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4. Escoamento de um Fluido Real
O escoamento de um fluido real é mais complexo que o de 
um fluido ideal. A viscosidade dos fluidos reais é responsável pelas 
forças de atrito entre as partículas fluidas, bem como entre estas e os 
contornos sólidos. Para que o escoamento ocorra, um trabalho deve ser 
realizado contra as forças de atrito e, durante este processo, parte da 
energia mecânica se transforma em calor.
4.1 A experiência de Reynolds
Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos 
reais pode ocorrer de dois modos distintos. As características destes dois 
regimes foram inicialmente observadas por Reynolds (1883) em um 
dispositivo semelhante ao esquematizado abaixo: 
Filamento estreito e 
paralelo ao eixo do tubo 
( Regime laminar)
Filamento torna-se 
ondulado ( Regime 
crítico)
Ondulação aumenta 
rompendo-se o 
filamento que se 
difunde na água 
(Regime turbulento)
A
brindo o registro 
(aum
ento da velocidade)
Tanque de água com 
paredes de vidro
Tinta
Tubo de vidro 
Registro
FLU
XO
Reynolds generalizou os resultados do seu experimento 
com a introdução do termo adimensional Re .
Exemplo 4.1.1: Calcular o número de Reynolds no interior de uma 
tubulação de 50mm de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura 
de 200C (ν = 1,003x 10-6 m2/s) com velocidade média de 0,9m/s.
4,865 44
/sm 003 001 000.0
m
1000
50s/m9,0DVR 2e =
⋅
=ν
⋅=
υ
⋅= LTV R e
Onde:
=ρ
µ= ViscosidadeCinemática 
(m2/s)
=υ 
Viscosidade
Dinâmica (kg /m s)
Massa
Específica (kg/m3)
Velocidade
Média de Fluxo 
(m/s)
=V == 
A
Q Vazão (m3/s)
Área de fluxo (m2)
) ( Reynolds de Número R e =
LT= Dimensão Linear Típica (m) equivalente a quatro vezes 
o raio hidráulico do conduto (4Rh ), 
para o caso dos condutos circulares :
LT = 4Rh = D , onde D = diâmetro interno (m)
O tipo de fluxo não se prende exclusivamente ao valor da 
velocidade, mas ao valor do Número de Reynolds. Para encanamentos 
comerciais se o escoamento se verificar com Re superior a 4000, o regime 
é Turbulento. O escoamento em regime Laminar ocorre, e é estável, para 
valores do número de Reynolds inferiores a 2000. Entre este valor e 4000, 
encontra-se uma zona crítica, na qual não se pode determinar com 
segurança as condições de escoamento. 
Obs:valores de ν da água, em diferentes temperaturas, são mostrados na tabela 4.1 
Tabela 4.1- PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA DOCE, À PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
(g = 9,80665 m/s2)
NOS CÁLCULOS HABITUAIS DE HIDRÁULICA, NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES,
QUANDO A TEMPERATURA NÃO É ESPECIFICADA, UTILIZA-SE :
ρ = 1000 kg/m3
γ = 9806 N/m3 
ν = 1,003 x 10-6 m2/s
 
