Espaços Vetoriais Base

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Espaços Vetoriais: Base
Apresentação
Para estudar Álgebra Linear, comumente se usam os conhecimentos do Rn, como espaço vetorial, 
dos conjuntos gerados por vetores, das relações entre esses vetores, bem como de base e 
dimensão, para estabelecer noções e criar uma intuição em relação a esses elementos. Nesse 
contexto, aqui serão aproveitados e generalizados esses conhecimentos para conjuntos mais gerais 
e incrivelmente flexíveis em termos de aplicações.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que você se lembre 
dos conceitos de espaço vetorial, subespaço, independência linear de vetores no Rn, método de 
Gauss, pivoteamento de matrizes, determinantes, subespaços gerados por conjuntos, teorema do 
posto, transformações lineares e subespaços definidos por elas, assim como das noções de funções 
contínuas e suas derivadas para o cálculo do Wronskiano.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a generalização do conceito de base e dimensão 
para espaços vetoriais além do Rn, bem como as propriedades que permitem demonstrar ou 
identificar se um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial. Além disso, também vai ver 
como construir uma base de um espaço a partir do conjunto gerador de um subespaço.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer os conceitos de base e dimensão para espaços vetoriais gerais. •
Avaliar se um conjunto é base para um espaço vetorial dado. •
Encontrar uma base para um espaço vetorial dado. •
Infográfico
Quando se generaliza o conceito de espaço vetorial, é possível aplicar os conceitos de base, 
ortogonalidade e decomposições a um infinito número de estruturas que não o espaço n-
dimensional Rn. As aplicações práticas e computacionais são muitas e diversas, uma ferramenta 
indispensável para qualquer ciência aplicada.
No Infográfico a seguir, você vai conhecer os elementos necessários para identificar se um 
conjunto de vetores em um espaço vetorial é base desse espaço, além da definição de base 
canônica do espaço dos polinômios e do espaço das matrizes. Além disso, você também vai 
ver como calcular a dimensão desses espaços, o teorema do núcleo e imagem de uma 
transformação linear e como completar um conjunto linearmente independente a fim de obter uma 
base do espaço vetorial.
Confira.
Conteúdo do livro
Na Matemática, os espaços vetoriais de funções modelam desde a decomposição de funções em 
bases polinomiais, trigonométricas e afins, até os espaços das soluções de equações diferenciais 
lineares. Nas ciências aplicadas, esses espaços modelam desde o problema do controle biológico da 
broca da cana-de-açúcar, até o estudo de sinais, a relatividade restrita e o processamento de 
imagens.
No capítulo Espaços vetoriais: base, da obra Álgebra Linear, você vai conhecer a definição de base e 
dimensão para um espaço vetorial qualquer, e também verá como identificar se um conjunto é base 
de um espaço vetorial dado e como construir a base de um espaço completando a base de um 
subespaço conhecido.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: base
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer os conceitos de base e dimensão de espaços vetoriais 
gerais.
 � Avaliar se um conjunto é base de um espaço vetorial dado.
 � Encontrar uma base para um espaço vetorial dado.
Introdução
Neste capítulo, você definirá o conceito geral de base e dimensão de 
espaços vetoriais, verá exemplos de conjuntos e suas bases e como 
podemos usar o conceito de dimensão junto com as transformações 
lineares a fim de melhor perceber os subespaços associados a ela. Além 
disso, saberá como construir a base de espaço vetorial usando as técnicas 
desenvolvidas em ℝn.
A definição de base e dimensão num espaço vetorial qualquer permite 
uma aproximação do ℝn, por meio das coordenadas de um vetor, e for-
nece as ferramentas que faltavam para entendermos as transformações 
lineares, mediante aplicação do teorema do núcleo e da imagem.
