Computação grafica UFRRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
CURSO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E 
NA ENGENHARIA1 
 
 
 
AUTOR: MARLUCIO BARBOSA 
ORIENTADOR: PROFESSOR DR. CARLOS ANDRÉS REYNA VERA-TUDELA 
 
 
 
 
 
 
Seropédica, 2008
 
1
 Este trabalho foi desenvolvido como parte do Programa Primeiros Projetos com o apoio da FAPERJ e do Fundo Setorial de 
Infra-Estrutura (CT-INFRA) por intermédio do MCT/CNPq. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
CURSO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E 
NA ENGENHARIA 
 
 
MARLUCIO BARBOSA 
 
 
 
 
Trabalho submetido ao Prêmio Beatriz 
Neves de Iniciação Científica. 
 
 
 
 
 
Orientador: Professor Dr. Carlos Andrés Reyna Vera-Tudela 
 
 
Seropédica, 2008
 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
A ti, minha Mãe, dedico essa minha última obra 
acadêmica enquanto graduando. Obra esta fruto 
do meu esforço, mas conseqüência de todo o seu 
investimento, investimento esse financeiro e 
principalmente afetivo em todos os meus anos de 
vida. 
Obrigado Minha Mãe. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTO 
À Deus pelo amparo nos momentos 
difíceis. 
 
Aos amigos e parentes pela 
compreensão de minha ausência. 
 
 
Aos meus colegas de Curso que 
demonstraram interesse pelo meu trabalho, em 
especial ao Marcos Alexandre Campos, Lúcio 
Rodrigues Duque Borges, Martiney Moura Júnior e 
Edivaldo Figueiredo Fontes Júnior por sua atenção e 
generosidade quanto ao uso de seus hardwares, 
softwares e em algumas vezes de sua paciência. 
 
 
Ao Amigo e Professor Augusto que me 
apresentou à Computação Gráfica e contribui 
qualitativamente para a elaboração desse texto. 
 
 
Ao Professor Aquiles Braga, amigo, 
incentivador que sempre buscou mostrar o caminho 
mais brando para vida cientifica e pessoal. 
 
 
Ao Professor Marcelo Almeida Bairral 
por seu interesse e acessibilidade, cuja generosidade, 
amizade e experiência foram fundamentais na 
elaboração do software i-Complex. 
 
 
Ao Professor Carlos Andres Reyna 
Vera-Tudela - influência marcante em minha formação 
acadêmica - por sua atuação como orientador sempre 
disponível para aprimorar estudos em diversas áreas, 
fornecer e/ou indicar novas fontes bibliográficas, 
corrigir, revisar, sugerir e, sobretudo estimular 
aprofundamentos durante todo esse trabalho. Destaco 
seu papel como incentivador na produção de diversos 
artigos divulgados não só em eventos acadêmicos 
como também em publicações científicas. Carlos, 
obrigado pela amizade e por acreditar no projeto 
MEMEC. 
 
 
i 
 
Resumo 
 
O campo da Visualização Científica vem se desenvolvendo de uma forma paralela 
ao dos computadores; a oferta maior de recursos permite que o usuário final 
possa exigir mais do seu trabalho assim como esperar programas mais 
poderosos, rápidos e que manipulem uma enorme quantidade de dados. Como no 
capitalismo, a computação é movida pela lei da demanda. A crescente 
necessidade de sistemas de Visualização Científica leva o desenvolvimento da 
Computação Gráfica como um todo e suas aplicações ficam inerentes em várias 
as áreas do conhecimento. Nesse texto, são apresentados resultados do uso da 
Computação Gráfica, particularmente da Visualização Científica, em duas 
aplicações totalmente distintas em implementações, mas com um espaço 
geométrico muito similar. As aplicações são feitas na Educação Matemática e na 
Engenharia Civil, tratando de problemas da geometria dos números complexos e 
da elasticidade linear respectivamente. A aplicação feita na Educação é dada pela 
apresentação do software i-Complex e de suas possibilidades de uso no ensino 
de números complexos. A aplicação na Engenharia é apresentada através do 
software MEMEC. O MEMEC é um software desenvolvido com base no método 
dos Elementos de Contorno para solucionar problemas oriundos da elasticidade. 
Conceitos empregados na construção do i-Complex são generalizados e 
aplicados no MEMEC buscando coerência Matemática e Experimental. Para isso 
técnicas de visualização científica foram desenvolvidas para tirar proveito do 
método numérico empregado e das geometrias comumente analisadas. Alguns 
exemplos são apresentados e, sempre que possível, confrontados com resultados 
existentes na literatura. 
 
 
Palavras Chave: Visualização Científica, Método dos Elementos de Contorno, 
Números Complexos. 
 
ii 
 
Rol de Abreviaturas e Siglas 
𝑆1, 𝑆2,𝑆3 tensões principais 
𝑆𝑒 limite de escoamento do material 
𝑆𝑥 tensão normal na direção x 
𝑆𝑥𝑦 tensão cisalhante xy 
𝑆𝑦 tensão normal na direção y 
𝑓1,𝑓2 forças de campo 
𝑢𝑖 deslocamento na direção i 
𝑣∗ solução fundamental 
[𝑖𝑛𝑡] representação de uma variável de número inteiro 
[𝑟𝑒𝑎𝑙] representação de uma variável de número real 
EAD Educação à Distância 
GEPETICEM 
Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias da 
Informação e Comunicação em Educação Matemática 
SciVis Visualização Científica 
SRO Sistema de Referência do Objeto 
TIC Tecnologia da Informação e Comunicação 
VTK Visualization Toolkit 
μ parâmetro geométrico da viga retangular de altura variável 
𝐴 área da seção reta, constante 
𝐵 Constante 
𝐼 Momento de Inércia 
𝐿, 𝑙 comprimento da viga 
𝑀 momento fletor 
𝑃 força resultante aplicada 
𝑆’, 𝑆𝑒𝑞 tensão equivalente de Von Mises 
𝑉 resultante do esforço cortante 
𝑋 coordenada cartesiana 
𝑌 coordenada cartesiana 
𝑍 coordenada cartesiana 
𝑏 largura unitária 
𝑐 distância do centróide da seção à fibra externa 
𝑖 índice inteiro 
𝑛 coeficiente de segurança 
 
iii 
 
𝑝 forças de superfície 
𝑞 esforço cortante distribuído 
𝑢 deslocamento na direção x 
𝑢.𝐴 unidade de área 
𝑢. 𝑐. unidade de comprimento 
𝑣 deslocamento na direção y 
 Módulo de Elasticidade 
µ coeficiente de Poisson 
 
 
 
 
 
iv 
 
Lista de Imagens 
 
Figura 1: Paradigma dos quatro universos ............................................................. 6 
Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas .................................................... 8 
Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação ................................ 9 
Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b). ............................... 13 
Figura 5: Soma de ponto com vetor (a); combinação afim de pontos (b). ............. 15 
Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano ............................................ 18 
Figura 7: Fotografia de uma estrada ..................................................................... 19 
Figura 8: Projeção cônica ..................................................................................... 20 
Figura 9: Plano Projetivo ....................................................................................... 22 
Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real. ............................................. 27 
Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B). ................................ 27 
Figura 12: Projeção paralela. ................................................................................ 28 
Figura 13: Projeção cônica.................................................................................... 29 
Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos ..... 32 
Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC ..............................33 
Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D .................................................. 36 
Figura 17: Diagrama dos Conjuntos Numéricos.................................................... 41 
Figura 18: Tela de abertura do i-Complex 2.1 ....................................................... 53 
Figura 19: Ambiente de trabalho do i-Complex ..................................................... 54 
Figura 20: Soma de números complexos .............................................................. 54 
Figura 21: Resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖. ............................................................ 55 
Figura 22: Resultado de (3 + 2𝑖) ∙ 2 + 0𝑖. .............................................................. 57 
Figura 23: Resultado de (5+5𝑖) ∙ 𝑖 ........................................................................ 59 
Figura 24: Resultado de (3+3𝑖) ∙ (0 + 2𝑖) ............................................................. 60 
Figura 25: Resultado as da equação 𝒙3− (3 + 4𝑖) = 0 ....................................... 62 
Figura 26: Cubo elementar de tensões ................................................................. 65 
Figura 27: Representação do cubo elementar de tensões para o estado plano de 
tensões ................................................................................................................. 70 
Figura 28: Viga retangular em balanço. ................................................................ 78 
Figura 29: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79 
Figura 30: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79 
Figura 31: Viga de seção constante sujeita a um carregamento uniformemente 
variável. ................................................................................................................. 81 
Figura 32: Tela inicial do MEMEC ......................................................................... 85 
Figura 33: Representação física da barra engastada e tracionada ....................... 86 
Figura 34: Representação da discretização para a barra engastada .................... 87 
Figura 35: SciVis, em surface, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com 
tensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 92 
Figura 36: Resultado numérico gerado para o arquivo barra.txt através do 
MEMEC. ................................................................................................................ 93 
Figura 37: SciVis, em wireframe, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com 
tensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 94 
Figura 38: SciVis, em wireframe, de uma barra com 301 nós e 100 pontos internos 
gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋. ................................................... 95 
 