 
PRESSÃO 
DE VAPOR 
 
TEMPE- 
RATURA 
 
PESO 
ESPECÍFICO 
γ 
 
MASSA 
ESPECÍFICA 
ρ 
 
VISCOSIDADE 
DINÂMICA 
µ 
 
VISCOSIDADE 
CINEMÁTICA 
ν 
 
TENSÃO 
SUPERFICIAL 
σ PV PV/γ 
 
MÓDULO DE 
ELASTICIDADE 
CÚBICA 
ε 
OC kN/m3 kg/m3 N.s /m2 m2/s N/m kN/m2 mca kN/m2 
0 
5 
9,805 
9,807 
999,8 
1000,0 
1,781x10-3 
1,518x10-3 
1,785x10-6 
1,519x10-6 
0,0756 
0,0749 
0,61 
0,87 
0,06 
0,09 
2,02x10 6 
2,06x10 6 
10 
15 
9,804 
9,798 
999,7 
999,1 
1,307x10-3 
1,139x10-3 
1,306x10-6 
1,139x10-6 
0,0742 
0,0735 
1,23 
1,70 
0,12 
0,17 
2,10x10 6 
2,15x10 6 
20 
25 
9,789 
9,777 
998,2 
997,0 
1,002x10-3 
0,890x10-3 
1,003x10-6 
0,893x10-6 
0,0728 
0,0720 
2,34 
3,17 
0,25 
0,33 
2,18x10 6 
2,22x10 6 
30 
40 
9,764 
9,730 
995,7 
992,2 
0,798x10-3 
0,653x10-3 
0,800x10-6 
0,658x10-6 
0,0712 
0,0696 
4,24 
7,38 
0,44 
0,76 
2,25x10 6 
2,28x10 6 
50 
60 
9,689 
9,642 
988,0 
983,2 
0,547x10-3 
0,466x10-3 
0,553x10-6 
0,474 x10-6 
0,0679 
0,0662 
12,33 
19,92 
1,26 
2,03 
2,29x10 6 
2,28x10 6 
70 
80 
9,589 
9,530 
977,8 
971,8 
0,404x10-3 
0,354x10-3 
0,413x10-6 
0,364x10-6 
0,0644 
0,0626 
31,16 
47,34 
3,20 
4,96 
2,25x10 6 
2,20x10 6 
90 
100 
9,466 
9,399 
965,3 
958,4 
0,315x10-3 
0,282x10-3 
0,326x10-6 
0,294x10-6 
0,0608 
0,0589 
70,10 
101,33 
7,18 
10,3
3 
2,14x10 6 
2,07x10 6 
 
Exemplo 4.1.2: Utilize os valores da tabela 4.1 para calcular o valor do número 
de Reynolds no interior de uma tubulação, de 100mm de diâmetro interno, que 
conduz água a com velocidade média de 1,5m/s, quando a temperatura passa, 
sucessivamente, de 10oC para 20oC e para 40oC.
Respostas: 1,1x105 ; 1,5x105 ; 2,3x105
Exemplo 4.1.3: Calcular a maior vazão (em m3/h) de água, a uma 
temperatura de 200C, na qual ν = 1,003x 10-6 m2/s, no interior de uma tubulação 
de 175mm de diâmetro interno, para que se obtenha fluxo laminar, isto é, 
para que um número de Reynolds no interior da tubulação seja igual a 2000.
Resposta:0,993m3/h
4.2 Equações fundamentais do escoamento de fluidos 
incompressíveis em tubos
Conforme visto anteriormente, a equação de Bernoulli para 
o escoamento de fluidos reais incompressíveis é representada por:
As primeiras experiências (por volta de 1850) sobre o 
escoamento da água em tubos longos retos e cilíndricos, indicam que a 
perda de carga varia (aproximadamente) diretamente com a carga 
cinética (V2/2g ) e com o comprimento do tubo (L), e inversamente com 
o diâmetro do tubo (D). Usando um coeficiente de proporcionalidade (f),
denominado de fator de atrito, Darcy, Weisback e outros propuseram 
a seguinte equação para cálculo da perda de carga hf :
Observações experimentais indicavam que o fator de 
atrito depende não só do (i) material do tubo mas, também do (ii) 
diâmetro do tubo, da (iii) velocidade do fluxo e (iv) da viscosidade 
cinemática do fluido.
Onde, hf1-2 representa a perda de carga ( E1 – E2 = dissipação da 
energia mecânica da água) entre os pontos 1 e 2.
g2
V
D
Lfhf
2
⋅⋅=
g
V
⋅2
2
2
γ
1P
Linha de energia
Plano de carga efetivo
Direção do Fluxo:
Maior energia Menor Energia
γ
2P
g2
V 21
⋅
1Z
Linha piezométrica
2Z
21
2
22
2
2
11
1 hfg2
VPZ
g2
VPZ −+⋅+γ+=⋅+γ+
21hf −
4.3.1 As experiências de Nikuradse
Para avaliar o efeito da rugosidade relativa (k/D) das 
paredes dos tubos sobre o fator de atrito (f), Nikuradse, em 1933, decidiu
colar grãos de areia de tamanho uniforme na parede de tubos lisos de 
vidro. Desta forma, Nikuradse pode determinar o fator de atrito, sob 
condições controladas e bem determinadas de k/D. Os resultados obtidos 
nesta experiência são ilustrados abaixo:
4.3 Experiências de atrito em tubos.
A análise dimensional do problema do atrito em tubos 
indica que o fator da atrito (f) depende de dois fatores 
adimensionais (i) do Número de Reynolds (que engloba o diâmetro 
do tubo, D, a velocidade, V, e a viscosidade cinemática, ν, do fluido) 
e (ii) da denominada rugosidade relativa do tubo (k/D), que 
representa a razão entre os tamanhos das protuberâncias das 
rugosidades nas paredes dos tubos e o seu diâmetro interno.
0,10
0,08
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
103 104 105 106
1014
1
D
k =
504
1
D
k =
252
1
D
k =
120
1
D
k =
2,61
1
D
k =
30
1
D
k =
Número de Reynolds - Re
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 a
tr
ito
 -
f
)
D
K;DVR( Funçãof atrito de Fator e ν
⋅==
ƒ A diferença física entre o regime de escoamento laminar e 
o regime de escoamento turbulento é evidenciada pelo contraste na 
variação de f com Re nas regiões com Re <2000 e Re>4000 .
ƒ No regime Laminar (Re < 2000), independentemente da rugosidade 
relativa (k/D), os valores de f se agrupam em torno de uma única linha, 
que é caracterizada pela seguinte equação: 
ƒ Na região de regimeTurbulento (Re>4000) uma curva de f 
versus Re pode ser feita para cada valor de rugosidade relativa (k/D). No 
regime turblulento duas regiões podem se identificadas: (i) a região de 
turblência de transição, onde o fator f varia com Re e k/D, e (ii) a 
região de Turbulência completa onde o aspecto horizontal das curvas 
indica que o fator de atrito é independente de Re.
ƒ Na parte esquerda da zona de transição rugosa , os valores de 
f, independentemente do valor da rugosidade relativa, se agrupam em 
torno de uma linha, a chamada linha dos tubos lisos, que é 
caracterizada pela seguinte equação (fórmula de Von Kárman-Prandtl ): 
No diagrama dos resultados experimentais de Nikuradse, os 
seguintes fatos devem ser observados:
106
C
oe
fi
ci
en
te
 d
e 
at
ri
to
 f
Regime Laminar
103 104 105
Número de Reynolds
Linha dos Tubos Lisos
Turbulência de transição
Turbulência completa
2000
4000
Re64f =
( ) 0.8- fRlog2
f
1 ou 
fR
512,2log2
f
1
e
e
⋅⋅=