Base e dimensão de espaços vetoriais
Dentro da noção geral de espaço vetorial, uma base de um espaço vetorial 
E é um conjunto B ⊂ E, linearmente independente e gerador de E. Isto é, se 
v ∈ E e B é uma base de E, então podemos escrever, de forma única, v como 
uma combinação linear de elementos em B. A saber, existem v1, …, vn ∈ B e 
α1, ⋯, αn ∈ ℝ tal que:
v = α1 ⋅ v1 + ⋯ + αn ⋅ vn.
Adicionalmente, se B = {v1, … , vn}, então os números α1, … , αn são cha-
mados de coordenadas do vetor v na base B, e escrevemos (v)B = (α1, … , αn).
Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes 
reais, considere o conjunto formado pelos vetores:
v1 = x
3 + 2x – 4
v2 = x
2 + 3x – 2
v3 = x
3 + 2x2 + 3x – 3
v4 = 4x
3 – x2 + 2x + 7
a) B = {v1, v2, v3, v4} é um conjunto linearmente independente?
b) Como podemos escrever o vetor v = 11x3 – 3x2 + 7x + 4 como uma combinação 
linear dessa base? Isto é, quais são as coordenadas de v na base B?
Solução: 
a) B é um conjunto linearmente independente porque a combinação linear α1 ⋅ v1 
+ α2 ⋅ v2 + α3 ⋅ v3 + α4 ⋅ v4 = 0 admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = α4 = 0. 
Verificamos isso por meio da substituição dos vetores na igualdade α1 ⋅ (x3 + 2x – 4) 
+ α2 ⋅ (x2 + 3x – 2) + α3 ⋅ (x3 + 2x2 + 3x – 3) + α4⋅(4x3 – x2 + 2 + 7) = 0, distribuindo e 
arranjando os termos de acordo com as potências de x: 
(α1 + α3 + 4α4) x
3 + (α2 + 2α3 – α4 ) x
2 + (2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4 )x + 
(– 4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4) = 0.
Dessa forma, podemos afirmar que, em cada coeficiente: 
α1 + α3 + 4α4 = 0
α2 + 2α3 + α4 = 0
2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4 = 0
–4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4 = 0
o que é equivalente à equação matricial: 
 1 0 1 4
 0 1 2 –1
 2 3 3 2
–4 –2 –3 7
α1
α2
α3
α4
. =
0
0
0
0
que admite apenas a solução trivial. Podemos calcular isso por meio do método 
de Gauss.
Espaços vetoriais: base2
b) Pela definição, precisamos calcular α1, α2, α3, α4 de forma que:
v = α1 ⋅ v1 + ⋯ + αn ⋅ vn.
Para isso, substituindo os vetores 11x3 – 3x2 + 7x + 4 = α1 ⋅ (x3 + 2x – 4) + α2 ⋅ 
(x2 + 3x – 2) + α3 ⋅ (x3 + 2x2 + 3x – 3) + α4 ⋅ (4x3 – x2 + 2x + 7) e distribuindo e arranjando 
os termos de acordo com as potências de x, temos:
11x3 – 3x2 + 7x + 4 = (α1 + α3 + 4α4) x
3 + (α2 + 2α3 – α4)x
2 + (2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4)x 
+ (– 4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4).
Dessa forma, podemos afirmar que, em cada coeficiente:
α1 + α3 + 4α4 = 11
α2 + 2α3 – α4 = –3
2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4 = 7
–4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4 = 4
o que é equivalente à equação matricial: 
 1 0 1 4
 0 1 2 –1
 2 3 3 2
–4 –2 –3 7
α1
α2
α3
α4
. =
11
–3
7
4
que podemos resolver usando o método de Gauss. Desse modo, podemos calcular 
que existe uma única solução dada por (v)B = (α1, α2, α3, α4 ) = (3, –1, 0, 2).
Uma observação relevante nesse momento é que estamos trabalhando de 
forma análoga à feita em ℝ𝑛 e aproveitando disso para usarmos os conceitos 
de ℝ𝑛 para a solução do problema geral.
