitor após 2 segundos é 0,25 e - .
1
50
7 Marcar para revisão
O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão
, onde é o peso e é a distância até o nível do mar .
Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de
 e altura de .
W = 100( )
2
5200
5200+x
W (kg) x (km)
1, 2Km/s 2000Km
-0,017.
-0,018.
0,018.
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D
E
0,019.
0
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Velocidade: 
Precisamos encontrar uma relação para :
Determinando :
Aplicando regra do quociente para determinar :
Voltando a :
Como , temos:
dx
dt
dW
dt
=
dW
dt
dW
dx
dx
dt
dW
dx
= [100( )
2
] = 100 ⋅ [( )
2
]
 Chamando de  = u;
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2]
dW
dx
d
dx
5200
5200 + x
d
dx
5200
5200 + x
5200
5200 + x
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
g(x) = 5200 → g′(x) = 0
h(x) = 5200 + x → h′(x) = 1
= = = −
= −
du
dx
g′(x)h(x) − g′(x)h′(x)
[h(x)]2
0 ⋅ 5200 + x − 5200 ⋅ 1
[5200 + x]2
5200
[5200 + x]2
du
dx
5200
[5200 + x]2
dW
dx
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ 2u ⋅
= 100 ⋅ 2( ) ⋅ (− )
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
dW
dx
5200
5200 + x
5200
[5200 + x]2
=
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
= v = 1, 2Km/srx = 2000Kmdx
dt
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
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A
B
C
D
E
= = ⋅ 1, 2 = −0, 017kg/s
= −0, 017kg/s
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
−200(5200)2
(5200 + 2000)3
dW
dt
8 Marcar para revisão
Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m usando muros
externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo.
Sabendo-se que o preço do muro é de R
5,00/m, determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor
possível.
2
10, 00/meopreçodasdivisóriasédeR
x = 5√6m e y = 10√6m.
x = 6√10m e y = 5√6m.
x = 6√10m e y = 6√10m.
x = 5√10m e y = 6√10m.
x = 10√10m e y = 10√10m.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Área do terreno:
Sabe-se que, pela figura, serão necessários metros de divisórias e 
metros de muro. Assim, o custo total será:
Usando a equação da área para isolar o em função do :
Voltando na equação e custo:
Derivando o custo para obter o custo mínimo:
Verificando os pontos críticos, fazendo 
Analisando o sinal da derivada:
Quando 
Quando 
portanto é um mínimo da função.
Voltando na equação da área e substituindo o valor de encontrado para
determinar o valor de .
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são:
Aret.  = xy = 300m2
2x + y 2x + 2y
C = 5(2x + y) + 10(2x + 2y) = 10x + 5y + 20x + 200y = 30x + 25y
y x
y =
300
x
C = 30x + 25y = 30x + 25( ) = 30x +
300
x
7500
x
C ′ = 30 + =
7500
x2
30x2 + 7500
x2
C ′ = 0
= 0
30x2 + 7500 = 0 → x2 = 250 → x = √250 = 5√10
30x2 + 7500
x2
x 5√10 : C ′ > 0
x = 5√10
x
y
5√10 ⋅ y = 300
y = = = = 6√10
300
5√10
60
√10
60√10
10
x = 5√10m e y = 6√10m.
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A
B
C
D
E
9 Marcar para revisão
Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de , um resistor de , um
capacitor de e um indutor de todos conectados em série. Determine a
corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver
totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.
1, 5V 20Ω
10−3F 0, 1H
i(t) = 150e−100tA.
i(t) = 1, 5e−100tA.
i(t) = 0, 15e−100tA.
i(t) = 15e−100tA.
i(t) = 0, 015e−100tA.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
Rearranjando:
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
L + Ri + = V (t) → 0, 1 + 20i + 10−3q = 1, 5
di
dt
q
C
di
dt
+ 200 + 104q = 15
d2q
dt2
dq
dt
+ 200 + 104q = 0
d2q
dt2
dq
dt
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
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Com as condições iniciais e . A equação característica é
As raízes são: 
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
Por outro lado, uma solução particular é
A carga é dada por:
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito:
Usando as condições iniciais, e , obtemos as equações:
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é:
q(0) = 0C i(0) = 0A
r2 + 200r + 104 = 0
r′ = r′′ = −100
qh(t) = C1e
−100t + C2e
−100t
qp(t) = = 0, 0015
15
10000
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = 0, 0015 + C1e
−100t + C2e
−100t
i(t) = −100C1e
−100t + C2e
−100t − 100C2e
−100t
q(0) = 0C i(0) = 0A
0, 0015 + C1 = 0
− 100C1 + C2 = 0
C1 = −0, 0015 C2 = −0, 15
i(t) = −100(−0, 0015)e−100t + (−0, 15)e−100t − 100(−0, 15)e−100t
i(t) = 0, 15e−100t − 0, 15e−100t + 15e−100t
i(t) = 15e−100tA
10 Marcar para revisão
Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em cima
de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. Encontre as
dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é de 5 m.
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/13/16
A
B
C
D
E
x = m e y = m
20
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
10
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
5
4 + π
10
4 + π
x = m e y = m
10
2 + π
5
2 + π
x = m e y = m
1
4 + π
1
4 + π
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale :
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
18/10/2025, 12:11 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f3aa48579fbf5848296bb6/gabarito/ 14/16
Substituindo o por , temos:
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale :
Substituindo o por , temos:
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função.
Analisando o sinal da derivada perto de , temos:
- Antes de 
- Depois de 
Logo, é um ponto de máximo local.
Também precisamos do valor de quando . Sabemos que
Substituindo o valor de que encontramos
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
x = 10
4+π′
x = : A′
total  > 010
4+π
x = : A′
total