⋅⋅−=
106
C
oe
fi
ci
en
te
 d
e 
at
ri
to
 f
Regime Lâminar
103 104 105
Número de Reynolds
Linha dos Tubos Lisos
Turbulência de transição
Turbulência completa
2000
4000
ƒ A série de curvas de diferentes rugosidades relativas diverge da 
cuva dos tubos lisos à medida em que Re aumenta . Isto se explica pela 
espessura de uma subcamada viscosa, que se forma junto às paredes 
dos tubos, que decresce a medida em que Re aumenta. Na porção 
referente a linha dos tubos lisos, a rugosidades paredes fica submersa na 
subcamada viscosa, de tal forma que a rugosidade não tem efeito 
significativo sobre o módulo do fator de atrito. A medida que o Número 
de Reynolds aumenta, causando um decréscimo na espessura da camada 
viscosa, ocorre uma exposição maior das rugosidades das paredes fazendo 
que o tubo se comporte como um tubo rugoso. 
ƒNa zona de turbulência completa, na qual as curvas correspondentes as 
diferentes rugosidades relativas são praticamente horizontais, o fator f é 
calculado pela chamada fórmula de Nikuradse:
ƒ Infelizmente, os resultados excelentes de Nikuradse não podem ser 
diretamente aplicados aos problemas de Engenharia por as configurações 
das rugosidades dos tubos comerciais são inteiramente diferentes, mais 
variáveis e muito menos identificáveis do que as rugosidades artificiais 
usadas por Nikuradse.
 
D
klog214,1
f
1 ou 
715,3
D/Klog2
f
1 

⋅−=

⋅−=
4.3.2 As experiências de Colebrook e White
ƒ Colebrook e White (1939) apresentaram os resultados de testes 
efetuados para verificar se os valores de f obtidos por Nikuradse, com 
grãos de areia, podiam ser aplicados aos tubos comerciais.
ƒ As diferentes curvas de f versus Re apresentadas por Nikuradse 
foram agrupadas ao redor de uma única curva, quando plotadas em um 
gráfico de 2 log(k/r)-1/f 1/2 versus Re f1/2/(r/k), sendo r o raio interno 
do tubo:
-2
10 100 1000 10000
0
-1
-3
ƒOs testes de Colebrook e White com tubos comerciais indicaram que a 
seguinte equação semi-empírica pode ser utilizada no regime turbulento:
10 100 10001
-1
-2
-3
0 
`1
Tubos comerciais
Rugosidade artificial: areia uniforme (Nikuradse)
Rugosidade artificial: areia não uniforme (Nikuradse)
Valores observados
por Nikuradse
(areia)
Turbulência completa 
Linha dos tubos Lisos 
 