v 
 
Figura 39: Tipos de Malhas ................................................................................... 97 
Figura 40: Triangulação de um polígono. .............................................................. 99 
Figura 41: A triangulação de Delaunay sobre uma nuvem de pontos. ................ 100 
Figura 42: Triangulação de Delaunay sobre um conjunto de 10 pontos no plano
 ............................................................................................................................ 101 
Figura 44: SciVis, em surface, de uma barra com duas extremidades fixas gerada 
pelo MEMEC com tensões nas direções 𝑋 e 𝑌. .................................................. 104 
Figura 43: Barra com extremidades fixas e tracionada ao centro ....................... 104 
Figura 45: SciVis, em curvas de nível, de uma barra com duas extremidades fixas 
gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 105 
Figura 46: SciVis, em wireframe, de uma barra com duas extremidades fixas 
gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 106 
Figura 47: SciVis, em campo escalar, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC 
com tensão na direção 𝑋 .................................................................................... 107 
Figura 48: Chapa com furo circular nos eixos de simetria .................................. 107 
Figura 49: SciVis de chapa com furo sobre o eixo de simetria ........................... 108 
 
 
vi 
 
Sumário 
 
RESUMO ............................................................................................................................................. I 
ROL DE ABREVIATURAS E SIGLAS .............................................................................................. II 
LISTA DE IMAGENS ........................................................................................................................ IV 
CAPÍTULO 0. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 
CAPÍTULO 1. PRINCÍPIOS DE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ..................................................... 3 
1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A COMPUTAÇÃO GRÁFICA ............................... 4 
1.1.1. Modelagem ................................................................................................................... 4 
1.1.2. Visualização ................................................................................................................. 4 
1.1.3. Processamento de Imagens ......................................................................................... 5 
1.1.4. Visão Computacional .................................................................................................... 5 
1.1.5. Animação ...................................................................................................................... 5 
1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO ............................................................................................... 5 
1.3. GEOMETRIA ........................................................................................................................ 7 
1.3.1. Metodologias para dividir a Geometria ......................................................................... 7 
1.3.1.1. O método axiomático ........................................................................................................ 7 
1.3.1.2. O método de coordenadas................................................................................................ 8 
1.3.1.3. O método de grupos de transformação ............................................................................ 9 
1.3.2. Transformações e a Computação Gráfica ................................................................. 10 
1.3.3. Geometria Euclidiana ................................................................................................. 10 
1.3.3.1. Transformações Lineares ............................................................................................... 11 
1.3.3.2. Transformações ortogonais, Isometrias e grupo euclidiano ............................................ 12 
1.3.4. Geometria Afim ........................................................................................................... 14 
1.3.4.1. Transformações Afins ..................................................................................................... 16 
1.3.4.2. Coordenadas Afins ......................................................................................................... 17 
1.3.4.3. Representação Matricial ................................................................................................. 18 
1.3.4.4. Teorema Fundamental da Geometria Afim ..................................................................... 19 
1.3.5. Geometria Projetiva ....................................................................................................19 
1.3.5.1. O espaço projetivo .......................................................................................................... 20 
1.3.5.2. Coordenadas homogêneas ............................................................................................. 22 
1.3.5.3. Transformações projetivas .............................................................................................. 23 
1.3.5.4. Anatomia de uma transformação projetiva plana ............................................................ 23 
1.3.5.5. Projeção Paralela ............................................................................................................ 28 
1.3.5.6. Projeção cônica ou perspectiva ...................................................................................... 28 
1.3.6. A Geometria da Computação Gráfica ........................................................................ 30 
1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ................................................. 31 
1.4.1. Representação 3D ...................................................................................................... 31 
1.4.2. Superfícies Paramétricas ........................................................................................... 32 
1.4.3. Visualização Científica ............................................................................................... 33 
1.4.3.1. Técnicas da Visualização Científica ................................................................................ 33 
1.4.3.2. ToolKits de Visualização Científica ................................................................................. 34 
1.4.4. Câmera ....................................................................................................................... 36 
1.4.5. Iluminação e Cor ........................................................................................................ 37 
1.4.6. Textura........................................................................................................................ 37 
CAPÍTULO 2. UM PROBLEMA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .......................................... 39 
2.1. ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 39 
2.2. UMA REVISÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................ 40 
2.2.1. O Aparecimento do Número .................................................................................. 40 
2.2.2. As primeiras reações às raízes quadradas de números negativos ....................... 42 
2.2.3. O aparecimento das raízes quadradas de números negativos ............................. 42 
 
vii 
 
2.2.4. A notação.................................................................................................................... 43 
2.3. A IMPORTÂNCIA DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ............................................. 44 
2.4. NÚMEROS COMPLEXOS: O OBJETO MATEMÁTICO ................................................................ 44 
2.4.1. Adição .................................................................................................................... 45 
2.4.2. Multiplicação de um real por um complexo ............................................................ 45 
2.4.3. Unitários, Argumento, Forma Trigonométrica ........................................................ 46 
2.4.4. Multiplicação de complexos ................................................................................... 46 
2.4.5. Conjugado, inverso e quociente............................................................................. 47 
2.4.6. Os complexos como extensão dos reais e o número i .......................................... 48 
CAPÍTULO 3. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA EDUCAÇÃO ................................................... 51 
3.1. I-COMPLEX ....................................................................................................................... 52 
3.1.1. Introdução ao i-Complex ........................................................................................ 53 
3.1.2. Soma e Subtração no i-Complex ........................................................................... 54 
3.1.3. Multiplicação de um complexo por um real ............................................................ 56 
3.1.4. Multiplicação por 𝑖 .................................................................................................. 58 
3.1.5. Multiplicação........................................................................................................... 59 
3.1.6. Radiciação .............................................................................................................. 61 
CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA NA ENGENHARIA CIVIL ...................................................... 63 
4.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS ........................................................................ 64 
4.1.1. Tensão ................................................................................................................... 64 
4.1.2. Deformação ............................................................................................................ 64 
4.1.3. Componentes de Tensão ....................................................................................... 64 
4.1.4. Forças de Volume .................................................................................................. 65 
4.1.5. Forças de Superfície .............................................................................................. 65 
4.1.6. Estado Plano de Tensão ........................................................................................ 65 
4.1.7. Estado Plano de Deformação ................................................................................ 66 
4.2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS ........................................................................ 66 
4.2.1. Teoria da Máxima Energia de Distorção ................................................................ 67 
4.3. TEORIA DA ELASTICIDADE .................................................................................................. 68 
4.3.1. Equações de equilíbrio ........................................................................................... 69 
4.3.2. Equações de Compatibilidade ............................................................................... 70 
4.3.3. Função das Tensões de Airy ................................................................................. 71 
4.3.4. Princípio de Saint-Venant ...................................................................................... 72 
4.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ................................................ 73 
4.5. VIGA RETANGULAR DE SEÇÃO CONSTANTE ........................................................................ 77 
4.5.1. Viga de Seção Constante em Balanço Sujeita a uma Flexão Simples ................. 77 
4.5.2. Viga em Balanço com um Carregamento Uniformemente Distribuído ao Longo de 
seu Comprimento .................................................................................................................... 79 
4.5.3. Viga Retangular em Balanço Submetida a um Carregamento Linearmente 
Distribuído ao Longo de seu Comprimento ............................................................................. 81 
CAPÍTULO 5. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA ENGENHARIA CIVIL ..................................... 83 
5.1. HARDWARE ....................................................................................................................... 84 
5.2. MEMEC ........................................................................................................................... 84 
5.2.1. Entrada de Dados ..................................................................................................85 
5.2.2. Algoritmo de interpolação da SciVis ...................................................................... 96 
5.2.2.1. Tipos de Malhas .............................................................................................................. 97 
5.2.2.2. Propriedades desejáveis de uma malha e de geradores de malha ................................ 98 
5.2.2.3. Triangulação de Delaunay .............................................................................................. 98 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 103 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 110 
 
 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 1 
 
 
 
Capítulo 0. Introdução 
 
O presente texto é baseado na Monografia de Final de Curso do Autor e 
tem como objeto o estudo da Computação Gráfica, particularmente, de sua 
geometria. A monografia descreve resultados obtidos na iniciação cientifica 
realizada e sua submissão ao Prêmio Beatriz Neves é motivada pelo fato do 
prêmio ser dedicado a modelagem matemática e suas aplicações, ambos 
realizados nesse trabalho. 
A Computação Gráfica possui diversos aspectos e alguns deles serão 
descritos ao longo do texto. Todavia não buscamos exaurir o tema, visto que esse 
é extremamente extenso e de relativa complexidade. 
Ao longo do texto são mostrados problemas e definições em Computação 
Gráfica, Educação Matemática e Engenharia Civil. A escolha de áreas tão 
distintas para serem tratadas junto à Computação Gráfica mostra sua 
versatilidade e a importância da Computação Gráfica como objeto de estudo. 
Cada vez mais temos a necessidade de uma interpretação visual dos 
fenômenos físicos, muito deles descritos a décadas de forma analítica. Com a 
evolução da tecnologia e o surgimento de novos métodos numéricos, uma onda 
crescente de pesquisadores se interessam pela Computação Gráfica e, em nosso 
caso, pela Visualização Cientifica. 
Matematicamente, o interesse pela geometria da Computação Gráfica se 
justifica pelo fato que não existe problema na área que não passe pelo problema 
de definir a geometria adequada ao problema. Diversas geometrias são tratadas 
até a elaboração da geometria da Computação Gráfica e são inúmeras as vezes 
que nos deparamos com problemas com algoritmos para escolha de malhas ou 
do espaço topológico adequado para o problema. 
 