Com a noção de base estabelecida, podemos afirmar que, se E admite 
uma base com n vetores, então todas as bases de E têm o mesmo número n de 
vetores. Dizemos, então, que a dimensão de E é n e escrevemos dim(E) = n.
Reunindo todos esses resultados, podemos estabelecer, para alguns espaços 
vetoriais, a noção de base canônica e calcular sua dimensão.
3Espaços vetoriais: base
1. Em Pn, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n e 
de coeficientes reais, esse espaço é gerado pela base (canônica):
B = {1, x, x2, … , xn } e dim(Pn) = n + 1.
2. Em P∞, o espaço vetorial de todos os polinômios de coeficientes reais, 
esse espaço é gerado pela base (canônica):
B = {1, x, x2, … , xn,…} e dim(P∞) = ∞.
3. Em M(m × n), o espaço vetorial das matrizes, m × n, de coeficientes reais, 
esse espaço é gerado pela base (canônica) composta pelas matrizes:
e dim(M(m×n)) = mn.
Repare que P∞ é um subespaço do espaço vetorialdas funções reais con-
tínuas, logo dim(C0(ℝ)) = ∞. O próximo exemplo ajuda na visualização das 
bases e no cálculo da dimensão dos espaços listados anteriormente.
Em P4, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 4 e de coeficientes 
reais, gerado pela base (canônica):
B = {1, x, x2, x3, x4} e dim(P4) = 5.
Em M(2 × 3), o espaço vetorial das matrizes, 2 × 3, de coeficientes reais, gerado pela 
base (canônica):
B = {A1,1 = , A1,2 = , A1,3 = , A2,1 = , 
A2,2 = , A2,3 = }
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
e dim(M(2 × 3)) = 6.
Espaços vetoriais: base4
Admitimos, como convenção, que:
 � se E = {0}, então dim(E) = 0;
 � se B é a base canônica e α1, ⋯, αn ∈ ℝ são as coordenadas de v na base 
B, escrevemos (v) = (α1, … , αn ) por simplicidade.
Dado E espaço vetorial, tal que dim(E) = n, destacamos as seguintes 
propriedades:
 � se {u1, … , um} ⊂ E é linearmente independente, então m ≤ n;
 � se E = ger{u1, … , un}, então {u1, … ,un} é linearmente independente;
 � se F é subespaço de E, então dim(F) ≤ n e dim(F) = n, somente se F = E.
Essas propriedades abrem caminho para o Teorema do Núcleo e da Ima-
gem (paralelo ao Teorema do Posto): dados E1, E2 espaços vetoriais, T: E1 → E2 
transformação linear, então:
N(T) = {u ∈ E1; T(u) = 0}
Im(T) = {w = T(u);u ∈ E1}
são respectivamente subespaços de E1 e E2, que satisfazem:
dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(E1).
Considere a transformação linear A: P4 → P5, tal que:
A(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e) = (2a + b – c – d)x5 + (a + 2c + d + e) x4+ (b – d + e) x3 + (2a 
+ 2b – c – 2d + e)x2 + (– 2a + c + e)x + (2a + b – 6c – 3d –3e).
De imediato, podemos afirmar que essa transformação não é sobrejetora, pois Im(T) 
≤ dim(P4) = 5, enquanto que dim(P5) = 6.
Investigando o núcleo de T, dado u = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ∈ P4, temos que u∈N(A) 
se A(u) = 0. Isto é, se:
(2a + b – c – d)x5 + (a + 2c + d + e)x4 + (b – d + e)x3 + (2a + 2b – c – 2d + e)x2 + 
(– 2a + c + e)x + (2a + b – 6c – 3d – 3e) = 0.