fR
512,2
715,3D
Klog2
f
1
e




⋅+⋅⋅−=
 
fR
512,2
715,3D
Klog2
f
1
e




⋅+⋅⋅−=
fR
512,2log2
f
1
e




⋅
⋅−=
715,3D
klog2
f
1 


⋅
⋅−=
4.4 Cálculo do Fator de Atrito (f) com o Uso do 
Diagrama de Moody.
ƒ Moody (1944), baseado nos estudos de Colebrook e White (1939), 
mostrou que, apesar dos tubos comerciais não apresentarem uma 
rugosidade uniforme e facilmente identificável como aquela dos tubos de 
vidro com grãos de areia, os resultados de Nikuradse podem ser utilizados 
como indicadores quantitativos da rugosidade equivalente dos tubos 
comerciais (k).
ƒPara contornar a dificuldade de se trabalhar com a formula de Colebrook 
e White, Moody apresentou os valores de f em um diagrama de f versus 
Re, para diferentes valores de rugosidade relativa dos tubos (k/D).
Fa
to
r 
de
 a
tr
it
o 
(f
) 
Número de Reynolds
Laminar
0.01
0.1
1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
Tubo liso
0.02
0.03
0.04
0.05
0.07
Crítico
Turbulento
k/D
R
ug
os
id
ad
e 
re
la
ti
va
 (
k/
D
)
Transição Turbulência Completa
Z
on
a 
C
rí
ti
ca
Diagrama de Moody Tubo Rugoso
Laminar
Tubo Liso




