Dada la función f(x) = ln(1 + x+ x2), se pide: a) Calcula las expresiones generales de sus tres primeras derivadas, f ′(x), f ′′(x) y f ′′′(x). b) ...

a) Para calcular as três primeiras derivadas da função f(x) = ln(1 + x + x^2), vamos utilizar a regra da cadeia e as propriedades do logaritmo natural. Primeira derivada: f'(x) = (1 + x + x^2)' / (1 + x + x^2) = (1 + 2x) / (1 + x + x^2) Segunda derivada: f''(x) = [(1 + 2x)'(1 + x + x^2) - (1 + 2x)(1 + x + x^2)'] / (1 + x + x^2)^2 = (2 - 2x + 2x + 2x^2) / (1 + x + x^2)^2 = (2 + 2x^2) / (1 + x + x^2)^2 Terceira derivada: f'''(x) = [(2 + 2x^2)'(1 + x + x^2)^2 - (2 + 2x^2)(1 + x + x^2)'(1 + x + x^2)] / (1 + x + x^2)^4 = (4x(1 + x + x^2)^2 - (2 + 2x^2)(2(1 + x + x^2))) / (1 + x + x^2)^4 = (4x(1 + x + x^2)^2 - 4(1 + x + x^2)(1 + x + x^2)) / (1 + x + x^2)^4 = (4x(1 + x + x^2) - 4(1 + x + x^2)) / (1 + x + x^2)^3 = (4x - 4) / (1 + x + x^2)^3 b) Para calcular o polinômio de Maclaurin de grau 3 de f(x), vamos utilizar a fórmula geral do polinômio de Maclaurin: P(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/2! + (f'''(0)x^3)/3! Substituindo os valores das derivadas no ponto x = 0, temos: P(x) = ln(1) + (1 + 0 + 0)x + ((2 + 0)/2)x^2 + ((4(0) - 4)/3)x^3 = 0 + x + x^2/2 - 4x^3/3 c) Para obter um valor aproximado de ln(1,11) utilizando o polinômio de Maclaurin de grau 3, basta substituir x = 1,11 na expressão do polinômio: P(1,11) = 1,11 + (1,11)^2/2 - 4(1,11)^3/3 Calculando o valor aproximado, temos: P(1,11) ≈ 1,11 + 1,23205/2 - 4(1,11)^3/3 Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.