5Espaços vetoriais: base
A igualdade anterior ocorre se:
2a + b – c – d = 0
a + 2c + d + e = 0
b – d + e = 0
2a + 2b – c – 2d + e = 0
–2a + c + e = 0
2a + b – 6c – 3d – 3e = 0
o que é equivalente ao sistema matricial:
 2 1 –1 –1 0
 1 0 2 1 1
 0 1 0 –1 1
 2 2 –1 –2 1
–2 0 1 0 1
 2 1 –6 –3 –3
TA
.
a
b
c
d
e
=
0
0
0
0
0
0
Aplicando o método de Gauss na matriz TA, calculamos suas equivalências de forma 
que: 
TA~
1 0 2 1 1
0 1 –5 –3 –2
0 1 0 –1 1
0 2 –5 –4 –1
0 0 5 2 3
0 1 –10 –5 –5
~ ~
1 0 2 1 1
0 1 –5 –3 –2
0 0 5 2 3
0 0 5 2 3
0 0 5 2 3
0 0 –5 –2 –3
5 0 0 1 –1
0 1 0 –1 1
0 0 5 2 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
que equivale ao sistema:
5a + d – e = 0
b – d + e = 0
5c + 2d + 3e = 0
d = d
e = e
Espaços vetoriais: base6
ou:
a = – d + e1
5
1
5
c = – d – e2
5
3
5
b = d – e
d = d
e = e
Isto é, (a, b, c, d, e) = d(–1/5,1, – 2/5,1,0) + e(1/5, – 1, – 3/5,0,1), com d, e ∈ ℝ.
Dessa forma:
�(A) = ger{– x4 + x3 – x2 + x, x4 – x3 – x2 + 1}1
5
1
5
3
5
2
5
O que significa que 𝒩(A) é um subespaço vetorial de P4 de dimensão 2, e Im(A) é 
um subespaço vetorial de P5 de dimensão 3. 
Interessante é que podemos determinar a dimensão de Im(A) sem calcularmos uma 
base desse subespaço.
Conjunto como base de espaço vetorial
Dados E espaço vetorial e B ⊂ E, B é base de E se:
 � B for linearmente independente;
 � E = ger(B).
Observe que essa última condição pode ser substituída pela dim(E) = 
dim(ger(B)). Assim, podemos afirmar que um conjunto B é base de E se B 
tiver dim(E) vetores e for linearmente independente.
7Espaços vetoriais: base
Em P2, considere B = {v1, v2, v3}, tal que:
v1 = x
2 + 2x – 4
v2 = x
2 + 3x – 2
v3 = – x
2 + 2x + 7,
Como B tem dim(P2) = 3 vetores, só precisamos verificar que B é linearmente inde-
pendente, para afirmarmos que B é base de P2.
Calculando o wronskiano de B:
W(x) = det = det = 10
 v1 v2 v3
v´1 v´2 v´3
v´1́ v´2́ v´3́
(x2 + 2x – 4) (x2 + 3x – 2) (–x2 + 2x + 7)
 (2x + 2) (2x + 3) (–2x + 2)
 (2) (2) (–2)
Assim, W(x) ≠ 0 e B é linearmente independente. Logo, podemos afirmar que B é 
base de P2.
É importante também vermos alguns exemplos de quando um conjunto 
não é base do espaço vetorial que o contém.
Em P2, considere as seguintes afirmações. 
 � B1 = {v1 = x + 1, v2 = x
2 – 1} é um conjunto linearmente independente, pois v1 e v2 
não são múltiplos. Contudo, dim(ger(B1)) = 2, logo B1 não é base de P2 (que tem 
dimensão 3).
 � B2 = {v1,v2,v3 = v1 – v2 } possui três vetores, mas é linearmente dependente porque 
v3 é combinação dos demais. Logo, dim(ger(B2 )) < dim(P2), e B2 não é base de P2.
Construção de uma base para espaço vetorial
Usando as propriedades que vimos até agora, podemos afirmar que, dados E 
espaço vetorial C = {v1, … , vn } ⊂ E, se C é linearmente dependente, então 
existe B ⊂ C, tal que B é linearmente independente e ger(B) = ger(C).