⋅+⋅⋅−= fR
512,2
715,3D
klog2
f
1
e
fR
512,2
715,3D
klog2
f
1
e




⋅
+
⋅
⋅−= 715,3D
klog2
f
1 


⋅
⋅−=
eR/64f =
fR
512,2log2
f
1
e




⋅
⋅−=
200fR
D
k
e ≡⋅⋅⋅
Deve ficar claro que os valores de rugosidade equivalente (k) dos 
diversos materiais utilizados para fabricação de tubos comerciais 
apresentados em textos de Hidráulica (tabela acima) representam o 
diâmetro dos grãos de areia que, quando colados uniformemente em um 
tubo de vidro, com o mesmo diâmetro interno do tubo comercial 
considerado, resultaria no mesmo fator de atrito f observado no tubo 
comercial (f = (hf 2g D) /(L V2)).
Tabela 4.2: Valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais 
utilizados na fabricação de tubos comerciais (Azevedo Neto): 
Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Plástico
Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Vidro 
3,0 x10-36,0x10-4Manilhas cerâmicas
2,0x10-4 até 1,0x10-3Madeiras em aduelas
2,1 x10--31,2x10-4Fero Fundido com revestimento asfáltico
3,0x10-3 até 5x10-32,5 x10-4 até 5,0x 10-4Ferro Fundido
2,4 x 10-34,0 x 10-4 até 6,0 x 10-4Ferro Forjado
1,0x10--3 até 2,0x10-3Concreto ordinário
3,0x10-4 até 1,0x10-3Concreto bem acabado
Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Cobre ou Latão
2,5x10-5Cimento Amianto
Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Chumbo
2,4 x10-34,0 x10-5 até 6,0x10-5Aço soldado
5,0x10-4 até 1,2x10-34,0x10-4Aço revestido
6,0 x10-31,0x10-3 até 3,0x10-3Aço Rebitado
4,6 x10-31,5x10-4 até 2,0x10-4Aço Galvanizado
Tubos velhos **Tubos novosMaterial
Exemplo4.4.1: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de aço 
rebitado, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-3 m, diâmetro interno 
(D) de 0,30m e 300m de comprimento (L), que conduz 130L/s de 
água com viscosidade cinemática (ν) de 1,127x 10-6 m2/s. 
Número de Reynolds
0.01
0.1
1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08
Fa
to
r 
de
 a
tr
it
o 
(f
) 
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
Tubo 
liso
0.02
0.03
0.04
0.05
0.07
Crítico
Turbulento
k/D
Z
on
a 
C
rí
ti
ca
Diagrama de Moody
Laminar
4.89 x 105
R
ug
os
id
ad
e 
re
la
ti
va
 (
k/
D
)
0.038
m55,6
s/m81,92
)s/m839,1(
m30,0
m300038,0
g2
V
D
Lfhf 2
22
=
⋅
⋅⋅=
⋅
⋅⋅=
( )
0,01k/De104,9RecomMOODYdeDiagramanof
01,0
m30,0
m003,0
D
k10896,4
s/m10127,1
m30,0s/m839,1DVRe
s/m839,1
m30,0
s/m130,04
D
Q4
A
QV
5
5
26
2
3
=×=
==×=
×
⋅
=
ν
⋅
=
=
⋅π
⋅
=
⋅π
⋅
==
−
Exemplo 4.4.2: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de PVC, 
com rugosidade absoluta (k) de 2,4x10-6 m, diâmetro interno (D) de 
0,10m e 100m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade 
cinemática (ν) de 0,43 x 10-6m2/s e velocidade (V) de 2,26m/s
Número de Reynolds
0.01
0.1
1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08
Fa
to
r 
de
 a
tr
it
o 
(f
) 
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
Tubo 
liso
0.02
0.03
0.04
0.05
0.07
Crítico
Turbulento
k/D
Z
on
a 
C
rí
ti
ca
Diagrama de Moody
Laminar
5,3 x 105
R
ug
os
id
ad
e 
re
la
ti
va
 (
k/
D
)
0,013
Tubo liso
0,000024k/De105,3RecomMOODYdeDiagramanof
000024,0
m10,0
m10x4,2
D
k10256,5
s/m1043,0
m10,0s/m26,2DVRe
s/m26,2V
5
6
5
26
=×=
==×=
×
⋅
=
ν
⋅
=
=
−
−
m38,3
s/m81,92
)s/m26,2(
m10,0
m100013,0
g2
V
D
Lfhf 2
22
=
⋅
⋅⋅=
⋅
⋅⋅=
Número de Reynolds
0.01
0.1
1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08
Fa
to
r 
de
 a
tr
it
o 
(f
) 
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.00005
Tubo 
liso
0.02
0.03
0.04
0.05
0.07
Crítico
Turbulento
k/D
Z
on
a 
C
rí
ti
ca
Diagrama de Moody
Laminar
5, x 104
R
ug
os
id
ad
e 
re
la
ti
va
 (
k/
D
)
0,041
Exemplo 4.4.3: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro 
fundido, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4 m, diâmetro interno 
(D) de 0,025m e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água 
com viscosidade cinemática (ν) de 1,0x 10-6 m2/s. 
0.012
( )
0,012k/De105,1RecomMOODYdeDiagramanof
012,0
m025,0
m0003,0
D
k10093,5
s/m100,1
m025,0s/m037,2DVRe
s/m037,2
m025,0
s/m001,04
D
Q4
A
QV
4
4
26
2
3
=×=
==×=
×
⋅
=
ν
⋅
=
=
⋅π
⋅
=
⋅π
⋅
==
−
m37,69
s/m81,92
)s/m037,2(
m025,0
m200041,0
g2
V
D
Lfhf 2
22
=
⋅
⋅⋅=
⋅
⋅⋅=
(4.4.6) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no 
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando uma redução de apenas 25% no 
diâmetro interno (D = 0,75m).
Respostas: Re = 1,3x106; k/D= 0.0004; f = 0,016; hf = 5,2m
(4.4.5) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação de 1,5 
km de comprimento (L), com 1,0m de diâmetro interno (D), de concreto, com 
rugosidade k= 3x10-4m, que conduz uma vazão (Q) de 790 L/s de um líquido
com uma viscosidade cinemática (ν) de 1,01 x10-6 m2/s.
Respostas: Re = 1x106; k/D= 0,0003; f = 0,016; hf = 1,2m.
(4.4.8) Calcule a taxa de perda de carga (J = em m/100m) ao longo de uma
tubulação com 100mm de diâmetro interno (D), em material com rugosidade
k= 0,15mm, que conduz uma vazão (Q) de 57 m3/h de um líquido que 
apresenta uma viscosidade cinemática (ν) de 1,0 x10-6 m2/s.
Respostas: Re = 2,0x105; k/D= 0.0015; f = 0,023; J =4,8 m/100m.
(4.4.9) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 500 
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 2 x10-4m, com 1 
km de comprimento (L), que conduz uma vazão (Q) de 190L/s de água na
temperatura de 30oC.
Respostas=Re=6,0x105; k/D=0.0004; f= 0.017; hf=0,8m
(4.4.10) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 7 
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 1 x10-6m, com 5
m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de 
1 x10-6 m2/s a uma velocidade de (V) de 0,18m/s.
Respostas= Re = 1,26 x 103; f=0.051, hf = 0.06m
(4.4.7) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no 
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando o dobro da vazão dada (Q =.1580L/s)
Respostas: Re = 2x106; k/D= 0.0003; f = 0,015; hf = 4,6m
Mais alguns exemplos :
(4.4.4) Calcule o fator de atrito (f), para as seguintes situações: (a)Re=3 x105 e 
k/D= 0,00001; (b) Re=3 x105 e k/D= 0,0001; (c) Re=3 x105 e k/D= 0,001; (d)
Re=3 x105 e k/D= 0.01
Rerspostas:f = 0,015; f =0,015; f =0,021; f =0,038
4.5 Fórmulas explicitas para o cálculo do 
fator de atrito (f).
Com a introdução das calculadoras programáveis e dos computadores 
pessoais, algumas formulas explícitas para o cálculo do fator f 
poassaram a ser uteis: 
Fórmula de Churchill (1974), que pode ser utilizada em qualquer 
regime de fluxo (Laminar e Turbulento):
Fórmula de Swamee (1993) que pode ser utilizada em qualquer 
regime de fluxo (Laminar e Turbulento) no limite 0< Re <108
Nota: Ln é o logaritmo Neperiano
( )
16
e
16
9,0
e
12
1
2
3
12
e
R
37530B
D
k27,0
R
7
1Ln457,2A
BA
1
R
88f



