ProdutoInterno-10-11

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ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Produto Interno 76
Produto interno no espaço vectorial Rn
A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário,
para vectores de R2 e R3: Neste capítulo generaliza-se ao espaço Rn esta noção e outras
noções associadas.
Produto interno euclidiano
O produto interno ou escalar de dois vectores u e v em R2 ou R3 foi de…nido pela expressão:
u � v = kuk kvk cos] (u:v) :
Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vectores e a amplitude do
ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e se perde a interpretação geométrica
dos vectores, essas medições não são possíveis. Para generalizar a de…nição de produto
interno aos outros espaços Rn utiliza-se a expressão, também já conhecida, do produto
escalar usando as coordenadas dos vectores. No caso do espaço R2, por exemplo, sendo
u = (u1; u2) e v = (v1; v2) dois vectores o produto interno é:
(u1; u2) � (v1; v2) = u1v1 + u2v2
Assim, se u = (u1; u2; : : : ; un) e v = (v1; v2; : : : ; vn) são vectores de Rn, o produto interno
euclidiano (ou usual) u � v1 é de…nido por
u � v = u1v1 + u2v2 + � � �+ unvn
Como casos particulares desta de…nição temos os produtos internos já conhecidos em R2 e
R3:
A partir da de…nição obtêm-se sem di…culdade as seguintes propriedades:
Propriedades do produto interno: Se u; v; w são vectores de Rn e � 2 R, então:
1. u � v = v � u.
2. u � (v + w) = u � v + u � w:
3. 8� 2 R; (�u) � v = � (u � v) = u � (�v) :
4. 8u; u � u � 0
5. u � u = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0).
Nota: Pode-se de…nir produto interno de uma forma mais geral, como sendo qualquer
aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as cinco
propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que
1Para o produto interno de dois vectores u e v também se usam a notações ujv e hu; vi :
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se de…ne, para vectores de Rn; x = (x1; : : : ; xn) e y = (y1; : : : ; yn), e sendo k1;k2; : : : ; kn
números reais positivos, pela fórmula:
x � y = k1x1y1 + k2x2y2 + � � �+ knxnyn:
Neste curso só vamos considerar o produto interno euclidiano, a que também se costuma
chamar produto interno usual.
Norma euclidiana
A norma de um vector em R2 ou R3 dá-nos o seu comprimento. Embora os vectores em
Rn não tenham uma visualização geométrica, a de…nição seguinte, que generaliza a de…nição
já conhecida de norma, permite de…nir o "comprimento" de um vector em Rn: A partir da
de…nição de norma de…ne-se também a noção de distância entre vectores.
Sejam u e v vectores de Rn: De…ne-se:
1. Norma euclidiana de u : kuk = pu � u =
p
u21 + u
2
2 + � � �+ u2n.
2. Distância entre os vectores u e v : d (u; v) = ku� vk.
Exemplo: Em R5 :
k(1; 2; 3; 4; 5)k = p1� 1 + 2� 2 + 3� 3 + 4� 4 + 5� 5 = p55
d ((1; 2; 3; 4; 5) ; (5; 4; 3; 2; 1)) = k(1; 2; 3; 4; 5)� (5; 4; 3; 2; 1)k = k(�4;�2; 0; 2; 4)k = p40
Propriedades da norma: Sejam u e v vectores de Rn e � 2 R, então:
1. kuk � 0 e kuk = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0) :
2. d (u; v) � 0 e d (u; v) = 0 se e só se u = v:
3. k�uk = j�j kuk :
4. ku+ vk � kuk+ kvk (desigualdade triangular).
5. ju � vj � kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz2).
Estas propriedades da norma podem ser deduzidas, com mais ou menos manipulações al-
gébricas, a partir da de…nição de norma e das propriedades do produto interno.