Espaços vetoriais: base8
Em P2, considere C = {v1, v2, v3}, tal que:
v1 = x
2 + 2x – 1
v2 = – x2 + x – 2
v3 = – x
2 + 4x – 5.
Podemos verificar que esse conjunto é linearmente dependente, pois a igualdade
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 admite solução não trivial. Substituindo os vetores
α1(x
2 + 2x – 1) + α2 (– x
2 + x – 2) + α3 (– x
2 + 4x – 5) = 0 e distribuindo e associando 
os termos de acordo com a potência de x, obtemos (α1 – α2 – α3)x
2 + (2α1 + α2 + 4α3 )
x + (– α1 – 2α2 – 5α3) = 0.
Assim, a igualdade é válida se, e somente se, em cada coeficiente, temos:
α1 – α2 – α3 = 0
2α1 + α2 + 4α3 = 0
–α1 – 2α2 – 5α3 = 0
que é equivalente à equação matricial:
 1 –1 –1
 2 1 4
–1 –2 –5
.
α1
α2
α3
=
0
0
0
Aplicando o método de Gauss à matriz dos coeficientes, calculamos suas equiva-
lências de forma que:
 1 –1 –1
 2 1 4
–1 –2 –5
~ ~ ~
1 –1 –1
0 3 6
0 –3 –6
1 –1 –1
0 1 2
0 0 0
1 0 1
0 1 2
0 0 0
que equivale ao sistema:
α1 + α3 = 0
α2 + 2α3 = 0
α3 = α3
ou:
α1 = –α3
α2 = – 2α3
α3 = α3
9Espaços vetoriais: base
Isto é, (α1, α2, α3) = α3 (– 1, – 2, 1), com α3 ∈ ℝ e uma solução não trivial, seria:
– 1v1 – 2v2 + 1v3 = 0
ou:
v3 = v1 + 2v2
mostrando que v3 é combinação linear de v1 e v2. Dessa maneira, {v1, v2} é um conjunto 
linearmente independente, e ger{v1, v2 } = ger(C).
No exemplo anterior, o isomorfismo entre Pn e ℝn+1 poderia ser usado para justificar 
que, quando escalonamos a matriz de coeficientes na forma triangular superior: 
1 –1 –1
0 1 2
0 0 0
essa matriz indica, através dos seus pivôs, que os vetores nas colunas 1 e 2 da matriz 
original eram linearmente independentes e o vetor na coluna 3 da matriz original era 
uma combinação deles, onde:
1
2
–1
↔ x2 + 2x –1
–1
1
–2
↔ –x2 + x – 2
Segue daí a afirmação que {v1, v2} é um conjunto linearmente independente e 
ger{v1, v2} = ger(C).
Isso significa que, dado um conjunto C de vetores de E, é possível (por 
meio do Teorema do Posto) reduzir esse conjunto, obtendo um B linearmente 
independente, tal que ger(B) = ger(C). Além disso, existe uma dualidade entre 
os métodos de ℝn+1 e Pn que podem ser usados a nosso favor.
Espaços vetoriais: base10
Vamos aproveitar essa ideia da dualidade e descrever um algoritmo que 
permite calcular o complemento da base de um subespaço de E para obtermos 
uma base do próprio E, quando E = Pn ou E = Mm×n(ℝ).
Sejam E espaço vetorial e B = {u1, u2, … ,ur } à base de um subespaço de 
E, então:
 � considere as coordenadas (u1),(u2), … , (ur ) dos vetores de B na base 
canônica de E;
 � escreva a matriz ;
 � encontre os l = (dim(E) – r) vetores em ℝdim(E) que geram a solução da 
equação matricial ;
 � escreva a base de E como a união de B e os l vetores em E calculados 
pelas coordenadas do passo anterior.
Vamos a alguns exemplos, comentando cada passo até obtermos esse 
complemento dabase dada.
Em P2, sabemos que B = {v1, v2}, tal que:
v1 = x
2 + 2x – 1
v2 = – x
2 + x – 2
são linearmente independentes e que ger(B) ≠ P2. Isso significa que deve existir 
v ∈ P2, tal que {v} ∪ B é base de P2.