 
2 
O objetivo do texto é apresentar os softwares MEMEC e i-Complex tendo 
como plano de fundo a geometria da Computação Gráfica e seus aspectos 
aplicados. 
Para tanto, principia–se, no Capítulo 1, tratando dos conceitos básicos dos 
elementos que constituem a Computação Gráfica. No Capítulo 2, é apresentado o 
conjunto dos números complexos como objeto matemático. Nesse capítulo, é 
apresentada a modelagem do comportamento geométrico das operações 
realizadas sobre o corpo dos Números Complexos. 
No Capítulo 3, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica na 
Educação Matemática para trabalhar com o objeto definido no capítulo 2. Nesse 
capítulo, é apresentado o software i-Complex e exemplos de uso. 
No Capítulo 4, é apresentado aspectos da Teoria da Elasticidade e do 
Método dos Elementos de Contorno, tal como, a modelagem matemática de 
problemas que serão utilizados como exemplos no Capítulo 5. 
No Capítulo 5, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica na 
Engenharia Civil para solucionar o problema descrito no capítulo 4. Nesse 
capítulo, é apresentado o software MEMEC (Mecânica Elastostática - Método de 
Elementos de Contorno). São apresentados aspectos do software e exemplos de uso 
como também características da construção do software. 
O presente texto se encerra com as Considerações Finais, nas quais são 
apresentados pontos conclusivos destacados, seguidos da estimulação à 
continuidade dos estudos e das reflexões sobre a Computação Gráfica e das 
aplicações realizadas. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 3 
 
 
 
Capítulo 1. Princípios de Computação Gráfica 
 
Computação Gráfica é definida, comumente, como o ―conjunto de métodos 
e técnicas para transformar dados em imagens através de um dispositivo gráfico‖ 
(Gomes & Velho, 2003). Nesse sentido, temos o problema fundamental da área e 
desse projeto que é a transformação de dados em imagens. 
Em matemática aplicada, a solução de um problema está diretamente 
relacionada com os diversos modelos matemáticos utilizados na sua 
compreensão. Desse modo, a linha divisória entre problemas resolvidos e 
problemas em aberto é bem difusa do que ocorre no caso da matemática pura. 
Nessa última, soluções diferentes de um mesmo problema não trazem, em geral, 
grandes inovações do ponto de vista do avanço cientifico. Na matemática 
aplicada, soluções diferentes de um mesmo problema em geral são 
conseqüências do uso de novos modelos, e trazem informações extremamente 
úteis nas diversas aplicações práticas. 
O objetivo, desse capitulo, é o de conceituar aspectos da Computação 
Gráfica, particularmente, de sua geometria. Tais, conceituações serão aplicadas 
nos capítulos posteriores para a resolução de um problema na Educação 
Matemática e de outro problema na Engenharia Civil. As aplicações em áreas tão 
distintas justificam o fato de que a Computação Gráfica possui aplicações em 
todas as grandes áreas do conhecimento. 
Esse capítulo é baseado nos trabalhos de (Gomes & Velho, 2003), 
(Manssour & Cohen, 2006) e (Battaiola & Erthal, 1998). 
 
 
 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
4 
1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A 
COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
Seja qual for a área do conhecimento em que a Computação Gráfica esteja 
sendo aplicada, ela irá explorar uma das três características: 
 A Computação Gráfica permite visualizar objetos que ainda se 
encontram em fase de projeto; 
 A Computação Gráfica permite visualizar objetos que estão 
fora do alcance de nossa percepção visual; 
 A Computação Gráfica permite visualizar objetos que fogem 
de nossa realidade tridimensional. 
Sendo assim, a Computação Gráfica abrange o conjunto de métodos e 
técnicas de diversas áreas: modelagem, visualização, processamento de 
imagens, visão computacional e animação. 
1.1.1. MODELAGEM 
A modelagem geométrica trata do problema de descrever e estruturar 
dados geométricos no computador. 
O principal problema da Computação Gráfica é o de transformar dados em 
imagens. De modo intuitivo, podemos pensar nos dados como sendo objetos 
geométricos que representam modelos de objetos do mundo físico. Trabalhar com 
o modelo geométrico adequado é importante na colocação e resolução do 
problema tanto do ponto de vista teórico quanto do das implementações 
computacionais. 
1.1.2. VISUALIZAÇÃO 
A área de visualização também é conhecida como Síntese de Imagens. As 
técnicas dessa área utilizam dados gerados por um sistema de modelagem 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
5 
geométrica e o produto final é uma imagem que pode ser exibida mediante o uso 
de algum dispositivo de saída gráfica (monitor, impressora, etc.). 
1.1.3. PROCESSAMENTO DE IMAGENS 
No Processamento de Imagens o sistema admite como entrada uma 
imagem que, após processada, produz outra imagem na saída. 
1.1.4. VISÃO COMPUTACIONAL 
A área de Visão Computacional é também conhecida pelo nome de Análise 
de Imagens. Essa área tem por finalidade obter, a partir de uma ou várias 
imagens (entrada), informações geométricas, topológicas ou físicas sobreos 
dados que a originaram. 
1.1.5. ANIMAÇÃO 
O problema de visualizar o movimento de objetos é conhecido como 
Animação ou Visualização de Movimento. Esse problema surge quando 
introduzimos o fator tempo, isto é, os dados variam com o tempo e além do 
problema de modelar a geometria e a topologia dos dados, temos que fazer 
também a modelagem do movimento que consiste em descrever o movimento 
dos objetos. 
O resultado de uma animação é uma seqüência de imagens (frames), que 
é chamada genericamente por vídeo. 
1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO 
Em matemática aplicada necessitamos modelar os diversos objetos em 
estudo. Para se obter uma conceituação correta devemos criar uma hierarquia de 
abstrações, e para cada nível de abstração aplicamos o modelo matemático mais 
adequado. 
Em Computação Gráfica não é diferente. Um paradigma de abstração que 
se aplica em geral consiste em estabelecer quatro universos: o universo físico F, 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
6 
o universo matemático M, o universo de representação R e, o universo de 
implementação I. 
 
Figura 1: Paradigma dos quatro universos 
O universo físico contém os objetos do mundo real que pretendemos 
estudar; o universo matemático contém uma descrição abstrata dos objetos do 
mundo físico; o universo da representação é constituído por descrições simbólicas 
e finitas associadas a objetos do universo matemático; e no universo da 
implementação associamos as descrições do universo da representação às 
estruturas de dados, com a finalidade de obter uma representação do objeto no 
computador. 
O paradigma de abstração descrito é conhecido como paradigma dos 
quatro universos (Figura 1). Ele se baseia no fato de que para estudar um 
determinado fenômeno ou objeto do mundo real no computador, associamos ao 
mesmo um modelo matemático, em seguida procuramos uma representação finita 
desse modelo que seja passível de uma implementação computacional. 
O paradigma dos quatros universos será o paradigma adotado nesse 
trabalho. 
 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
7 
1.3. GEOMETRIA 
Para entendermos adequadamente a geometria adotada na Computação 
Gráfica primeiro devemos compreender corretamente o que é uma geometria. 
Segundo Gomes e Velho (Gomes & Velho, 2003), podemos dividir a geometria 
em três metodologias: o método axiomático, o método de coordenadas e o 
método de grupos de transformação. 
Nas seções subseqüentes, serão apresentados aspectos metodológicos da 
geometria, o papel das transformações na Computação Gráfica, uma breve 
introdução a Geometria Euclidiana, a Geometria Afim, a Geometria Projetiva e a 
Geometria da Computação Gráfica. 
Para simplificar as definições, usaremos a seguinte notação utilizada por 
Gomes e Velho (Gomes & Velho, 2003): Escalares: x, y, z, ...; Pontos: x, y, z, ...; 
Vetores: 𝒙 ,𝒚 , 𝒛 ,…. 
1.3.1. METODOLOGIAS PARA DIVIDIR A GEOMETRIA 
Nas subseções posteriores, serão feitas algumas 
considerações, de forma sucinta, sobre as metodologias para divisão da 
geometria e se baseiam no texto de (Gomes & Velho, 2003). 
1.3.1.1. O MÉTODO AXIOMÁTICO 
Nesse método definimos o espaço (conjunto dos pontos da geometria), os 
objetos da geometria (retas, planos, etc.) e um conjunto de propriedades básicas 
que devem ser satisfeitas pelos objetos. Essas propriedades são chamadas 
axiomas. A partir daí deduzimos as outras propriedades da geometria na forma de 
teoremas. Esse método foi introduzido pelo matemático grego Euclides para 
definir o que conhecemos hoje como Geometria Euclidiana. 
O método axiomático tem um grande poder de síntese, ao resumir em um 
conjunto de axiomas propriedades comuns a um grande número de espaços e 
objetos distintos. Do ponto de vista computacional, método axiomático é muito 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
8 
interessante para se buscar demonstração automática de teoremas, entretanto 
esse método tem a desvantagem de não determinar uma representação da 
geometria no computador. 
1.3.1.2. O MÉTODO DE COORDENADAS 
O método de coordenadas, também conhecido como Geometria Analítica, 
foi introduzido pelo matemático e filosofo francês René Descartes. Esse método 
consiste em definir um sistema de coordenadas no espaço da geometria de modo 
que as propriedades da geometria (axiomas e teoremas) são traduzidas em 
equações matemáticas. 
Um sistema de coordenadas é algo que traz muita redundância, com efeito, 
as coordenadas (x, y, z) de um ponto P ∈ ℝ3 indicam a distância de P aos três 
planos coordenados. Desse modo, os conceitos de Geometria Analítica não são 
intrínsecos ao objeto geométrico: sempre que definimos algo usando um sistema 
de coordenadas, precisamos mostrar que conceito independe do sistema de 
coordenadas utilizado. Entretanto o método é adequado para o uso de técnicas 
computacionais mediante a correta representação do sistema de coordenadas: 
 
Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas 
Note, no entanto que os objetos passam a depender do sistema de 
coordenadas utilizado na representação (Figura 2). Isso dificulta o 
desenvolvimento de métodos automáticos para verificação semântica das 
propriedades da geometria. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
9 
1.3.1.3. O MÉTODO DE GRUPOS DE TRANSFORMAÇÃO 
O método de grupos de transformação (Figura 3) foi introduzido pelo 
matemático alemão Felix Klein. Nesse método, uma geometria consiste de um 
espaço 𝑆 (os pontos da geometria), e um grupo 𝐺 de transformações desse 
espaço. Ou seja, cada elemento 𝑇 ∈ 𝐺 é uma transformação 𝑇: 𝑆 → 𝑆 do espaço, 
e além disso (por ser um grupo) 𝐺 satisfaz as seguintes propriedades: 
a. Associatividade: Dados 𝑔,𝑕, 𝑙 ∈ 𝐺, 𝑔𝑕 𝑙 = 𝑔 𝑕𝑙 ; 
b. Elemento neutro: Existe 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑒 = 𝑒𝑔 = 𝑔 para todo 𝑔 ∈ 𝐺; 
c. Elemento inverso: Para todo 𝑔 ∈ 𝐺, existe 𝑔−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑔−1 =
 𝑔−1𝑔 = 𝑒. 
Nesse contexto, vamos introduzir algumas definições simples. Um objeto 
geométrico é um subconjunto de S. Uma propriedade geométrica é uma 
propriedade de uma figura geométrica que é invariante pela ação de G, ou seja, 
se um objeto geométrico O goza da propriedade P e g ∈ G, então g(O) também 
goza da propriedade P. Dois objetos geométricos O1 e O2 são ditos congruentes 
se existir um elemento g ∈ G tal que g O1 = O2. 
Um fato interessante dessa abordagem é que ela permite relacionar 
diferentes geometrias num mesmo espaço mediante o estudo da relação entre 
grupos. É claro que não existem axiomas e sim teoremas nesse método. 
Do ponto de vista computacional devemos buscar uma representação do 
espaço S e do grupo G de modo a implementar modelos da geometria:
 
Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
10 
Além disso, em Computação Gráfica as transformações estão associadas 
ao movimento de objetos do espaço. A abordagem por grupo de transformações 
será a base para a construção da geometria adequada para a Computação 
Gráfica. 
1.3.2. TRANSFORMAÇÕES E A COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
O uso de transformações em geometria está relacionado com dois 
aspectos de grande importância em Computação Gráfica: 
a. Mudança de coordenadas – Os sistemas de coordenadas são 
utilizados para se obter a correta formulação analítica de um 
determinado problema. Através de um sistema de coordenadas 
podemos calcular posições, velocidades e outras grandezas 
associadas aos objetos do mundo físico. A mudança de 
coordenadas entre dois sistemas é feita por uma transformação doespaço. 
b. Deformação de objetos no espaço – Existem duas classes de 
deformação de objetos: deformações rígidas e deformações não- 
rígidas. As deformações rígidas mudam a posição dos objetos no 
espaço sem, no entanto, alterar suas relações métricas. Essas 
deformações são chamadas de isometrias ou movimentos rígidos. 
As deformações não-rígidas alteram as relações métricas dos 
objetos. 
1.3.3. GEOMETRIA EUCLIDIANA 
Antes de definirmos a geometria euclidiana utilizando grupo de 
transformações vamos rever alguns conceitos da álgebra linear. Considere o 
espaço ℝ𝑛 = 𝑥1,… , 𝑥𝑛 ; 𝑥𝑖𝜖ℝ e, definamos sobre esse espaço duas operações: 
 a soma: 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 + 𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛 = 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2,… , 𝑥𝑛 +
 𝑦𝑛 e; 
 o produto: 𝜆 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2,… , 𝜆𝑥𝑛 . 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
11 
1.3.3.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
As transformações que preservam a estrutura linear do ℝn são chamadas 
de transformações lineares. Dessa forma, uma transformação linear é 
caracterizada pelas propriedades: L: ℝn → ℝn 
L u + v = L u + L(v) 
e 
L λu = λL(u) 
para todo u, v ϵ ℝn , e λϵℝn . Portanto as transformações lineares preservam os 
subespaços do espaço ℝn , que definem por sua vez os elementos básicos da 
geometria (retas, planos etc.). As transformações lineares invertíveis de ℝn 
formam um grupo, que será indicado por GL(n), chamado de grupo especial linear 
de ordem n. 
Para uso computacional devemos buscar uma representação adequada 
das transformações lineares. Os n elementos 
e1 = 1, 0,0,… , 0 ; 
e2 = 0, 1,0,… , 0 ; 
⋮ 
en = 0, 0,0,… , 1 
constituem uma base de Rn . Se L: ℝn → ℝn é linear definimos os n vetores 
a1, a2,… , an , por 
a1 = L e1 = a11 , a21 , a31 ,… , an1 ; 
a2 = L e2 = a12 , a22 , a32 ,… , an2 ; 
⋮ 
an = L en = a1n , a2n , a3n ,… , ann . 
Construímos agora uma matriz Le cujas colunas são, nessa ordem, os 
vetores a1, a2,… , an : 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
12 
Le = 
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
an1 ⋯ ann
 
Um cálculo imediato mostra que se x = x1,… , xn então L x = Le ∙ x, 
onde no lado direito temos o produto de matrizes. Estabelecemos assim uma 
correspondência que associa a cada transformação linear L uma matriz Le de 
modo que o valor da transformação num vetor pode ser obtido multiplicando a 
matriz por esse vetor. Reciprocamente, se A é uma matriz de ordem n, definimos 
uma transformação L:ℝn → ℝn pondo 
L x = A ∙ x = 
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
an1 ⋯ ann
 
x1
⋮
xn
 
Temos assim uma correspondência biunívoca entre os espaço das 
transformações lineares do espaço euclidiano n-dimensional e o conjunto das 
matrizes de ordem n. Essa correspondência é uma importante uma vez que ela 
preserva as operações nos dois espaços, isto é: 
 TοL x = T L x = TeLe ∙ x; 
 T + L x = T x + L x = (Te + Le) ∙ x. 
Do ponto de vista computacional, a implementação de um sistema para 
manipular transformações lineares se traduz na implementação de um sistema de 
efetuar operações com matrizes. Em particular, o grupo GL(n) das transformações 
lineares invertíveis corresponde ao grupo das matrizes de ordem n que são 
invertíveis. 
1.3.3.2. TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS, ISOMETRIAS E 
GRUPO EUCLIDIANO 
Para medir as distâncias em ℝn devemos definir uma métrica, para isso 
introduzimos o produto interno u, v = uivi
n
i=1 , onde u = (u1,… , un) e v =
(v1,… , vn). Usando o produto interno , obtemos as noções de comprimento de 
um vetor, e de ângulo entre dois vetores: 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
13 
O comprimento ou norma de um vetor u é dado por u = u, u . 
O ângulo θ entre dois vetores não nulos u e v é definido por cos θ = 
 u,v 
 u v 
. 
Geometricamente, o produto interno é a medida da projeção do vetor x 
sobre o y ponderada pelo comprimento de y (Figura 4a). 
 
 
 
 
Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b). 
A partir da norma de um vetor, definimos a distancia d(x, y) entre os pontos 
x e y do espaço ℝn , pondo d x, y = x − y . Ou seja, a distância de x a y é a 
norma do vetor que liga o ponto x ao ponto y (Figura 4b). 
Uma transformação T:ℝn → ℝn que preserva o produto interno, isto é 
 T u , T(v) = u, v , é dita ser uma transformação ortogonal. Uma transformação 
ortogonal preserva a norma do espaço e, portanto preserva também à distância, 
sendo, pois uma isometria. As isometrias modificam a posição de pontos e 
objetos do espaço, entretanto mantém as relações métricas. 
Dois objetos 𝑂1 e 𝑂2 do espaço são ditos congruentes, se existe uma 
isometria 𝑇:ℝ𝑛 → ℝ tal que 𝑇𝑂1 = 𝑂2. Portanto, a relação de congruência é 
determinada pelas isometrias do espaço. A congruência é o conceito básico da 
geometria Euclidiana: as propriedades da geometria Euclidiana são as que se 
referem à preservação de congruência. Em outras palavras, o grupo de 
transformações 𝐸(𝑛) da geometria euclidiana, no sentido de Felix Klein, é o grupo 
de isometrias do espaço ℝ𝑛 . 
Da Álgebra Linear sabemos que uma transformação 𝑇:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 , não 
necessariamente linear, é uma isometria se, e somente se, 𝑇 𝑢 = 𝐿 𝑢 + 𝑣0, 
onde 𝐿 é uma transformação linear ortogonal e 𝑣0 é um vetor fixo. 
x 
y θ 
x-y 
y 
x 
(a) (b) 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
14 
Geometricamente, a isometria é composta de uma transformação linear ortogonal 
seguida de uma translação. 
Temos assim, uma caracterização simples das isometrias do espaço 
Euclidiano. Todavia, devemos ressaltar que a translação não é uma 
transformação linear, portanto não preserva as operações do espaço e nem faz 
parte da álgebra de transformações do espaço Euclidiano. 
1.3.4. GEOMETRIA AFIM 
A geometria Euclidiana apresenta vários inconvenientes para ser utilizada 
em Computação Gráfica. Dentre os quais podemos citar dois: 
 O grupo das transformações da geometria não tem uma álgebra 
natural associada, uma vez que a translação não é linear; 
 No espaço Euclidiano não há uma distinção clara entre ponto e um 
vetor. 
Como resolver a confusão entre ponto e vetor do espaço euclidiano? A 
solução é trabalharmos com duas cópias de ℝ𝑛 onde uma delas representa 
pontos e a outra vetores. O objetivo é responder as seguintes perguntas: 
 Que operações são possíveis nesse espaço (ponto-ponto, ponto-
vetor e vetor-ponto)? 
 Quais as transformações do espaço? 
Sendo assim, definimos o espaço afim como sendo um par (𝒫,𝒱) onde 𝓟 é 
o espaço de pontos, e 𝓥 o espaço de vetores. O caso mais interessante é quando 
𝒫 = 𝓥 = ℝ𝑛 e, portanto, daremos mais atenção a esse caso. 
Como 𝓥 é um espaço vetorial, ele admite a operação de combinação linear 
de vetores, 𝑎𝑖𝒖𝒊 
𝑛
𝑖=1 ,𝑎𝑖𝜖ℝ. 
Temos também as transformações lineares entre vetores, 𝑇 𝑎𝑖𝒖𝒊 
𝑛
𝑖=1 =
 𝑎𝑖𝑇(𝒖𝒊 ) 
𝑛
𝑖=1 . 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
15 
Definimos a operação de soma (Figura 5a) de um ponto p com um vetor 𝒖 , 
𝒑+ 𝒖 = 𝒒 ∈ 𝓟, cujo resultado é um ponto q. A operação anterior motiva a definir 
uma operação de subtração de pontos como 𝒒 − 𝒑 = 𝒗 ⇔ 𝒒 = 𝒑+ 𝒗 . 
Podemos generalizar a operação anterior como uma combinação linear 
arbitrária de pontos 𝑎𝑖𝒑𝒊
𝑛
𝑖=1 ∈ 𝒱 ⇔ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1 = 0. 
 