=




















⋅+


⋅=




++




⋅=
125,0
166
e
9,0
e
8
e
R
2500
R
74,5
D7,3
KLn
5,9
R
64f

















−


 +⋅
+


=
4.6 Outros métodos para cálculo da perda de 
carga em tubos: As Fórmulas Práticas.
Apesar da fórmula de Darcy-Weisbach ser o 
método recomendado para cálculo de perda de carga em 
tubulações, é muito comum encontrar na literatura especializada 
referências às chamadas FÓRMULAS PRÁTICAS. 
Dentre as centenas, ou milhares, de fórmulas práticas 
encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: (i) a fórmula 
de Hazen-Williams, (ii) a fórmula de Flamant, e (iii) a Fórmula de 
Blasius.
4.6.1 A fórmula de Hazen-Williams (1913)
É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em 
qualquer tipo de conduto e material. Resultou de um estudo estatístico 
cuidadoso no qual foram considerados dados dos experimentais de 
diversas fontes e observações feitas pelos próprios autores. Os seus 
limites de aplicação são os mais largos : diâmetros de 50 a 300mm e 
velocidades de até 3m/s. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema 
Internacional de Unidades a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte 
apresentação:
Onde: hf = perda de carga, em metros de coluna de água, entre dois pontos da 
tubulação 
Q = Vazão em m3/s;
C = Coeficiente admensional que depende da natureza (material e 
estado) das paredes dos tubos (ver Tabela 4.3);
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em 
que se deseja calcular a perda de carga hf;
D = diâmetro interno da tubulação (m); 
10,643 s1.85/m 0,68 = constante empirica.
87,4
85,1
68,0
85,1
D
L
C
Q
m
s643,10hf ⋅