Aplicando o algoritmo que descrevemos, procedemos da seguinte forma. 
 � Na base canônica {x2, x, 1} de P2, escrevemos os vetores em coordenadas:
(v1) = (1, 2, – 1)
(v2) = (– 1, 1, – 2)
 � Assim, a matriz A fica definida por:
A = 1 2 –1
–1 1 –2 2×3
11Espaços vetoriais: base
 � Calculando a solução da equação matricial:
 1 2 –1
–1 1 –2
.
a
b
c
= 0
0
aplicamos o método de Gauss à matriz A, calculando suas equivalências de forma que:
 1 2 –1
–1 1 –2 ~ ~
1 2 –1
0 3 –3
1 0 1
0 1 –1
que equivale ao sistema:
a + c = 0
b – c = 0
c = c
ou:
a = –c
b = c
c = c
Isto é, (a, b, c) = c(– 1, 1, 1), com c ∈ ℝ e �(A) = ger{(–1,1,1)} ⊂ ℝ3 .
Esse resultado está de acordo com o que era esperando, já que dim(P2) = 3, r = 2 
implica que precisamos de l = 3 – 2 = 1 vetores para complementar a base B.
 � Escrevemos o vetor v ∈ P2 usando as coordenadas na base canônica:
v = – 1x2 + 1x + 1
{v} ∪B = {v1, v2, v} é uma base de P2.
W(x) = det = det = –18
 v1 v2 v
v´1 v´2 v´
v´1́ v´2́ v´´
(x2 + 2x – 1) (–x2 + x – 2) (–x2 + x + 1)
 (2x + 2) (–2x + 1) (–2x + 1)
 (2) (–2) (–2)
Logo, W(x) ≠ 0 e {v1, v2, v} é linearmente independente.
Uma base é sempre um conjunto ordenado. Estamos escrevendo a base canônica de 
Pn como {x
n, … , x, 1} por uma questão de conveniência. Os cálculos são totalmente 
análogos, se usarmos essa base como {1, x, … ,xn}.
Espaços vetoriais: base12
Vamos a mais um exemplo, agora no espaço das matrizes.
Em M3×2(ℝ), considere o conjunto:
 
B = v1 = , v2 = , v3 = , v4 =
 1 –2
–1 0
 2 3
–2 1
 0 2
 1 –1
 1 0
 1 –1
–2 1
–2 3
 0 –2
 0 1
Esse conjunto é linearmente independente, e ger(B) ≠ M3×2(ℝ). Isso significa que 
deve existir v5, v6∈ M3×2(ℝ) , tal que {v5, v6} ∪ B é base de M3×2(ℝ) u, uma vez que 
dim(M3×2(ℝ)) = 6 . 
Aplicando o algoritmo que descrevemos, temos o seguinte.
 � Na base canônica:
 
A1,1 = , A1,2 = , A2,1 = , A2,2 = , A3,1 = , A2,3 =
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
de M3×2(ℝ), escrevemos os vetores em coordenadas, (v1) = (1, – 2, – 1, 0, 2, 3); (v2) = 
(– 2, 1, 0, 2, 1, – 1); (v3) = (1, 0, 1, – 1, – 2, 1); (v4) = (– 2, 3, 0, – 2, 0, 1).