 
 
 
 
Observe que a operação descrita é semelhante à operação de diferença 
Deve-se observar que a operação de subtração descrita é semelhante à 
subtração entre dois pontos (ou vetores?)que foi feita no espaço Euclidiano 
(Figura 4b). Entretanto a operação no ℝ𝑛 não tem uma semântica clara. Em 
particular a figura está errada uma vez que os vetores do espaço Euclidiano são 
ponto e x – y deveria estar ―localizado‖ na origem. Vemos que a Geometria Afim 
introduz de modo formal o conceito de vetor livre da Física, que pode ser 
localizado em qualquer ponto. 
Definimos uma operação de interpolação (Figura 5b) de pontos 
𝒒 = 1− 𝑎 𝒒𝟏 + 𝑎𝒒𝟐 = 𝒒𝟏 + 𝑎 𝒒𝟐 − 𝒒𝟏 ,𝑎 ∈ 0, 1 
, 
ou ainda, 
𝒒 = 𝑎1𝒒𝟏 + 𝑎2𝒒𝟐, com 𝑎1,𝑎2𝜖 0, 1 , 𝑎1 + 𝑎2 = 1. 
A última forma de escrever a operação permite a sua generalização: 
 𝑎𝑖𝒒𝒊
𝑛
𝑖=1 ∈ 𝓟 ⇔ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1 = 1. 
𝒖 
𝒑 
𝒒 
𝑎1 + 𝑎2 = 1 
𝑎1 
𝑎2 
𝒒𝟏 
𝒒 
𝒒𝟐 
( a ) ( b ) 
Figura 5: Soma de ponto com vetor (a); combinação afim de pontos (b). 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
16 
Essa soma é chamada de combinação afim de pontos. 
A equação de uma reta nos motiva a definir um invariante importante da 
geometria afim. Com efeito, a equação paramétrica de uma reta 𝑟 que passa 
pelos pontos 𝒂 e b é um conceito afim. De fato, ela é dada por 𝒓 𝑡 = 𝒂+
𝑡 𝒃 − 𝒂 = 1− 𝑡 𝒂+ 𝒃, 𝑡𝜖ℝ. Sendo assim, considere 𝒒,𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 pertencem a 
uma reta r a razão afim é definida por 
 
𝑞 − 𝑞1
𝑞 − 𝑞2
 =
𝑎2
𝑎1
 
Em outras palavras, se um ponto 𝑞 divide um segmento 𝑞1𝑞2 segmento na 
razão 𝑏2: 𝑏1, então 
𝑞 =
𝑏1𝑞1 + 𝑏2𝑞2
𝑏1 + 𝑏2
, 𝑏1 + 𝑏2 ≠ 0. 
Resumidamente a semântica das operações da geometria afim é: 
Vetores podem ser combinados (combinação linear); 
Pontos podem ser combinados em duas situações apenas: quando a soma 
dos coeficientes é 1 ou 0. No primeiro caso o resultado é um ponto, e no segundo 
caso o resultado é um vetor. 
1.3.4.1. TRANSFORMAÇÕES AFINS 
Uma transformação 𝑇:𝒜1 → 𝒜2 entre dois espaços afins, 𝒜1 = (𝒫1,𝒱1) e 
𝒜2 = (𝒫2,𝒱2), é chamada de transformação afim se, e somente se, 
1. 𝑇 preserva vetores, e além disso a restrição 𝑇|𝒱:𝒱 → 𝒱 é uma 
transformação linear; 
2. 𝑇 preserva pontos, e além disso 𝑇 𝒑+ 𝒗 = 𝑇 𝒑 + 𝑇(𝒗 ). 
A segunda propriedade pode ser generalizada: 𝑇 preserva combinação 
afim de pontos, isto é 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
17 
 𝑎𝑖 = 1 ⇒ 𝑇(
𝑛
𝑖=1
 𝑎𝑖𝒑𝒊
𝑛
𝑖=1
) = 𝑎𝑖𝑇(𝒑𝒊
𝑛
𝑖=1
). 
As transformações rígidas, que constituem o grupo de transformações da 
geometria Euclidiana, são transformações afins. 
1.3.4.2. COORDENADAS AFINS 
Seja 𝒜 um espaço afim de dimensão n, o um ponto do espaço, e 
{v 1, v 2,… , v n} uma base de 𝒜. A lista F = {o, v 1, v 2,… , v n} é um referencial de 𝒜. 
Um referencial define um sistema de coordenadas do espaço afim. Ou 
seja, considere um ponto p = o + v ϵ 𝒜. 
Como os vetores v i formam uma base de 𝒜, podemos escrever 
v = c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn 
e, portanto o ponto p pode ser escrito, de modo único, na forma 
p = o + c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn 
Os n + 1 escalares 1, c1, c2,… , cn representam as coordenadas do ponto p 
no referencial. Essas coordenadas são indicadas pela lista (c1, c2,… , cn , 1), com o 
elemento 1 no final. Geometricamente, a representação afim do ℝn é obtida 
colocando uma cópia de ℝn no hiperplano zn+1 = 1 do espaço ℝ
n+1 (Figura 6). 
Isso tira o privilégio gozado pela origem do ℝn que causa toda a confusão entre 
ponto e vetor. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
18 
 
 
1.3.4.3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL 
Como na Geometria Euclidiana, uma transformação afim pode ser 
representada matricialmente. 
Considere os dois referenciais 𝐹 = {𝒖 𝟏,𝒖 𝟐,… ,𝒖 𝒏,𝒐} e 𝐺 = {𝒗 𝟏,𝒗 𝟐,… ,𝒗 𝒏,𝒐′} 
,um ponto 𝒙 = 𝑥1𝒖𝟏 + 𝑥2𝒖𝟐 +⋯+ 𝑥𝑛𝒖𝒏 + 𝒐 no espaço afim ℝ
𝑛 . Seja 𝑇 uma 
transformação linear e suponhamos que 
𝑇 𝒖𝒋 = 𝑎𝑖𝑗𝒗𝑖
𝑛
𝑖=1
 e T(𝐨) = 𝑎𝑖𝑛+1𝒗𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Um cálculo imediato permite escrever o valor de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺: 
𝒙 = 𝑥𝑗𝒖 𝒋
𝑛
𝑗=1
+ 𝒐 ⇒ 𝑇 𝒙 = 𝑥𝑗𝑇(𝒖 𝒋)
𝑛
𝑗=1
+ 𝑇 𝒐 = 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑎𝑖𝑛+1
𝑛
𝑗=1
 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Ou seja, as coordenadas de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺 são dadas pelo produto 
de matrizes 
Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano 
1 
ℝ𝑛 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
19 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎1𝑛+1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑎2𝑛+1
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛𝑛+1
0 0 … 0 1 
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
1 
 
 
. 
Portanto, em termos matriciais, o grupo de transformações da Geometria 
Afim é constituído pelas matrizes de ordem 𝑛 + 1 que sejam invertíveis. 
1.3.4.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA GEOMETRIA AFIM 
Teorema: Uma transformação afim fica completamente determinada por 
seus valores numa base afim. Mais precisamente, se (𝑢0, 𝑢1,… ,𝑢𝑛) e 
(𝑣0, 𝑣1 ,… , 𝑣𝑛) são bases afins, se existe uma única transformação afim 𝐿 tal que 
𝐿 𝑢𝑖 = (𝑣𝑖), 𝑖 = 0, 1,… , 𝑛. 
1.3.5. GEOMETRIA PROJETIVA 
A Geometria Afim seria uma boa escolha para a Geometria da Computação 
Gráfica, pois as transformações afins incluem os movimentos rígidos da 
Geometria Euclidiana, e, além disso, são representadas por matrizes, que 
admitem uma estrutura computacional simples. No entanto, essa geometria 
possui alguns inconvenientes quando realizamos transformações de visualização. 
As transformações de visualização estão presentes em uma das etapas do 
processo de visualização de dados em Computação Gráfica. 
Considere a Figura 7a que representa a fotografia de uma vista área 
(ortogonal) de uma estrada retilínea em um terreno idealmente plano. A Figura 7b 
que representa uma fotografia da mesma estrada obtida a partir de um 
determinado ponto de vista próximo à estrada. 
 