⋅=
Tabela 4.3- Valores do Coeficiente C sugeridos para a fórmula de Hazen -Williams
MATERIAL do TUBO NOVOS
USADOS
Cerca de 
10 Anos
USADOS
Cerca de 
20 Anos
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -
Aço galvanizado roscado 125 100 -
Aço rebitado novos 110 90 80
Aço soldado, comum ( revestido c/ 
betume)
125 110 90
Aço soldado com revestimento epoxi 140 130 115
Chumbo 130 120 120
Cimento amianto 140 130 120
Cobre 130 135 130
Concreto, bom acabamento 130 - -
Concreto acabamento comum 130 120 110
Ferro fundido , revestido com epoxi 140 130 120
Ferro fundido revestido com cimento 130 120 105
Grés ceramico,vidrado (manilhas) 110 110 110
Latão 130 130 130
Madeira em aduelas 120 120 110
Tijolos, conduto bem executado 100 95 90
Vidro 140 - -
Plástico ou PVC 140 135 135
4.6.2 A fórmula de Flamant (1892)
É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em 
tubos de pequeno diâmetro. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema 
Internacional de Unidades, a Fórmula de Flamant tem a seguinte 
apresentação:
Onde: J= hf/L = taxa de perda de carga entre dois pontos da tubulação (em 
metros/metros);
b = coeficiente que depende da natureza ( material e estado) das 
paredes dos tubos ( ver tabela abaixo);
V = velocidade média da água em m/s;
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontosda tubulação em 
que se deseja medir a perda de carga;
D = diâmetro interno da tubulação (m), sendo recomendado observar 
o limite entre 0,01m e 1,0m. 
Os seguintes valores do coeficiente b são utlizados na fórmula de Flamant:
b = 0,000 23 s1,75/m0,5 para tubos de ferro ou aço; 
b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para tubos novos;
b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para canos de cobre; 
b = 0,000 140 s1,75/m0,5 para canos de chumbo;
b= 0,000 135 s1,75/m0,5 para canos de PVC (catálogo da tigre) 
4
5
7
4
7
D
VLb4hf ou 
D
Vb
4
JD ⋅⋅⋅=⋅=⋅
Note que, quando a raiz quarta é eliminada da fórmula de 
Flamant, a seguinte expressão é obtida :
25,1
75,1
D
VLb4hf ⋅⋅⋅=
4.6.3 A fórmula de Blasius (1913)
Em tubos de polietileno de pequeno diâmetro, onde se espera a 
ocorrência de um regime de fluxo do tipo turbulento liso, pode-se utilizar 
a fórmula de Blasius, para o fator f da fórmula universal, e um valor fixo 
da viscosidade cinemática da água (ν = 1,0 x10-6 m2/s), para desenvolver 
uma fórmula simplificada que tem a seguinte representação:
Onde: hf = perda de carga, em metros, entre dois pontos da tubulação 
kv= 0,000 5101 s1,75/ m0,5 ou 5,101 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;
kQ= 0,000 7785 s1,75/ m0,5 ou 7,785 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;
Q = vazão da água em m3/s;
V= Velocidade média da água em m/s;
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em 
que se deseja medir a perda de carga;
D = diâmetro interno da tubulação (m) 
75,4
75,1
Q25,1
75,1
v D
QKhf ou L
D
Vkhf ⋅=⋅⋅=
O valor da constante kv= 5,101x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser deduzido através da 
combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a 
viscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores: 
ν = 1,0 x10-6 m2/s e g = 9,80665m2/s. 
( )( )
5,0
75,1
4
2
25.0
25,0x2
4
2
25.02625,0
25,1
75,125,02
25,0
0,25
e
e
2
m
s10x101,5
m
s
s
m10x101,5Kv
s/m80665,92
s/m10x13164,0
g2
3164,0Kv
L
D
V
g2
3164,0hf 
g2
V
D
L
DV
3164,0hf
(iii) 
R
0,3164f )ii( DVR )i( 
g2
V
D
Lfhf
−−
−
=⋅⋅=
⋅
⋅⋅=⋅
ν⋅=
⋅⋅⋅
ν⋅=⋅⋅⋅


ν
⋅=
=ν
⋅=⋅⋅⋅=
4.6.3 A fórmula de Blasius (cont.)
Note que a Fórmula de Blasius tem validade apenas para tubos lisos na faixa 
de número de Reynolds maior que 4000 e menor que 80 000 (4000 <Re < 80 000)
25.0Re
3164,0f =
De forma semelhante, o valor da constante KQ= 7,785x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser 
facilmente determinada através da combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e 
iii) e assumindo, para a cviscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, 
os seguintes valores: ν = 1,0x10-6 m2/s e g= 9,80665m2/s: 
( )( )
5,0
75,1
4
2
25,0
25,0x2
4
Q
75,1
2
25.02675,125,0
75,4
75,175,125,0
25,1
75,1
225,0
25,1
75,125,02
25,0
0,25
e
e
2
m
s10x785,7
m
s
s
m10x785,7K
4
s/m80665,92
s/m10x13164,04
g2
3164,0Kv
L
D
Q4
g2
3164,0hf L
D
D
Q4
g2
3164,0hf
L
D
V
g2
3164,0hf 
g2
V
D
L
DV
3164,0hf
(iii) 
R
0,3164f )ii( DVR )i( 
g2
V
D
Lfhf
−−
−
=⋅⋅=



π⋅⋅
⋅⋅=


π⋅⋅
ν⋅=
⋅⋅


π⋅⋅
ν⋅=⋅



⋅π
⋅
⋅⋅
ν⋅=
⋅⋅⋅
ν⋅=⋅⋅⋅


ν
⋅=
=ν
⋅=⋅⋅⋅=
Exemplo 4.6.2. Calcule a perda de carga na tubulação do exercício anterior (tubo de 24 mm de 
diâmetro de PVC, com k= 0,06mm e 15m de comprimento), considerando uma vazão de 
0,37L/s de água com, temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor obtido com o 
abaco de Moody com valores obtidos com as fórmulas de (i) Hazen-Williams (com C=140), (ii) 
Flamant (com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ) e (iii) Blasius. 
Respostas:Moody ( Re = 2 x104; k/D= 0.0025; f = 0,0307; hf =0,66m); Hazen-Williams ( hf= 0,59m); Flamant
(hf= 0,60m); Blasius (hf = 0,57m).
Exemplo 4.6.1. Calcule a perda de carga em um tubo de 24 mm de diâmetro de PVC (com k= 
0,06mm), com 15m de comprimento, no qual escoa um vazão de 0,76 L/s de água com, 
temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor da perda de carga obtida com o 
diagrama de Moody com valores de perda de carga obtidos com as fórmulas de Churchill (1974), 
Swamee (1993), de Hazen-Williams com C=140, de Flamant ( com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ), e de 
Blasius. 
Respostas: Moody (Re = 4,0 x104; k/D= 0.0025, f = 0,0281, hf = 2,53m); Churchill (f = 0,0285; hf = 2,56m); 
Swamee( f = 0,0284, hf= 2,56m); Hazen-Williams ( hf = 2,24m); Flamant ( hf = 2,13m); Blasius (hf (com kv) = 
2,0m, hf (com kQ) = 2,0m).
Para resolver os exercícios 4.6.3 até 4.6.6 considere os valores de diâmetro interno mostrados 
pela tabela 4.4 que se refere a tubos PVC rígido para linhas fixas enterradas de sistemas de 
irrigação localizada (PN40) e sistemas de aspersão semi-portateis (PN-80) . 
Tabela 4.4 - Tubos de PVC IRRIGA_LF PN40- PN-80 com Ponta Lisa (PL) 
PN40 PN80 
Diâmetro 
Nominal 
(DN) 
Diâmetro 
Externo 
(DE) 
Espessura 
da parede 
(e) 
Diâmetro 
Interno 
(D) 
Diâmetro 
Nominal 
(DN) 
Diâmetro 
Externo 
(DE) 
Espessura 
da parede 
(e) 
Diâmetro 
Interno 
(D) 
Mm Mm mm mm mm mm mm mm 
35 38,1 1,2 35,7 
50 50,6 1,2 48,2 50 50,6 1,9 46,8 
75 75,4 1,5 72,4 75 75,4 2,5 70,4 
100 101,6 2,0 97,6 100 101,6 3,6 94,4 
125 125 2,5 120 
150 150 3,0 144 
 
Exemplo 4.6.3. Com base na fórmula de Hazen-Williams, com C =140, e nas dimensões dos 
tubos IRRIGA LF PN40 dados na tabela 4.4, i) calcule o menor diâmetro comercial de uma 
adutora, de um único diâmetro, que é capaz de conduzir uma vazão de 25m3/h ao longo de uma 
distância de 200m, com uma perda de carga menor do que 6m. ii) calcule também o 
comprimento e o diâmetro de cada trecho de uma adutora, com dois diâmetros comerciais 
distintos e sucessivos, que é capaz de conduzir a vazão de 25m3/h, ao longo de uma distância de 
200m, com uma perda de carga mais próxima de 8m.
Resposta : i) o diâmetro teórico é 77,3mm e o diâmetro interno comercial imediatamente
superior é 97,6mm, que corresponde ao tubo PN40-DN100mm ; ii) Comprimentos teóricos: 
128,2m de tubo PN40-DN100 e 71,8m de tubo PN40-DN75mm.