A desigualdade triângular traduz a bem conhecida propriedade sobre os comprimentos dos
lados de um triângulo: "Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor do que a
soma dos comprimentos dos outros dois" e pode ser facilmente visualizada em R2 como se
mostra na seguinte …gura:
2Augustin Louis Cauchy, matemático francês (1789-1857). Hermann Amandus Schwarz, matemático
alemão (1843-1921)
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Ângulo de dois vectores
A desigualdade de Cauchy-Schwarz permite generalizar a Rn a de…nição de ângulo entre
dois vectores u e v; mesmo considerando que não é possível, acima da dimensão 3, visualizar
geometricamente esse ângulo:
Através da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se, para u e v não nulos,
ju � vj � kuk kvk ,
, ju � vjkuk kvk � 1 ,
, �1 � u � vkuk kvk � 1: (1)
Como é sabido, se � é um ângulo cuja medida varia entre 0 e �, então cos � percorre todos
os valores entre �1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de…nição:
Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ] (u; v) ; é o ângulo �; 0 � � � �; tal que
cos � =
u � v
kuk kvk ; isto é, o ângulo tal que
cos^ (u; v) = u � vkuk kvk (2)
Esta era a de…nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R2 ou de R3.
De (2) obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores:
u � v = kuk kvk cos] (u; v) :
Exemplos:
1. Em R5; vamos calcular o ângulo dos vectores (1; 1; 1; 0; 1) e
��1;�1;�1;p6; 0�
cos]
�
(1; 1; 1; 0; 1) ;
�
�1;�1;�1;
p
6; 0
��
=
=
(1; 1; 1; 0; 1) � ��1;�1;�1;p6; 0�
k(1; 1; 1; 0; 1)k
��1;�1;�1;p6; 0�
 =
=
�3p
4
p
9
= �1
2
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O ângulo � cujo co-seno é �1
2
e tal que 0 � � � � é � = 2
3
�: Assim,
]
�
(1; 1; 1; 0; 1) ;
�
�1;�1;�1;
p
6; 0
��
=
2
3
�:
2. Os vectores (1;�2; 1; 0; 1) e (�1; 2;�1; 0;�1) são simétricos. Embora sem represen-
tação geométrica podemos imaginar que representam vectores com a mesma direcção
e sentidos contrários e que, portanto, formam entre si um ângulo de 180o. De facto,
cos] ((1;�2; 1; 0; 1) ; (�1; 2;�1; 0;�1)) =
=
(1;�2; 1; 0; 1) � (�1; 2;�1; 0;�1)
k(1;�2; 1; 0; 1)k k(�1; 2;�1; 0;�1)k =
=
�7p
7
p
7
= �1
O ângulo � cujo co-seno é �1 e tal que 0 � � � � é � = � (= 180o)
3. Em R6; vamos calcular o ângulo dos vectores (1; 0;�3; 0; 1) e (0; 2; 0;�3; 0) :
cos] ((1; 0;�3; 0; 1) ; (0; 2; 0;�3; 0)) =
=
(1; 0;�3; 0; 1) � (0; 2; 0;�3; 0)
k(1; 0;�3; 0; 1)k k(0; 2; 0;�3; 0)k =
=
0p
11
p
13
= 0
O ângulo � cujo co-seno é 0 e tal que 0 � � � � é � = �
2
(= 90o)
Ortogonalidade
O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de Rn que são
ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de medida
�
2
: Da
igualdade (2) veri…ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos] (u; v) = 0 se e
só se u � v = 0: Isto motiva a seguinte de…nição:
De…nição: Dois vectores u e v de Rn dizem-se ortogonais se u � v = 0:
Nota: De acordo com a de…nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois
u � (0; 0; : : : ; 0) = 0;8u 2 Rn:
Exemplos:
1. Em R4 os vectores u = (2; 1;�3; 4) e v = (2;�12;�4; 1) são ortogonais pois
(2; 1;�3;�4) � (2;�12;�4; 1) = 0:
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2. Os vectores (1; 2; �; 3) e (2;�1; �� 2; 0) ; � 2 R, são ortogonais para � = 0 ou � = 2
pois
(1; 2; �; 3) � (2;�1; �� 2; 0) = 0
, �2 � 2� = 0
, � = 0 ou � = 2
A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço Rn:
Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de Rn; então
ku+ vk2 = kuk2 + kvk2 :
Representação geométrica em R2
Demonstração:
ku+ vk2 =
= (u+ v) � (u+ v) =
= (u � u) + (u � v)| {z }
=0
+ (v � u)| {z }
=0
+ (v � v) =
= kuk2 + kvk2
Bases ortonormadas
Um conjunto de vectores de Rn diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais
dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do
conjunto for 1.
Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter a aprtir dele
um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma,
dadoque, 8v 2 Rnn f(0; 0; : : : ; 0)g ;
 1kvkv
 = ���� 1kvk
���� kvk = 1kvk kvk = 1;
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A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do
vector v:
Exemplos:
1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0;�1)g é ortogonal, pois
(0; 1; 0) � (1; 0; 1) = 0; (0; 1; 0) � (1; 0;�1) = 0 e (1; 0; 1) � (1; 0;�1) = 0:
2. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta nor-
malizar os vectores. Como
k(0; 1; 0)k = 1; k(1; 0; 1)k =
p
2 e k(1; 0;�1)k =
p
2
o conjunto
�
(0; 1; 0) ;
1p
2
(1; 0; 1) ;
1p
2
(1; 0;�1)
�
é ortonormado.
De…nição: Uma base de Rn é ortogonal se é um conjunto ortogonal de vectores e é orto-
normada se é um conjunto ortonormado de vectores.
Exemplos:
1. A base canónica de Rn é ortonormada.
2. O conjunto ortonormado de…nido no exemplo 2 acima, como é um conjunto linearmente
independente com 3 vectores em R3; é uma base ortonormada de R3:
Método de ortonormalização de Gram-Schmidt
No espaço Rn existe sempre uma base ortonormada, pois a base canónica é ortonormada
para o produto interno euclidiano. No exemplo 2 acima vimos uma outra base ortonormada
para R3. O que vamos mostrar de seguida é que existem bases ortonormadas para qualquer
subespaço vectorial de Rn. Isso pode ser feito a partir de qualquer base desse subespaço,
utilizando um processo que se chamamétodo de ortonormalização de Gram-Schmidt:
A partir de uma base fu1; : : : ; ukg de um subespaço, constrói-se um novo conjunto de vectores
fv1; : : : ; vkg da seguinte forma:
v1 = u1;
v2 = u2 � u2 � v1kv1k2
v1;
v3 = u3 � u3 � v1kv1k2
v1 � u3 � v2kv2k2
v2;
...
vk = uk �
k�1X
j=1
uk � vj
kvjk2
vj:
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Normalizando o conjunto obtido fv1; : : : ; vkg ; que é ortogonal, obtém-se a base ortonormada
de F �
v1
kv1k ; : : : ;
vk
kvkk
�
:
Exemplo:
Encontrar uma base ortonormada fv1; v2; v3g para o subespaço de R4 gerado pelos vectores
u1 = (1; 1; 1; 0) ; u2 = (�1; 1; 0; 0) e u3 = (1; 2; 1; 1) :
Seguindo o processo acima tem-se
v1 = u1 = (1; 1; 1; 0) ;
v2 = u2 � u2 � v1kv1k2
v1 = (�1; 1; 0; 0)� (�1; 1; 0; 0) � (1; 1; 1; 0)k(1; 1; 1; 0)k2 (1; 1; 1; 0) = (�1; 1; 0; 0)
v3 = u3 � u3 � v1kv1k2
v1 � u3 � v2kv2k2
v2 =
= (1; 2; 1; 1)� (1; 2; 1; 1) � (1; 1; 1; 0)k(1; 1; 1; 0)k2 (1; 1; 1; 0)�
(1; 2; 1; 1) � (�1; 1; 0; 0)
k(�1; 1; 0; 0)k2 (�1; 1; 0; 0) =
=
�
1
6
;�1
6
;�1
3
; 1
�
O conjunto �
v1 = (1; 1; 1; 0) ; v2 = (�1; 1; 0; 0) ; v3 =
�
1
6
;�1
6
;�1
3
; 1
��
é ortogonal.