 
 
 
( a ) 
P 
( b ) 
Figura 7: Fotografia de uma estrada 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
20 
 
 
Geometricamente, a imagem da Figura 7b corresponde a uma 
transformação dos objetos geométricos na Figura 7a. A transformação do 
processo fotográfico preserva os diversos objetos em cena, no entanto, ela não é 
uma transformação afim uma vez que as retas paralelas que delimitam a estrada 
não são paralelas na imagem fotográfica. Isso mostra uma deficiência em se 
utilizar a Geometria Afim para a Geometria da Computação Gráfica. A solução 
para incluir a transformação de visualização, utilizada no processo de fotografia, 
no grupo de transformações nos leva a Geometria Projetiva. 
As subseções subseqüentes buscam caracterizar a geometria projetiva, 
mas não exauri-la, uma vez que a Geometria Projetiva, como as demais, é um 
campo bastante extenso. Tais subseções baseiam-se no trabalho de Jonas 
Gomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003). 
1.3.5.1. O ESPAÇO PROJETIVO 
Utilizaremos o conceito de visualização para motivar a definição do espaço 
projetivo. 
Do ponto de vista matemático, essa transformação é definida por uma 
projeção cônica. Considere o ponto 𝑂 do espaço euclidiano ℝ𝑛+1 e um hiperplano 
∏ ⊂ ℝ𝑛+1 tal que 𝑂 ∉ ∏ (Figura 8). A projeção cônica de um ponto 𝑃 ∈ ℝ3 ,𝑃 ≠ 𝑂 
no plano ∏ é o ponto 𝑃′ onde a reta 𝑟 que passa por 𝑂 e 𝑃 intersecta o plano ∏. 
 
 
 
 
 
𝑃′ 
𝑄′ 𝑂 
𝑄 
𝑃 ∏ 
Figura 8: Projeção cônica 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
21 
 
 
Note que todos os pontos da reta 𝑟 definida por 𝑂 e 𝑃, com exceção do 
próprio ponto𝑂, são projetados no mesmo ponto 𝑃′. Isso significa que com 
relação à projeção cônica, todos os pontos da reta 𝑟 são iguais. Esse fato natural 
considera a reta 𝑟, excluindo o ponto 𝑂, como sendo um ponto projetivo. Tomando 
o ponto 𝑂 como sendo a origem de ℝ𝑛+1, definimos como o espaço projetivo de 
dimensão 𝑛 o conjunto das retas passando pela origem de ℝ𝑛+1 (eliminando-se a 
origem). Desejamos que a Geometria Projetiva seja uma extensão natural da 
Geometria Afim pois a mesma possui diversas propriedades úteis a Computação 
Gráfica. Indicamos esse espaço projetivo 𝑛-dimensional por ℝℙ𝑛 . É comum 
representar o ponto (𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) desse espaço como (𝒙, 𝑥𝑛+1),𝒙 ∈ ℝ
𝑛 . 
Generalizando nosso modelo: os subespaços projetivos de dimensão 𝑚 em 
ℝℙ𝑛 , 𝑚 < 𝑛 são subespaços de dimensão 𝑚 + 1 em ℝ𝑛+1. Em particular, as retas 
projetivas são subespaços bidimensionais, ou seja, planos que passam pela 
origem. 
A correspondência natural de pontos do espaço afim com pontos do 
espaço projetivo determina uma partição dos pontos de ℝℙ𝑛 em dois conjuntos 
ℝℙ𝑛 = 𝒙, 1 ∪ 𝒙, 0 ,𝒙 ≠ 0. 
Os pontos da forma (𝒙, 1) são os pontos do plano euclidiano 𝑧 = 1. 
Eles são chamados de pontos afins do plano projetivo (Figura 9). Os 
pontos do tipo (𝒙, 0) são chamados de pontos ideais ou pontos do infinito. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
22 
 
 
1.3.5.2. COORDENADAS HOMOGÊNEAS 
Com base no nosso modelo de ℝℙ𝑛 no qual cada ponto é uma reta em 
ℝ𝑛+1 − {0} passando pela origem podemos definir as coordenadas projetivas. 
Dado um ponto 𝒑 ∈ ℝℙ𝑛 , tomamos o ponto 𝒑′ ∈ ℝ𝑛+1 na reta 𝑟 que representa o 
ponto 𝒑. Se 𝒑′ = (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1), então tomamos as coordenadas euclidianas 
(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) como sendo as coordenadas projetivas do ponto 𝒑. Ocorre que 
se 𝜆 ∈ ℝ é um número não nulo, 𝜆𝒑′ representa o mesmo ponto projetivo 𝒑. Desse 
modo, 𝜆(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) também representam coordenadas de 𝒑. Ou seja, as 
coordenadas projetivas de um ponto são determinadas a menos de uma 
multiplicação por um escalar não nulo, e por isso são chamadas de coordenadas 
homogêneas. 
Os hiperplanos projetivos de ℝℙ𝑛 são definidos pela equação linear 
homogênea 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 = 0. 
Do ponto de vista do modelo proposto do espaço projetivo, um hiperplano é 
um subespaço 𝑛-dimensional de ℝ𝑛+1, ou seja, um hiperplano de ℝ𝑛+1 que 
passam pela origem. No caso do plano projetivo, 𝑛 = 2, o hiperplano de ℝ3, dado 
pela equação 
1 
ℝ𝑛 
𝑃 
𝑃′ 
Figura 9: Plano Projetivo 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
23 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 = 0. 
1.3.5.3. TRANSFORMAÇÕES PROJETIVAS 
Uma transformação projetiva 𝑇: ℝℙ𝑛 → ℝℙ𝑛 deve transformar pontos do 
espaço projetivo, portanto do ponto de vista euclidiano, 𝑇 deve transformar uma 
reta pela origem de ℝ𝑛+1 noutra reta que também passa pela origem. Sendo 
assim, concluímos que 𝑇 deve ser uma transformação linear invertível 𝑇: ℝ𝑛+1 →
ℝ𝑛+1, do espaço euclidiano ℝ𝑛+1. 
Daí decorre que uma transformação projetiva ℝℙ𝑛 preserva os elementos 
lineares do espaço projetivo e, além disso, é representada por uma matriz (de 
ordem 𝑛 + 1). 
Observe que se 𝑇: ℝℙ𝑛 → ℝℙ𝑛 é uma transformação projetiva e 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠
0, então usando a linearidade de 𝑇 temos 𝜆𝑇 𝑃 = 𝑇 𝜆𝑃 = 𝑇(𝑃). Ou seja, uma 
transformação projetiva fica definida de forma a menos de um produto por um 
escalar não nulo. 
1.3.5.4. ANATOMIA DE UMA TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA 
PLANA 
O objetivo dessa seção é de fornecer e compreender a anatomia dessa 
transformação. 
Uma transformação projetiva T: ℝℙ2 → ℝℙ2 do plano projetivo é dada por 
uma transformação linear invertível T: ℝ3 → ℝ3. Portanto ele é representado por 
uma matriz M de ordem 3 invertível. A importância do estudo da anatomia, isto é, 
de sua compreensão se evidência nas aplicações realizadas no capítulo 3 e 5. 
Essa seção está baseada no capítulo de Geometria do livro Introdução à 
Computação Gráfica de Jonas Gomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003). 
Para isso, considere a matriz M da transformação abaixo dividida em 4 
blocos, 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
24 
𝑀 = 
a c | t1
b d | t2
− − | −
p1 p2 | s
 = 
A T
P S
 , 
onde 
 
A = 
a c
b d
 , P = p1 p2 , T = 
t1
t2
 e S = s . 
Suponha que 
P = 0 0 T = 
0
0
 , e S = 1 . 
Ou seja, a matriz da transformação é dada por 
 
𝑎 𝑐 0
𝑏 𝑑 0
0 0 1
 . 
Nesse caso, aplicando a transformação a um ponto do infinito (𝑥, 𝑦, 0), 
temos 
 
𝑎 𝑐 0
𝑏 𝑑 0
0 0 1
 
𝑥
𝑦
0
 = 
𝑎𝑥 + 𝑐𝑦
𝑏𝑥 + 𝑑𝑦
0
 . 
Portanto o ponto resultante também é um ponto do infinito (dizemos que a 
transformação deixa a reta do infinito invariante). 
Por outro lado, se (𝑥,𝑦, 1) é um ponto afim do plano projetivo, a sua 
imagem pela transformação é dada por 
 
𝑎 𝑐 0
𝑏 𝑑 0
0 0 1
 
𝑥
𝑦
1
 = 
𝑎𝑥 + 𝑐𝑦
𝑏𝑥 + 𝑑𝑦
1
 . 
Isso mostra que o ponto resultante também é um ponto afim. Ou seja, o 
plano projetivo também é deixado invariante pela transformação. Além disso, nos 
dois casos acima as coordenadas afins do ponto transformado são dados por 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
25 
 