 � Assim, a matriz A fica definida por:
 1 –2 –1 0 2 3
–2 1 0 2 1 –1
 1 0 1 –1 –2 1
–2 3 0 –2 0 1
A =
4×6
 � Calculando a solução da equação matricial:
 1 –2 –1 0 2 3
–2 1 0 2 1 –1
 1 0 1 –1 –2 1
–2 3 0 –2 0 1
.
a
b
c
d
e
f
=
0
0
0
0
13Espaços vetoriais: base
aplicamos o método de Gauss à matriz A, calculando suas equivalências de forma que:
 1 –2 –1 0 2 3
–2 1 0 2 1 –1
 1 0 1 –1 –2 1
–2 3 0 –2 0 1
~ ~
1 –2 –1 0 2 3
0 –3 –2 2 5 5
0 2 2 –1 –4 –2
0 –1 –2 –2 4 7
~ ~
1 –2 –1 0 2 3
0 –3 –2 2 5 5
0 0 2 1 –2 4
0 0 –4 –8 7 16
1 –2 –1 0 2 3
0 –3 –2 2 5 5
0 0 2 1 –2 4
0 0 0 –2 1 8
~ ~
1 –2 –1 0 2 3
0 –3 –2 0 6 13
0 0 4 0 –3 16
0 0 0 –2 1 8
4 –8 0 0 5 28
0 2 0 0 –3 –14
0 0 4 0 –3 16
0 0 0 –2 1 8
4 0 0 0 –7 –28
0 2 0 0 –3 –14
0 0 4 0 –3 16
0 0 0 –2 1 8
que equivale ao sistema:
4a – 7e – 28f = 0
2b – 3e –14f = 0
4c – 3e – 16f = 0
–2d + e + 8f = 0
e = e
f = f
ou:
a = e + 7f7
4
b = e + 7f3
2
c = e + 4f3
4
d = e + 4f1
2
e = e
f = f
Espaços vetoriais: base14
Isto é, (a, b, c, d, e, f) = e , , , , 1, 0 + f (7,7,–4,4,0,1)7
4
3
2
3
4
1
2
, com e, f ∈ ℝ e 
�(A) = ger ⊂ ℝ6, , , , 1, 0 , (7,7,–4,4,0,1)74
3
2
3
4
1
2
.
Esse resultado está de acordo com o que esperávamos de l = 2 vetores para com-
plementar a base B.
 � Escrevemos os vetores v5, v6 ∈ M3×2(ℝ), usando as coordenadas na base canônica:
v5 = + + + + 1 + 0 =
7
4
3
2
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
3
4
0 0
1 0
0 0
1
2
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
7/4 3/2
3/4 1/2
 1 0
v6 = 7 + 7 – 4 + 4 + 0 + 1 =
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
 7 7
–4 4
 0 1
{v5, v6} ∪ B = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} é uma base de M3×2(ℝ).
Não será demonstrado neste material, mas vale lembrar-se de que {v1, v2, v3, v4, v5, v6} 
é linearmente independente.
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
LAY, D.; LAY, S.; MACDONALD, J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018.
LIMA, E. Álgebra linear. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
15Espaços vetoriais: base
Dica do professor
A generalização do conceito de espaço vetorial para conjuntos diferentes do Rn traz vários desafios 
no que compete à organização, interpretação e argumentação sobre quando um conjunto é base de 
um espaço vetorial qualquer e sobre como calcular uma base de um espaço a partir de um conjunto 
de vetores arbitrários.
Nesta Dica do Professor, você aprenderá a reduzir um conjunto linearmente dependente a um 
conjunto linearmente independente e, em seguida, verá como completar esse conjunto linearmente 
independente a uma base do espaço vetorial.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/164d235ad176697c2d26b16c601ef939
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Homomorfismos
Existe na Matemática uma classe de funções capaz de copiar conjuntos e operações em espaços 
"duais": os homomorfismos. No vídeo a seguir, o professor Pedro Fagundes fala dos 
homomorfismos entre anéis, conjuntos dotados de duas operações, e mostra alguns resultados e 
exemplos.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Transformações lineares e projeções
Neste vídeo, o professor Adolfo Maia Jr. fala da transformação linear de E em F como uma projeção 
do espaço E no espaço F.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender Espaços Vetoriais: Base, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. 
Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/Jx8QjqUWGvE
https://www.youtube.com/embed/VbSm4bMufts
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/2012974204/saibamaislistadeexercicios.pdf?v=902556600