Como,
kv1k = k(1; 1; 1; 0)k =
p
3;
kv2k = k(�1; 1; 0; 0)k =
p
2
kv3k =
�16 ;�16 ;�13 ; 1
�
 = p7p6 ;
normalizando os vectores obtem-se a base ortonormada�
v1
kv1k ;
v2
kv2k ;
v3
kv3k
�
=
=
(�
1p
3
;
1p
3
;
1p
3
; 0
�
;
�
� 1p
2
;
1p
2
; 0; 0
�
;
 
1p
42
;� 1p
42
;�
p
6
3
p
7
;
p
6p
7
!)
Nota:
O vector v2 obtido através da aplicação do método de Gram-Schmidt coincide com o vector
inicial u2; o que não é surpreendente dado que os vectores u1 e u2 são ortogonais.
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Produto externo e produto misto
Ao contrário do produto interno, que pode ser de…nido de forma muito geral em qualquer
espaço vectorial de dimensão …nita ou não …nita, a de…nição de produto externo e misto
de vectores é limitada a espaços de dimensão três. Vamos apresentar aqui a de…nição de
produto externo de vectores em R3. Ao longo desta secção todos os vectores considerados
são vectores do espaço R3:
De…nição de produto externo
Se u = (u1; u2; u3) e v = (v1; v2; v3) são vectores de R3 então o produto externo de u e v é o
vector:
u� v = (u2v3 � u3v2;�u1v3 + u3v1; u1v2 � u2v1)
ou, em linguagem de determinantes,
u� v =
 
det
"
u2 u3
v2 v3
#
;� det
"
u1 u3
v1 v3
#
; det
"
u1 u2
v1 v2
#!
Sendo e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) e e3 = (0; 0; 1) os vectores da base canónica de R3; para
facilitar a memorização desta de…nição, podemos encontrar u�v fazendo o desenvolvimento
ao longo da primeira linha do determinante simbólico:
u� v =
= \det "
264 e1 e2 e3u1 u2 u3
v1 v2 v3
375 =
= det
"
u2 u3
v2 v3
#
e1 � det
"
u1 u3
v1 v3
#
e2 + det
"
u1 u2
v1 v2
#
e3
Exemplo:
Se u = (1; 2; 3) e v = (4; 5; 6)
u� v =
= \det "
264 e1 e2 e31 2 3
4 5 6
375 =
= det
"
2 3
5 6
#
(1; 0; 0)� det
"
1 3
4 6
#
(0; 1; 0) + det
"
1 2
4 5
#
(0; 0; 1) =
= �3 (1; 0; 0)� (�6) (0; 1; 0) + (�3) (0; 0; 1)
= (�3; 6;�3)
Veri…ca-se que (�3; 6;�3) � (1; 2; 3) = 0 e (�3; 6;�3) � (4; 5; 6) = 0; ou seja, o vector u� v é
ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral, como vamos ver de seguida.
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Propriedades do produto externo
Sejam u; v; w 2 R3 e k 2 R.
1. Se existe � 2 R tal que u = �v ou v = �u, u� v = (0; 0; 0) :
Em particular, u� u = (0; 0; 0) e u� (0; 0; 0) = (0; 0; 0)� u = (0; 0; 0) :
2. u� v = � (v � u) :
3. (u� v) � u = 0 (u� v é ortogonal a u) e (u� v) � v = 0 (u� v é ortogonal a v).
4. ku� vk = kuk kvksen] (u; v) :
5. Se u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) não são colineares e u � v = (z1; z2; z3) então
det
264 u1 u2 u3v1 v2 v3
z1 z2 z3
375 > 0:
6. u� (v + w) = (u� v) + (u� w) :
7. (u+ v)� w = (u� w) + (v � w) :
8. k (u� v) = (ku)� v = u� (kv) :
De…nição de produto misto
Se u; v; w 2 R3; então o produto misto de u; v e w é
u � (v � w) :
O produto misto de três vectores é, portanto, um número real que pode ser calculado, sendo
u = (u1; u2; u3) ; v = (v1; v2; v3) e w = (w1; w2; w3), por:
u � (v � w) = det
264 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
375
Propriedades do produto misto
Sendo u; v; w 2 R3; então
1. u � (v � w) = 0 se e só se o conjunto de vectores fu; v; wg é linearmente dependente.