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
 
𝑥
𝑦 = 
𝑎𝑥 + 𝑐𝑦
𝑏𝑥 + 𝑑𝑦
 . 
Os resultados acima mostram que a transformação projetiva é 
simplesmente uma transformação linear do plano euclidiano cuja matriz é o bloco 
𝐴. Portanto o grupo das transformações projetivas do plano contém, de modo 
natural, o grupo das transformações lineares do plano euclidiano (e em particular 
o grupo dos movimentos rígidos da Geometria Euclidiana Plana). 
É fato de que o grupo das transformações projetivas contém o grupo das 
transformações lineares do plano euclidiano. Com efeito, sabemos que a matriz 
 
𝑎 𝑐 t1
𝑏 𝑑 t2
0 0 1
 
representa uma transformação linear do plano seguida de uma translação (ver 
seção de Geometria Afim). Para ver isso, considere as matrizes a seguir: 
A = 
1 0
0 1
 , P = 0 0 , e S = 1 . 
Obtemos então 
M x, y, 1 = 
1 0 t1
0 1 t2
0 0 1
 
x
y
1
 = 
x + t1
y + t2
1
 . 
Portanto a ação da transformação no plano afim é a translação pelo vetor 
(t1, t2). 
O efeito do elemento 𝑠, que constitui o bloco 𝑆 da matriz, corresponde a 
uma homotetia2 do plano afim de fator 1 𝑠 , 𝑠 ≠ 0. De fato, 
 
2
 Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a 
um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a 
aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que: OP′ = k . OP . 
 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
26 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 s
 
x
y
1
 = 
x
y
s
 = 
x s 
y s 
1
 . 
Dos casos estudados, podemos concluir que o grupo das transformações 
projetivas contém o grupo das transformações afins (e, portanto os movimentos 
rígidos da geometria Euclidiana). 
Analisemos agora o bloco 𝑃 da matriz 𝑀 = 
A T
P S
 . Para isso, tomemos o 
bloco 𝐴 como sendo a matriz identidade, o bloco 𝑇 nulo e 𝑠 = 1. Aplicando a 
transformação em um ponto afim com coordenadas (𝑥,𝑦, 1), obtemos 
 
1 0 0
0 1 0
p1 p2 1
 
x
y
1
 = 
x
y
p1x + p2y + 1
 . 
Se 𝑝1 ≠ 0 ou 𝑝2 ≠ 0, a equação p1x + p2y + 1 = 0 possui uma infinidade de 
soluções. Isso mostra que pontos 𝑥,𝑦, 1 , do plano afim, são transformadosem 
pontos do infinito (𝑥,𝑦, 0) do plano projetivo. 
Por outro lado, aplicando a transformação a um ponto ideal (𝑥, 𝑦, 0), obtém-
se: 
𝑀 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑥, 𝑦, p1x + p2y . 
Tomando na equação acima pontos (𝑥, 𝑦) de modo que 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≠ 0, 
concluímos que pontos do infinito do plano projetivo são transformados em pontos 
do plano afim. 
Geometricamente, se um ponto ideal é transformado em um ponto 𝑃0 do 
plano afim, então a família de retas paralelas, que se intersectam nesse ponto 
ideal, é transformada em uma família de retas incidentes no ponto 𝑃0 (Figura 10). 
O ponto 𝑃0 é chamado de ponto de fuga da transformação. 
 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
27 
 
 
 
Um ponto de fuga correspondendo a uma direção paralela a um dos eixos 
coordenados de ℝ𝑛 é chamado ponto de fuga principal. Como no plano afim 
existem no máximo duas direções ortogonais, podem-se ter transformações 
projetivas com no máximo dois pontos de fuga principais. Cada um desses pontos 
de fuga é a imagem do ponto ideal que corresponde às direções (𝑥, 0,0) e (0,𝑦, 0). 
A existência dos pontos de fuga é controlada pelos elementos 𝑝1 e 𝑝2, na 
matriz 𝑀 da transformação projetiva. Se 𝑝1 ≠ 0 e 𝑝2 = 0, temos apenas um ponto 
de fuga correspondente ao eixo-𝑥; se 𝑝1 = 0 e 𝑝2 ≠ 0, temos apenas um ponto de 
fuga correspondente ao eixo-𝑦; se ambos 𝑝1 e 𝑝2 são não nulos temos dois 
pontos de fuga principais. A Figura 11 mostra uma transformação projetiva de um 
retângulo com dois pontos de fuga. Note que a imagem do retângulo é um 
quadrilátero. Esse tipo de comportamento foi utilizado na aplicação descrita no 
capitulo 5 para criar efeitos de deformação em objetos. 
 
 
Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B). 
𝐷 𝐶 
𝐵 𝐴 
𝐶 
𝐵 
𝐴 
𝐷 
Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real. 
𝑃0 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
28 
Ao definir Geometria Projetiva, utilizamos como motivação a projeção 
cônica de uma fotografia. Nas seções seguintes estaremos retornando essa linha 
de raciocínio para mostrar que as projeções são de fato transformações 
projetivas. 
1.3.5.5. PROJEÇÃO PARALELA 
Dados os planos Π e Π′ do espaço projetivo, e uma reta 𝑟 não paralela a 
nenhum deles, definimos uma projeção paralela 𝑇: Π → Π′ do seguinte modo: 
dado 𝑃 ∈ Π, seja 𝑠 a reta que passa pelo ponto 𝑃 e é paralela à reta 𝑟, então 
𝑇 𝑃 = 𝑠 ∩ Π′ (Figura 12). 
 
 
Quando a reta 𝑠 é ortogonal ao plano Π′, a projeção é chamada de 
projeção ortogonal. Não é difícil mostrar que a projeção paralela é uma 
transformação afim do plano Π no plano Π′. Na realidade, se os planos forem 
paralelos a projeção paralela define uma isometria entre eles. 
1.3.5.6. PROJEÇÃO CÔNICA OU PERSPECTIVA 
Essa projeção que nos motivou ao estudo da Geometria Projetiva. Ela é 
definida do seguinte modo: considere um ponto 𝑂 e dois planos projetivos Π e Π′ 
no espaço projetivo ℝℙ3 (Figura 13). Para todo ponto 𝑃 ∈ Π, a reta projetiva 𝑂𝑃 
intersecta o plano Π′ em um ponto P′. Definimos 𝑇:Π → Π′, pondo T P = P′ 
Figura 12: Projeção paralela. 
Π′ Π 
𝑠 
r 
P′ P 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
29 
conforme ilustrado na Figura 13. O ponto 𝑂 é chamado de centro de projeção. As 
retas 𝑂𝑃 são chamadas de retas de projeção. 
 
 
 
Queremos mostrar que a projeção cônica 𝑇 é uma transformação projetiva. 
Para isso, tomemos uma transformação projetiva 𝐿 do espaço que transforma o 
centro de projeção 𝑂 em um ponto do infinito do espaço projetivo. 
Todas as retas de projeção são transformadas por 𝐿 em retas paralelas. 
Portanto a transformação composta 𝐿𝜊𝑇 da projeção cônica 𝑇 com a 
transformação projetiva 𝐿 é uma projeção paralela 𝑇′ entre os planos 
transformados 𝐿(Π) e 𝐿(Π′). Segue-se daí que a projeção cônica é dada por 
𝑇 = 𝐿−1𝜊𝑇′. Ou seja, ela é a composta de uma projeção paralela, que é afim, com 
a transformação projetiva 𝐿−1, sendo pois uma transformação projetiva. 
As projeções são importantes em Computação Gráfica como modelos de 
transformações devido a transformação da câmera virtual. Como a imagem da 
projeção é o plano Π′, ela pode ser pensada como uma transformação de ℝ3 em 
ℝ2, ou, mais precisamente, de ℝℙ3 em ℝℙ2. Desse ponto de vista, a projeção 
mais genérica possível é uma transformação projetiva 𝑇:ℝℙ3 → ℝℙ2 que, em 
coordenadas homogêneas, é dada por 
Figura 13: Projeção cônica 
Π′ Π 
𝑂 
 
P′ 
P 
𝑄 
𝑄′ 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
30 
 
𝑦1
𝑦2
𝑦3
 = 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
 . 
Temos 11 graus de liberdade para definir uma câmera virtual ou sintética 
usando essa transformação, e diversos tipos de câmeras possíveis. Dentre elas 
podemos citar: câmera de perspectiva (que usa a projeção cônica), câmera de 
furo (―pinhole camera‖), câmera afim (projeção paralela), câmera de perspectiva 
fraca (―weak-perspective‖) e a câmera ortográfica. 
O estudo de câmeras não é o objeto principal desse texto e, portanto, não 
terá ênfase nesse texto, todavia uma prévia será feita na seção 1.4.4. 
1.3.6. A GEOMETRIA DA COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
Nas seções anteriores, definimos alguns conceitos para determinar qual 
seria a geometria mais adequada para a Computação Gráfica. Como vimos a 
Geometria Projetiva é a mais adequada porque tanto a Geometria Euclidiana 
quanto a Geometria Afim não possuíam estrutura geométrica ou Algébrica para 
suportar algumas operações importantes para a Computação Gráfica. Na verdade 
o espaço projetivo ainda tem suas limitações, principalmente do ponto de vista 
algébrico. 
Os aspectos computacionais da geometria não foram considerados nesse 
capítulo introdutório. Aspectos computacionais da Geometria Afim são tratados na 
Geometria Computacional e é um tópico de grande importância na Computação 
Gráfica, todavia, ele não será tratado aqui, mas será utilizado em grande escala 
nas aplicações apresentadas nos capítulos 3 e 5. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
31 
1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO 
GRÁFICA 
1.4.1. REPRESENTAÇÃO 3D 
Em geral, a forma de representação determina a estrutura de dados a ser 
utilizada, o custo do processamento de um objeto através do pipeline de 
visualização 3D, a aparência final de um objeto e a facilidade para alterar a sua 
forma. 
Na literatura, encontramos geralmente quatro formas de representação, de 
acordo com a importância e freqüência de utilização: (1)malha de polígonos; (2) 
superfícies paramétricas; (3) Geometria Sólida Construtiva (CSG); (4) 
enumeração de ocupação espacial. As representações 1 e 4 consistem numa 
aproximação da forma do objeto que está sendo modelado. 
A 2 e a 3, por sua vez, são representações exatas. Por outro lado, a 1 e a 2 
representam apenas a superfície do objeto, sendo o volume inteiro representado 
pela 3 e pela 4. 
A forma mais comum de representar modelos 3D é através de uma malha 
de polígonos. Ou seja, define-se um conjunto de vértices no espaço (geometria) e 
como esses vértices devem ser ligados para formarem polígonos fechados, 
chamados de face (topologia), que podem ser triângulos ou quadrados. O 
armazenamento desse tipo de estrutura é usualmente realizado através de 
vetores de estruturas, matrizes ou listas. Por exemplo, a Figura 14 apresenta a 
lista de vértices e faces necessárias para desenhar uma casa simplificada. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
321.4.2. SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS 
Superfícies paramétricas são usadas quando se necessita trabalhar com 
superfícies suaves na modelagem de objetos de forma livre (Free Form Objects). 
Neste caso, uma representação muito utilizada são os patches paramétricos 
bicúbicos, que permitem calcular as coordenadas de todos os pontos que formam 
uma superfície curva através da definição de 16 pontos de controle e da utilização 
de três equações, uma para x, uma para y e uma para z. Cada equação possui 
duas variáveis (ou parâmetros) e termos para todo domínio dos parâmetros até o 
seu cubo (daí as expressões bi e cúbico). 
Em outras palavras, o patch é uma superfície curva na qual cada um dos 
pontos que a formam deve ser processado. Para isto, inicialmente devem ser 
definidos 16 pontos 3D, chamados pontos de controle. Quatro destes pontos que 
determinam a forma do patch pertencem aos seus cantos. A partir da 
especificação dos pontos de controle, são usadas três funções para calcular os 
valores intermediários que, simplificadamente, são resultantes de uma 
interpolação. Através de parâmetros passados para as funções, é possível 
determinar a quantidade de valores intermediários calculados. Além disso, 
sempre que um ponto de controle é alterado, os pontos que formam a superfície 
devem ser gerados novamente. 
𝑣1 
𝑣4 
𝑣8 
𝑣9 𝑣6 
𝑣2 
𝑣3 
𝑣7 
𝑣5 
Vértices (geometria) 
1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 
2 𝑥2 𝑦2 𝑧2 
3 𝑥3 𝑦3 𝑧3 
4 𝑥4 𝑦4 𝑧4 
5 𝑥5 𝑦5 𝑧5 
6 𝑥6 𝑦6 𝑧6 
7 𝑥7 𝑦7 𝑧7 
8 𝑥8 𝑦8 𝑧8 
9 𝑥9 𝑦9 𝑧9 
 
Faces (topologia) 
1 𝑣1 𝑣4 𝑣5 
2 𝑣1 𝑣5 𝑣2 
3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 
4 𝑣1 𝑣3 𝑣4 
5 𝑣4 𝑣3 𝑣7 𝑣8 
6 𝑣5 𝑣4 𝑣8 𝑣9 
7 𝑣2 𝑣5 𝑣9 𝑣6 
8 𝑣3 𝑣2 𝑣6 𝑣7 
9 𝑣6 𝑣9 𝑣8 𝑣7 
 
Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
33 
1.4.3. VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA 
Visualização Científica (Scientific Visualization ou SciVis), está relacionada 
com a exploração de dados e informação de modo a haver ganho de 
compreensão e percepção dos dados. O objetivo da Visualização Científica é 
promover um nível mais profundo de entendimento dos dados sob investigação, 
confiando na habilidade dos humanos de visualizar. Em muitos casos, as 
ferramentas e técnicas de visualização têm sido usadas para analisar e mostrar 
grandes volumes de dados multidimensionais, freqüentemente variantes no 
tempo, de modo a permitir ao usuário extrair características e resultados rápida e 
facilmente. 
A Figura 15 mostra uma SciVis, em isolinhas(vide comentários em 
Considerações Finais), de uma barra trapezoidal com tensões na direção 𝑋. A 
SciVis foi gerada pelo software MEMEC que será objeto de estudo no Capítulo 5. 
 
Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC 
 
1.4.3.1. TÉCNICAS DA VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA 
Existem diversas técnicas aplicadas pela SciVis. Algumas são específicas 
para tratar dados escalares, como temperatura, outras dados vetoriais, como 
deslocamento, e outras ainda, tensoriais, como tensor de tensões. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
34 
Entre as que operam com dados escalares, há os gráficos de funções, 
isolinhas e isosuperfícies, mapeamento de cores, renderização volumétrica, 
desenho de superfícies elevadas, entre outras. Algumas técnicas trabalham com 
dados dimensionais, enquanto outras trabalham com bi ou mesmo 
tridimensionais. O mapeamento de cores, por exemplo, que consiste em associar 
uma gama de cores a uma variação do valor do dado, pode ser usado em 
análises em duas ou três dimensões. 
Outras técnicas trabalham com dados vetoriais, como por exemplo, as 
linhas e fitas de corrente, o uso de setas, e o desenho da posição das partículas. 
Essas técnicas trabalham geralmente em duas ou três dimensões. 
Não existem muitas técnicas eficientes para representar tensores. A 
maioria delas usa glifos, ou ícones, para tentar representar os componentes dos 
tensores. Entretanto, o que tem se mostrado mais eficiente, é a representação 
dos componentes dos tensores de forma separada, utilizando técnicas para dados 
escalares. O mesmo pode ser feito com dados vetoriais. 
As diversas técnicas modernas de visualização nada mais são do que 
variações das tradicionais. No entanto, as técnicas usadas precisam de alguns 
cuidados para sua aplicação, e não apenas o uso simples dos algoritmos. 
1.4.3.2. TOOLKITS DE VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA 
As diversas técnicas da SciVis foram freqüentemente desenvolvidas e 
reunidas em bibliotecas ou toolkits (pacotes) gráficos, como por exemplo, AVS, 
VTK, OpenDX, VisAD, IRIS Explorer. 
O AVS (Advanced Visual Systems), criado em 1989, é um dos pacotes 
para visualização de dados mais antigos. Ele permite a utilização tanto por 
programadores experientes quanto por usuários diretos, pois possui um ambiente 
gráfico de desenvolvimento. Possui métodos de visualização para problemas em 
diversos campos, incluindo ciências, administração, engenharia, medicina, 
telecomunicações e meio ambiente 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
35 
Outro pacote, ou biblioteca é o VisAD, constituído de uma série de 
componentes para visualização interativa e colaborativa e análise numérica de 
dados. 
O nome VisAD é um acrônimo para Visualization for Algorithm 
Development (Visualização para Desenvolvimento de Algoritmo) (VISAD Home 
Page, 2007). 
Um pacote bastante utilizado é o Open Visualization Data Explorer 
(OpenDX). Ele é uma versão de código aberto do produto da IBM Visualization 
Data Explorer. Existe há vários anos, e possui um conjunto de ferramentas para 
manipulação, transformação, processamento, renderização e animação de dados. 
Possui integrada uma interface gráfica orientada a objetos (IBM Research 
Visualization Data Explorer, 2005). 
O IRIS Explorer é uma ferramenta desenvolvida pelo NAG (Numerical 
Algorithms Group) para desenvolvimento de aplicações de visualização. Possui 
um ambiente de desenvolvimento visual (NUMERICAL ALGORITHMS GROUP, 
2005). 
O Visualization ToolKit (VTK) é um sistema gratuito de código aberto para 
computação gráfica 3D, processamento de imagem e visualização muito usado. 
Ele consiste de uma biblioteca de classes na linguagem de programação C++, e 
algumas camadas de interface incluindo Tcl/Tk, Java e Python. Com diversas 
técnicas, é influenciado pelo princípio da Orientação a Objetos (KITWARE, 2005). 
O VTK provê uma variedade de representações de dados incluindo 
conjuntos de pontos desorganizados, dados poligonais, imagens, volumes, e 
também malhas estruturadas, retilíneas e não-estruturadas. 
 
Existem, ainda, diversos outros pacotes de SciVis. Alguns deles são 
específicos para determinadas áreas, enquanto outros são bastante genéricos. 
Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 
 
36 
1.4.4. CÂMERA 
Um dos objetos mais importantes na construção de uma cena 
tridimensional é a câmera sintética, que possibilita a visão de qualquer outro 
objeto. Portanto, pelo menos uma câmera precisa ser definida em cada cena. 
Uma câmera sintética pode ser caracterizada de diversas maneiras, como 
por exemplo, como um ponto de visão e centro de interesse que define o centro 
da imagem da câmera. Outra idéia é associar o ponto de visão com uma direção. 
A Figura 16 mostra uma representação da projeção de uma imagem em uma tela 
2D, de acordo com a câmera. 
 
Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D 
O movimento de câmera é o mais utilizado para representar o observador 
em sistemas gráficos e de visualização. O posicionamento e a animação de