2. u �(v � w) = (u� v) �w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo
a ordem dos vectores)
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De facto,
u � (v � w) =
= det
264 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
375 =
= � det
264 w1 w2 w3v1 v2 v3
u1 u2 u3
375 =
= det
264 w1 w2 w3u1 u2 u3
v1 v2 v3
375 =
= w � (u� v) = (u� v) � w
Analogamente se veri…ca que:
3. u � (v � w) = v � (w � u)
4. u � (v � w) = � (u � (w � v)) = � (v � (u� w)) = � (w � (v � u))
Aplicações do produto externo e produto misto
1. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, emR3, um vec-
tor que seja simultaneamante ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente
independentes).
Exemplo: É sabido que a equação de um plano com a direcção de dois vectores dados
u; v e que passe pela origem é da forma
ax+ by + cz = 0
em que (a; b; c) é um vector perpendicular a u e a v: Para encontrar essa equação
pode-se considerar para (a; b; c) o vector u� v:
Como foi visto no exemplo da página 83, o produto externo dos vectores u = (1; 2; 3)
e v = (4; 5; 6) é (�3; 6;�3) : Assim, a equação do plano com a direcção dos vectores
u = (1; 2; 3) e v = (4; 5; 6) e que passa na origem pode ser
�3x+ 6y � 3z = 0
2. A área do paralelograma de…nido por dois vectores u e v é dada por ku� vk :
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Consideremos a seguinte …gura, que representa o paralelogramo de…nido por dois vec-
tores u e v :
v
u
q
||u||senq
Área= ||v|| ||u||senq
v
u
q
||u||senq
Área= ||v|| ||u||senq
Como é sabido, a área do paralelogramo da …gura acima édada pelo produto do
comprimento da base, que é kvk ; pela altura, que é kuksen �; pois, o seno do ângulo
formado por u e v; na …gura designado por �; é dado pelo quociente da altura pelo
comprimento de v
Tem-se então
area = kuk kvk sen �
area = kuk kvk sen] (u; v) :
Da propriedade 4 do produto externo conclui-se que
area = ku� vk
Exemplo: A área do paralelogramo de…nido por u = (1; 2; 3) ; v = (1; 0; 1) é
ku� vk =
= k(1; 2; 3)� (1; 0; 1)k
= k(2; 2;�2)k =
= 2
p
3
3. O volume do paralelipípedo de…nido por três vectores u; v e w é dado pelo módulo
do produto misto dos três vectores. É natural que o resultado envolva o módulo de um
número, pois um volume tem de ser sempre um número não negativo.
Considerando que dados vectors x e y, se tem
x � y = kxk kyk cos](x; y);
o produto misto entre u� v e w pode ser expresso como
(u� v) � w = ku� vk kwk cos](u� v; w):
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Tendo em conta esta igualdade é fácil compreender, na …gura abaixo, a relação entre
o produto misto e o volume.
u
v
w
u ´ v
Altura = ||w|| cosj
j
Área da base = ||u´v||
Volume = Área da base´Altura = ||u´v|| ||w|| cosj = (u ´ v) . w
u
v
w
u ´ v
Altura = ||w|| cosj
j
Área da base = ||u´v||
Volume = Área da base´Altura = ||u´v|| ||w|| cosj = (u ´ v) . w
Exemplo: O volume do paralelipípedo de…nido por u = (1; 2; 3) ; v = (1; 0;�2) e
w = (2;�1; 1) é:
ju � (v � w)j =
=
�������det
264 1 2 31 0 �2
2 �1 1
375
�������
= j�15j =
= 15: