Operacoes_Unitarias_na_Indústria_Química

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ARMIN FRANZ ISENMANN 
 
 
 
 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS 
 
NA INDÚSTRIA QUÍMICA 
 
 
 
 
1a edição 
 
 
 
 
 
Timóteo, MG 
Edição do Autor 
2012 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
2 
 
 
 Os direitos neste texto são exclusivamente com o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isenmann, Armin Franz 
Operações unitárias na indústria química / Armin Franz Isenmann - 
Timóteo, MG : 
2012. 1a Edição 
 
Bibliografia 
ISBN 978-85-913050-2-5 
 
 
 
 
 
 
 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS 
GERAIS 
CAMPUS TIMÓTEO 
 
 
Disciplina: Operações Unitárias 
Turma: QUI 3 
Prof. Armin Isenmann 
Traduzido com permissão e completado, 
de uma apostila de Prof. Peter Hugo, Universidade Técnica de Berlim 
 
1 O que são Operações Unitárias?......................................................................................... 6 
2 Fluxo de matéria................................................................................................................. 7 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades ............................................................... 7 
2.2 Propriedades dos Fluidos ........................................................................................... 9 
2.3 A viscosidade ........................................................................................................... 10 
2.3.1 Viscosidade em gases....................................................................................... 13 
2.3.2 Viscosidade de líquidos.................................................................................... 14 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças .............................................................. 15 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos.................................................................................... 16 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais...................................................... 21 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo....................................................................... 23 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares .............................................. 28 
2.5 Balanço do transporte do fluido ............................................................................... 30 
2.5.1 Equações de balanço ........................................................................................ 30 
2.5.2 Medição da vazão............................................................................................. 33 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas................................................................... 42 
2.6 Bombas..................................................................................................................... 45 
2.6.1 Bombas de deslocamento ................................................................................. 46 
2.6.2 Bombas centrífugas .......................................................................................... 48 
2.7 Transporte de gases .................................................................................................. 50 
2.8 Fluxo em leitos fixos ................................................................................................ 54 
2.8.1 Exemplos e definições...................................................................................... 54 
2.8.2 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais ................ 57 
2.8.3 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. ................................................. 58 
2.9 Fluxo em leitos fluidizados ...................................................................................... 60 
A. Isenmann Operações Unitárias 
4 
2.10 Agitação mecânica ................................................................................................... 65 
2.10.1 Apresentação dos tipos de agitadores............................................................... 66 
2.11 Métodos mecânicos de separação ............................................................................ 78 
2.11.1 Sedimentação e centrifugação .......................................................................... 79 
2.11.2 Centrifugação ................................................................................................... 83 
2.11.3 Filtração............................................................................................................ 86 
2.11.4 Princípios da filtração....................................................................................... 86 
3 Números adimensionais e análise dimensional ................................................................ 94 
3.1 Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais ..................................... 94 
3.2 Teoria do modelo e semelhança física ..................................................................... 95 
3.3 Análise dimensional ................................................................................................. 97 
4 Fluxo de calor................................................................................................................. 101 
4.1 Importância técnica ................................................................................................ 101 
4.2 Unidades, valores específicos, equações de transporte .......................................... 103 
4.2.1 Condução de calor .......................................................................................... 104 
4.2.2 Transporte de calor por convecção................................................................. 106 
4.2.3 Transporte de calor por radiação .................................................................... 106 
4.3 Transferência de calor e transmissão de calor........................................................ 109 
4.3.1 Convecção livre e forçada .............................................................................. 109 
4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor........................................ 111 
4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor............ 115 
4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação . 119 
4.4 Trocadores de calor ................................................................................................ 123 
4.5 Transição de calor e Scale-up de bateladas com temperatura controlada .............. 130 
5 Métodos térmicos de separação...................................................................................... 134 
5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de separação ............ 134 
5.2 Fundamentos da termodinâmica............................................................................. 135 
5.2.1 Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa ........................ 135 
5.2.2 Misturas binárias ideais .................................................................................. 137 
5.2.3 Misturas binárias não ideais ........................................................................... 142 
5.3 Destilação simples.................................................................................................. 145 
5.4 Retificação.............................................................................................................. 146 
5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua................................ 148 
5.5.1 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de McCabe-
Thiele 1545.5.2 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo..................................... 155 
A. Isenmann Operações Unitárias 
5 
5.5.3 Pratos reais e o fator de eficácia..................................................................... 158 
5.6 Equipamentos de retificação .................................................................................. 159 
5.7 Operações destilativas especiais............................................................................. 161 
5.7.1 Separação de misturas multi-componentes .................................................... 161 
5.7.2 Método de duas pressões................................................................................ 161 
5.7.3 Retificação extrativa....................................................................................... 162 
5.7.4 Destilação azeotrópica.................................................................................... 163 
5.8 Lavagem de gases em colunas de corpos de recheio ............................................. 164 
5.9 Transferência e transmissão de massa.................................................................... 164 
5.9.1 Transferência de massa .................................................................................. 164 
5.9.2 Transferência de massa .................................................................................. 167 
5.10 Lavagem de gases................................................................................................... 171 
5.10.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases............................................ 171 
5.10.2 Velocidade da transferência de massa............................................................ 172 
5.10.3 Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua.... 174 
5.10.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) ............................................. 177 
5.11 Outras operações unitárias térmicas ....................................................................... 183 
5.11.1 Adsorção (= secagem).................................................................................... 183 
5.11.2 Equipamento de adsorção............................................................................... 186 
5.11.3 Secagem ......................................................................................................... 187 
5.11.4 Extração.......................................................................................................... 189 
5.11.5 Cristalização ................................................................................................... 194 
5.11.6 Técnicas com membranas .............................................................................. 197 
6 Representações das operações unitárias ......................................................................... 202 
6.1.1 Diagrama de operações básicos...................................................................... 202 
6.1.2 Diagrama de fluxo de processo ...................................................................... 203 
6.1.3 Diagrama de tubulação e instrumentação....................................................... 206 
7 Anexos............................................................................................................................ 209 
7.1.1 Vista geral sobre os números adimensionais mais importantes na engenharia 
química 209 
7.1.2 Números adimensionais, organizados por campo de aplicação: .................... 212 
7.1.3 Tabela de pressão de vapor sobre os líquidos, em função da temperatura..... 213 
7.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde se aplicam) .......... 216 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
6 
1 O que são Operações Unitárias? 
Antigamente, as diferentes indústrias químicas eram consideradas diferentes processos 
industriais e com princípios diferentes. Em 1915, o engenheiro químico americano Arthur 
Dehon Little, empresário e professor universitário do MIT, estabeleceu o conceito de 
"operação unitária", segundo o qual um processo químico seria dividido em uma série de 
etapas básicas que podem incluir: transferência de massa, transporte de sólidos e líquidos, 
destilação, filtração, cristalização, evaporação, secagem, etc. Cada uma das etapas seqüenciais 
numa linha de produção industrial é, portanto, uma operação unitária. O conjunto de todas as 
etapas, compõem um processo unitário. Portanto, Operações Unitárias são seqüências de 
operações físicas necessárias à viabilização econômica de um processo químico. 
Vamos fixar isso num exemplo: o processamento de leite inclui as operações unitárias de 
homogenização, pasteurização, resfriamento, e empacotamento. A linha de produção integral, 
necessária para obter-se o produto comercializável a partir da matéria prima, se dá pelo 
sequenciamento e interligação destas operações. 
"Os Princípios da Engenharia Química" de W. H Walker, W.K. Lewis e W.H. McAdams, 
(título no original: "The Principles of Chemical Engineering", do ano 1923) é considerada por 
muitos engenheiros sendo a monografia pioneira do abordamento da química industrial. Nesta 
são tratadas as indústrias químicas de maneira uniforme e generalizada, seguindo as mesmas 
leis da física, independente do insumo a ser produzido. Cada operação unitária por si pode ser 
calculada e dimensionada - a base deste cálculo são as leis estabelecidas da física e o caminho 
do cálculo geralmente são equações diferenciais. Este procedimento então tem caráter 
universal e pode ser aplicado em qualquer indústria. Sendo assim, as operações unitárias 
certamente formam os pilares da Engenharia Química. 
As técnicas de projeto de operações unitárias são baseadas em princípios, teóricos e 
empíricos, de: 
� Transferência de massa, 
� Transferência de calor, 
� Transferência de quantidade de movimento, 
� Termodinâmica, 
� Biotecnologia e 
� Cinética química. 
Desta forma, os processos podem ser estudados de maneira unificada. Uma operação unitária 
sempre tem o mesmo objetivo, independente da natureza química dos componentes 
envolvidos. Por exemplo, a transferência de calor é a mesma operação, quer em um processo 
petroquímico, quer em uma indústria de alimentos. 
As operações unitárias dividem-se em 5 classes: 
1. Processos de Escoamento de Fluidos, como transporte de fluido, filtração, fluidização 
sólida 
2. Transferência de Calor, como evaporação, condensação. 
3. Transferência de Massa, como o transporte em tubos, mas também absorção gasosa, 
destilação, extração, adsorção, secagem. 
4. Processos Termodinâmicos, como liquefação gasosa, refrigeração. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
7 
5. Processos Mecânicos, como transporte de sólidos, triturar, peneiramento e separação. 
As operações unitárias aplicadas especialmente na Engenharia Química também se encaixam 
nas seguintes categorias: 
• Combinação (misturar) 
• Separação (destilação) 
• Reacão (reação química) 
O dimensionamento das operações unitárias é a base para as técnicas e os equipamentos 
utilizados; mais do que isso: também determina os fluxos dentro da fábrica e até o design de 
inteiras plantas químicas! 
 
2 Fluxo de matéria 
Na indústria química o transporte e o processamento de reagentes, produtos e materiais de 
modo geral se dá principalmente em meios fluidos (gases, líquidos, géis, pastas, etc), 
enquanto o uso de sólidos geralmente é evitado onde for possível, devido ao atrito durante o 
transporte. Este capítulo trata então de problemas acerca do transporte que o engenheiro 
químico temque resolver para assegurar uma produção contínua. 
A base do cálculo de tarefas de transporte e o dimensionamento de bombas é a teoria do 
fluxo. Essa teoria é apresentada de forma resumida, tratando do essencial para o entendimento 
das aplicações mais importantes na química técnica. Não é o objetivo a derivação exata das 
equações que deve ser reservada à literatura especial 1. 
Os focos aqui são: 
� Conhecimento dos caminhos e das formulações de equações que resolvem problemas 
acerca das operações unitárias - inclusive o uso de números adimensionais, 
características para o fluxo da matéria. 
� Aplicação das leis em exemplos concretos e o cálculo do resultado. 
 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades 
Na teoria do fluxo se destacam as seguintes grandezas e características de matéria: 
Tab. 1. Grandezas e unidades importantes na teoria do fluxo 
Grandeza Unidade SI e suas conversões 
 
1
 Disponíveis nas bibliotecas do CEFET-MG: 
W.L. McCabe, Unit Operation of Chemical Engineering, McGraw Hill 1967; No. de chamada: 660 M121u. 
A.S. Foust, Princípios das operações unitárias, LTC 1982; No. de chamada: 66.021 F782p. 
D.A. Blackadder, Manual das operações unitárias, Ed. Hemus 2004; No. de chamada: 660 B628m. 
Disponível em CD: 
J.H. Perry, Chemical Engineer´s Handbook, McGraw Hill 2002. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
8 
Pressão: p, ∆p Pa = N . m-2 = Kg . m-1 . s-2 
1 MPa = 106 Pa = 10 bar 
Velocidade linear: u m . s-1 
Velocidade do volume: V� m³ . s-1 
Velocidade da massa: m� Kg . s-1 
Energia: E, ∆E N . m = J = W . s = Kg . m² . s-2 
Aceleração gravitacional: g g = 9,81 m . s-2, ao nível do mar. 
Densidade: ρ Kg . m-3 
Viscosidade dinâmica: η Pa . s = N . s . m² = Kg . m-1 . s-1 
Nas tabelas antigas ainda Poise: 
1 Poise = 0,1 Pa . s 
Viscosidade cinemática: ν = η . ρ−1 
(= "Momento da difusividade") 
m² 
.
 s-1 
Nas tabelas antigas ainda Stokes: 
1 Stokes = 10-4 m² . s-1 
 
Note: As grandezas expressas como X� , representam a derivada temporal da variável X com o 
tempo (dX/dt). 
As grandezas físicas devem então ser indicadas através das unidades do Sistema Internacional 
(SI), conforme nas tabelas a seguir: 
Tab. 2. Grandezas fundamentais e suas unidades (definidas pela sociedade científica) 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma Kg, também kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura 
termodinâmica 
Kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Clareza da luz Candela cd 
 
Tab. 3. Grandezas derivadas e suas unidades 
Grandeza Expressão básica Unidade Símbolo 
Força umamF �⋅=⋅= Newton N 
Pressão 
dA
dFp = Pascal Pa 
A. Isenmann Operações Unitárias 
9 
Energia (energia química, 
trabalho mecânico ou calor) 
dWdQdE −= 
 dTcmdQ p ⋅⋅= 
 dLFdW ⋅= 
Joule J 
Potência (= desempenho) EP �= Watt W 
Viscosidade dinâmica 
ϕ
τη = Pascalsegundo Pa s 
Frequência 
T
1
=ω 
Hertz Hz ou s-1 
Tensão elétrica (= potencial) dIRdU ⋅= Volt V 
Resistência elétrica 
A
LR ⋅= ρ Ohm Ω 
Carga elétrica dtIdQ ⋅= Coulomb C 
Condutividade elétrica 1−
=
⋅
= R
L
Ak
ρ
 
Siemens S 
 
Tab. 4. Relação entre as unidades derivadas e as unidades fundamentais: 
1 Pa = 1 N m-2 = 1 Kg m-1 s-2 1 N = 1 Kg m s-2 
1 Pa s = 1 N s m-2 = 1 Kg m-1 s-1 1 Ω = 1 V A-1 = 1 N m A-2 s-1 
1 J = 1 W s = 1 N m = 1 Kg m2 s-2 1 C = 1 A s 
1 W = 1 J s-1 = 1 N m s-1 = 1 Kg m2 s-3 1 S = 1 Ω-1 
1 V = 1 W A-1 = 1 J A-1 s-1 = 1 J C-1= 1 Ω A 
= 1 N m A-1 s-1 = 1 kg m2 A-1 s-3 
1 bar = 105 N m-2 
 
 
2.2 Propriedades dos Fluidos 
Fluidos são substâncias que se deformam constantemente quando submetidas a uma força 
tangencial, não importanto o quão pequena seja esta. Já os sólidos, quando submetidos a uma 
força, geralmente são deslocados da sua posição inicial, podendo também serem 
fragmentados, em função do ponto de aplicação da força, da intensidade e do centro de massa 
do material. 
Esta força tangencial que atua ao longo de uma superfície, é denominada tensão de 
cisalhamento: 
//A
F
=τ 
Onde o termo A// significa área paralela à força aplicada, diferente da área perpendicular Axy = 
A⊥ usada no cálculo de pressão: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
10 
⊥
=
A
FP . 
Líquido
A// = 2pirL
A =
 pir2
F τ = F/Α//
P = F/Α
r
r
L
 
Fig. 1. Diferenciação entre a pressão e a tensão de cisalhamento. 
 
Consideremos um fluido escoando em uma tubulação de comprimento L, e raio r, após a 
aplicação de uma força externa F (por exemplo, aplicada por uma bomba) aplicada a uma 
massa desse fluido. A força atua na área perpendicular A⊥, gerando uma pressão global, 
também conhecida como pressão de bombeamento. A maneira como acontece o escoamento 
do fluido será apresentada mais adiante (ver perfil de velocidade, Fig. 4, na p. 19). 
 
2.3 A viscosidade 
Nas seções a seguir serão tratados os fenômenos de fluxo com fricção 2. A medida da fricção 
interna de um fluido é a viscosidade. Além de definir a viscosidade, esta seção indica os 
métodos do seu cálculo e alguns dados de viscosidades típicas. 
Dentro de um meio em fluxo ocorre uma perpétua troca de momento linear (= impulso; um ⋅ ) 
entre as partículas. Nas paredes imóveis o momento é entregue; neste local a velocidade do 
fluxo é zero, u = 0 (condição de adesão). A partir do local com u = 0 a velocidade aumenta 
junto à distância da parede e pode-se observar um perfil linear de velocidade dentro do fluido 
(ver Fig. 2). Entre as zonas de diferentes velocidades ocorre a transmissão de momento, ττττyx, 
através da fricção interna. Esta grandeza também é conhecida como tensão de cisalhamento 
(ver p. 9), tensão tangencial ou força tangencial por área unitária. 
 
 
2
 Fricção e atrito são sinônimos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
11 
 
Fig. 2. Perfil da velocidade tangencial, a partir de uma parede imóvel. 
 
Vale a lei de Newton: 
 
ϕηητ ⋅−=⋅−=
dy
du x
yx . Lei de Newton, aplicada ao fluido. 
 
com η = viscosidade dinâmica (ou fricção interna), 
 
dy
du x
=ϕ = perfil de velocidade perpendicular ao fluxo; também razão, taxa ou 
frequência de cisalhamento. 
 
Admitimos que a lei de Newton é menos conhecida nesta forma do que amF ⋅= . Portanto, 
seja mostrada a seguir a analogia destas formulações. 
Dividindo ambos os lados por //A , temos: 
//// A
am
A
F ⋅
= . 
Escrevemos para τ=/// AF e para a aceleração dt
du
ua xx == � . A geometria dentro de um 
tubo fornece a área paralela ao fluxo, rLA pi2// = , portanto: 
 
ϕ
pipipi
τ ⋅
⋅⋅
=⋅
⋅⋅
=⋅
⋅⋅
=
dtL
m
dr
du
dtL
m
dt
du
drL
m xx
222
. 
 
O termo 
dtL
m
⋅⋅pi2
 tem as dimensões massa por comprimento e por tempo, então as unidades 
são Kg.m-1.s-1 ou seja, Pa.s. Esta grandeza é definida matematicamente como viscosidade. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
12 
Genericamente, podemos escrever para qualquer sistema de fluido, independente da simetria 
do recipiente: 
F = m . a
τ = η . ϕ
 
Nessas equações, os termos: 
F e τ expressam forças externas atuando no sistema, 
a e ϕ expressam movimento,m e η expressam inércia, fator de proporção entre a força externa e o movimento. 
 
A lei de Newton torna-se mais universal quando escrita na forma diferencial: 
 
ϕητ dd yx ⋅−= . 
 
Através desta equação a viscosidade dinâmica η (também chamada de tenacidade dinâmica) é 
definida. Em tabelas mais antigas encontram-se os valores da tenacidade dinâmica em centi-
Poise: 1 cP = 0,01 P; isto equivale a 0,1 Pa.s. 
A viscosidade dinâmica é então a variação da força de cisalhamento ao variar o gradente de 
velocidade. Podemos, portanto, interpretar a viscosidade sendo a inclinação da curva do 
cisalhamento, em função ao gradiente: 
 
 ou 
Fig. 3. Comparação de fluidos Newtoneanos, viscosos-estruturais e dilatantos. 
 
Nos gases e na maioria dos líquidos a viscosidade é constante e independente da razão de 
cisalhamento dux/dy (curva no meio dos gráficos da Fig. 3). Nestes casos se fala de 
comportamento Newtoneano, ou seja, são fluidos Newtoneanos. Exceções têm-se com 
pastas, líquidos gelificados e polímeros em solução. Na maioria destes casos observa-se uma 
diminuição da viscosidade, com aumento da razão de cisalhamento, chamado de viscosidade 
estrutural. Menos frequente é o comportamento oposto, conhecido como dilatância. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
13 
Esses fenômenos não devem ser confundidos com a tixotropia que é o fenômeno da 
diminuição da viscosidade aparente com o tempo de cisalhamento, à uma taxa de 
cisalhamento constante. Como na pseudoplasticidade, a diminuição da viscosidade aparente 
com o tempo é também devida à quebra de uma estrutura organizada no fluido. Se deixarmos 
em repouso durante algum tempo um sistema tixotrópico, a viscosidade aparente aumentará 
devido à formação de uma estrutura mais organizada das partículas em suspensão que 
“imobiliza” o líquido entre as partículas. Se, a seguir, submetermos o sistema a cisalhamento, 
a uma velocidade de agitação constante, a viscosidade aparente decrescerá com o tempo até 
atingirmos o equilíbrio entre quebra e reconstrução da estrutura. A tixotropia é facilmente 
observada quando mexemos (cisalhamos) com uma espátula uma tinta latex para pintar 
parede. Inicialmente a tinta parece muito viscosa, mas, com o tempo, ela vai se tornando mais 
fluida. Soluções de polímeros de massa molar elevada são, em geral, tixotrópicas. Suspensões 
coloidais de óxido de ferro III, de alumina e algumas argilas, que formam sistemas fracamente 
gelificados, também apresentam tixotropia. 
O oposto da tixotropia é chamada de reopexia, então o fenômeno do aumento da viscosidade 
aparente com o tempo de cisalhamento a uma taxa de cisalhamento constante. Fluidos 
reopexos têm menos aplicações que os tixotrópicos. 
 
Em muitas situações é conveniente usar a viscosidade cinemática νννν (também: tenacidade 
cinemática, ou ainda: momento da difusividade). A relação entre as grandezas η e ν é 
simples: 
 
ρ
η
ν = , 
 
com a densidade ρ (em Kg.m-3). 
Em tabelas antigas ainda encontra-se a unidade Stokes para essa grandeza. Vale a relação: 1 
Stokes = 10-4 m2 s-1. Um bonito exemplo de um comportamento não-Newtoneano que pode 
ser dado em sala de aula, é a mistura de maizena em água. Na relação certa dos composnentes 
esta massa mostra elevada resistência contra transformações mecânicas rápidas, enquanto sua 
resistência contra deformações demoradas requerem forças muito baixas (fluidez lenta). 
 
2.3.1 Viscosidade em gases 
O que determina a viscosidade em gases é o número das colisões entre as partículas, também 
podemos afirmar que é inversamente proporcional à média do caminho de voo livre, Λ, que 
existe entre duas partículas. Também influencia o momento, u⋅ρ , que é transmitido entre as 
partículas (ρ = densidade; u = velocidade média das partículas). 
As seguintes expressões são resultados de um modelo cinético bastante simples, porém 
confirmados por cálculos quânticos ab initio: 
 
2
122
1
σpi ⋅⋅⋅
=Λ
N
 e 
M
RT
u
⋅
=
pi
8
, 
A. Isenmann Operações Unitárias 
14 
 
com N = densidade média em termos de número de partículas por volume 
2
12σ = média dos raios efetivos onde ocorre colisão. 
M = média da massa molar das partículas. 
 
Sob condições normais (0,1 MPa) esperamos caminhos livres entre 100 nm < Λ < 1 µm. Já 
com uma pressão de 1 MPa os caminhos se reduzem a 10 nm < Λ < 100 nm, ou seja, 
aproximadamente 5 a 50 vezes o comprimento da própria molécula. 
Para gases ideais o modelo cinético das patículas fornece para a viscosidade: 
 
2
123
28
3
2
3
2
σpi
pi
pipi
ρ
pi
ρ
pi
η
⋅
⋅⋅
⋅=Λ⋅
⋅
⋅⋅=Λ⋅⋅⋅= RTM
M
RT
u . 
 
Embora essas relações valem rigorosamente só para gases ideais, elas podem também ser 
aplicadas ao gás real, até pressões moderadas. Anotamos que a viscosidade deve ser 
independente da pressão nestes gases, mas deve aumentar junto à temperatura. Já que o 
raio médio de colisão diminui um pouco ao aumentar a temperatura, então essa dependência 
térmica fica ligeiramente maior do que T : 
 
n
T
T






⋅=
0
0ηη , com T0 = 273 K e =0η viscosidade dinâmica a 273 K. 
 
A viscosidade de todos os gases fica na ordem de grandeza de sPa ⋅≈ −510η . O expoente n 
desta última equação é um valor empírico, indicado para alguns gases comuns na Tab. 5. 
 
2.3.2 Viscosidade de líquidos 
Entre ponto de fusão e ponto de ebulição comum, a viscosidade dos líquidos depende muito 
pouco da pressão. Mas a viscosidade geralmente depende fortemente da temperatura. Fato é 
que ela diminui junto à temperatura. A dependência fenomenológica pode ser descrita por: 
 
T
A
eB ⋅=η , 
 
enquanto o cálculo das constantes A e B a partir dos dados moleculares requer um alto esforço 
matemático é contém diversas aproximações (R.C. Reid, T.K. Sherwood, The properties of 
gases and liquids, McGraw-Hill 1966). Portanto, essa equação é usada, principalmente para 
interpolações entre os dados experimentais. 
A viscosidade é de aproximadamente 2 ordens de grandeza maior do que a dos gases. Valores 
típicos nas seguintes tabelas. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
15 
Tab. 5. Viscosidades de alguns gases de importância industrial, calculadas por 
n
T
T






⋅=
0
0ηη . 
Gás H2 ar CH4 CO2 Cl2 
0η em 10-5 Pa s 0,85 1,74 1,06 1,44 1,32 
n 0,65 0,67 0,72 0,77 0,81 
 
Tab. 6. Viscosidade de líquidos que têm importância em processos químicos e 
alimentícios,calculadas por T
A
eB ⋅=η . 
Líquido A em K B em 10-5 Pa s 
Acetona 780 2,2 
Etanol 1710 0,35 
Benzeno 1250 0,9 
Cicloexano 1460 0,66 
Dioxano 1460 0,85 
Ácido acético 1340 1,25 
Nitrobenzeno 1440 1,45 
Octano 1070 1,4 
Azeite de oliva 3350 0,082 
Fenol 3460 0,008 
Tricloroetileno 800 3,8 
 
Tab. 7. Viscosidade da água e do benzeno 
T (em °C) 0 20 40 60 80 100 
águaη em 10-3 Pa s 1,792 1,002 0,653 0,467 0,353 0,282 
benzenoη em 10-3 Pa s 0,906 0,647 0,489 0,386 0,314 0,262 
 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças 
Em plantas da indústria química o transporte de meios fluidos ocorre quase exclusivamente 
em tubos. As máquinas de propulsão são bombas (em caso de líquidos) e densificadores (em 
casos de gases). Ocasionalmente, os líquidos são transportados sob o efeito da força 
gravitacional, de um reservatório de posição alta para um recipiente de posição mais baixa 
("transporte hidrostático"). Em geral, os fluidos não apenas passam por tubos, mas também 
por peças, tais como joelhos, arcos, válvulas, ferrolhos, torneiras,manilhas e outras conexões. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
16 
Tanto nos tubos, quanto nas peças, o fluido está sofrendo perda de pressão. Para o 
dimensionamento da bomba é necessário conhecer o grau de perda de pressão, ∆p. A 
experiência nos mostra que ∆p depende sensivelmente do diâmetro do tubo: mais largo o 
tubo, menor será ∆p. Por outro lado, os tubos de diâmetros maiores são muito mais caros. 
Também tenta-se evitar fluido parado dentro da tubulação. Aquela parte do fluido que não 
chega ao recipiente-alvo, mas permanece dentro do tubo, é conhecido como volume morto. 
Portanto, os aspectos econômico e de segurança estão pedindo um dimensionamento justo do 
sistema de tubulação. 
Em primeiro lugar olhamos então no fluxo em tubos retos, em seguida será considerada a 
perda de pressão nas peças. 
 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos 
Um fluxo bastante lento estabiliza um perfil parabólico de velocidade dentro do tubo. Neste 
caso se fala de fluxo laminar. A relação entre a velocidade média do fluxo, u , e a perda de 
pressão ∆p está dada pela famosa lei de Hagen-Poiseulle: 
 
L
pd
u
∆
⋅
⋅
=
η32
2
, Hagen-Poiseulle 
 
onde d = diâmetro do tubo; L = comprimento do tubo; η = viscosidade dinâmica. 
Esta lei somente vale para o fluxo laminar! Ela é muito aplicada, não só em cálculos de 
problemas de transporte, mas também na medição da viscosidade usando viscosímetros (do 
tipo Ostwald ou Ubbelohde). Aumentamos o fluxo gradativamente, observamos uma 
mudança repentina, do laminar para turbulento (ver seção 2.4.3). 
Devido à grande importância desta lei para o fluxo, tentamos derivá-la de forma resumida. 
Consideremos um tubo de comprimento L, com a pressão p1 no início e p2 no final, com p1 > 
p2. O fluido atravesse esse tubo com a velocidade u, unicamente em direção x. A situação é 
esboçada abaixo. 
 
A perda em pressão é então ∆p= p1 - p2. E a velocidade u depende evidentemente desta 
diferença propulsora ∆p que está sendo provocada pela bomba. 
Em primeiro lugar deve-se procurar o balanço dos momentos. Como já dito acima, o fluido 
transfere momento à parede do tubo, e isso é em resumo a causa para a perda de pressão 
dentro do tubo. O balanço de momento pode ser formulado, tanto em coordenadas cartesianas 
quanto em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano aplicam-se as três coordenadas do 
espaço: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
17 
 
ux = velocidade do fluxo em direção x; x = direção do fluxo; y e z = direções perpendiculares 
ao fluxo = ortogonais à parede fixa. 
Nestas coordenadas o balanço do caso unidirecional é: 
 
yxyx
p
τ⋅
∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Devido à simetria do tubo, porém, seja mais útil usar coordenadas cilíndricas: 
r = raio do tubo; φ = ângulo radiano; z = direção única do fluxo. 
 
Nestas coordenadas o balanço se formula da seguinte forma 3: 
 
)(1 rzr
rrz
p
τ⋅
∂
∂
⋅−=
∂
∂
. 
 
Junto à lei de Newton, 
dr
du
rz ⋅−= ητ obtemos: 
 
.





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
r
u
r
rrz
p η
 
Isso é uma equação diferencial parcial com duas coordenadas do espaço (r, z). Podemos 
transformá-la em uma equação diferencial comum quando fizermos a restrição de se ter um 
 
3
 Essa transformação pode ser melhor entendida, com as explicações dadas no apêndice matemático D do livro 
G. Wedler, Manual da Química Física, Calouste Gulbenkian 2001; disponível em nossa biblioteca. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
18 
fluido incompressível (isto é, praticamente todos os líquidos). Neste caso a perda em pressão 
em direção z fica linear. 
Para o fluxo laminar se obtém (isso vale grosseiramente para os gases, também): 
 
L
p
z
p ∆
−=
∂
∂
. 
 
O sinal negativo reflete o fato que, ao prosseguir a direção +z, a pressão p diminui; ∆p tem, 
nesta consideração, um valor positivo. 
Com essa aproximação chegamos a uma equação diferencial comum que pode ser resolvida 
sem problemas: 
 
L
pr
dr
du
r
dr
d ∆
⋅−=





⋅⋅
η
. 
 
Sua integração com margens abertas fornece: 
 
C
L
pr
dr
du
r +
∆
⋅−=⋅
η2
2
, com a constante de integração C a ser determinada pelas condições 
marginais. Lembramos-nos que essa relação vale para todos os raios r, então vamos 
considerar o local exatamente no miolo do tubo (r = 0) e obtemos diretamente: 
C = 0. 
 
Temos então 
L
pr
dr
du ∆
⋅−=
η2
. Na verdade estamos interessados na velocidade u, ou melhor 
falado, na relação entre a velocidade do fluxo e a perda em pressão ∆p, portanto temos que 
integrar mais uma vez. Isso leva à relação: 
 
´
4
)(
2
C
L
pr
ru +
∆
⋅−=
η
. 
Para determinar a constante C´ aproveitamos da situação imóvel, diretamente na parede do 
tubo (r = R e u(R) = 0) 4: 
 
4
 Único caso onde a condição da imobilidade do fluido na parede não está obedecida, é no fluxo de gases do alto 
vácuo. Mas os casos técnicos geralmente são longe deste caso excepcional. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
19 
 
L
pRC ∆⋅=
η4
´
2
. 
 
Inserimos a constante de integração e obtemos, em outras variáveis, a lei de Hagen-Poiseulle: 
 
( )
L
prR
ru
∆
⋅
−
=
η4
)(
22
. 
 
Essa é a lei na forma que está apresentada na maioria dos livros da física. Ela fala que a 
velocidade u(r) é diretamente proporcional à perda em pressão ∆p e indiretamente 
proporcional ao comprimento do tubo, L. Além destas, a velocidade depende de maneira 
quadrática do raio r. Isso implica que se estabelece um perfil parabólico de velocidade dentro 
do tubo: 
 
Fig. 4. Perfil do escoamento laminar dentro do tubo 
 
A velocidade máxima, umax, se observe no miolo do tubo (r = 0). A lei de Hagen-Poiseulle 
fornece para este local: 
 
L
pR
u
∆
⋅=
η4
2
max . 
 
Podemos inserir esse valor na equação geral e obtemos: 
 














−⋅=
2
max 1)( R
r
uru . 
 
O engenheiro se interessa menos para a velocidade máxima, mas sim, para a velocidade 
média, u . Este valor tem importância para o cálculo da corrente de volume ou de massa. Ele 
se calcula da seguinte maneira: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
20 
dFru
F
u
Ftotal
⋅⋅= ∫ )(
1
, onde Ftotal é a seção transversal do tubo (circular!): 2RFtotal ⋅= pi . 
 
Então: 
 
2)( R
dF
ruu
F ⋅
⋅= ∫ pi
. 
 
A derivada da área transversal em geral, 2rF ⋅= pi , é r
dr
dF
⋅= pi2 . Ela tem o significado 
físico da circunferência do tubo. Com isso obtemos: 
 
drrdF ⋅⋅= pi2 ⇒ ∫∫ 





⋅





⋅=⋅⋅=
R
rr
R
rd
R
r
rudr
R
r
ruu )(22)( 2 . 
Resolvemos essa integral com uma variável auxiliar, 
R
r
=ξ , com 10 ≤≤ ξ . A integral se 
formula como: 
 
∫ ⋅⋅=
1
0
ξξ duu . 
 
Aproveitamos do resultado ( )2max
2
max 11 ξ−⋅=












−⋅= u
R
r
uu . Daí obtemos: 
 
( )
4
12
42
212 max
1
0
42
max
1
0
2
max ⋅=





−⋅=⋅⋅−⋅= ∫ uuduu
ξξξξξ . 
 
O resultadopara a velocidade média do fluxo é então: 
 
2
maxuu = . 
 
Com 
L
pR
u
∆
⋅=
η4
2
max podemos obter a lei de Hagen-Poiseuille também na seguinte forma: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
21 
p
L
R
u ∆⋅=
η8
2
. 
 
Para o fluxo de volume, V� [m³/s], e o fluxo de massa, m� [Kg/s], obtemos assim: 
 
p
L
RFuV ∆⋅
⋅⋅
⋅
=⋅=
η
pi
8
4
�
 
 
p
L
RVm ∆⋅
⋅⋅
⋅⋅
=⋅=
η
ρpiρ
8
4
�� , 
 
com F = seção transversal do tubo, e ρ = densidade do fluido. 
 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais 
Nesta seção vamos introduzir os números adimensionais - sem descrição mais aprofundada - 
que vai seguir no capítulo 3 (p. 94). Com sua ajuda é possível achar equações de aplicação 
mais em geral, especialmente úteis quando temos o objetivo de aumentar o tamanho do 
sistema ("scale-up"). 
Em primeiro lugar vamos considerar a energia cinética, 2
2
1
umEcin ⋅⋅= . Na teoria do fluxo 
usaremos, por conveniência, a energia cinética relacionada à unidade de volume. Então: 
 
2
2
1
u
V
mEVcin ⋅⋅= . 
 
Aproveitamos da densidade, 
V
m
=ρ , daí obtemos a energia na forma de: 
 
2
2
1
uEVcin ⋅⋅= ρ , com as unidades Pa
m
N
sm
Kg
==
⋅
22 . 
 
A consideração das unidades revela um fato interessante: VcinE tem a mesma unidade que a 
pressão! Podemos concluir que a divisão desta energia pela pressão fornece um número 
adimensional. Um número que tenha então uma aplicação mais universal, pois não é mais 
acoplado nas unidades ou nos valores absolutos as quais a gente escolha. Chegamos ao 
famoso número de Euler: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
22 
Definição: 
2
2
1
u
pEu
⋅⋅
∆
=
ρ
. Número de Euler. 
 
O número de Euler indica qual a queda em pressão, ocasionada pela introdução de uma 
quantidade de energia cinética, a cada unidade de volume. Pela nossa surpresa, essa relação 
vale para todos os processos de fluxo, quer para condição laminar quer para turbulenta. 
Podemos exprimir a queda em pressão ∆p nesta relação, pela lei de Hagen-Poiseuille (por sua 
vez somente para o fluxo laminar): 
 
u
d
L
u
R
Lp ⋅=⋅=∆ 22
328 ηη
 , com o diâmetro d = 2R. 
 
Vamos para frente simplificar com uu ≡ , e obtemos para o número de Euler: 
 
η
ρρ
η
udd
L
u
u
d
L
Eu 64
2
1
32
2
2
⋅





=
⋅
⋅
= . 
 
Esta relação já foi organizada de tal maneira que resultem dois novos termos adimensionais, 
isto são 
d
L
 e 
η
ρud
. O primeiro é conhecido como aspecto do tubo e o último representa outro 
número característico da engenharia de processos chamado de número de Reynolds: 
 
Definição: 
η
ρud
=Re Número de Reynolds 
 
De todos os números adimensionais (existem muitos deles! Ver cap. 7.1.1, no anexo desta 
apostila), provavelmente esses dois são os mais utilizados, na engenharia química. 
Re e Eu podem ser interpretados da seguinte maneira: 
 
tocisalhamen de força
volumeimpulso
d
u
=
⋅
=
η
ρRe 
 
cinética Energia
pressão em perda
u
pEu =∆= 221 ρ
. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
23 
Usando essas duas expressões a gente pode escrever a lei de Hagen-Poiseuille na seguinte 
forma: 
 
Re
64
⋅=
d
LEu lei de Hagen-Poiseuille. 
 
Em certas situações será mais útil usar o número de fricção, λ(Re), em vez do próprio número 
de Reynolds. Através deste truque a gente amplia a relação, para o fluxo turbulento, também. 
Em caso de fluxo laminar, os dois têm a seguinte relação inversa: 
 
Re
64(Re) =λ ; número de fricção (ou coeficiente de fricção). 
 
É importante lembrar-se que essa relação entre o número de fricção e Re somente vale para o 
fluxo laminar, então somente para a região onde a lei de Hagen-Poiseuille está válida; ver 
também cap. 2.4.3. 
Ao usarmos o número de fricção λ(Re) a lei de Hagen-Poiseuille torna-se aplicável a todos os 
tipos de fluxo: 
 
(Re)λ⋅=
d
LEu . 
 
Mais uma vez: ao deixarmos aberta a dependência de λ(Re) do número de Reynolds, a 
equação acima torna-se mais flexível, ou seja, ganha validade universal: ela descreve fluxos, 
tanto laminares quanto turbulentos. O λ(Re) usado na expressão a seguir deve ser determinado 
no experimento ou, para sistemas de tubulação mais simples, lido da Fig. 7 (p. 27). Note que a 
perda de pressão num tubo pode ser calculada para qualquer velocidade de fluxo u, com essa 
equação: 
 
2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ . 
 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo 
Ao aumentar a velocidade do fluido em tubos compridos e lisos, chegamos a um ponto onde a 
lei de Hagen-Poiseuille da correnteza laminar não vale mais. O perfil parabólico que 
constatamos para o fluxo laminar, fica cada vez mais achatado, mais rápido o fluido passa 
pelo tubo. Isso é causado por processos irregulares de mistura, ou seja, pequenos 
redemoinhos: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
24 
 
 
A medida para o tipo de correnteza é o número de Reynolds. Ao tiver um valor baixo, o efeito 
da viscosidade do fluido sobre o transporte de momento perpendicular à direção do fluxo é 
uma pura característica do próprio fluido. Aumentando o número de Reynolds, percorremos 
uma região estreita de transição, acima da qual se adiciona ao transporte de momento do fluxo 
laminar, um outro transporte de momento devido à mistura em redemoinhos. Até podemos 
afirmar que a contribuição dos redemoinhos ao transporte do momento é dominante. Em 
processos de fluxo através de tubos compridos e lisos a transição laminar para turbulento 
ocorre repentinamente, num número de Reynolds Recrit.=2300. Em outros sistemas (tubos 
ásperos, peças e conexões) se acham outros números críticos de Reynolds. 
A lei de Hagen-Poiseuille não prediz a transição laminar/turbulento. Essa deficiência deve-se 
às simplificações que foram feitas, no início da derivação desta lei, isto é, um fluxo 
rigorosamente unidimensional. Ponto de partida foi: 
 






∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂
⋅−=
∂
∂
r
u
r
rr
r
rrz
p
rz
η
τ )(1 , 
 
com uz constante e uφ = ur = 0. No fluxo turbulento, por outro lado, os movimentos não são 
constantes ao longo do tempo, além disso uφ e ur têm valores diferentes de zero (ver último 
esboço). Significa que as equações diferenciais dos movimentos completos devem ser 
resolvidas 5. Isso foi possível, por enquanto, somente com altíssimo investimento de 
computação e ainda somente para casos especiais. Mesmo se fosse possível certo dia, com 
ajuda de supercalculadoras vetoriais etc. resolver uma equação geral, mesmo assim o 
engenheiro prático sempre procurará a solução de um problema de fluxo dentro das fórmulas 
aproximadas e simplificadas - simplesmente por que o tempo de cálculo custará muito caro. 
 
 
5
 Disponível da Biblioteca do Campus I do CEFET-MG: 
R.R. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Fenômenos de Transporte, 2a Ed. LTC Rio de Janeiro 2004. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
25 
 
Fig. 5. As equações de movimento completas, em coordenadas cilíndricas. São 
conhecidas como equações de Navier-Stokes (Fonte: R.R.Bird, W.E. Stewart,E.N. 
Lightfoot, Transport phenomena, Wiley NY 1960, p. 85) 
 
Vamos tentar entender a transição do fluxo laminar para turbulento, a partir dos fenômenos 
observados em uma mistura de líquidos coloridos. Em fluxos bastante lentos se estabelece um 
perfil de velocidade parabólico, conforme mostrado acima. Ao aumentar a velocidade, essa 
parábola é esticada cada vez mais, de forma que o miolo avança muito, enquanto as zonas 
marginais estão cada vez mais retidas, em relação ao miolo. Nesta situação as camadas mais 
avançadas têm a tendência de escaparam radialmente para fora, então em direção à parede do 
tubo. Se isso realmente acontece, então há formação de diversos centros de turbulência, afinal 
formam-se muitos redemoinhos ao mesmo tempo que misturam as camadas de forma 
aleatória, ou seja, a transição de laminar para turbulento ocorreu bruscamente. O movimento 
A. Isenmann Operações Unitárias 
26 
principal em direção z fica sobreposto por movimentos aleatórios de mistura. A velocidade 
máxima, umax, continua sendo no miolo do eixo, mas a velocidade do fluxo é quase a mesma, 
ao longo das camadas internas. O perfil parabólico fica fortemente achatado. Por outro lado, 
continua a condição da estacionaridade diretamente na parede do tubo. Isso implica que, em 
uma estreita camada limite o gradiente de velocidade é muito elevado. Essa camada se 
conhece com camada limite de Prandtl. 
Provou-se na prática que a velocidade média do fluxo turbulento é: 
 
max)9,0......8,0( uu ⋅= . 
 
Embora a camada limite de Prandtl ser bastante estreita (maior a velocidade, mais estreita ela 
é), mesmo assim podemos afirmar que dentro dessa camada o caráter do fluxo continua 
laminar. 
 
Fig. 6. Representação do perfil de velocidade do fluxo turbulento 
 
Quando os tufos de turbulência batem na camada limite, eles ficam grudados nesta camada e 
entregam seu momento. 
Na prática se tem, na maioria dos casos, fluxo turbulento. Ele acarreta uma queda em pressão, 
maior do que no fluxo laminar. A equação usada para estimar ∆p é, em analogia ao cap. 2.4.2, 
2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ , pois o caráter desta equação é universal (laminar e turbulento!). 
Como os movimentos no fluxo turbulento são muito mais complexos, é preciso usar um 
coeficiente λ(Re) que foi experimentalmente determinado. Na região turbulenta o coeficiente 
de fricção λ(Re) é menos dependente do número de Reynolds. Além disso, a asperidade do 
tubo torna-se um fator cada vez mais importante. Ela provoca um aumento da espessura da 
camada limite, sobre o qual o miolo turbulento é transportado com baixa fricção. 
Na próxima figura podemos ver a dependência do número de fricção, do número de Reynolds. 
Fica evidente que a asperidade da parede, em caso de turbulência, tem uma influência notável 
sobre o λ. Em casos de turbulência total em tubos ásperos o λ fica quase independente do Re, 
com valores entre 0,02 e 0,04. Nesta situação o modelo do fluxo "sem fricção" é bastante útil 
e vale como simplificação. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
27 
 
Fig. 7. Dependência do coeficiente de fricção, λ, do número de Reynolds, Re, com a 
asperidade relativa, n = k/d, como parâmetro. 
 
Na literatura se encontram várias relações empíricas que foram propostas para determinar 
λ(Re). Nenhuma delas, porém, tem caráter universal, mas vale somente para um caso 
específico. Sendo mencionada como exemplo apenas a relação de Blasius: 
 
25,0Re
316,0
=λ , 
 
que vale para 510Re ≤ e somente para tubos hidraulicamente lisos. 
 
O caminho do cálculo da perda em pressão em tubos pode ser resumido em três etapas: 
1. O cálculo de Re. Deste resultado a gente sabe que tipo de fluxo podemos esperar, ou 
laminar ou turbulento. Daí sabemos quais relações devemos aplicar a seguir. 
2. Cálculo (ou determinação gráfica a partir da Fig. 7) do valor do coeficiente de fricção, 
λ(Re). 
3. Cálculo da perda de pressão usando 2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ 
 
Quando o fluxo da massa (= vazão de massa; ver também cap. 2.5.2), m� , na maioria das 
vezes é dado pela fábrica. 
Aplicamos a transformação da densidade do fluido, conforme: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
28 
2
2
2
444
du
m
d
dt
dL
dt
dm
dL
m
V
m
⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅⋅
==
pipipi
ρ � 
 
Daí, o número de Reynolds para um tubo se obtém através da fórmula: 
 
ηpiη
ρ
⋅⋅
=
⋅⋅
=
d
mdu �4Re . 
 
E para o cálculo da perda de pressão usaremos: 
 
42
8(Re)
d
m
d
Lp
⋅⋅
⋅
⋅⋅=∆
ρpi
λ � . 
 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares 
Quando o fluido passa por peças dentro da tubulação, ele sofre uma queda em pressão extra. 
Essas resistências não se estendem ao longo do caminho, mas são localizadas. Portanto se fala 
de quedas localizadas da pressão. 
Enquanto no fluxo pelo tubo ocorre o fator (L/d) . λ(Re), as quedas de pressão localizadas 
podem ser descritas por um coeficiente ζ: 
 
2
2
1
up ⋅⋅⋅=∆ ρζ , 
 
com ζ = coeficiente de resistência localizada. 
Ao contrário do transporte no tubo, a perda em pressão localizada, provocada por uma peça 
depende muito pouco do número Re, quer dizer, sempre é turbulento. Um resumo das peças 
mais utilizadas e seus coeficientes ζ, se encontram na próxima tabela. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
29 
Tab. 8. Coeficientes z das resistências localizadas, para diversas peças dentro de uma 
tubulação (Fonte: K.F. Pawlow, P.C. Romankow, A.A. Noskow, Beispiele und 
Übungsaufgaben zur Chemischen Verfahrenstechnik, VEB Deutscher Verlag für 
Grundstoffindustrie 1979) 
 
 
A perda total dentro da tubulação se dá da soma, do próprio tubo e das peças localizadas. Para 
tubulações com diâmetro único vale: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
30 
 
2
2
1(Re) u
d
Lp
i
i ⋅⋅⋅






+⋅=∆ ∑ ρζλ . 
 tubo peças 
 
Caso a seção transversal do caminho não seja exatamente circular, deve-se usar, em vez de d, 
o diâmetro hidráulico, dh: 
 
U
Fd h ⋅= 4 , 
 
com F = área da seção e U = circunferência. Como se pode facilmente verificar, essa 
expressão se reduz a dh = d, caso a passagem realmente seja circular (com 4
2dF ⋅= pi e 
dU ⋅= pi ). 
 
No cálculo de problemas de transporte muitas vezes se resume todas as resistências, inclusive 
a do tubo reto: 
 
Σ≡






+⋅ ∑
i
id
L ζλ(Re) . 
 
A queda em pressão na tubulação é assim 
 
2
2
1
up ⋅⋅⋅Σ=∆ ρ . 
 
2.5 Balanço do transporte do fluido 
Para resolver problemas de transporte, a engenharia precisa de expressões matemáticas 
manejáveis que unem as grandezas físicas de importância no transporte. Problemas mais 
complexos de transporte podem ser resolvidos com a técnica da análise dimensional (a ser 
apresentada no cap. 3.3, na p. 97). As relações fundamentais da teoria do transporte, isto é, 
condição de continuidade e equação de Bernoulli, podem ser aplicadas de maneira simples e 
segura, através de um balanço simples, como será mostrado a seguir. 
 
2.5.1 Equações de balanço 
Os balanços podem ser divididos em expressões integrais e diferenciais. No caso do balanço 
integral (mais fácil) a grandeza a ser determinada se refere a um trecho macroscópico da 
tubulação, enquanto o balanço diferencial se refere a um elemento de volume infinitamenteA. Isenmann Operações Unitárias 
31 
pequeno. O balanço diferencial leva a várias equações diferenciais que devem ser 
devidamente integradas, sobre todo o trecho do transporte. Isso geralmente é possível, 
somente com um alto desempenho de cálculo. Por outro lado, com um balanço integral se 
obtém rapidamente uma equação simples que leva ao resultado desejado. A desvantagem do 
último, porém, é a falta inerente de detalhes sobre as particularidades da tubulação. 
a) Condição da continuidade (= constância da massa) 
Consideremos uma tubulação onde o diâmetro se aumente: 
 
Em um fluxo contínuo e constante a velocidade na parte mais larga é menor que na parte mais 
estreita. Através da lei da manutenção das massas podemos calcular os fluxos de massa, nos 
dois pontos de controle 1 e 2: 
 
21 mm �� = . 
 
Inserimos a definição do fluxo da massa, 
 
uFm ⋅⋅= ρ� ; 
4
2dF ⋅= pi , 
 
obtemos diretamente a equação de continuidade: 
 
222111 uFuF ⋅⋅=⋅⋅ ρρ ou, em outras palavras: .constuF =⋅⋅ ρ 
 
Para fluidos incompressíveis (líquidos) a expressão fica mais simples ainda, pois 
ρρρ == 21 : 
2211 uFuF ⋅=⋅ . 
 
b) Equação de Bernoulli (balanço da energia por unidade de volume) 
Primeiro um modelo bastante simples: um fluido idealizado que não mostre fricção interna, 
então o modelo do fluxo sem fricção. Esse fluido se move de um reservatório mais alto 
(estado 1) através da tubulação para um reservatório mais baixo (estado 2). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
32 
 
Os dois estados sejam caracterizados pela velocidade do fluxo, também chamada de vazão, u, 
pela altura h e pela pressão p. Em caso de fluxo sem fricção (isto é, não há perdas de energia 
para fora) vale a lei da manutenção da energia (sempre relacionada ao volume, mostrado pelo 
índice sobrescrito, v ): 
 
.constpEE vpot
v
cin =++ , 
 
onde 2
2
1
uE vcin ⋅⋅= ρ e hgE vpot ⋅⋅= ρ . 
 
Obtemos diretamente a equação de Bernoulli para o caso sem fricção (com g = aceleração 
gravitacional): 
 
.
2
1 2 constphgu =+⋅⋅+⋅⋅ ρρ 
 
Sua aplicação nos estados 1 e 2 fornece: 
 
22
2
211
2
1 2
1
2
1 phguphgu +⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅+⋅⋅ ρρρρ . 
 
Escrito como diferença: 
 
( ) 0
2
1 2
2
2
1 =∆+∆⋅⋅+−⋅⋅ phguu ρρ , 
 
com 21 hhh −=∆ e 21 ppp −=∆ . 
 
Exemplo da sua aplicação: escoamento de um tanque de reservatório (simplificação: o nível 
do fluido dentro do reservatório seja constante ao longo do processo). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
33 
 
 
Para o escoamento sem fricção obtemos diretamente: 
 
phgu ∆+∆⋅⋅=⋅⋅ ρρ 2
2
1
. 
 
Desta equação segue, para a velocidade do escoamento, u: 
 
( )
ρ
ρ hgp
u
∆⋅⋅+∆
=
2
. 
 
Isso vale tanto para o transporte sob pressão externa quanto para o transporte hidrostático. 
Em casos reais, porém, temos que levar em consideração a fricção, pois os fluidos geralmente 
são retidos dentro da tubulação. Por isso, adicionamos o termo da queda em pressão devido à 
fricção, 2
2
1
up ⋅⋅⋅Σ=∆ ρ , ao lado esquerdo da equação: 
 
phguu ∆+∆⋅⋅=⋅⋅⋅Σ+⋅⋅ ρρρ 22
2
1
2
1
. 
 
( ) phgu ∆+∆⋅⋅=Σ+⋅⋅⋅ ρρ 1
2
1 2
. 
 
Essa relação formará mais adiante a base para o dimensionamento de bombas. 
Para a velocidade do fluxo sob fricção obtemos então: 
 
( )
( )Σ+⋅
∆⋅⋅+∆
=
1
2
ρ
ρ hgp
u . 
 
2.5.2 Medição da vazão 
Para o regulamento e o controle de processos químicos é preciso fazer medições diretas da 
vazão, seja do fluxo de massa ou do fluxo de volume. A vazão é a terceira mais importante 
A. Isenmann Operações Unitárias 
34 
grandeza a ser medida na engenharia química. A vazão, ou quantidade em fluxo, se mede e se 
calcula através da velocidade média da corrente, u (a seguir simplesmente: u). Uma vez 
obtida a velocidade u de um fluido da densidade ρ, fluindo em um tubo da área transversal F, 
daí podemos indicar as quantidades em fluxo: 
 
uFV ⋅=� Fluxo de volume = vazão de volume 
e 
uFm ⋅⋅= ρ� Fluxo de massa = vazão de massa. 
 
Como já dito acima, a maioria dos fluxos aplicados é bastante rápida e turbulenta. O 
equipamento para sua medição é geralmente uma sonda que é fixada centralizada dentro do 
tubo: 
 
 
a) Medição direta do fluxo 
O medidor de vazão tipo turbina 6 possui hoje uma tecnologia consagrada nas diversas 
aplicações para medição de vazão para líquidos e gases, principalmente onde são requeridos 
precisão, confiabilidade e robustez, como também a melhor relação custo-benefício. 
As características principais são: 
• Utilização em processos industriais, laboratórios, contabilização e transferência de 
custódia. 
• Exatidão melhor do que 0,5% para líquidos e 1% para gases. 
• Vazões de 0,08 a 2.800 m³/h para líquidos e de 0,5 a 20.000 m³/h para gases. 
• Conexões para processo tipo flangeadas, rosqueadas ou sanitárias. 
• Tempo de resposta baixo, ideal para processos de bateladas. 
 
Princípio de funcionamento: 
O medidor de vazão tipo turbina consiste basicamente de um rotor, montado entre buchas em 
um eixo, que gira a uma velocidade proporcional à velocidade do fluido dentro do corpo do 
medidor. Um sensor eletromagnético (pick-up) detecta a velocidade de giro do rotor gerando 
um trem de pulsos que serão transmitidos para um indicador eletrônico que fornecerá uma 
leitura em vazão instantânea e totalização nas unidades de engenharia ou transmitindo um 
sinal analógico de 4 a 20 mA. 
 
 
6
 http://www.hdtechsolucoes.com.br/auxiliar/catalogoturbina.pdf 
A. Isenmann Operações Unitárias 
35 
 
Fig. 8. Medição da vazão por uma turbina: modelo com leitor digital (esquerda) e 
mecânico (direita). 
 
Aplicações típicas 
O medidor de vazão tipo turbina é bastante versátil. Hoje, ele é aplicado em medição de 
consumo de combustíveis, nas indústrias químicas, petroquímicas, farmacêuticas, refinarias, 
papeleiras, saneamento básico, tratamento e distribuição de água, alimentícia, geradoras de 
energia elétrica, distribuidoras de gasolina, postos de abastecimentos de gás veicular, etc. 
Os processos industriais controlados por turbinas são: 
• Venda, contabilização ou apropriação de matéria-prima ou produto final. 
• Transferência de custódia. 
• Bateladas em processos industriais. 
• Processos de mistura de líquidos ou gases. 
• Automatização em processos e envasamento. 
• Medição de consumo de combustíveis líquidos ou gasosos. 
 
O medidor à turbina se destaca dos demais medidores, a serem apresentados a seguir, porque 
registra um valor integral do volume, Vdt
dt
dVV
t
== ∫∫ � . Desde o início da medição o aparelho 
conta o volume percorrido pela tubulação e caso haver uma parada do fluxo, o contador 
guarda seu último valor. Por outro lado, os equipamentos descritos a seguir registram um 
volume diferencial, quer dizer, a vazão momentânea, 
dt
dVV =� . Quando o fluxo pára, o 
mostrador destes aparelhos ficará em zero. A informação sobre a vazão antigamente medida 
se perdeu. 
A base da medição da vazão pelos aparelhos apresentados a seguir, é a equação de Bernoulli, 
sem a contribuição geodésica (situação horizontal) e sem os termos de fricção: 
 
2
2
21
2
1 2
1
2
1 pupu +⋅⋅=+⋅⋅ ρρ . 
 
Devemos tomar providência que em dois pontos de controle, 1 e 2, se têmdiferentes 
velocidades de fluxo, u1 e u2. Daí se mede como resposta a queda em pressão, ∆p. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
36 
b) Registrador de velocidade via pressão dinâmica 
É um método bastante simples, mas hoje menos usado. Baseia-se no fato de que um corpo, 
quando introduzido numa corrente, é envolto pelo fluido e em pelo menos um ponto a 
velocidade do fluido se torna zero. Este ponto é chamado de ponto de remanso ou de 
estagnação. 
A partir da equação de Bernoulli obtemos com esse ponto (u2 = 0): 
 
21
2
12
1 ppu =+⋅⋅ ρ . 
 
O termo 212
1
u⋅⋅ ρ é denominado de pressão dinâmica. 
 
 
Mede-se então a diferença, ∆p, e desta se calcula a velocidade do fluxo, u1. 
Com o tubo de pressão dinâmica de Prandtl (esquema abaixo) pode-se medir diretamente a 
diferença em pressão, ∆p, que aqui se dá da diferença entre a pressão p2 (= pressão total = 
pressão de estagnação = pressão dinâmica + pressão estática) e p1 (pressão estática): 
 
2
12
1
up ⋅⋅=∆ ρ . 
 
Calculamos a velocidade do fluxo por: 
 
ρ
p
u
∆⋅
=
2
, 
 
com ( ) hgp M ∆⋅⋅−=∆ ρρ , onde ρM = densidade do líquido dentro do tubo U manométrico. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
37 
 
Fig. 9. Tubo de pressão dinâmica segundo Prandtl, também conhecido como tubo de 
Pitot, aplicável em fluidos gasosos e líquidos em fluxo laminar. 
 
É importante que o tubo de Prandtl (também conhecido como tubo de Pitot) seja exatamente 
alinhado à corrente de escoamento, caso contrário se esperam grandes desvios, tanto na 
medição da pressão estática (na lateral do tubo) quanto da pressão total (na ponta do tubo). 
Mesmo se o tubo for perfeitamente alinhado, a medição da pressão estática geralmente é 
afetada com desvios positivos, pois a sua tomada de medição está sujeita aos componentes 
transversais do escoamento turbilhonado. Os vetores não direcionados do fluxo provocam, ao 
mesmo tempo, um desvio negativo na medição da pressão de estagnação. O tubo fornece 
então os melhores resultados, com fluxos rigorosamente laminares. Como é difícil garantir 
isso na prática, a escala no tubo U (manômetro) deve ser aferida, especialmente para as 
correntezas de maior velocidade. 
Aplicação principal do tubo de Prandtl: 
Monitoramento de fluxos contínuos (e constantes), controle de fluidos de 
refrigeração/aquecimento em trocadores de calor. Ele tem também uma famosa aplicação fora 
da produção industrial: o "Pitot" é o clássico velocímetro dos aviões. 
 
c) Passagem em estreitamento 
Dentro de um estreitamento a velocidade do fluxo u aumenta (ver equação de continuidade). 
A pressão estática p, porém, diminui neste trecho - isso é o resultado da equação de Bernoulli 
7
. 
 
 3
2
32
2
21
2
1 2
1
2
1
2
1 pupupu +⋅⋅=+⋅⋅=+⋅⋅ ρρρ 
 
7
 Esse fato, aliás, explica também o efeito da sustentação numa asa de avião, pois o extradorso é mais curvado, 
portanto o fluxo do ar fica mais rápido e a pressão fica reduzida. Essa diferença em pressão, no extradorso e no 
intradorso, afinal causa a força sustentadora e faz o avião voar. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
38 
 
No caso de fluxo sem fricção temos então as mesmas condições, nos pontos de controle 1 e 3, 
já que o diâmetro do tubo é idêntico nestes locais. 
Os perfis de velocidade e da pressão têm então a seguinte forma: 
 
 
Fig. 10. Perfil de velocidade e perfil de pressão 
 
Agora olhamos nos pontos de balanço 1 e 2. No caso ideal, onde não tiver fricção, obtemos: 
 
( )21222
1
uup −⋅⋅=∆ ρ . 
 
Com a equação de continuidade, 2211 uFuF ⋅=⋅ , obtemos: 
 








−





⋅⋅⋅=∆ 1
2
1
2
2
12
1 F
F
up ρ , 
 
ou seja: 
 








−





⋅
∆⋅
=
1
2
2
2
1
1
F
F
p
u
ρ
. 
 
Conhecem-se os diâmetros do tubo, F1 e F2, também a densidade ρ do fluido. A velocidade do 
fluxo u1 se dá então da queda em pressão medida, ∆p. Devido à "contração de jato" e à fricção 
real, porém, precisamos de correções na prática. A contração de jato é um fenômeno que se 
observa durante a passagem rápida de um fluido através de um estreitamento: o perfil de fluxo 
mais estreito não se mede exatamente no ponto mais estreito da passagem, mas um pouco 
depois (ver Fig. 11b). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
39 
Na prática se aprovaram especialmente as medições pelo tubo de Venturi 8 e dispositivos de 
blendas. 
 
 
Fig. 11. Dispositivos de estreitamento: 
 a) Tubo de Venturi b) Blenda 
 
Vantagem do tubo de Venturi: oferece pequena resistência adicional ao fluxo, então a queda 
de pressão causada pelo próprio instrumento é pequena. 
Vantagem de blendas: são muito robustos e baratos. 
 
d) Aparelhos com bóia 
Esses instrumentos servem para medir pequenas quantidades de fluxo (= fluxo lento). Trata-se 
de um tubo transparente, de paredes retas e cônicas, na posição vertical, dentro do qual se 
encontra uma bóia pontiaguda. O fluido que vem de baixo passa no anel no espaço aberto, 
entre a parede fixa do tubo e a beirada superior da bóia. Mais alta a velocidade do fluido, mais 
alta a posição da bóia na qual ela entra em flutuação (posição estável). Ao contrário dos 
dispositivos de jato e blenda, a passagem mais estreita deste aparelho não está fixa, mas varia 
junto à quantidade de matéria que passa por ela em determinado período, V� ou m� . 
 
 
Importantes são as áreas circulares nos pontos de balanço 1 e 2, que se abrem entre o tubo 
fixo e a bóia. Nestas temos sempre: 21 FF >> ; isso levará a alguma simplificação adiante. 
 
8
 O tubo de Venturi também é o dispositivo usado como velocímetro na aviação (isto é, mede a velocidade que o 
avião tem em relação ao vento natural). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
40 
 
Fig. 12. Os pontos de balanço na bóia. ////// = área entre bóia e parede. 
À esquerda: fundo da bóia (fluido numa passagem larga;) 
À direita: topo da bóia (fluido numa passagem estreita). 
 
Devido à forma cônica do tubo a área F2 depende da posição da bóia: 
 
hCF ⋅=2 , com C = constante do aparelho e h = altura relativa da bóia. 
 
A leitura da altura relativa h é possível quando se estabeleceu um estado de flutuação (= bóia 
parada). Nesta situação se estabeleceu um equilíbrio das forças: 
• a força da pressão Kp, com direção para cima e 
• a forças gravitacional Kg, reduzida pela força de sustentação Ka. 
 
agp KKK −= , 
 
onde pFK Sp ∆⋅= , gmK Sg ⋅= e gVK Sa ⋅⋅= ρ . 
 
Fig. 13. Esboço da bóia, com os marcos construtivos e as variáveis usadas no cálculo. 
Neste esboço a área grifada ////// represente a área ocupada pelo topo da bóia. 
 
gVgmpF SSS ⋅⋅−⋅=∆⋅ ρ . 
 
FS = área da bóia que desloca o fluido, ∆p = diferença de pressão entre os dois pontos de 
balanço, mS = massa da bóia, VS = volume da bóia, ρS = densidade da bóia, ρ = densidade do 
fluido, g = aceleração gravitacional. 
Com 
A. Isenmann Operações Unitárias 
41 
 
S
S
S
mV
ρ
= e reorganizar obtemos a última equação debalanço na seguinte forma: 
 






−
⋅
=∆
SS
S
F
gm
p
ρ
ρ1 . 
 
Como somente entram valores constantes (para um dado fluido), então podemos afirmar que a 
diferença em pressão também é uma constante do aparelho. 
A equação de Bernoulli nos dois pontos de balanço fornece uma relação entre a diferença em 
pressão e as velocidades do fluxo: 
 
( )212221 2
1
uuppp −=−=∆ ρ . 
 
Com a condição de continuidade, 2211 uFuF ⋅=⋅ , podemos escrever para a velocidade do 
fluxo u2 (isto é, no anel estreito): 
 














−⋅
∆⋅
=
2
1
2
2
1
2
F
F
p
u
ρ
. 
 
Devido a 21 FF >> podemos escrever isso, com boa aproximação: 
 
ρ
p
u
∆⋅
=
2
2 . 
 
Conforme a essa equação a velocidade do fluxo também é praticamente uma constante. 
Mesmo assim, conseguimos medir a quantidade do fluido, pelo fato que não medimos u2, mas 
sim, a vazão de volume, V� . 
 
22 uFV ⋅=� . 
 
Nesta inserimos as expressões que achamos para u2, F2 e ∆p e obtemos: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
42 






−
⋅
⋅⋅
⋅⋅=
SS
S
F
gmhCV
ρ
ρ
ρ
1.2� 
 






⋅
−⋅⋅
⋅⋅=
ρρ
ρρ
S
S
S
S
F
gmhCV .2� . 
 
E a vazão de massa, m� se dá como: 
 
( )ρρ
ρ
ρρ −
⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅= S
SS
S
F
gmhCVm .2�� . 
 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas 
Em geral, entende-se por transporte o deslocamento de fluidos de um estado de baixa energia 
potencial (= baixa altura ou baixa pressão), a um nível de energia mais alto. Neste capítulo 
vamos fazer a restrição de fluidos líquidos, enquanto o transporte de gases, devido às suas 
particularidades, será tratado aparte, no cap. 2.7. 
O líquido é transportado de um recipiente de estoque 1 (u1 = 0, quer dizer, nos 
desconsideramos o abaixamento do nível durante a vazão), via uma tubulação com perdas por 
fricção, até o local do consumidor 2 (geralmente um reator químico ou um outro recipiente). 
Isso aconteça com a velocidade u2 = u, tudo conforme o esboço a seguir. 
 
Fig. 14. Esquema de uma tarefa de transporte 
 
Para a finalidade de transporte usa-se geralmente uma bomba que proporciona ao sistema a 
energia externa/unidade de volume, VBE . Somente em casos especiais se aproveita neste da 
energia potencial hidrostática (= diferença em altura ou aplicação de ar pressurizado sobre o 
reservatório 1). 
No transporte contínuo a energia fornecida pela bomba é do mesmo módulo que a diferença 
em energia potencial entre partida e destino, mais a energia perdida por fricção, mais a 
energia que se precisa para a aceleração à velocidade u. Sendo assim, podemos escrever o 
balanço da energia: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
43 
 
V
cin
V
fric
V
pot
V
B EEEE ∆+∆+∆= . 
 
Neste balanço significam: 
hgpEVpot ∆⋅⋅+∆=∆ ρ Energia potencial/Volume 
Σ⋅⋅=∆ 2
2
1
uEVfric ρ 
Perda de energia por fricção/Volume 
2
2
1
uEVcin ⋅=∆ ρ 
Energia cinética/Volume 
 
Inserimos essas expressões: 
 
( )Σ+⋅⋅+∆⋅⋅+∆= 1
2
1 2uhgpEVB ρρ 
 
Essa é a equação-base para o cálculo da energia necessária, a ser entregue para o sistema. 
Lembramos que o símbolo "∆" represente a diferença entre o nível do destino 2 (= 
consumidor) e o nível de origem 1 (reservatório). 
Muito usada na técnica é a "equação de nivelamento", isto é, o balanço acima dividido por 
g⋅ρ . Daí: 
 
( )Σ+⋅+∆+
⋅
∆
=
⋅
= 1
2
2
g
uh
g
p
g
EH
V
B
ρρ
, 
 
abreviado: 
 
frichP HHHH ++= . 
 
Nesta significam: 
g
pH P
⋅
∆
=
ρ
 
Altura da pressão 
12 hhhH h −=∆= Altura geodésica 
( )Σ+⋅= 1
2
2
g
uH fric 
Altura da fricção, já incluso o termo da 
aceleração 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
44 
H é a altura do bombeamento, ou seja, a altura útil de transporte da bomba. Para uma certa 
planta pode ser calculada, através da equação acima, o trabalho que a bomba entrega, 
exprimida em altura útil de transporte. 
Para o dimensionamento de uma bomba precisamos, além da altura útil H, um segundo fator. 
Tem várias possibilidades: 
• indicar a vazão de massa, 
dt
dm
m =� 
• indicar a vazão de volume, 
dt
dVV =� ou 
• indicar a potência requisita pela bomba, mais específico, a potência útil, Nutil. 
 
A potência saindo da bomba é: 
 
Volumetempo
VolumeEneriga
tempo
Enerigaútil Potência
/
/
== . 
 
Podemos escrever isso como: 
 
V
B
BBB
util EVV
EV
VV
E
t
EN ⋅=⋅=== ��
�
 
 
Ampliamos com o fator g⋅ρ : 
 
g
E
gVN
V
B
util
⋅
⋅⋅⋅=
ρ
ρ� . 
 
O último termo já conhecemos como altura útil da bomba: 
 
HgmHgVNutil ⋅⋅=⋅⋅⋅= �� ρ , 
lembrando que ρ⋅= Vm �� e 
g
EH
V
B
⋅
=
ρ
. 
 
Nutil é a potência que realmente está sendo transferida ao sistema de transporte. Como a 
bomba mesmo tem perdas internas (que são dissipadas em forma de calor), a potência 
recebida pela fonte elétrica, Nel, sempre fica maior do que a potência entregue ao fluido, Nutil. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
45 
 
 
A eficiência da bomba, ε, é definido por: 
 
1<=
el
util
N
N
ε . 
 
O valor ( mais perto de 1, melhor o aproveitamento) da maioria das bombas em uso hoje fica 
entre 0,5 < ε < 0,95. 
Quais as causas destas perdas imensas? 
• Perdas dentro da bomba (de natureza mecânica, perda nas caçambas/alcatruzes) 
• Perdas no motor (fricção, indução, mau contato). 
 
2.6 Bombas 
O transporte de líquidos requer bombas, com apropriado perfil de potência e outras 
características. As bombas mais usadas na indústria química são (em ordem decrescente de 
importância): 
� Bomba centrífuga 
� Bomba rotativa 
� Bomba helicoidal 
� Bomba parafuso 
� Bomba a pistão 
� Trompa 
� Bomba de mamut 
 
Na maioria dos problemas de transporte temos a escolha de diversos tipos de bombas. Os 
critérios da nossa escolha são, além das propriedades acerca do transporte: 
� Confiabilidade 
� Condições de operação 
� Custos de investimento 
� Custos de operação 
� Segurança de trabalho e, como sempre, 
� As experiências que a fábrica já colecionou com certo tipo de bomba. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
46 
Uma classificação das bombas, segundo princípio do funcionamento: 
� Bombas de deslocamento (bombas de êmbolo, de membrana ou de engrenagem) 
� Bombas rotativas (bomba centrífuga, bomba de palhetas) 
� Bombas com meio de propulsão (trompas a vapor; trompa d´água) 
� Bombas de gás pressurizado (bomba de mamut) 
 
A seguir vamos rascunhar apenas o princípio de funcionamento e as características mais 
importantes das duas bombas mais importantes, a bomba a pistão/membrana e a bomba 
centrífuga. 
 
2.6.1 Bombas de deslocamento 
No caso das bombas de deslocamento o corpo em movimento pode fazer um movimento vai-
vem (bomba de êmbolo ou de membrana) ou pode rotar (bomba de engrenagem, de palhetas 
rotativas, bomba peristáltica). 
a) Bomba de êmbolo 
O princípio de funcionamento é mostrado na Fig. 15. O corpo de deslocamento (pistão) é 
movido, através de um disco descentralizado, em um cilindro equipado com válvulas. Quando 
o pistão vai à direita, a válvula do lado da pressão se abre enquanto a válvula dolado de 
sucção se fecha. Nesta fase de trabalho o líquido está sendo transportado. 
Durante o movimento à esquerda o líquido é chupado dentro do cilindro, porque agora a 
posição das válvulas é invertida. Isso já mostra que a bomba de êmbolo simples acarreta uma 
vazão altamente ondulada. Um certo alisamento da pulsação se consegue com a ajuda de 
reservatórios pressurizados, conforme o esboço. 
 
 
Fig. 15. Funcionamento da bomba a êmbolo. 
 
Neste aspecto já mais favoráveis são as bombas de pistão de dupla face (Fig. 16), onde ambas 
as direções do pistão provocam o transporte de líquido para a tubulação. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
47 
 
Fig. 16. Bomba de pistão de dupla face 
Uma característica importante das bombas de êmbolo é a independência de altura de 
transporte e da quantidade transportada - até chegar num valor máximo. Essa característica de 
transporte é mostrada na Fig. 17. Também importantes são o regulamento da quantidade 
transportada através do número de rotações da bomba (frequência) e o modo de trabalho em 
auto-sucção. 
 
Fig. 17. Característica de uma bomba de êmbolo; n = rotações/min. 
 
Esse tipo de bomba se usa, especialmente quando se pretende gerar altas pressões. Elas são 
altamente confiáveis, mas em comparação aos outros tipos grandes, pesadas e caras. Outra 
desvantagem é a necessidade de válvulas que são consideradas as partes mais vulneráveis. As 
tubulações indo e saindo à bomba jamais podem ser fechadas, pois assim a pressão 
rapidamente se aumenta e leva imediatamente ao estrago da bomba. Portanto, as tubulações 
conectadas a este tipo de bomba sempre são equipadas com válvulas de segurança. 
Bombas de êmbolo têm uma eficiência relativamente alta (0,8 < ε < 0,9). 
 
b) Bombas com membrana 
Bombas de membrana são bombas de deslocamento robustas onde uma membrana de 
borracha ou um outro elastômero serve como deslocador. Ela trabalha no mesmo princípio 
que a bomba de êmbolo, com a diferença que o fluido não necessariamente entra em contato 
com partes metálicas da bomba. Sendo assim, pode ser usada para transportar líquidos 
corrosivos, tais como ácidos, bases e lodos. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
48 
 
Fig. 18. Princípio da bomba a membrana 
 
Outras bombas de deslocamento são a de engrenagem e a de palhetas rotativas, onde o 
volume de carregamento se enche continuamente com fluido, então o transporte não é 
submetido a pulsações fortes. Destas duas a bomba de engrenagem produz o perfil de pressão 
mais uniforme, portanto é usada, além de tarefas industriais onde precisam de pressões altas e 
pouca quantidade de volume, na analítica (bombas de HPLC), onde a constância da vazão é 
de suma importância. Já a bomba de palhetas é usada para tarefas onde uma leve pulsação é 
aceita, seu caráter universal se deve ao fato que pode ser usado, tanto para o transporte de 
líquidos (indústria) quanto para gases (princípio da nossa bomba de vácuo do laboratório). 
 
 
Fig. 19. Bomba de engrenagem e Bomba de palhetas rotativas 
 
Outra vantagem destas duas bombas é que não requerem de válvulas e que podem transportar 
líquidos de praticamente qualquer viscosidade. 
 
2.6.2 Bombas centrífugas 
A bomba centrífuga tem uma carcaça fixa e no seu interior uma roda equipada com pás que se 
move com altas rotações (Fig. 20). O fluido entra no meio, através do eixo do rotor, por uma 
manga de sucção e flui através das pás, de dentro para fora. Neste trecho está sendo 
fortemente acelerado, isto é, a energia está sendo entregue em forma de momento angular. 
Bombas centrífugas providenciam uma vazão contínua com poucas ondulações. Ela não 
precisa de válvulas nem reservatório pressurizado. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
49 
Um ponto fraco é que esse tipo de bomba não tem força para auto-sucção. Para que não 
andam vazias, elas geralmente são implantadas na parte mais baixa do circuito. Onde isso não 
for possível se aplica uma válvula de retenção (que impede qualquer fluxo reverso). 
 
Fig. 20. Bomba centrífuga 
 
Hoje se têm no mercado também bombas centrífugas de auto-sucção. Elas têm em cima do 
seu eixo uma pequena bomba auxiliar que providencia o vácuo. A eficiência da bomba 
centrífuga fica abaixo das bombas de deslocamento, geralmente entre 0,3 < ε < 0,8. Na Fig. 
21 temos a característica de uma bomba centrífuga, onde se verifica que uma boa eficiência 
somente se tem em uma margem estreita de altura útil de transporte, H, e vazão de volume, 
V� . Portanto, cada bomba centrífuga deve ser conceituada para uma aplicação específica, para 
assegurar seu funcionamento dentro da área ótima. 
 
Fig. 21. Características de uma bomba centrífuga 
 
As alturas úteis desta bomba geralmente são pequenas, mas o volume transportado é enorme. 
Portanto, ela é a bomba mais utilizada na indústria química. Onde for preciso transportar a 
uma altura maior, a solução pode ser o emprego de várias bombas centrífugas em série. 
As bombas centrífugas geralmente trabalham a rotações constantes. Portanto, o seu 
dimensionamento requer um cálculo especialmente carinhoso. Já pequenas mudanças no 
transporte geralmente significam que se precisa de uma outra bomba. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
50 
 
Comparação entre bomba de êmbolo e bomba centrífuga 
A seguinte tabela mostra as características mais importantes das bombas, isto são: 
� Vazão de volume, V� 
� Altura útil de transporte, H e 
� Potência nominal, Nutil, 
em dependência das rotações por minuto, n. 
 
Grandeza Bomba de êmbolo Bomba centrífuga 
V� ~ n ~ n 
H = constante ~ n² 
Nutil ~ n ~ n³ 
 
As bombas centrífugas são menores e mais compactas e são utilizadas para transportar um 
grande volume de líquido. Por outro lado, as bombas de êmbolo são mais adequadas para 
finalidade de dosagem, pois a quantidade do líquido fica diretamente proporcional à rotação 
da bomba - mesmo sob contrapressões variáveis. 
Como já dito acima, as bombas de êmbolo são de auto-sucção - ao contrário das bombas 
centrífugas. Mesmo assim, caso o fluido seja água, elas não devem ser instaladas a mais de 10 
m acima do poço de estoque (porquê?). 
Os custos acerca da fabricação, instalação e uso continuado são mais baixos na bomba 
centrífuga. 
 
2.7 Transporte de gases 
As considerações até então se restringiram a fluidos incompressíveis (= líquidos). O que é 
novo no transporte de gases é a variação do seu volume, ao aumentar a pressão, conforme 
descrito pela lei dos gases. No transporte dos gases a maior variação em pressão certamente 
ocorre dentro do meio de transporte que seja, neste caso: 
� Densificador 
� Compressor ou 
� Ventilador. 
Portanto, é costume e geralmente suficiente considerar as mudanças em pressão, diretamente 
nestes dispositivos. A experiência mostra que a queda em pressão na demais tubulação é 
pequena, em comparação à mudança da pressão no local do meio de transporte. Além disso, o 
termo da altura hidrostática pode ser desconsiderado, devido à baixa densidade dos gases. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
51 
 
Fig. 22. Perfil da pressão ao redor do meio de transporte de gases. 
 
Por fins didáticos vamos manter a expressão "bomba" neste capítulo, em vez de discriminar 
conforme a lista acima. 
Para a densificação do gás dentro da bomba é preciso um trabalho devolume, pV ∆⋅ que, 
relacionado ao tempo, corresponde à potência útil, Nutil da bomba. Para pequenas mudanças 
em volume podemos indicar a potência útil como: 
 
ρ
p
mpVNutil
∆
⋅=∆⋅= �� . 
 
Com maiores mudanças em pressão deve-se aplicar o valor integral, medido entre o lado de 
sucção (índice S) e o lado da pressão (índice P): 
 
∫⋅=
P
S
util
dp
mN
ρ
� . 
 
Inserimos para a densidade a lei dos gases: 
 
TR
pM
⋅
⋅
=ρ , com M = massa molar média, daí obtemos: 
 
∫
⋅
⋅
⋅
=
P
S
util p
dpT
M
RmN
�
. 
 
Teoricamente seria o melhor se poderíamos operar a bomba de modo isotérmico. Só que isso 
requeria gastos altos demais para refrigeração, pois os gases se esquentam bastante ao serem 
comprimidos (efeito de Joule-Thomson). Embora na prática aplica-se uma refrigeração 
razoável, podemos constatar para o funcionamento da nossa bomba um elevado caráter 
adiabático. Portanto, vamos considerar esses dois casos limites, para depois concluir ao caso 
real. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
52 
a) Caso limite da compressão isotérmica (dT = 0). 
Sob refrigeração ideal poderíamos usufruir da máxima potência da bomba. Caso T = 
constante, a equação acima pode ser integrada diretamente: 
 
S
P
util p
p
M
TRmN ln⋅⋅⋅= � . 
 
b) Caso limite da compressão adiabática (dQ = 0) 
Adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente e temos que usar a lei de 
Poisson: 
 
T
dT
p
dp
⋅
−
=
1κ
κ
, 
com o coeficiente de Poisson, 
V
p
c
c
=κ para corrigir a mudança da pressão junto à 
temperatura. Inserimos essa relação na equação geral em obtemos: 
 
∫⋅
−
⋅
⋅
=
P
S
util dTM
RmN
1κ
κ�
. 
 
A integração fornece a potência útil para o caso adiabático: 
 
( )SPutil TTM
RmN −⋅
−
⋅
⋅
=
1κ
κ�
. 
 
c) O caso real 
Na realidade o gás sempre se mostra "politrópico". Neste caso que fica entre os casos limites, 
se provou útil usar uma expressão politrópica que na sua estrutura é semelhante à lei de 
Poisson: 
 
T
dT
n
n
p
dp
⋅
−
=
1
. 
 
Nesta relação n é o expoente politrópico cujo valor fica entre 1 e κ (lembre-se que κ de um 
gás diatômico é 1,4!). Para a potência útil obtemos então: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
53 
( )SPutil TT
n
n
M
RmN −⋅
−
⋅
⋅
=
1
�
. 
 
Para exprimir as temperaturas TP e TS dos dois lados da bomba, pelas pressões, podemos usar 
a expressão politrópica na sua forma integrada: 
 
S
SP
n
n
S
P
T
TT
p
p −
=−





−
1
1
. 
 
Inserimos essa e obtemos para a potência útil: 
 










−





⋅
−
⋅
⋅⋅
=
−
1
1
1
n
n
S
PS
util p
p
n
n
M
TRmN
�
. 
 
Para a razão de densificação obtemos com isso: 
 
111
−






⋅⋅
⋅
⋅
−
+=
n
n
S
util
S
P
TRm
NM
n
n
p
p
�
. 
 
O contexto entre a potência útil Nutil e a altura útil de transporte H é: 
 
HgmNutil ⋅⋅= � . 
 
Inserimos em cima, obtemos a relação entre a razão de densificação, pP/pS, e a altura útil da 
bomba: 
 
111
−






⋅
⋅⋅
⋅
−
+=
n
n
SS
P
TR
HgM
n
n
p
p
. 
 
A razão de densificação das bombas é limitada a aproximadamente 10, devido aos limites em 
sequestrar o calor. Os valores mais realizadas são: 
 
86 ≤≤
S
P
p
p
. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
54 
 
Caso se exija uma densificação além deste, é necessário um sistema de bombas em série. 
Atenção: a razão de densificação não fala nada sobre a pressão absoluta! Sendo assim, não 
importa se a densificação será de 1 para 8 MPa ou de 8 para 64 MPa - em cada caso é preciso 
apenas uma bomba. 
Os princípios de funcionamento das bombas dos gases correspondem, na maioria dos 
aspectos, aos princípios das bombas de líquidos apresentados no cap. 2.6. 
 
 
2.8 Fluxo em leitos fixos 
2.8.1 Exemplos e definições 
Na indústria química encontramos uma série de processos com operações unitárias onde o 
fluido passa por um leito particulado que pode ser, por exemplo, cascalho, areia, materiais 
adsorventes, catalisadores ou corpos de recheio na retificação. Interessante é, portanto, ter 
conhecimentos do funcionamento e dos parâmetros deste fluxo. 
Vamos primeiro olhar em exemplos de importância técnica. 
 
Fig. 23. Operações unitárias que incluem a penetração de um leito fixo. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
55 
 
Fig. 24. Reatores que aproveitam de leitos. 
 
Em um leito fixo as partículas sólidas mantêm sua posição. Caso este leito é penetrado pelo 
fluido de baixo, isso somente vale até o ponto de soltura (ver seção 2.9). 
Importante na passagem do fluido por um leito sólido é a relação entre velocidade do fluxo e 
a perda em pressão, ou seja, em termos de números adimensionais, a relação entre número de 
Euler e o número de Reynolds. 
A princípio deveríamos esperar diferentes leis para as diversas partículas do leito e as diversas 
formas de empacotamento. A prática mostra, no entanto, que as diversidades não são muito 
grandes, o que justifica o uso de um modelo geral para todas essas formas de leito. Cada 
partícula é envolta por uma camada fixa de fluido, e seu comportamento é aproximadamente 
igual o de uma esfera. Aproveitamos então do princípio da semelhança geométrica das 
partículas. 
Para os cálculos acerca de leitos usamos as seguintes grandezas e definições: 
V Volume total do leito (= volume da carga) 
VS Volume das partículas sólidas 
Vε Volume do espaço intersticial. 
 
Fig. 25. Esquema do leito 
 
O volume total V se compõe então do volume de sólidos VS mais o volume intersticial Vε: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
56 
εVVV S += . 
 
De grande importância no cálculo da perda em pressão é a porosidade ε da carga. Ela é 
definida por: 
 
V
Vεε = . Porosidade 
 
Um cálculo exato da porosidade é impossível, portanto essa grandeza deve ser determinada no 
experimento. Em leitos técnicos o valor de ε fica entre 0,4 e 0,5. É costume descrever os 
volumes Vε e VS, através da porosidade, conforme: 
 
VV ⋅= εε e VVS ⋅−= )1( ε . 
 
O volume total V do leito é facilmente obtido pela geometria do recipiente (cilíndrico), então 
da altura do leito, L, vezes a área do fundo, F. 
Outras grandezas úteis são: 
a área de fluxo livre, Flivre, e o diâmetro médio das partículas, dg: 
 
FFlivre ⋅= ε e S
Vd Sg
⋅
=
⋅
=
6
acessível superfície
sólidos dos volume6
. 
 
No caso especial de partículas esféricas temos 
 
6
3dVS
⋅
=
pi
 e 2dS ⋅= pi , 
 
daí temos identidade entre diâmetro médio e diâmetro real, ou seja, dg = d. 
O uso do diâmetro médio dk é somente problemático se tivermos um leito onde as partículas 
têm formas bastante irregulares. Neste caso, o critério mais confiável fornecem as 
probabilidades da distribuição que revelam se o uso de dg é tolerável ou não. 
 
A. Isenmann OperaçõesUnitárias 
57 
Na maioria das vezes se conhece apenas a superfície específica dos grãos, Sg (= superfície por 
massa), através de análises de adsorção de gases (método de Brunauer-Emmett-Teller). 
A superfície acessível ao fluido, S, pode ser calculado por: 
 
gSSgS SVSmS ⋅⋅=⋅= ρ . 
 
Nesta significam mS a massa e ρS a densidade da carga. Para o diâmetro médio dos grãos 
obtemos então: 
 
gS
S
g SS
Vd
⋅
=
⋅
=
ρ
66
. 
 
2.8.2 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais 
Para calcular a perda de pressão em um leito fixo é mais conveniente referir-se à velocidade 
que teríamos num tubo vazio (u0), do que à velocidade que se tem nos interstícios do leito real 
(u). A velocidade u0 é facilmente acessível, pois é a velocidade linear média com que o fluido 
passa pelo tubo (suposto sendo vazio), do comprimento L e da área transversal F: 
 
A velocidade real através da carga é muito mais alta, já que o espaço para o fluido é restrito à 
área transversal livre, Flivre. Podemos afirmar que a carga exerce o mesmo efeito do que um 
entalhe no diâmetro do tubo (ver p. 37). Com a equação de continuidade obtemos para o fluxo 
de volume V� : 
 
uFuFV livre ⋅=⋅= 0� . 
 
Inserimos para a área transversal livre Flivre = ε . F : 
 
ε
0uu = . 
 
A porosidade da carga raramente pode ser indicada com exatidão. Ao invés desta, o fluxo de 
volume V� conseguimos exata e facilmente. As indicações técnicas, portanto, sempre se 
referem à velocidade num tubo vazio, u0: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
58 
V
VLu
�
⋅=0 , com FV
L 1
= . 
 
Em concordância a este convênio, o número de Reynolds também é relacionado à velocidade 
média no tubo vazio, u0, e ao diâmetro médio dos grãos, dg: 
 
η
ρ⋅⋅
=
gdu0Re . 
 
Um fluxo atravessando um leito fica laminar até apenas Re < 20. Além disso, a transição 
laminar para turbulento, se estende a um intervalo maior de Re, quer dizer, não é tão bem 
definido quanto num tubo vazio e liso. 
 
2.8.3 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. 
No modelo a seguir, que serve para o fluxo laminar, usa-se um tubo enchido com bolinhas. O 
fluido passa pelos canais formados entre as bolinhas 
 
 
Fig. 26. Modelo de um leito 
 
A determinação daquela área que pode ser aproveitada para o fluido seria afinal a contagem 
da área intersticial, ou seja, dos canais, Flivre = ε . F. Como diâmetro equivalente destes canais 
deveria ser usado o diâmetro hidráulico (ver p. 30). O caminho percorrido pelo fluido é 
certamente muito maior que simplesmente a altura do leito, pois os canais se formam em zig-
zag, bem irregular e estatístico. Como estas grandezas não são facilmente acessíveis, podemos 
tratar os canais como se fossem tubos paralelos cujo comprimento corresponde à altura do 
leito, L. O diâmetro destes tubinhos é equivalente ao diâmetro médio dos grãos, dg. Com esse 
modelo grosseiro podemos escrever a lei de Hagen-Poiseuille, 
L
pd
u
∆
=
η
2
32
1
, na seguinte 
forma: 
 
Canal 
A. Isenmann Operações Unitárias 
59 
εη
ε 0
2
)( u
L
pdFu g =∆⋅⋅= . 
 
Cálculos exatos foram feitos por Kozeny. Para o fator F(ε) vale, confirmado pelo 
experimento: 
 
2
1150
1)( 





−
⋅=
ε
ε
εF . 
 
Para a velocidade do tubo vazio se obtém com isso a equação de Kozeny: 
 
( ) L
pd
u
g ∆
⋅⋅
−
⋅=
ηε
ε
2
2
3
0 1150
1
. 
 
Uma reorganização desta equação a deixa aparecer numa forma mais familiar: 
 
2
02
1(Re) u
d
Lp
g
⋅⋅⋅=∆ ρλ , 
 
na qual λ(Re) é o número de fricção dentro dos tubinhos. 
 
( )
Re
3001(Re) 3
2
⋅
−
=
ε
ελ . Número de fricção nos tubinhos equivalentes aos canais intersticiais. 
 
Em comparação ao tubo macroscópico vazio, onde λ = 64/Re (ver p. 21), podemos afirmar 
para este número de fricção, supondo uma porosidade do leito de ε = 0,5: 
 
Re
600
=λ , ou seja, aproximadamente 10 vezes maior! 
 
Caso houver fluxo turbulento, isso é o caso mais comumente realizado, o termo λ(Re) deve 
ser ampliado. Medições e cálculos ab initio revelam, para leitos comuns: 
 
( ) ( )




+
−⋅
⋅
−
= 5,3
Re
13001(Re) 3
ε
ε
ελ . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
60 
Essa é a famosa equação de Ergun. Ela vale para fluxos laminares e turbulentos (1 < Re < 
30.000) em leitos. 
 
2.9 Fluxo em leitos fluidizados 
Na seção acima discutimos velocidades do fluido que, mesmo quando penetrar de maneira 
turbulenta, não foram fortes o suficiente para mover as partículas sólidas do leito, da sua 
posição em repouso. Aumentamos, porém, a velocidade do fluido injetado de baixo, mais e 
mais, as partículas do leito se soltam repentinamente, no ponto de fluidez (do alemão: 
Wirbelpunkt, WP). O leito em repouso se tornou um leito fluidizado. 
Leitos fluidizados são bastante úteis, tanto nas operações unitárias (por exemplo, na secagem 
de material sólido), quanto como técnica de reação. 
A perda em pressão, ∆p, mostra a seguinte dependência da velocidade adimensional do fluido, 
u0 / u0,WP: 
 
Fig. 27. Perda em pressão num leito, em dependência da velocidade do fluido (injetado 
de baixo). 
 
Interessante é que em volta do ponto de fluidez, WP, existe uma histerese, isto quer dizer, o 
percurso da curva depende da direção da aproximação neste ponto: partindo de baixas 
velocidades observamos uma elevada perda em pressão que chaga até acima do valor 
constante ∆p do leito fluidizado. A leve elevação da curva no WP se deve à expansão do leito 
quando começa a fluidez. Na outra direção não se observa essa curvatura. Chegando de altas 
velocidades, o leito fluidizado se repousa suavemente, sem quantidade extra em perda de 
pressão. 
Enquanto as partículas estão em repouso, a perda em pressão ∆p é diretamente proporcional à 
velocidade de tubo vazio, u0. Mais corretamente: ∆p ~ u0 na região laminar (que é muito 
estreita e tecnicamente pouco realizada), e ∆p ~ u02 na região turbulenta. No ponto de fluidez 
a reta da perda em pressão quebra nitidamente e fica num valor constante, mesmo com 
aumentos da velocidade do fluido. Quando a velocidade do fluido sobe demais, finalmente, as 
partículas do leito estão sendo levados embora. A partir daí (não mostrado na Fig. 27), temos 
um transporte pneumático das partículas do leito. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
61 
A perda de pressão no WP pode ser calculada. Neste ponto podemos formular um balanço das 
forças: a força de pressão (= resistência do leito) é igual à força gravitacional das partículas, 
reduzida pela força de sustentação, efeito do fluido. Neste equilíbrio vale então: 
 
agp KKK −= , 
 
com Kp = força de pressão; Kg = força gravitacional; Ka = força de sustentação. Podemos 
inserir as devidas dependências: 
 
WPp pFK ∆⋅= , 
 
( ) ( ) gVKK flsWPag ⋅−⋅−⋅=− ρρε1 . 
 
Inserido no balanço: 
 
( ) ( ) gVpF flsWPWP ⋅−⋅−⋅=∆⋅ ρρε1 
 
WPp∆ = perda em pressão no ponto de fluidez; VWP = volume do leito no ponto de fluidez; F = 
área transversal; g = aceleração gravitacional da terra; ρs = densidade do leito; ρfl = densidade 
do fluido. O termo ρfl respeita a densidade do fluido e pode ser desconsiderado, em caso do 
fluido ser um gás. 
Com a altura L do leito obtemos: 
 
F
V
L WP= ; inserido em cima: 
 
( ) ( ) gLp flsWP ⋅−⋅−⋅=∆ ρρε1 . 
 
Por outro lado,vale para a perda em pressão num leito, conforme a seção 2.8.3: 
 
2
02
1(Re) u
d
Lp fl
g
WP ⋅⋅⋅=∆ ρλ . 
 
Podemos colocar essas duas equações em relação e resulta: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
62 
( ) gdu
fl
fls
g ⋅
−
⋅−⋅⋅=⋅
ρ
ρρ
ελ 12(Re)20 . 
Multiplicamos com 2
22
η
ρ flgd ⋅
 e introduzimos o número de Reynolds, 
η
ρ flkdu ⋅⋅
=
0Re . Daí 
obtemos: 
 
( ) ( )2
3
2 12(Re)Re
η
ρρρ
ελ gd flflsg ⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅ . 
 
Obtemos um novo número adimensional, conhecido como número de Arquimedes, Ar: 
 
( )
2
3
η
ρρρ gd
Ar flflsg
⋅⋅−⋅
= Número de Arquimedes. 
 
A última equação pode então ser notada de forma resumida: 
 
( ) Ar⋅−⋅=⋅ ελ 12(Re)Re2 . 
 
Essa implica que o número de Reynolds no ponto de fluidez, ReWP, depende do espaço 
intersticial ε e do número adimensional de Arquimedes: 
 
),(Re ArfWP ε= . 
 
A experiência, porém, mostra que o espaço intersticial num leito solto, situação típica no WP, 
sempre tem aproximadamente o mesmo valor. Ou seja, afinal o número de Reynolds ReWP 
depende quase exclusivamente do número de Arquimedes. Tanto a teoria quanto o 
experimento revelaram relações úteis que permitem o cálculo do número de Reynolds no 
ponto WP. De valor prático é a relação de Goroschko, Rosenbaum e Todes: 
 
Ar
Ar
WP 22,51400
Re
+
= , 
 
e também a relação de Levenspiel e Kunii: 
 
7,330408,07,33Re 2 −+= ArWP . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
63 
O descarregamento das partículas (= transporte pneumático) requer velocidades maiores ainda 
e começa quando não apenas o leito como coletivo é suporto pelo fluido, mas também cada 
grão por si. Caso o fluxo necessário para este evento seja laminar (caso raro, somente com 
fluidos líquidos e pequena diferença em densidades para o leito): 
 
18
Re Ardescarr = 
 
Em caso de fluxo turbulento temos: 
 
ArArdescarr 73,13Re == . 
 
Geralmente tem-se uma região entre os valores limites, ReWP e Redescarr, onde pode-se obter 
um estado estável de leito fluidizado. 
Conforme Fig. 27, após o alcance do ponto de fluidez praticamente não há mais perda em 
pressão - até o ponto de descarregamento. Isso se explica com a expansão do leito fluidizado 
quando aumentar a velocidade do fluido. O comportamento é mais uma vez representado na 
figura a seguir, onde observamos exatamente a altura do leito, em função do número de 
Reynolds. 
 
Fig. 28. Altura do leito (fixo e fluidizado), em função do número de Reynolds. 
 
Com pequeno número de Reynolds temos um leito em repouso que somente no ponto WP se 
solta. Aumentamos sucessivamente a velocidade do fluido, o leito aumenta em volume, isto é, 
sua altura L aumenta, até finalmente as partículas sólidas começam ser levadas embora - 
típico para o transporte pneumático. Para distinguir entre os diferentes efeitos que o fluido 
exerce sobre a carga, costuma-se usar um diagrama de fases do leito turbulento (Fig. 29). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
64 
 
Fig. 29. Diagrama de fases do leito turbulento. 
 
Fluxos favoráveis a leitos fluidizados geralmente se tem em torno de WPRe3Re ≅ . 
As discussões até então se restringiram a leitos fluidizados homogêneos. Em casos onde a 
diferença entre a densidade da carga e do fluido é grande, no entanto, observam-se 
frequentemente grandes inhomogeneidades em densidade dentro do leito. Nesta situação o 
fluido forma grandes bolhas que atravessam o leito lentamente em direção para cima. O 
tamanho das bolhas aumenta linearmente com a velocidade do fluido. O leito nesta situação 
tem a aparência de um líquido efervescente. O estado pode ser bastante útil para o processo, 
pois a mudança perpétua de regiões de altas e baixas concentrações em sólido provoca uma 
excelente homogeneização entre sólido e fluido. 
À alta velocidade do fluido as bolhas são de tal tamanho que preenchem o diâmetro inteiro do 
tanque, o fluido sobe, atravessando o leito em forma de pistão ("leito empurrando"). No ponto 
de descarregamento, finalmente, a velocidade do fluido se iguala com a velocidade de 
afundamento das partículas sólidas. A carga está sendo rastejada pelo fluido. Em casos onde o 
fluido é um gás sai do recipiente uma nuvem de poeira. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
65 
 
Fig. 30. Diferentes estados do leito fluidizado: 
a) carga em repouso 
b) leito fluidizado no ponto de fluidez WP 
c) fluido sobe em forma de bolhas, misturando a carga 
d) leito empurrando 
e) leito em expansão livre. 
 
Em alguns processos de produção as operações com leitos fluidizados têm um papel 
dominante, pois oferecem uma maneira de lançar sólidos num equipamento sem a 
necessidade de se ter um dispositivo mecânico de transporte (esteiras, parafusos, 
escavadeirass, vagões, etc.). Basta aumentar a velocidade do fluido e elevar o sistema para o 
transporte pneumático. Outro motivo para sua aplicação é a alta taxa de transferência de 
massa e calor entre as fases envolvidas. O campo de aplicação principal é a reação entre gases 
e sólidos. 
Exemplos: 
� Gaseificação de carvão mineral em geradores de Winkler 
� Craqueamento catalítico em unidades de FCC (= Fluidized Catalyst Cracking) 
� Calcinação de mineiro. 
 
 
2.10 Agitação mecânica 
A agitação mecânica é uma das mais importantes e antigas operações unitárias da indústria 
química. Podemos falar da operação de misturar, sempre quando na composição reacional o 
componente líquido está presente em maior proporção. A maioria das operações de mistura 
ocorre de maneira descontínua, ou seja, em batelada. 
Podemos basicamente distinguir as seguintes tarefas de mistura: 
1) Homogeneizar: Mistura de líquidos H 
 Operação de mistura para 
A. Isenmann Operações Unitárias 
66 
equilibrar diferenças em 
concentração e/ou 
temperatura 
2) Dispersar Emulsão (líq./líq.) E 
 Suspensão (sólido/líq.) S 
 Gaseificar (gás/líq.) G 
3) Transmissão de calor Resfriamento 
 Aquecimento 
 
Observações: 
Note que em cada um destes casos está envolvida pelo menos uma fase líquida. 
Na operação prática quase sempre são executadas várias destas tarefas ao mesmo tempo. 
 
Caso o agitador está posicionado verticalmente e no centro da batelada, a matéria a ser 
misturada está sendo colocada em rotação coletiva e forma-se um vórtice. Neste redemoinho 
o efeito de mistura é bastante baixo. Para evitar esse movimento rotatório do líquido e 
aumentar o efeito da homogeneização, pode-se instalar diversas chicanas na parede interna da 
batelada que têm o efeito de quebrar o movimento coletivo. Mas também pode-se melhorar a 
situação ao posicionar o agitador fora do centro da batelada e/ou, em vez de vertical, com um 
ângulo de inclinação de 30° ou mais. Também se tem pouca tendência ao vórtice em bateladas 
retangulares (em vez de redondas). 
 
2.10.1 Apresentação dos tipos de agitadores 
Para cada tarefa de mistura se tem o modelo apropriado de agitador. Os mais importantes são: 
Agitador de hélice, de disco, de impulsor, de lâminas, de âncora e de parafuso. Ver os 
modelos na Fig. 31. 
Os agitadores de lâmina e de parafuso são modelos de rotações lentas, enquanto o agitador de 
hélice é operado a altas rotações. A escolha do agitador depende do tamanho e da geometria 
do recipiente, do efeito que se pretende obter (em determinado tempo)e das propriedades da 
matéria a ser misturada. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
67 
 
Fig. 31. Os modelos mais usados de agitadores 
 
Para a indústria química especialmente importantes são: 
• o agitador de discos e de hélice, para líquidos pouco viscosos, 
• o agitador de lâmina e o Intermig, para líquidos de viscosidade média e 
• o agitador de parafuso, para misturas altamente viscosas. 
Da Tab. 9 vemos para qual tarefa os tipos de agitadores são especialmente adequados. 
 
Tab. 9. Escolha do agitador, conforme sua tarefa no processo. 
Agitador d/D Chicanas u (m/s) s)(mPa ⋅maxη Tarefa 
Hélice 0,3 + 3 - 12 500 E, S, H. 
(não G). 
Discos 0,3 + 3 - 12 500 E, S, G. 
Impulsor 0,6 + 1 - 10 2000 E, S, H. 
Lâmina 0,5 + 0,5 - 3 2000 H, E. 
Âncora 0,9 - 0,5 - 2 5000 H 
A. Isenmann Operações Unitárias 
68 
Parafuso 0,9 - 0,5 - 2 1.000.000 H 
d = diâmetro do agitador; D = diâmetro da batelada. 
 
Os agitadores têm imagens de correntezas muito diferentes. Como já foi implicado na Fig. 31, 
uns provocam correnteza principal axial (representante mais conhecido: o agitador de hélice), 
outros mexem o líquido de maneira radial (agitador de discos). As imagens correspondentes, 
ver Fig. 32. 
 
 
Fig. 32. Correntezas no líquido em dependência do tipo de agitador (em tanque com 
chicanas): o agitador de hélice como propulsor axial e o agitador de discos como 
propulsor radial. 
 
Todas as operações de agitação têm em comum provocar uma mistura local dos componentes 
por redemoinhos. Ao mesmo tempo, a correnteza global (visto o tanque inteiro) desloca 
grandes volumes desta mistura e providencia um balanço das concentrações. Camadas 
marginais e centrais trocam os lugares e equilibram as diferenças localizadas. 
Põe-se a questão de qual dos agitadores, sob as condições dadas, trabalha com o mínimo 
esforço (agitador barato; trabalho de mistura pequeno). Portanto, devemos conhecer as 
características de potência e os tempos típicos de mistura de cada um, numa escala universal e 
comparável. 
Para este fim introduzimos um novo número adimensional: 
22 Lu
F
Ne W
⋅⋅
=
ρ
 Número de Newton, 
 
com FW = força que se opõe ao fluxo [N]; ρ = densidade [Kg.m-³]; u = velocidade do fluido 
[m.s-1]; L = comprimento característico [m]. 
Sendo assim, Ne é definido como relação entre duas forças. Como a aplicação principal deste 
número é a agitação em bateladas, a seguinte definição seja mais útil, onde se tem a relação 
entre duas potências: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
69 
53 dn
PNe
⋅⋅
=
ρ
, Número de Newton sendo uma característica de potência. 
 
O número de Newton indica a parte da potência P que realmente pode ser entregue em forma 
de potência hidráulica. Com essa definição do número de Newton obtemos uma expressão 
para a potência, P. Geralmente vale a relação universal, para todos os tipos de agitação: 
 
53(Re) dnNeP ⋅⋅⋅= ρ , 
 
onde ρ = a densidade da mistura (que seja um líquido Newtoneano, compare p. 12), 
n = número de rotações da haste, d = diâmetro do agitador. Nesta equação ainda não entrou a 
dependência do regime do fluxo nem as dimensões da batelada, mas a prática mostrou que o 
número de Newton pode, em alguns tipos de agitadores e condições, depender do número de 
Reynolds. Este último é definido, em caso de problemas de agitação, como: 
 
νη
ρ 22Re dndn ⋅=⋅⋅= Definição do número de Reynolds na agitação (ν = viscosidade 
cinemática, ver p. 11). 
Através de medições do momento angular temos acesso à potência transmitida pelo agitador: 
 
aMnP ⋅⋅= pi2 . 
 
Nesta são: n = rotações da haste e Ma = momento angular. Na região laminar, isto é no caso, a 
10Re ≤ , o número de Newton é indiretamente proporcional ao número de Reynolds. Na Fig. 
33 podemos verificar uma reta com inclinação negativa, na região inicial. Para a potência do 
agitador vale nesta região: 
 
η⋅⋅⋅= 3dnCP , onde C é uma constante do aparelho. 
 
Na região turbulenta, por outro lado, o número de Newton torna-se independente do número 
de Reynolds (no gráfico uma reta horizontal), então sob pleno efeito das chicanas vale a 
relação: 
 
53 dnNeP ⋅⋅⋅= ρ , conforme anotado acima. 
 
Na região de transição, entre a laminar e a turbulenta, vale aproximadamente: 
 
31Re~ −Ne . 
A. Isenmann Operações Unitárias 
70 
 
 
Fig. 33. Característica da potência de um agitador de lâminas, com e sem chicanas na 
batelada. 
 
Tab. 10. Números de Newton turbulentos, para alguns tipos de agitadores. 
Tipo de agitador Ne Re 
Discos (turbina de Rushton) 5,4 103 
Pás inclinadas (6 pás) 1,35 5.103 
Hélice 0,35 104 
Barras cruzadas 3,2 104 
Impulsor 0,75 103 
MIG 0,65 5.103 
 
Homogeneização de líqudos 
Nesta operação unitária temos por objetivo a mistura de dois líquidos compatíveis (quer dizer, 
polar-polar, ou não polar com não polar), até atingir o grau de homogeneidade exigido. 
Também um motivo, na condução de reações químicas, é assegurar as proporções dos 
reagentes, ao longo do tempo de reação. Um destaque do agitador é a velocidade de mistura, 
pois pode afetar a seletividade de uma reação química. Como exemplo olhamos nas reações 
paralelas do tipo: 
 
A + B → C e 
A + 2 B → D . 
 
Claramente a relação dos produtos C e D depende da velocidade de homogeneização. 
A medida da velocidade de homogeneização é o tempo θM, que é definido como tempo que 
passa até atingir o grau desejado de homogeneidade. Portanto, a indicação de θM somente faz 
A. Isenmann Operações Unitárias 
71 
sentido em conjunto com o grau de homogeneidade. Os métodos experimentais para sua 
determinação são: 
• Método de estrias, aproveitando dos diferentes índices de refração de dois líquidos; 
• Método de descoloração, usando um indicador de pH ou de redox (tiosulfato e iodeto-
amido, por exemplo) que é inicialmente soluto em um dos líquidos; 
• Métodos eletroquímicos (pH; condutividade, etc.). 
 
Os processos de homogenização geralmente não são conduzidos até a uniformidade total, mas 
somente até o grau desejado. Esse grau é definido como: 
 
)(
)(
0
0
∞
−
−
=
tcc
tcc
M Grau de mistura (grau de homogeneidade). 
 
c0 = concentração no começo do processo; c(t) após o tempo t e c(t∞) a concentração estável, 
no equilíbrio da homogeneidade total. Geralmente achamos para a velocidade de mistura uma 
lei de 1a ordem (isto é, dependência exponencial das concentrações): 
 
)1( Mk
d
dM
M
−⋅=
θ
. 
 
A prática mostra que o tempo de mistura depende da geometria do sistema, dos parâmetros 
escolhidos e dos valores próprios dos líquidos. Isso pode ser formulado, de maneira mais 
simples, usando a teoria de semelhança, como característica da mistura: 
 
(Re)fn M =⋅θ Número característico da mistura 
 
Na Fig. 34 temos as características de mistura de alguns agitadores comuns. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
72 
 
Fig. 34. Características de mistura, dos agitadores mais comumente usados. 
Barras cruzadas a = 1,8.c Lâmina c MIG f Impulsor i 
Barras cruzadas as = 1,8.cs Lâmina cs MIG fs Impulsor is 
Grade b = 1,25.c Âncora d Discos gs 
Grade bs = 1,25.cs Parafuso e Hélice hs Índices: com 
chicanas 
 
No importante procedimento de scale-up de operações de mistura, isto é, concluir da 
experiência colecionada em um modelo (M) para uma batelada de escala grande (G), temos 
que pressupor a semelhança geométrica dos recipientes e a mesma composição dos 
componentes no líquido. 
 
 
O critério mais antigo e mais usado do scale-up deste equipamento é a potência relacionada 
ao volume (P/V), às vezes chamada de potência específica do agitador, segundo Büche. Um 
A. Isenmann Operações Unitárias 
73 
agitador de lâmina que usamos no laboratório, por exemplo, entrega tipicamente 5,0=
V
P
 
W.L-1. 
Para a região laminar, achamos para o agitador de parafuso e de caracol (= caso e, na Fig. 34): 
 
 .constn M =⋅θ , e assim: 
 
3
32
.
D
dnconst
V
P η⋅⋅⋅
= . 
 
Com Dd ≈ (agitador perto da parede) e n ~ θM-1 segue: 
 
ηθ ⋅⋅= −2´ MconstV
P
. 
 
Podemos relacionar agora o modelo com a batelada grande: 
 
( )
( )
2
,
,
−








=
MM
GM
M
G
VP
VP
θ
θ
. 
 
Para θM = constante segue: P/V = constante; isso é geralmente aceito. 
Na região turbulenta vale para todos os tipos de agitadores: .constn M =⋅θ Assim, podemos 
escrever de modo geral: 
 
( )
( ) ρθ
ρθ
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
−
−
2
2
3
2,
2
1
3
1,
2
1
.
.
dconst
dconst
VP
VP
M
M
. 
 
Com d ~ D (semelhança geométrica) segue: 
 
( )
( )
23
,
,






⋅







=
−
M
G
MM
GM
M
G
D
D
VP
VP
θ
θ
. 
 
Para θM = constante concluímos desta condição de scale-up: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
74 
( )
( )
2






=
M
G
M
G
D
D
VP
VP
. 
 
Isso significa que a ampliação da escala da batelada requer, sob manutenção do tempo de 
mistura, uma potência específica do agitador muito maior - que na maioria dos casos é 
economicamente inviável: 
 
( ) ( )MG VPVP >> . 
 
Por outro lado, ao se manter P/V = constante, obtemos: 
 
3
2
,
,






=
M
G
MM
GM
D
D
θ
θ
. 
 
Sob essas condições temos que contar com um aumento apenas moderato do tempo de 
mistura, θM, G > θM, M - o que é um resultado aceitável. 
 
Emulsificação 
Emulsões (= misturas líq./líq.) podem ser produzidas com agitadores de altas rotações, tanto 
radiais quanto axiais. Exemplos são os agitadores de disco, hélice ou lâmina, a serem usados 
em bateladas com chicanas. As aplicações técnicas são processos de extração, onde um 
aumento da interface encurta o tempo da difusão, mas também sínteses importantes, tais como 
polimerizações (produção de bolinhas de poliestireno, a serem expandidas posteriormente 
formando isopor) ou saponificações (onde as fases da gordura e a aquosa com o catalisador 
são inerentemente repelentes). Para a finalidade de estabilizar as emulsões uma vez 
produzidas, usam-se aditivos chamados de emulsificantes que, na sua estrutura química, 
pertencem à família dos tensoativos (= detergentes). 
A formação das gotículas é um processo onde aos poucos formam-se pequenas gotículas 
daquela fase que está presente em menor volume (= fase dispersa), dentro de um contínuo da 
fase em maior proporção (= meio de dispersão). Durante o processo de dispersão as gotículas 
são divididas mecanicamente até que se estabelece o equilíbrio dinâmico com a tendência 
natural da coalescência. O tamanho médio das gotículas dispergidas é então um valor 
estatístico que se aproxima, com tempo de agitação prolongado, a um valor de equilíbrio. 
Os parâmetros característicos do processo da emulsificação são o diâmetro de Sauter, d32, das 
gotículas: 
 
∑
∑
⋅
⋅
= 2
3
32
ii
ii
dn
dn
d 
 
e a área interfacial relacionada ao volume, a: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
75 
 
32
3
2 6
6
dd
d
V
F
a
i
i
=
⋅
⋅
==
∑
∑
pi
pi
. 
 
Nestas grandezas aparece o número das gotículas, n1, a cada classe de diâmetro i. 
Mais corretamente temos a relação entre d32 e a dada por: 
 
32
6
d
a
Φ⋅
= , 
 
onde Φ é fração de volume da fase dispersa. Ambos os parâmetros dependem dos valores 
característicos dos líquidos, das condições escolhidos para o processo e das relações 
geométricas do aparelho: 
Valores característicos dos líquidos: ηc, ηd, ρc, ρd, σ (= tensão interfacial). 
Parâmetros do processo: n, T, Φ. 
Geometria do aparelho: Tipo e dimensão do agitador; geometria da batelada e chicanas. 
Acharam como característica de dispersão, para um agitador de discos em sistemas 
coalescentes: 
 
( )Φ⋅+⋅⋅= − bWeconst
d
d 1. 6,032 . 
 
Desta temos um novo número adimensional, We. É o número de Weber, uma medida para a 
deformação de uma gotícula: 
 
σ
ρcdnWe ⋅⋅=
32
 Número de Weber. 
 
A última equação muitas vezes é dada sem o termo em parênteses. Daí os dois parâmetros 
podem ter valores dentre os limites de 
 
const. = 0,05 ...... 0,08 
b = 2,5 ........ 5,4. 
 
Inserimos as variáveis do número de Weber obtemos: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
76 
( )Φ⋅+⋅
⋅⋅
⋅= b
dn
const
d
d
c
1. 6,08,12,1
6,0
32
ρ
σ
, 
 
com ρ⋅⋅⋅= 53 dnNeP (onde a densidade média ρρρ ∆⋅Φ+= c ): 
 
4,0
32 .
−






⋅
⋅=
V
P
constd
ρ
. 
 
Esta equação finalmente não contém mais grandezas geométricas, portanto é especialmente 
adequada para o dimensionamento do scale-up. A relação entre o diâmetro de Sauter, d32, e a 
potência de agitação P é mostrada na Fig. 35. 
 
 
Fig. 35. Diâmetro médio das gotículas da emulsão, em função da potência do agitador 
relacionada à massa. 
 
Na região turbulenta (com Ne = const.) a condição .
,32,32 constdd MG == está satisfeita quando 
.const
V
P
= 
 
Gaseificação 
A operação de gaseificação consiste na transferência de um gás a um sistema onde a fase 
contínua é um líquido. A meta desta etapa é o alcance da maior área de contato possível, 
gás/líquido, onde ocorrerá a troca de matéria. 
Aplicações técnicas: 
� Oxidações - fermentação, tratamento biológico de esgotos, oxidações, ozonização de 
água potável. 
� Polimerizações - Etileno, propileno. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
77 
� Hidrações - produção de margarina a partir de óleos líquidos. 
� Clorações - substituições radicalares, substituições alílicas, adições em alquenos e 
alquinos. 
 
Em bateladas aplicam-se principalmente duas técnicas da gaseificação (ver Fig. 36): 
a) Gaseificação autônoma: o gás é introduzido através da haste do agitador; trata-se de um 
método de auto-sucção. A vantagem é a facilidade de trabalhar em bateladas pressurizadas e 
um processamento isóbaro. 
b) Gaseificação externa: este método requer um dispositivo adicional para introduzir o gás na 
fase líquida, usando uma bomba própria para o gás. A vantagem deste é o melhor controle do 
processo, através de mais um parâmetro de processo, isto é, o fluxo do gás independente das 
rotações do agitador. 
 
 
Fig. 36. Princípios da gaseificação 
Observa-se um aumento da área de contato gás/líquido, quando aumentar as rotações e a taxa 
de introdução do gás. Porém, em ambos osprocessos pode-se correr o perigo da "inundação" 
ou um "transbordo" do agitador. Isso acontece quando exceder certo número de rotações ou a 
taxa limite de fluxo do gás. A consequência será o mau contato entre as pás do agitador e o 
líquido e então uma queda em área de contato gás/líquido. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
78 
 
Fig. 37. Transição do gás para a fase líquida, mostrada para um agitador de discos, 
em dependência do fluxo do gás. 
 
Pode-se ver na Fig. 37 que, sob condições tecnicamente viáveis, a taxa de transferência da 
matéria entre as fases (aqui exprimida pelo termo 66,0
33,0
1 g
ak ν⋅⋅ ) depende principalmente do 
fluxo do gás (exprimido pelo termo 66,0
33,0
gV
q ν
⋅ ). 
A transição de matéria na interface gás/líquido pode ser representada, para ambos os tipos de 
gaseificação, na curva característica de sorção. A experiência mostrou que a curva depende 
pouco da geometria do agitador, mas os parâmetros importantes são a potência P do agitador 
e o fluxo q do gás. 
 
2.11 Métodos mecânicos de separação 
A maioria dos processos químicos industriais tem que lidar com problemas acerca de mistura 
de diferentes produtos. A separação dos componentes puros consome geralmente mais tempo 
do que a própria síntese. Produtos químicos sólidos muitas vezes se obtêm via precipitação 
(sais pouco solúveis, complexos ácido-base, etc.) ou via cristalização (não metais elementares, 
produtos orgânicos), a partir de uma mistura líquida. Portanto, temos que separar 
seletivamente este sólido da fase líquida que contém solvente e impurezas. Em casos menos 
frequentes visa-se obter a fase líquida pura enquanto o sólido é considerado o subproduto de 
baixo valor (secagem por meios higroscópicos, tratamento com carvão ativado, clareamento 
de esgotos). Finalmente precisamos de métodos mecânicos de separação, também com 
sistemas biológicos (separação do lodo de águas servidas) e no despoeiramento de gases. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
79 
Dentre os processos de separação os métodos puramente mecânicos são os mais simples, no 
que se diz respeito ao seu tratamento teórico, como também no equipamento utilizado. 
Classificamos, dentro dos métodos mecânicos de separação: 
� a sedimentação (sob influência da força gravitacional natural) 
� a centrifugação (sob influência de força gravitacional elevada) 
� a filtração. 
Na engenharia de processos se diferenciam os métodos térmicos de separação (destilação, 
retificação, lavagem de gases) e outros métodos mais sofisticados para separar misturas 
homogêneas (adsorção, extração, métodos de membranas), a serem discutidos mais adiante. 
Sejam apresentados a seguir os métodos mecânicos mais importantes, tanto no laboratório 
como em escala industrial. 
 
2.11.1 Sedimentação e centrifugação 
Sedimentação 
Entendemos sob sedimentação a separação do componente sólido a partir de uma suspensão, 
perante a força gravitacional terrestre. A mistura de partida deve ser uma suspensão, isto é, 
deve conter partículas sólidas grandes, na ordem de alguns micrômetros. A regra grosseira é: 
conseguimos um bom resultado por sedimentação se as partículas são visíveis com o olho nu. 
Isso implica que partículas menores (na ordem de nanômetros; colóides) não podem ser 
separados de maneira satisfatória, por este método. 
O caso geral é que o sólido tem uma densidade maior do que o líquido, daí observamos que o 
sólido se precipita e o líquido clareado fica sobrenadante. 
O princípio da sedimentação em operação contínua é mostrado na Fig. 38. A suspensão entra 
na bacia do lado esquerdo e a atravessa lentamente, com a velocidade de volume V� . A bacia 
ocupe a área F e tenha a altura média h, contudo tenha a capacidade de V = F . h. 
Podemos afirmar que separação ocorre quando o tempo médio de demora τ é maior ou igual 
ao tempo de sedimentação ts (= condição de clareamento): 
 
st≥τ . 
 
Fig. 38. Esquema de uma bacia de clareamento 
Para o tempo de demora τ e o tempo de sedimentação ts podemos escrever: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
80 
V
V
�
=τ e 
s
s
u
h
t = (us = velocidade da sedimentação). 
 
Para a formulação explicita escolhemos a condição mínima de clareamento ( st=τ ) e 
obtemos: 
 
su
h
V
hF
=
⋅
�
. 
 
Segue então para a velocidade de volume: 
 
suFV ⋅=� . 
 
O cálculo do parâmetro operacional V� é possível via determinação da velocidade média da 
sedimentação. O fluxo não deve ser escolhido maior que o produto suF ⋅ , se não o líquido 
que sai da bacia ainda fica turvo. 
Para calcular a velocidade de sedimentação presumem-se partículas redondas que descem 
independentemente, sem interagir e de forma laminar (Re < 0,5). Daí vale a lei de Stokes da 
sedimentação. Para ser aplicada nos diversos aparelhos esta lei deve ser formulada em 
números adimensionais e ainda adaptada por fatores de correção, para corresponder 
corretamente às condições reais. 
O limite do processo de sedimentação é o estado de flutuação; neste momento temos 
equilíbrio das forças, a dizer: 
� Força de fricção Kfr e 
� Força gravitacional Kg, diminuída pela força da sustentação, Ka (onde entra a massa do 
líquido deslocado pela partícula): 
 
agfr KKK −= , 
 
onde sfr udK ⋅⋅⋅= ηpi3 e ( ) gVKK liqsag ⋅−⋅=− ρρ . 
Segue: 
 
( ) gVud liqss ⋅−⋅=⋅⋅⋅ ρρηpi3 , 
 
onde d é o diâmetro e V é o volume da bolinha em sedimentação. Podemos escrever para o 
volume 
6
3dV ⋅= pi , daí: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
81 
 
( ) gdud liqss ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅ ρρpiηpi 63
3
. 
 
Lembramos-nos dos números de Reynolds e de Arquimedes (ver também tabela de vista geral 
sobre o números adimensionais, na p. 209): 
 
η
ρ liqs
s
ud ⋅⋅
=Re e 
( )
2
3
η
ρρρ gd
Ar liqliqs
⋅⋅−⋅
= . 
 
Uma álgebra simples deixa aparecer a última equação na forma: 
 
18
Re Ars = . 
 
Essa ainda requer de certas correções devido às insuficiências de nosso modelo simplificado: 
1. Não temos bolinhas, mas formas mais complexas e irregulares, nas partículas sólidas. 
2. Interações durante a sedimentação: uma aglomeração promove a sedimentação, 
enquanto altas concentrações do sólido a atrapalham (lodo = enxame de partículas!). 
3. Partículas maiores sedimentam muitas vezes fora da região laminar. 
 
A base de dados experimentais tenta-se então achar a relação empírica Re = f(Ar). A maioria 
dos ensaios de sedimentação pode ser descrita satisfatoriamente com a fórmula geral 
 
n
s Arconst ⋅=Re . 
 
Para a região tecnicamente interessante de 0,5 < Re < 500 acha-se: 
 
7,0
6
Re Ars ⋅=
ψ
. 
 
Nesta, ψ é o fator de forma, isto é, o fator que reflete a geometria da partícula: 
� bolinha uniforme e lisa 1,0 
� partículas arredondadas 0,8 - 1,0 
� partículas com cantos agudos (areia, por exemplo) ≈0,7 
� pauzinho 0,4 - 0,6 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
82 
Para a determinação do fator de forma usa-se a relação do diâmetro médio do grão, dg. Para 
bolinhas uniformes e lisas vale (ψ = 1): 
 
gs
g S
d
⋅
=
ρ
6
, 
 
e em toda analogia coloca-se para partículas deformadas: 
 
ψρ ⋅⋅
=
gs
g S
d 6 . 
 
Para o cálculo detalhado e o dimensionamento de estações de sedimentação o engenheiro 
refere-se à carga por área da bacia. Essacarga é definida por: 
 
suF
V
bacia da área
fluxo
carga ===
�
. 
 
Para us podemos escrever, usando as relações derivadas acima: 
 
7,0
6
Re Ar
dd
u
liqgliqg
s ⋅⋅
⋅
=⋅
⋅
=
ψ
ρ
η
ρ
η
. 
 
Podemos esperar boa separação quando a carga da bacia pode ser escolhida alta, isto é, as 
partículas estão descendo rapidamente. Olhamos, portanto, de quais fatores depende us, não 
esquecendo-nos dos quais parâmetros se constitui o número de Arquimedes. As exigências ao 
bom funcionamento são então: 
1. Diferença em densidade mais alta possível 
2. Baixa viscosidade (talvez aquecer?) 
3. Alto tamanho do grão (= parâmetro mais importante). 
 
Em consequência, processos químicos devem ser conduzidos de tal maneira que resultem 
partículas maiores possíveis. Não só sob vista da etapa da sedimentação, por sua vez o 
método mais barato de separar um sólido, mas também sob aspectos da pureza do produto 
pode-se afirmar que um material particulado grosso é vantajoso. Ao tiver partículas muito 
finas a sedimentação não é mais economicamente viável. Neste caso pode se tentar promover 
uma aglomeração das partículas por adição de um agente de floculação e assim acelerar o 
descer dos aglomerados. Usam-se favoravelmente sais de múltiplas cargas (Al2(SO4)3, 
MgSO4, Fe(OH)3, etc.) que compensam as cargas nas superfícies das pequenas partículas - 
que muitas vezes são da ordem de grandeza de colóides. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
83 
Lembramos da regra grosseira que uma separação por sedimentação tem sucesso quando as 
partículas podem ser enxergadas com o olho nu (dg ≥ 100 µm). 
 
2.11.2 Centrifugação 
A sedimentação de partículas finíssimas é inaceitavelmente lenta, se for feita sob a influência 
do campo gravitacional natural. Abaixo de aproximadamente 1 µm de diâmetro a 
sedimentação fica completamente ausente, pois as velocidades do aleatório movimento 
térmico (= movimento Browneano) são maiores do que a velocidade direcionada da 
sedimentação. Uma aceleração considerável se consegue ao aplicar uma aceleração 
centrifugal por altas rotações. As leis e relações são exatamente as mesmas que derivamos no 
último capítulo para a sedimentação. Somente duas particularidades: 
1. Ao centrifugar uma suspensão que contém somente partículas muito finas, a 
velocidade do afundamento us geralmente fica na região laminar. 
2. Em vez da aceleração gravitacional g entra nas equações a aceleração centrifugal 
2ω⋅r (com ω = velocidade angular; unidade: s-1). 
 
Introduzimos, conforme a convenção, o número de aceleração Z, como relação entre a 
aceleração que um corpo movido percebe, em relação ao corpo não movido, apenas exposto 
ao campo gravitacional da terra: 
 
g
rZ
2ω⋅
= . 
 
Com essa definição podemos indicar a eficiência de uma centrífuga, em unidades da 
gravitação terrestre. Para as centrífugas referidas na Tab. 11 se acham valores de Z, entre 160 
e 50.000. 
 
Tab. 11. Os modelos de centrífugas mais comuns e suas características 
Tipo de 
Centrífuga 
Diâmetro do 
tambor, dT 
em mm. 
Número de 
rotações, ν 
em rpm. 
Número de 
aceleração Z 
Partes de 
sólido, µ. 
carga 
máxima, V� . 
C. de transbordo 
e C. de 
descamamento 
tubular. 
600 - 1200 500 - 1000 < 0,1 3 m³/h 
C. de câmara 6000 < 0,01 10 m³/h 
C. de tubos 
múltiplos 
30 - 150 10.000 - 
50.000 
12.000 - 
50.000 
< 0,01 4 m³/h 
C. de 
descamamento 
de invólucro 
600 - 2500 300 - 1500 < 0,4 40 m³/h 
A. Isenmann Operações Unitárias 
84 
fechado 
C. de 
descarregamento 
caracol 
300 - 1000 800 - 3000 0,1 - 0,3 20 t/h 
(só a torta) 
C. de pratos 200 - 600 4000 - 
10.000 
6000 - 
12.000 
0,01 - 0,1 25 m³/h 
C. de peneiras, 
penduradas ou 
em pé. 
1000 - 1500 600 - 1200 0,05 - 0,7 3 m³/h 
C. de peneira e 
descamamento 
800 - 2000 500 - 2000 0,3 - 0,4 35 t/h 
C. de peneira e 
caracol 
200 - 500 600 - 1800 0,2 - 0,7 5 - 50 t/h 
C. empurradora 800 - 1500 500 - 2000 0,2 - 0,9 25 t/h 
C. de tambor < 800 600 160 - 200 8 - 12 t/h 
 
O esquema da Fig. 39 mostra a posição da suspensão, numa centrífuga contínua, com tambor 
de arranjo horizontal. A suspensão, logo entrar no tambor, espalha-se de maneira que o 
horizonte da massa fica vertical. As partículas sólidas estão migrando para fora. Através de 
dispositivos apróprios (faca de escamamento; deslizamento contínuo para a saída, etc.) evita-
se o acúmulo excessivo da torta, do lado de dentro do tambor. O líquido clareado sai, 
continuamente, ou pelos orifícios do tambor ou por baixo. 
 
Fig. 39. Esquema geral de uma centrífuga em operação contínua. ri = raio interior e ra 
= raio exterior do cilindro formado pela suspensão. 
 
Durante seu caminho de dentro para fora, as partículas sólidas são submetidas a uma força 
centrifugal cada vez maior. Na prática calcula-se o número de aceleração Z (também chamado 
A. Isenmann Operações Unitárias 
85 
de "número de rotações" - menos correto), usando um valor médio da força centrifugal. Como 
raio pode-se usar, em primeira estimação, a média aritmética entre raio externo e interno: 
 
( )ei rrr += 2
1
. 
 
Melhor, porém, será usar um valor experimental, para ei rr ⋅≈ 7,0 , verificado em muitos tipos 
de centrífugas, a base do raio externo, re: 
 
err ⋅= 85,0 
 
No esquema abaixo serão representadas as centrífugas mais utilizadas. Devido à sedimentação 
laminar das partículas vale para as centrífugas, em geral e em toda analogia à sedimentação: 
 
ZAr ⋅⋅=
18
Re ψ . 
 
 
Fig. 40. Esboço das centrífugas mais importantes 
 
Para a transformação da velocidade angular ω, em rotações ν´ (unidade: rotações por segundo 
= rps), melhor ainda em rotações da unidade rpm (= rotações por minuto), deve-se colocar: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
86 
30
´2 νpiνpiω ⋅=⋅= . 
 
2.11.3 Filtração 
Um procedimento simples de separar uma mistura de sólidos e líquidos é a filtração, aplicada 
em muitas etapas das linhas produtivas da indústria química. Os produtos são o filtrado 
(líquido límpido) e a torta de filtragem (sólido contendo pouco líquido). O dispositivo 
utilizado, conforme Fig. 41, é o meio de filtragem que retém a torta. Ao decorrer da filtração a 
própria torta funciona como meio de filtragem, de maneira que o dispositivo somente serve 
como suporte desta torta, mas não mais exerce o papel de retenção das partículas sólidas. 
Geralmente, a separação é insuficiente ao início do processo. Portanto, os primeiros volumes 
de suspensão estão sendo reenviados no filtro, esta vez por cima da recém torta de filtragem. 
Sendo assim, podemos afirmar que toda filtração é um processo descontínuo. 
 
 
Fig. 41. Princípio do processo da filtração 
 
2.11.4 Princípios da filtração 
O tratamento teórico da filtração é especialmente complicado - embora o líquido passe pela 
torta como se fosse um leito (cap. 2.8). Em geral, o escoamento do líquido é laminar, daí 
deveríamos, teoricamente, aplicar as relações da p. 58, para calcular o número de fricção 
λ(Re) e a velocidade de escoamento no tubo vazio (diâmetro: u0): 
 
( )
Re
3001(Re) 3
2
⋅
−
=
ε
ελ e ( ) L
pd
u k
∆
⋅⋅
−
⋅=
ηε
ε 2
2
3
0 1150
1
. 
 
Só que na filtração mudam as condições ao longo do processo: 
1. A altura da torta de filtragem aumenta continuamente. 
2. A estrutura da torta e então o volumeintersticial ε mudam aos poucos, pois as 
partículas menores estão garrando nos poros maiores que foram formados na torta 
antes. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
87 
3. A perda em pressão ∆p aumenta, daí a vazão V� não ficará constante, ao longo do 
processo. 
4. Ao aumentar a pressão da filtragem (isto é necessário, com tempos prorrogados da 
filtragem), a torta está sendo comprimida, daí a sua permeabilidade diminui. 
 
A experiência mostrou que os pontos desta lista podem ser bem diferentes, de caso em caso. 
Portanto, é necessário basear-se em fatos empíricos - enquanto uma derivação ab início é 
pouco prática (ver também o dito no fluxo turbulento, p. 25). Para este fim, visando afinal o 
dimensionamento do filtro (isto é, o cálculo da área útil F do meio de filtragem), servem as 
"equações de filtro". São equações úteis cujas dependências fundamentais são confirmadas 
pela teoria. 
Começamos com uma equação da seguinte estrutura: 
 
R
p
dt
dV
F
u
liq ∆
=⋅=
1
0 . 
 
Nesta, F é a área útil do meio de filtragem, Vliq o volume do filtrado que já passou pelo filtro, 
R a resistência da torta de filtragem inclusive à resistência do meio de filtragem (que pode ser 
desconsiderada, em caso geral) e ∆p a diferença em pressão que ocasiona a passagem do 
líquido pelo meio de filtragem. 
Afirmamos que a velocidade do tubo vazio u0, ou seja, a quantidade de líquido Vliq que passa 
pelo filtro em determinado tempo, é diretamente proporcional à diferença em pressão ∆p e 
inversamente proporcional à resistência da torta R. 
Para a espessura da torta, L, e a resistência proporcionada por ela, R, valem as seguintes 
relações: 
 
F
V
F
V
LR liqs ~~~ , 
 
η~R (passagem laminar do líquido pela torta), 
 
mKR ~ . 
 
Km é a carga do filtro que é definida como: 
 
liqliq
ss
liq
s
m
m
m
V
V
K
ρ
ρ
== . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
88 
Vs = partes volumais do sólido dentro da suspensão, ms = massa do sólido, ρs = densidade do 
sólido. As grandezas com índice liq se referem à fase líquida da suspensão (a ser medida, de 
maneira mais fácil, no filtrado). 
Resumindo todos os fatores, recebemos para a resistência da torta: 
 
F
V
KR liqm ⋅⋅⋅= ηα . 
 
Nesta, α é a resistência específica da torta (unidade: m-2) que deve ser determinada no 
experimento de caso em caso. Inserimos essa expressão na equação básica dada acima, 
obtemos a "equação da filtração": 
 
m
liqliq
K
p
F
V
dt
d
F
V
⋅⋅
∆
=





⋅
ηα
. 
Com o truque matemático, )(
2
1 2y
dt
d
dt
dyy =⋅ obtemos: 
 
m
liq
K
p
F
V
dt
d
⋅⋅
∆
=





ηα
2
2
1
. 
 
Oferecem-se dois princípios de medir α, tanto na escala de técnico, quanto em escala grande 
(situações limites): 
1. Filtração com perda de pressão constante, então a vazão diminui ao longo do processo. 
2. Filtração com vazão constante, então a perda em pressão aumenta ao longo do 
processo. 
Na prática geralmente escolha-se o caminho do meio. Mas vamos estudar esses dois casos 
marginais, para entendermos melhor as dependências. 
 
a) Filtração com ∆p = constante. 
Para ∆p = const. (por exemplo, numa filtração a vácuo) a integração da equação de filtração 
fornece: 
 
t
K
p
F
V
m
liq
⋅
⋅⋅
∆⋅
=





ηα
2
2
. 
 
Da representação gráfica, onde colocamos o termo esquerdo na ordenada e o tempo t na 
abscissa, resulta uma reta cuja inclinação contém a constante α, a resistência específica da 
A. Isenmann Operações Unitárias 
89 
torta de filtragem (ver Fig. 42). Km e ∆p geralmente são dados pela fábrica, enquanto η é 
facilmente acessível por medição no viscosímetro. 
 
 
Fig. 42. Determinação gráfica da resistência específica da torta de filtragem (∆p = 
const.). 
A Fig. 43 mostra a dependência da vazão V� e do volume do filtrado Vliq, do tempo. A vazão 
diminui, ou seja, é proporcional a t1 , enquanto o volume do filtrado aumenta cada vez 
mais lento, ou seja, é proporcional a t . Em filtrações industriais se aborta o processo 
quando V� se torna muito pequeno, para limpar ou trocar o meio de filtragem. 
 
 
Fig. 43. Desenvolvimento da vazão e do volume do filtrado, ao longo do processo de 
filtragem sob pressão constante. 
 
b) Filtração sob vazão constante (V� = const.) 
Com tVVliq ⋅= � podemos escrever a equação da filtração na forma: 
 
mK
p
F
tV
dt
d
⋅⋅
∆
=




 ⋅
ηα
2
2
1 �
. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
90 
Como V� e F são constantes, podemos excluí-los do diferencial: 
 
mK
p
t
dt
d
F
V
⋅⋅
∆
=





ηα
2
2
2
1 �
; 
 
segue: 
 
mK
p
t
F
V
⋅⋅
∆
=





ηα
2
�
. 
 
Obtemos para a perda em pressão uma dependência linear do tempo de filtração: 
 
t
F
VKp m ⋅





⋅⋅⋅=∆
2
�
ηα . 
 
Mas, como Fig. 44 mostra claramente, essa relação linear não vale mais para tempos 
prorrogados de filtração. Em determinado momento a diferença em pressão chega a um valor 
tão grande que provoca uma compressão demasiada da torta de filtragem. A partir deste 
momento (começo da linha pontilhada) a perda em pressão aumenta mais do que 
proporcional. Para evitar danos no equipamento deve-se encerrar o processo neste ponto. 
 
 
Fig. 44. Perda em pressão em dependência do tempo de filtração sob vazão constante. 
 
Na prática se trabalha entre os dois casos extremos, como já ditos. Temos que olhar nas 
devidas relações ( ) )(2 tfFVliq = . Enquanto a relação é conhecida para ∆p = const., ela tem 
que ser determinada ainda para V� = const., usando a equação dada logo acima, ampliando-a 
com t e inserindo liqVtV =⋅� : 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
91 
tF
V
K
tF
tVKp liqmm
11
22
⋅





⋅⋅⋅=⋅




 ⋅
⋅⋅⋅=∆ ηαηα
�
. 
 
Segue: 
 
t
K
p
F
V
m
liq
⋅
⋅⋅
∆
=





ηα
2
 (para V� = const.). 
 
Comparamos este resultado com o que achamos na p. 88: 
 
t
K
p
F
V
m
liq
⋅
⋅⋅
∆
=





ηα
2
2
 (para p∆ = const.). 
 
A filtração sob pressão constante é evidentemente mais favorável pelo fator 2. Portanto, na 
prática se começa o processo, aumentando a pressão aos poucos até o filtrado sai límpido. 
Após a formação de uma camada suficientemente grossa se continua o processo sob pressão 
constante, formando a torta de filtragem final. 
 
 
Fig. 45. Vazão e perda em pressão durante a filtração técnica. 
 
Aspectos práticos da filtração 
Na filtração técnica se diferenciam dois objetivos: em um dos processos se aproveita do 
filtrado e a torta é o rejeito. Exemplo deste seja a remoção de resíduos sólidos, numa reação 
bifásica sólido/líquido. Temos como objetivo a produção de sais de ácidos carboxílicos 
solúveis (acetatos, propionato, butirato, mas não oxalato ou sabões, por serem insolúveis), a 
partir dos ácidos livres e o óxido do metal (geralmente CaO ou MgO), conforme: 
 
MO + 2 R-COOH M(RCOO)2 + H2O. 
 
A. IsenmannOperações Unitárias 
92 
Neste caso, temos que remover restos de óxido MO - que certamente foi usado em excesso 
nesta síntese. É retido na torta de filtragem e conduzido de volta, ao reator. 
O outro objetivo da filtração é o isolamento da torta que contém o produto com valor, 
enquanto o filtrado é rejeitado. Exemplos são processos onde o produto se obtém por 
cristalização ou por precipitação. Neste caso temos que separar a mistura reacional, ainda 
líquida, do nosso produto sólido. Muitas vezes se aproveita da posição da torta dentro do meio 
de filtragem, para lavar e/ou secar o produto cristalino. 
A princípio, a filtração é um processo descontínuo, pois a torta tem que ser removida do pano, 
como mostrado na Fig. 43. Em muitas linhas de produção se reverte, portanto, o filtro com um 
segundo equipamento idêntico a ele, para não interromper o fluxo da suspensão enquanto a 
torta está sendo removida do primeiro filtro. Mas também foram desenvolvidos processos de 
filtragem quase contínuos, entre outros: filtros de velas de pressão (Fig. 46), filtro de câmara e 
de moldura (Fig. 47) ou o filtro de tambor celular (Fig. 48). 
 
 
Fig. 46. Filtro de velas de pressão. 1 = Suspensão ou solvente de lavagem da torta 
que se encontra em cima da vela. 2 = Fundo removível contendo canais de 
distribuição. 3 = Velas montadas numa console intermediária. 4 = Saída do 
filtrado, ao mesmo tempo entrada de ar pressurizado para a descarga das tortas. 5 
= Conexão de vapor, para o tratamento das tortas prontas em cima das velas. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
93 
 
Fig. 47. Filtros de câmara (esquerda) e de molduras pressurizadas (direita). 
 1: moldura; 2: chapa; 3: pano de malha fina; 4: admissão da suspensão; 5: saída do 
filtrado. 
 
 
Fig. 48. Filtro de tambor celular. 
1 = pano de filtragem com a torta; 2 = células de sucção; 3 = ducha de lavagem; as 
seguintes conexões são fixos: 4 = conexão ao vácuo; 5 = conexão a ar pressurizada; 
6 = saída da água de lavagem. 
 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
94 
3 Números adimensionais e análise dimensional 
 
3.1 Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais 
No capítulo anterior encontramos em vários lugares com os números adimensionais que 
caracterizam um sistema operacional que consiste de um dispositivo e o material a ser 
transformado: 
 
η
ρ ud ⋅⋅
=Re Número de Reynolds. 9 
 
2
2
1
u
pEu
⋅⋅
∆
=
ρ
. Número de Euler. 
 
( )
2
3
2
3
η
ρρ
η
ρρρ gdgd
Ar kflflsk
⋅⋅∆⋅
=
⋅⋅−⋅
= Número de Arquimedes. 
 
Neste texto vão aparecer ainda outros que são relacionados ao fluxo de calor, tais com os 
números de Schmidt (Sc), Sherwood (Sh), Nusselt (Nu) e Grashof (Gr) (ver Tab. 19, na p. 
166). Vamos questionar por que estes números adimensionais acham uma aplicação tão 
extensa na química técnica. 
Respondendo essa pergunta, temos que reconhecer que a base da descrição de acontecimentos 
naturais (ciências exatas) e tecnológicas (engenharias) são as leis. Estes leis podem ser dadas 
em forma de: 
� Equações algébricas (exemplo: TRnVp ⋅⋅=⋅ ); 
� Equações diferenciais (exemplo: segunda lei de Fick, para a descrição do fluxo 
durante o nivelamento de pressões desiguais); 
� Matrizes (muito usados na física quântica) ou 
� Valores numéricos (arquivos de tabelas). 
 
A base das ciências de engenharia, mais especificamente, são as equações de balanço que 
servem para descrever os fenômenos de transporte. Nestes, podemos classificar: 
� Balanços da matéria 
� Balanços de momentos 
� Balanços de energia 
� Balanços de calor. 
 
9
 inclusive o número de fricção, λ(Re), um valor empírico derivado do valor teórico de Re. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
95 
 
São geralmente equações diferenciais que muitas vezes são bastante complexas e, além disso, 
acopladas entre si. Um exemplo repugnante vimos na p. 25, com as equações de Navier-
Stokes. Soluções discretas se obtêm muitas vezes somente com uma série de condições 
marginais e/ou situações especiais. Portanto, o engenheiro sempre tenta chegar a equações 
algébricas comuns que valem em geral e cujo tratamento matemático é muito mais simples. 
Um exemplo para estas seja a lei de Hagen-Poisseulle: 
 
L
pd
u
⋅
∆⋅
=
η32
2
. 
 
No gráfico, onde a velocidade do fluido u é representada como função da diferença em 
pressão ∆p, acha-se uma reta - mas somente para perdas em pressão pequenas. O limite desta 
relação linear é a região do fluxo laminar, isto é, podemos afirmar que esta lei somente vale 
para fluxos laminares. Já para a região turbulenta não é mais possível achar uma solução 
rigorosa para u - uma integração numérica falha. 
Uma descrição correta do fluxo turbulento seria possível a base de valores experimentais e 
sua extrapolação. Porém, neste caminho temos que lidar com a severa restrição que os valores 
obtidos somente valem para um determinado tubo (comprimento L, diâmetro d, asperidade k) 
e somente para um determinado fluido (densidade ρ, viscosidade η). Para cada tubo, cada 
peça e cada fluido deveria ser medido novamente - certamente uma aproximação bastante 
desgastante e pouco econômica. 
Portanto, queremos questionar se não fosse possível obter leis de caráter universal, a partir de 
medições e valores experimentais. Leis com as quais o engenheiro pode calcular e 
dimensionar novos equipamentos e/ou fluidos a serem transportados. Estratégias promissores 
são a teoria do modelo e a análise dimensional. 
 
3.2 Teoria do modelo e semelhança física 
A teoria do modelo tem um papel importante em todas as engenharias. É ela que permite o 
estudo e a simulação de um processo industrial, em pequenos modelos (M), para que os 
resultados possam ser transferidos posteriormente ao equipamento real, de tamanho grande 
(G). Com estes modelos economizamos em tempo, matéria prima e aparelhos de medição - 
afinal poupamos muito dinheiro porque todo o projeto ficaria bem mais caro se fosse feito 
diretamente no equipamento grande. O risco de mau funcionamento, prejuizos financeiros e 
tempo perdido, são muito grandes se o processo não seria estudado primeiro em pequena 
escala. 
Exemplos especialmente expressivos são as indústrias, automobilística e aeroespacial, onde os 
primeiros estudos de novos veículos são feitos em pequenos modelos, a serem testados no 
canal de vento. A indústria naval e náutica também aproveita, pensamos em modelos 
estudados antes a construção de um novo dique, na simulação de tsunamis, novos barcos de 
transporte, cruzeiros etc. Temos também exemplos da técnica de reações, onde podemos 
estudar a mistura e homogeneização de sistemas de alta viscosidade, o efeito de diferentes 
agitadores, simulação de vórtices numa batelada, do transporte em tubulações, etc. 
A teoria do modelo deve atender em primeiro lugar à questão: quais os critérios para que dois 
acontecimentos, mais especificamente, modelo e equipamento grande, sejam equivalentes. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
96 
Temos que ter noção de quanto confiável é a transferência dos conhecimentos, obtidos no 
modelo, ao equipamento grande (= "problema do scale-up"). Este problema é estudado há 
muito tempo e leva ao critério principal da semelhança física. 
 
 
Semelhança física sempre temos quando os acontecimentos no modelo e no equipamentogrande abrem o mesmo campo de variáveis independentes. Nosso exemplo seja o fluxo 
turbulento, estabelecido em um tubo pequeno e um tubo grande. Aqui o campo de variáveis é: 
a direção e o tamanho dos vetores da correnteza; podemos incluir também a distribuição das 
pressões. 
 
Fig. 49. Distribuição dos vetores que descrevem as correntezas, num tubo modelo e no 
tubo real. Os redemoinhos foram transcritos 1 : 1, conforme exigido pelo princípio da 
semelhança. 
Matematicamente, a semelhança física exige que o equipamento real deve ser descrito 
corretamente, aplicando transformações lineares no modelo. Temos que levar em 
consideração que nem todas as variáveis podem ser ampliadas de maneira uniforme. Com 
grandezas geométricas isto é possível, já com propriedades do material (viscosidade, 
tenacidade, densidade,...) não é possível. Portanto, cada procedimento de scale-up é acoplado 
a certas condições que limitam sua aplicação. 
Semelhança física é dada quando: 
a) As dimensões geométricas são semelhantes (= congruentes). 
b) Os números adimensionais a base das grandezas relevantes no processo (grandezas de 
operação e grandezas do material) são iguais. 
Estas são as exigências que resultam da condição da transformação equivalente. 
 
a) Semelhança geométrica 
Modelo e equipamento real são geometricamente semelhantes quando as dimensões e 
aspectos têm a mesma relação. Em tubos, estas serão, em primeira linha, comprimento e 
diâmetro. A relação entre duas dimensões é adimensional. Ela é chamada de "número 
geométrico", Ge, para diferenciá-lo dos números adimensionais, Na, discutidos a seguir. 
Modelo (M) Equipamento real 
(G, de grande) 
A. Isenmann Operações Unitárias 
97 
d
LGe =1 , d
asperidadeGe =2 (com d = comprimento característico) 
 
No exemplo do fluxo em tubos, L será o comprimento do tubo e d o diâmetro. Nos números 
geométricos pode ser trapaceado um pouco. Quer dizer, atribuímos semelhança geométrica 
onde ela não está dada. Um exemplo são leitos, onde sabemos que as partículas reais não são 
bolinhas redondas. Porém, nestes casos onde não se tem semelhança no sentido rigoroso, 
observamos mesmo assim boa concordância entre modelo e equipamento real, confirmada por 
testes e a larga experiência neste setor. 
 
b) Números adimensionais. 
Sob números adimensionais, Na, entendemos a combinação (multiplicação e divisão) de 
grandezas de operação com grandezas do material onde todas as dimensões se cortam. Resulta 
assim um número puro. 
 
Grandezas de operação: p, T, ci, u , .... e uma grandeza geométrica (por exemplo, L). 
Grandezas dos materiais: η, ρ, λ, .... e constantes da natureza (por exemplo, g). 
 
A questão é: quais destes são os números adimensionais "certos", ou seja, úteis? Quais são as 
melhores combinações que permitem uma avaliação da similaridade hidrodinâmica, térmica, 
reacional, etc? E como podemos obtê-los? 
Existem diversos métodos de desenvolver números adimensionais. Aqui seja apresentado o 
método da análise dimensional. 
 
3.3 Análise dimensional 
A análise dimensional fornece uma resposta à pergunta de quantos números adimensionais 
são precisos para descrever um sistema. Ela também mostra o caminho como obtê-los. A base 
desta análise é o fato que todas as importantes grandezas físicas são uma combinação de um 
valor numérico com uma dimensão. 
 
a) Quantidade de números adimensionais necessários 
Em primeiro lugar, pressupomos semelhança geométrica. Com essa condição já temos fixas 
as relações entre as dimensões dos corpos. Os números geométricos estão definidos. No tubo, 
isso são: 
d
LGe =1 , d
kGe =2 . 
 
Esses números, por definição, não são contados juntos aos números adimensionais. 
No início desta apostila, na Tab. 2, são listadas todas as grandezas básicas do sistema 
internacional (SI), junto às suas dimensões. Com essas unidades básicas podemos derivar 
todas as demais unidades compostas. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
98 
 
Exemplos: 
Pressão p Pa = kg m-1 s-2 
Potência N W = kg m2 s-3 
Velocidade u m s-1 
Densidade ρ kg m-3 
 
A análise dimensional leva ao resultado, conhecido como teorema de Buckinham: 
 
esan ZZZZ −+= Teorema Π de Buckingham. 
 
Nesta são: 
Zn = Número de números adimensionais (entende-se o número mínimo; sem Ge1 e Ge2). 
Za = Número de valores que especificam o equipamento e números do funcionamento. 
Zs = Número de valores específicos da matéria e constantes da natureza. 
Ze = Número de unidades básicas. 
 
Este teorema fala que o número mínimo de números adimensionais resulta da soma de 
grandezas de equipamento/operação e grandezas de material/constantes da natureza, 
diminuída pelo número de unidades básicas que foram usadas. 
 
Exemplo: 
Grandezas de equipamento/operação u, d, p Za = 3 
Grandezas da matéria/constantes da natureza η, ρ, g Za = 3 
Unidades básicas m, kg, s Za = 3 
Dai resulta: 
3333 =−+=nZ . 
 
Para descrever adequadamente o acontecimento no fluxo tubular precisamos então de três 
números adimensionais. Todos estes já conhecemos: Eu, Re, Ar. 
 
b) Desenvolvimento dos números adimensionais. 
Segue uma receita que não é o único acesso aos números adimensionais, mas o mais simples e 
mais conhecido. 
Construam-se algumas unidades básicas, a partir das grandezas de aparelho e da matéria. 
Estes achados inserem-se nas grandezas compostas que não foram utilizadas ainda. Os 
quocientes destas representam os números adimensionais. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
99 
Para mais clareza vamos aplicar este princípio ao estudo do fluxo. 
É bastante útil referir todas as grandezas de aparelho e de matéria, junto às unidades SI, em 
uma tabela, conforme feito a seguir: 
 
Grandeza Unidade 
Pressão p kg m-1 s-2 = Pa 
Viscosidade η kg m-1 s-1 = Pa s 
Aceleração gravitacional g m s-2 
Velocidade u m s-1 
Comprimento d m 
Densidade ρ kg m-3 
 
Para as unidades básicas resultam: 
 
kg = [ρ d³] m = [d] s = [d/u] 10 
 
Inserir estas nas demais grandezas fornece os devidos números adimensionais que poderiam 
ser útil para a descrição desta operação: 
 
Pressão [p] [ ][ ][ ] [ ]22
3
2 u
udd
d
sm
kg
⋅=
⋅
=
⋅
= ρρ . 
Número adimensional 
21 u
pNa
⋅
=
ρ
 → levará ao Número de Euler 
Viscosidade [η] [ ][ ][ ] [ ]ududd
d
sm
kg
⋅⋅=
⋅
=
⋅
= ρρ
3
. 
Número adimensional Na2
ud ⋅⋅
=
ρ
η
 → levará ao Número de Reynolds 
Aceleração gravitacional [g] [ ][ ] [ ]duud
d
s
m 2
22 === . 
Número adimensional Na3
gd
u
⋅
=
2
 → é o Número de Froude 
Além destes podemos formular (somente para dar exemplos; estes números realmente não 
têm importância prática): 
 
10
 Para o tempo poderia ser também a combinação: s = [η/p]. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
100 
η⋅
⋅
=
g
puNa4 
ρ
η
⋅⋅⋅
⋅
= 6
32
5
udp
gNa ....... 
 
Não existe uma única maneira de formar os números adimensionais, mas eles requerem ainda 
da nossa definição. Portanto, poderiam também ser definidas as expressões recíprocas. Afinal 
é um assunto de convenção internacional. Além disso, a análise dimensional não diferencia 
entre uma grandeza ou uma diferença desta grandeza. Sendo assim, pode entrar nas fórmulas 
acima a pressão p ou a queda em pressão ∆p. 
Realmente, os números adimensionais convencionaisse dão das expressões acima, da 
seguinte maneira: 
1
2
2
1 Na
u
pEu =
⋅⋅
∆
=
ρ
. Número de Euler. 
2
1Re
Na
ud
==
η
ρ
 Número de Reynolds. 11 
3
2
Na
gd
uFr =
⋅
= Número de Froude. 
É lógico que cada produto a partir destes números leva a um novo número adimensional. 
Muitos números são definidos por este caminho, por exemplo, o já conhecido número de 
Arquimedes: 
 
2
23
22
2222Re
η
ρ
η
ρ gd
u
gdud
Fr
Ar ⋅⋅=⋅⋅== 
2
23
liq
liq gpdAr
η
ρ ⋅∆⋅⋅
= Número de Arquimedes 
 
Desta maneira obtemos dois jogos de números adimensionais. Qual destes deve ser aplicado, 
isso depende da problemática a ser resolvida: 
1o Jogo: Eu, Re, Ar Útil em tarefas acerca de sedimentação em sistemas heterogêneos. 
2o Jogo: Eu, Re, Fr Útil em tarefas no campo gravitacional em sistemas homogêneos. 
 
 
 
11
 inclusive o número de fricção, λ(Re), um valor empírico derivado do valor teórico de Re. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
101 
4 Fluxo de calor 
 
4.1 Importância técnica 
As tecnologias de aquecimento e resfriamento e o transporte de calor que resulta destas 
operações, são etapas fundamentais em todos os processos da indústria química. Notamos que 
as técnicas utilizadas em grande escala são bastante diferentes daquelas que aplicamos no 
laboratório, onde hoje a maioria dos aquecimentos é via resistências elétricas e o resfriamento 
por água corrente. 
Na prática industrial podemos classificar estes processos em dois princípios: 
resfriamento/aquecimento direto ou indireto. 
 
a) Resfriamento/aquecimento direto 
Como exemplos deste princípio podemos mencionar: 
1. Introdução de vapor, através de um tubo perfurado. 
 Secagem direta de um produto sólido, através de ar aquecido (pode ser em leito 
fluidizado, ver Fig. 30, na p. 65). 
2. Acrescentar gelo diretamente à mistura reacional. 
Resfriamento de uma mistura por ebulição. 
Resfriamento na retificação, pelo líquido retornando. 
Todavia, podemos constatar que as aplicações de esfriamento/aquecimento direto são 
relativamente raras. 
 
b) Resfriamento/aquecimento indireto 
Nesta categoria a transferência do calor ocorre através de uma parede (= superfície trocadora 
de calor): 
 
Este tipo de transferência de calor é aplicado em diversas formas, na indústria química. Os 
exemplos mais importantes são: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
102 
 
 3) Aquecimento com gás combustível através de bicos: 
 
 
Os meios preferidos para aquecimento/resfriamento na indústria são vapor, mas também água 
(em circuitos fechados ou semi-abertos) e sóis de refrigeração. Devido aos custos elevados o 
aquecimento elétrico se aplica somente em situações especiais. 
Abaixo de 100 °C aplica-se quase exclusivamente água para transferir o calor (água quente ou 
água fria). A temperaturas entre 100 e 250 °C aplica-se vapor d´água. Neste contexto deve-se 
lembrar do investimento de calor para evaporar a água líquida (= "calor latente") que conta 
com 140 −⋅=∆ molkJ HV , ou seja, 12222 −⋅=∆ kgkJ HV . 
Tab. 12. Pressão da água, em função da temperatura 
Pressão p de 
vapor em 
MPa 
0,1 0,3 1 2 10 22,6 
(crítica) 
Temperatura 
T em °C 
100 133 180 211 310 374 
(crítica) 
A. Isenmann Operações Unitárias 
103 
Modo de 
operação 
(segurança!) 
Baixa pressão Média pressão Alta pressão 
 
Caso forem precisas temperaturas mais altas ainda, aquece-se a superfície com a chama 
aberta, conforme esboçado acima. 
O resfriamento ocorre com água fria ou água evaporando; a temperaturas abaixo zero grau 
usa-se um sol de refrigeração (NH3, hidrocarbonetos fluorados-clorados), porém esta 
operação sai bem mais cara do que a refrigeração com água. 
 
4.2 Unidades, valores específicos, equações de transporte 
As unidades mais usadas para o transporte térmico se derivam da unidade da energia: 
 
Energia (calor), E (Q): 1 kJ = 1 kW.s = 1000 kg.m2.s-2. 
Para o armazém do calor geralmente usamos a capacidade calorífica, Cp (em J.K-1.mol-1) ou a 
capacidade calorífica específica, cp (em J.K-1.g-1). Para esquentar um grama de água, de 15 a 
16 °C, se gasta 1 caloria. Isso foi a definição histórica da caloria - que hoje deve ser 
substituída por Joule; 1 cal = 4,18 J. Portanto, a capacidade calorífica específica da água 
líquida é 1118,4 −− ⋅⋅= gKJc p . E para quase todos os materiais sólidos se acha o mesmo 
valor de 1126 −− ⋅⋅≈ molKJC p (regra de Dulong-Petit). 
Para o fluxo do calor, Q� , e a condutividade térmica λ resultam as seguintes unidades: 
 
Fluxo de calor ( Q� ): 1 kJ.s-1 = 1 kW = 1000 kg.m2.s-3. 
Condutividade térmica (λ): 1 kW.K-1.m-1 = 1 kJ.K-1.m-1.s--1. 
 
Em processos industriais temos que contar com as seguintes ordens de grandeza: 
 
Reações químicas: ~ 100 kJ.mol-1, 
Combustões: ~ 400 kJ.mol-1, 
Evaporações: ~ 30 kJ.mol-1, 
 
Nos casos mais simples a transferência de calor não provoca mudanças na matéria nem 
transformações das fases. Este tipo de transporte chamamos de processos de "nivelamento 
térmico". O fluxo de calor unicamente serve para nivelar diferenças em temperatura em dois 
locais distintos. O registro diferencial do calor transportado geralmente é uma tarefa bastante 
complexa, requerendo cálculos complexos. Isso se deve, principalmente, aos diferentes 
mecanismos de transporte do calor que agem paralelamente e podem influenciar-se 
mutuamente. Portanto, em muitas situações utilizaremos a teoria da semelhança, através da 
qual podemos tirar conclusões com validade geral, a partir dos dados experimentais obtidos 
no modelo (ver cap. 3.2). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
104 
Podemos classificar três tipos de transporte de calor que, como já dito, podem acionar de 
forma isolada ou, como é o caso geral, em combinação: 
1. Condução de calor 
2. Convecção de calor 
3. Radiação. 
 
Estes mecanismos de transporte do calor são matérias da aula de física, portanto devem ser 
tratados aqui, de forma bem resumida. 
 
4.2.1 Condução de calor 
O transporte do calor via condução se explica a nível molecular. Para entender isso, devemos 
estar ciente que calor significa movimento molecular. Isto são, principalmente, as vibrações 
(angulares e de estiramento, também chamados de vibrações de valência), em segunda linha 
também as rotações das moléculas. No primeiro caso as moléculas armazenam energia na 
região típica do infravermelho, no segundo caso na região das microondas. O relaxamento 
não radiativo, a partir de níveis excitados de vibração e rotação, corresponde a uma 
transferência de calor, da molécula para o seu ambiente. A energia pode, por exemplo, ser 
transferida a uma molécula vizinha que recebe a energia e a armazena em forma de níveis 
elevados de rotação/vibração. E assim vai - o calor se transmite de molécula para molécula e 
temos o fenômeno da condução. Em gases e líquidos a condução na sua forma pura somente 
ocorre em pequenos volumes. Sendo esses, fendas, canais ou capilares. Nestes locais não se 
tem um movimento supramolecular direcionado, ou seja, não se tem convecção livre. 
O fenômeno de transporte de qualquer grandeza, seja massa, calor, eletricidade, magnetismo 
ou momento, é descrito pelas leis de Fick. A situação momentânea (= diferencial) do 
transporte é descrita pela 1a lei de Fick, enquanto o desenvolvimento temporal do nivelamento 
é formuladanuma equação diferencial conhecida como 2a lei de Fick. Aqui nos interessam, 
em primeira linha, as dependências do fluxo das grandezas do sistema (1a lei de Fick), 
largamente conhecido como difusão: 
 
Γ⋅−=
⋅
Γ
=Γ gradadtF
dJ
�
. 
 
=ΓJ
�
vazão de alguma grandeza Γ (fala: gama); F = área transversal; t = tempo; a = 
coeficiente da difusão; 
dz
dgrad Γ=Γ = mudança da grandeza Γ ao longo do caminho de 
transporte, z. 
 
Aplicamos essa equação geral do transporte à Γ = massa, obteremos a lei do fluxo hidráulico, 
conhecida também como lei de Darcy. Aplicamos a mesma equação à eletricidade, resultará a 
lei de Ohm. E, finalmente, aplicamos essa lei ao calor, resulta a 1a lei de Fourier que será 
unicamente aplicada a seguir: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
105 
dz
dTFQ ⋅⋅−= λλ� 1a Lei de Fourier. 
 
Nesta, λ representa o coeficiente de transmissão de calor 12, F a área da superfície trocadora 
de calor e z a coordenada em direção ao fluxo do calor. Podemos afirmar que o fluxo de calor 
λQ� é proporcional à superfície F e ao gradiente em calor, dT/dz. O último representa a força 
propulsora para o fluxo do calor, perpendicular à área F e em direção z. A 1a lei de Fourier 
pode ser aplicada para resolver problemas de transporte de calor, atravessando tanto chapas 
planas quanto tubos com superfícies curvadas. O coeficiente da condutividade térmica λ é 
uma grandeza de transporte, característica para o meio condutor. As menores condutividades 
têm os gases, as maiores os metais. Os valores para líquidos estão no meio do espectro: 
 
Gases: 0,02 a 0,2 W.K-1.m-1 
Líquidos: 0,1 a 0,6 W.K-1.m-1 
Sólidos: 
Não-metais 0,5 a 30 W.K-1.m-1 
Metais 30 a 400 W.K-1.m-1 
 
Na Tab. 13 estão referidos coeficientes de condução térmica de alguns sólidos, líquidos e 
gases que frequentemente acham aplicação em aquecimentos/resfriamentos 13. 
 
Tab. 13. Coeficientes de condutividade térmica de alguns materiais de importância 
industrial em trocadores de calor (valores indicados para 20 °C). 
Sólidos λλλλ em W.K-1.m-1 Líquidos e gases λλλλ em W.K-1.m-1 
Prata 458 Água 0,59 
Cobre 393 Amônia 0,52 
Alumínio 221 Líquidos orgânicos 0,1 - 0,3 
Ferro 67 
Níquel 58 Hidrogênio 0,17 
Chumbo 35 Ar 0,025 
Aços Cr/Ni 15 - 21 Vapor d´água (100 
°C) 
0,023 
 
12
 Esse coeficiente, relacionado à densidade ρ e à capacidade calorífica cp do meio, leva à condutividade térmica, 
a; ver p. 118. 
13
 Curiosidade: o diamante, embora ser bom isolador elétrico, tem uma condutividade térmica extremamente 
alta: λ = 900 a 2300 W.K-1.m-1, dependendo da direção da medição. Outro material excelente condutor térmico é 
o nanocomposto "grafeno", com λ de até 5000 W.K-1.m-1. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
106 
Grafite 12 - 175 Gás carbônico 0,017 
Gelo (0 °C) 2,2 Cloro 0,007 
Alvenaria 0,4 - 1,2 
Vidro 0,75 
Materiais isolantes 0,03 - 0,1 
 
4.2.2 Transporte de calor por convecção 
Na convecção a molécula transportadora do calor (por vibrações e rotações) está se 
movimentando ao longo do caminho z (= translação). O fenômeno é cooperativo, isto é, o 
movimento translatório ocorre com um coletivo de moléculas. São maiores agregados de 
moléculas que geralmente todas estão portadoras do calor. A convecção pode ser forçada ou 
livre, ela nunca ocorre isoladamente, mas sempre está superposta pelo fenômeno da condução. 
As condições para a convecção são um volume maior para que se estabeleçam as dinâmicas 
do fluido livremente. Caso a força propulsora seja uma diferença em densidade, causada por 
um aquecimento localizado, daí se fala da convecção própria ou convecção livre. A outra 
possibilidade é o acionamento da matéria por uma bomba externa (= convecção forçada). 
Em caso geral, quando houver convecção forçada, a convecção própria é subdominante e 
pode até ser desconsiderada. Podemos formular, para este caso: 
 
TcmTcVQ ppconv ⋅⋅=⋅⋅⋅= ��� ρ . 
 
Nesta, convV� = vazão de volume; ρ = densidade do portador do calor; cp = capacidade 
calorífica do portador, T = temperatura dentro do elemento de volume; m� = vazão de massa. 
 
4.2.3 Transporte de calor por radiação 
Nos dois mecanismos anteriores, condução e convecção, o conteúdo energético foi 
transportado e transferido, via movimentos da matéria. No caso da condução discutimos o 
movimento dentro de cada molécula que pode induzir movimentos nas moléculas vizinhas, 
sem as mesmas mudarem suas coordenadas no espaço; no caso da convecção trata-se do 
movimento translatório de moléculas em vibração, ao longo do caminho z. Isso é 
fundamentalmente diferente no caso da radiação, onde não estão envolvidos movimentos de 
matéria pesada, mas o calor está sendo transportado por ondas eletromagnéticas. Isso implica 
que o evento da radiação não requer do contato direto entre as moléculas carregadoras do 
calor. 
Em processos técnicos, salvo exceções, o mecanismo da radiação é de importância 
subordinada e pode ser desprezado nos cálculos. 
O calor se transmite via radiação ao ambiente frio quando um corpo é extremamente quente 
(agitação eletrônica; elétrons em níveis elevados; população dos orbitais LUMO). Segundo 
a famosa lei de Stefan-Boltzmann, o fluxo em calor é dado (rigorosamente válido para o corpo 
negro): 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
107 
4
100






⋅⋅=
TFcQ nrad� Lei de Stefan-Boltzmann. 
 
Nesta, F = área irradiante, T = temperatura absoluta do corpo em radiação; cn = constante da 
radiação do corpo negro: valor: cn = 5,67 W.m-2.K-4. Para ampliar a todos os tipos de 
superfície, aplica-se um fator que reduz a constante cn, por um fator corretivo ε: 
 
Material e acabamento 
da superfície 
Fe polido Fe cru Vidro liso Verniz, preto 
fosco 
ε 0,2 0,6 0,94 0,97 
 
Na prática se procura o fluxo calórico devido a uma diferença ∆T = T2 - T1; T1 do corpo que 
emite e a temperatura T2 do ambiente mais frio que absorve o calor. A quantidade de calor 
transferida por radiação é: 
 














−





⋅⋅=
4
2
4
1
100100
TT
FcQ nrad� . 
O processo pode ser representado como: T1 T2. Já que o fluxo de calor radQ� depende 
de T4, temos que contar com a contribuição notável da radiação, somente a partir de 
temperaturas T1 mais altas: geralmente > 200 °C. Ao extremo superior, o calor emitido por 
um pedaço de metal aquecido ao rubro, é transferido ao seu ambiente, principalmente por 
radiação. Outro exemplo do nosso quotidiano: a sensação de calor quando passamos num 
fogo aberto, sentado dentro do carro de janela fechada. 
Processos de transporte calórico se compõem, em geral, aditivamente das três contribuições 
mencionadas acima, condução, convecção e radiação: 
 
radconv QQQQ ���� ++= λ . 
 
Relações importantes e equações úteis para resolver problemas de transporte de calor em 
procedimentos industriais de química se dão do modelo do transporte contínuo e constante, de 
calor através de uma parede plana ou através do material curvado de um tubo. Nestes casos o 
único contribuinte ao fluxo do calor é a condução. Portanto, única relação de importância a 
ser discutida em detalhe é a 1a lei de Fourier. 
 
a) Transporte constante de calor através de uma parede plana. 
Uma parede plana e paralela, da espessura s e da área F, tenha em um lado a temperatura T1 e 
no outro lado a temperatura T2, com T1 > T2. Para o processo constante de transporte do calor 
podemos repor o quociente diferencial na equaçãode Fourier por uma simples fração: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
108 
s
T
s
TT
dz
dT ∆
=
−
≈−
21
. 
 
Daí resulta a relação simples: 
 
s
TFQ ∆⋅⋅= λλ� . 
 
Conforme essa, a quantidade de calor λQ� transportada em direção z em um intervalo de 
tempo, é diretamente proporcional à área F e à diferença em temperatura ∆T; ela é 
inversamente proporcional à espessura da parede, s. O perfil térmico que se estabelece dentro 
da parede, é linear, conforme o esboço a seguir. 
 
 
b) Transporte constante de calor, através da parede de um tubo. 
No transporte constante de calor λQ� através de uma parede curvada de um tubo, a direção do 
fluxo é perpendicular à área superficial F da parede. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
109 
 
Devido à simetria cilíndrica do tubo vale: 
 
r
const
dr
dT .
= . 
 
Integração desta relação fornece a expressão discreta para a constante: 
 
( ) ( )2121
21
lnln
.
rr
T
rr
TT
const
∆
=
−
= 
 
Inserida na lei de Fourier fornece para o fluxo de calor: 
 
( )2111 ln rrr
TFQ
⋅
∆
⋅⋅= λλ� . 
 
Nesta, podemos afirmar que a parede externa do tubo, F1 é dada por: 
 
LrF ⋅⋅= 11 2pi . 
 
Para tubos largos com parede fina, a equação acima se aproxima à equação que achamos para 
a passagem pela parede plana. 
 
4.3 Transferência de calor e transmissão de calor 
Fala-se em transferência de calor quando o transporte está passando por uma interface, em 
casos gerais do fluido (líquido ou gás), para um sólido. Acontece, por outro lado, o transporte 
do calor, de um fluido para outro fluido, passando por uma fase sólida (parede, tubulação, 
caldeirão, blendas, etc.), é mais adequado falar de transmissão de calor. Em ambos os casos a 
convecção do calor, exercido pelo(s) fluido(s) é o processo principal, responsável pelo 
transporte. Portanto, precisamos conhecer melhor o fenômeno e as particularidades da 
convecção, antes de entrar em detalhes e equipamentos. 
 
4.3.1 Convecção livre e forçada 
Na prática o transporte de calor por convecção (sinônimo para correntezas) sempre é 
acompanhado pelo processo da condução. Devido à situação extremamente complexa da 
dinâmica dentro do fluido, somente em casos excepcionais e com uma série de restrições esse 
transporte pode ser descrito matematicamente correto e de maneira fechada. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
110 
a) Convecção forçada 
Numa convecção forçada a correnteza é produzida por forças externas. O fluido cuja 
temperatura se distingue do seu ambiente, está fluindo, de maneira laminar ou turbulenta em 
tubos (por exemplo, em trocadores de calor) ou em mantas (por exemplo, manta refrigeradora 
de bateladas), propulso por uma bomba. 
Vamos olhar mais perto no fluxo laminar em um tubo. 
Um líquido tenha a temperatura T0 e passe por um tubo, de maneira laminar. A parede deste 
tubo tenha a temperatura Tw que seja mantida constante através de um meio de refrigeração. A 
temperatura da parede seja inferior à temperatura do líquido, T0 > Tw. Neste caso o calor será 
cedido à parede. 
 
 
 
No caso geral o perfil parabólico do fluxo laminar está sendo perturbado pelo transporte do 
calor. Em alguns casos, porém, é possível fazer um cálculo simplificado, ao se usar valores 
específicos, válidos para uma temperatura definida. Sob esta restrição o sistema é chamado de 
"Problema de Graetz-Nusselt", ainda bastante complexo, que, no entanto, pode ainda ser 
resolvido usando funções de Bessel. Caso os valores específicos do líquido dependam da 
temperatura, ou o fluxo seja turbulento ou se considere uma outra forma de caminho do que 
um tubo liso e reto, daí o problema se torna complexo demais para o qual, até hoje, não 
existem mais soluções exatas. 
 
b) Convecção livre (= convecção natural) 
A correnteza da convecção livre não tem sua origem numa bomba ou outra força externa, mas 
é provocada pelo gradiente térmico do próprio fluido e, acoplado nele, o gradiente em 
densidade. 
Seja um exemplo simples uma parede vertical da temperatura Tw, que está em contato com um 
fluido parado. A temperatura T do fluido seja inferior à da parede, Tw > T. Sob estas 
condições podemos esperar o seguinte perfil térmico: 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
111 
 
Na proximidade à parede o líquido tem a temperatura mais alta. Nesta área deveríamos 
esperar a maior sustentação e então a maior velocidade ascendente do fluido. Sobreposta, 
porém, é a condição da estacionaridade (p. 26) que vale diretamente na parede. Isto é, a 
primeira camada de fluido está parada. Contamos com os dois efeitos, observamos então um 
aumento da velocidade ascendente a partir de u = 0. Ela percorre um máximo e cai 
rapidamente, ao afastar-se mais um pouco da parede, até chegar novamente a u = 0. A partir 
daí a direção do fluxo se inverte, quer dizer, temos vetores de movimento para baixo. Os 
elementos de volume que foram aquecidos e levados para cima, descem novamente nesta 
distância à parede. Os movimentos do calor nesta distância da parede são igualmente 
acoplados a um movimento das massas, sem presença de uma bomba externa, portanto 
identificamos como convecção livre. 
Com um perfil térmico constante e fluxos laminares o problema ainda pode ser 
matematicamente resolvido. A maioria das situações de transporte de calor, porém, não 
podem ser resolvidos de forma fechada. Nestes casos aplicam-se com sucesso a análise 
dimensional (p. 97) e as correlações adimensionais (p. 97), para descrever o acontecimento 
qualitativamente correto. 
 
4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor 
As definições de transferência e transmissão de calor valem em geral, independente se a 
convecção for forçada ou livre. A transferência de calor seja então o transporte do calor 
através de um encosto das fases, em geral de um sólido a um fluido, ou vice versa. Como já 
mencionado, o processo de transferência do calor, de uma superfície fixa para um fluido em 
movimento é um acontecimento bastante complexo, já que a condução térmica é sobreposta e 
influenciada pelo movimento por convecção. Os dois processos, condução e convecção são 
efeitos mutuamente acoplados. Na prática usa-se o seguinte conceito simples, para descrever 
o fluxo Q� numa transferência de calor: 
 
( )TTFQ w −⋅⋅= α� . 
 
Conforme esta equação simples a quantidade de calor transferida em unidade do tempo, é 
proporcional à área de contato F e à diferença em temperatura entre parede e fluido, enquanto 
para a última seja utilizada a temperatura média. A constante de proporcionalidade α é 
chamada de coeficiente de transferência de calor e tem a unidade W m-2 K-1 (em unidades 
SI: Kg.s-3.K-1). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
112 
 
 
A relação dada acima define então o coeficiente de transferência α; na forma dada ela vale 
para a operação de aquecimento do fluido (Tw > T); no caso da refrigeração (Tw < T) 
invertemos essas temperaturas, para que resulte novamente um coeficiente α positivo. 
Para fim de refrigeração/aquecimento usamos geralmente um meio fluido que transfere o 
calor a uma parede que, ao outro lado, transfere a um segundo fluido. Nesta situação 
decorrem sucessivamente diferentes processos de transporte do calor: 
1. Transferência do calor do fluido 1 para a parede 
2. Condução do calor através da parede (quepode ser de várias camadas) 
3. Transferência do calor da parede para o fluido 2. 
 
O processo todo se conhece como transmissão de calor. 
 
 
 
Podemos aplicar a este problema a relação empírica 
 
( )21 TTFkQ w −⋅⋅=� . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
113 
A quantidade de calor transferida do fluido 1 para o fluido 2 em um intervalo de tempo, é 
proporcional à área de troca de calor e à diferença das temperaturas nos fluidos. O fator de 
proporcionalidade kw chamamos de coeficiente da transmissão de calor e tem a mesma 
unidade que o coeficiente de transferência de calor α, apresentado acima. Na situação de 
fluxo constante, a quantidade de calor Q� transferida do fluido 1 à parede é igual ao fluxo Q� 
através da parede e igual ao fluxo Q� da parede ao fluido 2. É claro que todos estes fluxos 
resumidos podem ser descritos pela equação da transmissão de calor. Sendo assim, 
escrevemos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2122221111 TTFkTTFTTF
s
TTFQ wwwww −⋅=−⋅=−⋅=−⋅= α
λ
α� . 
 
Para obtermos as relações entre os coeficientes kw, α e λ, anotamos explicitamente os fluxos 
particulares envolvidos nesta transmissão: 
 
( )wTTFQ 111 −⋅= α� 
 
( )ww TTF
s
Q 21 −⋅=
λ
�
 
 
( )222 TTFQ w −⋅= α� 
 
Resolver estas pela diferença de temperatura: 
 
( )wTTF
Q
11
1
−=
⋅α
�
 
 
( )ww TTF
sQ
21 −=
⋅
⋅
λ
�
 
 
( )22
2
TT
F
Q
w −=
⋅α
�
. 
 
A adição dos três termos fornece a diferença global das temperaturas: 
 






++=−
21
21
11
αλα
s
F
QTT
�
. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
114 
 
A comparação dos coeficientes com o da equação da transmissão fornece: 
 
21
111
αλα ++=
s
kw
 Equação de Peclet. 
 
Essa relação descreve o acoplamento em série, das resistências ao fluxo de calor, enquanto a 
área de troca seja plana. Na prática o termo λs muitas vezes pode ser desprezado, devido ao 
alto valor de λ e uma espessura fina da parede. É claro que isso muda quando em uma 
caldeira se depositou uma camada de cal, devido à dureza da água utilizada. 
Os coeficientes de transferência e de transmissão de calor não são valores específicos, mas 
dependem também do equipamento. Um cálculo teórico do coeficiente α é difícil ou até 
impossível, devido à desconhecida espessura da camada limite na beirada da parede. Sendo 
assim, temos apenas valores aproximados para α e kw que servem para uma orientação 
grosseira (ver Tab. 14 e Tab. 15). Mas os coeficientes α e kw são acessíveis pelo experimento; 
como acessá-los está descrito no cap. 4.3.3. 
Tab. 14. Valores aproximados para o coeficiente de transferência de calor, α (em W m-2 
K-1). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa. 
Forma de fluxo Meio de transferência 
= água 
Meio = ar 
Fluxo longitudinal turbulento no 
tubo 
1000 - 4000 30 - 50 
Fluxo turbulento no tubo, 
perpendicular à parede 
2000 - 7000 50 - 80 
Fluxo laminar 250 - 350 3 - 4 
Convecção livre 250 - 700 3 - 8 
Água fervendo 1500 - 15.000 
Vapor d´água condensando no 
tubo vertical 
5000 - 12.000 
Condensação de líquidos 
orgânicos 
500 - 2000 
 
Tab. 15. Valores aproximados para o coeficiente de transmissão de calor, kw (em W m-2 
K-1). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa. 
Tipo de trocador de calor Convecção forçada Convecção livre 
De gás para outro gás, a pressão ambiente 10 - 30 3 - 10 
De gás para líquido (refrigerador de gás) 10 - 50 5 - 15 
De vapor em condensação para gás (LUVO) 10 - 50 5 - 10 
De líquido para outro líquido (água) 700 - 1500 120 - 300 
A. Isenmann Operações Unitárias 
115 
De líquido para outro líquido (óleo) 100 - 250 25 - 50 
De vapor em condensação para água (pré-
aquecedor) 
700 - 3000 250 - 1000 
De vapor em condensação para líquido 
orgânico (pré-aquecedor) 
100 - 300 50 - 150 
De vapor orgânico em condensação para 
água líquida (condensador) 
300 - 750 200 - 400 
De vapor em condensação para líquido em 
ebulição (evaporador) 
 250 - 3000 
 
 
4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor 
Em analogia ao problema do escoamento constante de matéria dentro do tubo, o cálculo do 
fluxo de calor aproveita também dos seus números adimensionais. Em primeira instância 
devemos determinar quantos números são precisos, aproveitando do teorema Π de 
Buckingham. Como ilustrado na p. 97, precisamos para esse propósito: 
� o número de grandezas aparativas/operacionais Za, 
� o número de grandezas da matéria/constantes da natureza Zs e 
� o número de unidades básicas Ze. 
Essas grandezas são resumidas na tabela a seguir. 
Tab. 16. Grandezas relevantes na transmissão de calor 
Grandeza Unidade Categoria 
d m aparelho/operação 
u m s-1 aparelho/operação 
ρ kg m-3 matéria/const. naturais 
η kg m-1 s-1 matéria/const. naturais 
λ m kg K-1 s-3 matéria/const. naturais 
cp m
2
 K-1 s-2 matéria/const. naturais 
g m s-2 matéria/const. naturais 
α kg K-1 s-3 aparelho/operação (grandeza 
alvo) 
 
A pressão p, geralmente, não tem grande influência na transmissão de calor. Como se vê das 
unidades compostas, precisamos de quatro unidades básicas para sua descrição completa: m, 
kg, s e K. Sendo assim, temos os números característicos: 
 
Za = 3, Zs = 5, Ze = 4. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
116 
O teorema Π de Buckingham prediz com esses a quantidade de números adimensionais, Zk: 
 
4453 =−+=−+= esak ZZZZ . 
 
São necessários 4 números adimensionais para a descrição adequada da transmissão de calor. 
Para as unidades básicas podemos escrever: 
 
[ ]dm = , [ ]3dkg ⋅= ρ , 



=
u
d
s , 




 ⋅⋅
= λ
ρ duK
3
. 
 
Inserir essas expressões nas outras quatro grandezas, η, g, cp e α, fornece: 
 
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]ududd
d
sm
kg
⋅⋅=
⋅
⋅
=
⋅
= ρρη
3
 
 
ud
Na
⋅⋅
=
ρ
η
1 . 
 
[ ] [ ][ ] 




===
d
u
ud
d
s
mg
2
22 
 
22 u
dgNa ⋅= . 
 
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]udduud
d
sK
m
c p
⋅⋅
==
⋅
=
ρ
λ
λρ 32
2
2
2
 
 
λ
ρ udc
Na p
⋅⋅⋅
=3 . 
 
E, finalmente: 
 
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]dduud
d
sK
kg λ
λρ
ρ
α =
⋅
=
⋅
=
33
3
3 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
117 
λ
α dNa ⋅=4 . 
 
Os números adimensionais assim obtidos podem ser multiplicados e divididos, desta forma 
convertidos nos números convencionais do fluxo de calor: 
 
1
1Re
Na
ud
=
⋅⋅
=
η
ρ
 Número de Reynolds 
 
2
1
2
2
23
2
222
2 Na
Nagdud
u
dgAr ==⋅⋅=
η
ρ
η
ρ
 Número de Arquimedes 
 
Quando tratamos processos de sedimentação ou de remoinho, a expressão ρ² neste número 
deve ser substituído por ∆ρ .ρ. É conhecido, em analogia ao escoamento da matéria, como 
número de Arquimedes. 
Consideramos ainda a dilatação térmica, 
 
T∆⋅⋅=∆ βρρ , 
 
onde o coeficiente da dilatação térmica 
dT
dV
V
⋅=
1β , daí obtemos o número de Grashof, Gr: 
 
2
1
2
2
23
Na
NagTdGr =⋅∆⋅=
η
βρ
 Número de Grashof 
 
Além destes, obtemos: 
 
31Pr NaNa
c p
⋅=
⋅
= λ
η
 Número de Prandtl 
 
4NadNu =⋅= λ
α
 Número de Nusselt. 
 
O número de Prandtl representa a relação entre a viscosidade cinemática ν e a condutividade 
térmica a (ver também Tab. 19 na p. 166, no contexto de transmissão de calor). O número Pr 
resulta diretamente das definições de ν e a: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
118 
ρ
η
ν = e 
pc
a
⋅
=
ρ
λ
. 
 
Daí: 
 
λ
η
λρ
ηρν ⋅
=
⋅
⋅⋅
==
pp cc
a
Pr . 
 
Através da análise dimensional recebemos o número de Nusselt através da qual temos acesso 
ao coeficiente da transição térmica α - que era o nosso objetivo geral (ver Tab. 16). A 
experiência mostrou que obtemos valores de Nu suficientemente exatos quando calculados 
através de equações exponenciais, a partir dos demais números adimensionais. A seguir sejam 
indicadas as equações típicas que relacionam os números adimensionais. 
 
1. Transmissão de calor por convecção forçada 
Na transmissão de calor por convecção forçada o número de Grashof e a aceleração 
gravitacional g não têm importância. Neste caso vale: 
 
Pr)(Re,fNu = . 
 
Para o fluxo tubular (tubos compridos; refrigeração) valem as seguintes relações 
exponenciais: 
Fluxo laminar: 
3
1
PrRe86,1 





⋅⋅⋅=
L
dNu ; 
 
Fluxo turbulento: 3,08,0 PrRe023,0 ⋅⋅=Nu . 
 
2. Transmissão de calor por convecção livre 
Na convecção livre o fluxo é provocado pela expansão térmica do meio. Neste caso o número 
de Reynolds é irrelevante. Invés deste, o número de Grashof se torna importante: 
 
Pr),(GrfNu = 
 
Um exemplo seja a transferência de calor na parede vertical. O comprimento característico, 
neste caso, é a altura da superfície considerada. Em dependência do valor absoluto do produto 
Gr . Pr podemos indicar um valor de orientação para Nu que serve para estimar o coeficiente 
da transferência de calor α: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
119 
5,0=Nu para 001,0Pr <⋅Gr ; 
 
( ) 125,0Pr18,1 ⋅⋅= GrNu para 1000Pr001,0 <⋅< Gr . 
 
Outras relações, especialmente para outras situações geométricas, se acham nos manuais da 
engenharia (ver nota de rodapé na p. 7). 
O caminho geral para a solução de um problema de transferência de calor compreende as 
seguintes etapas: 
1. Determinação dos números adimensionais, por exemplo Re e Pr. 
2. Cálculo do número de Nusselt através da equação potencial cabível. 
3. Indicar o coeficiente α através de λα dNu ⋅= . 
4. Cálculo da transição calorífica em uma parede aquecida, através da relação: 
 
 ( ) ( )TTFNu
d
TTFQ ww −⋅⋅⋅=−⋅⋅=
λ
α� , 
 
onde Tw represente a temperatura da parede e T a temperatura média do meio em fluxo. 
Os valores de α indicados na Tab. 14 devem ser entendidos apenas como orientação grosseira, 
da ordem de grandeza do coeficiente α. Eles servem para cálculos preliminares. 
 
4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação 
Temos que contar com algumas particularidades, na transição de calor, quando estão 
envolvidos evaporação de um líquido ou condensação de um vapor. 
a) Evaporação 
Na evaporação se transmite calor da superfície quente ao líquido que é usado para transformar 
o estado físico para o gás. A temperatura do líquido, neste processo não varia, ela é igual à 
temperatura de ebulição, uma temperatura fixa a dada pressão ambiente. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
120 
 
Fig. 50. Coeficiente de transmissão de calor α e carga da superfície quente q� , na 
evaporação de água, em dependência da diferença de temperatura sw TT − , a pressão 
atmosférica. wT = Temperatura da parede (quente); sT = temperatura de ebulição do 
líquido (água); F
Qq �� = , onde Q� é o fluxo de calor e F é a área de troca de calor. 
Como mostrado no exemplo da evaporação da água (Fig. 50), o calor transmitido por unidade 
de área e tempo, F
Qq �� = ( q� também é chamado de "carga da superfície quente") não sobe 
de forma linear com a diferença das temperaturas da superfície quente e de ebulição, 
sw TTT −=∆ . Em vez disso, a curva )( Tfq ∆=� percorre um máximo, para depois cair 
novamente de maneira acentuada. Um comportamento semelhante mostra a curva 
)( Tf ∆=α . Nesta curva, podemos distinguir quatro regiões: 
1.Com pequena diferença em temperatura tem-se aquecimento e agitação do líquido, 
provocados por convecção livre (região A-B). 
2.Com diferença de temperatura maior formam-se bolinhas de gás. Começa a formação de 
bolhas de gás que se torna tão intensa que o efeito agitador destas bolhas em ascensão 
acelera consideravelmente a transição de calor ao líquido. Aumento drástico de α (B-C). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
121 
3.As bolhas de gás crescem com uma velocidade maior, suficiente para cobrir grande parte 
da superfície quente com uma camada isolante de vapor. Esta situação é conhecida como 
"evaporação de filme instável" (região C-D). 
4.A velocidade ascendente das bolhas de gás chega ao limite. Portanto, um aumento da 
carga da superfície aquecedora a deixa inteiramente coberta com um filme fino de vapor, 
uma situação conhecida como "evaporação de filme estável", região D-E. Como o 
coeficiente de transição térmica α em gases é de duas ordens de grandeza menor do que 
em líquidos, este filme representa uma barreira isolante que acarreta uma velocidade de 
transporte do calor menor do que no trecho inicial (A-B-C). Por consequência a inclinação 
das duas curvas nos trechos D-E fica mais baixa. 
 
Os fenômenos mais evidentes durante o processo de aquecimento/evaporação de um líquido 
sejam apresentados no esquema a seguir. Vamos olhar no exemplo da evaporação da água 
numa parede vertical. Inicialmente a água está em repouso: 
 
 
 (1) (2) (3) 
Fig. 51. Fenômenos durante a evaporação da água 
 
Com uma temperatura da parede Tw < 100 °C temos um Q� comparavelmente pequeno (1). 
Devido ao gradiente térmico na água que está em proximidade à parede estabelece-se uma 
convecção livre; nesta situação vale: 
 
Nu
h
⋅=
λ
α e ( )nGrCNu Pr⋅⋅= . 
 
Com uma temperatura da parede Tw logo acima de 100 °C formam-se bolhas de vapor (2). 
Quando estas se soltam da parede e ascendem dentro da água, elas apóiam e aceleram o 
movimento da água para cima. Além disso, elas transportam calor que está sendo usado para 
uma evaporação dentro da fase líquida ( 12 2260)( −⋅=∆ kgkJOHHev ). Usa-se a expressão 
"evaporação por bolhas". 
A. Isenmann Operações Unitárias 
122 
Numa temperatura da parede bastante acima de 100 °C forma-se um filme permanente na 
superfície quente (3). Devido à sua baixa condutividade térmica esse filme funciona como 
isolante, com o efeito que q� e α diminuem. Aqui tem-se "evaporação por filme", uma 
situação que requer uma alta carga de aquecimento da superfície que geralmente somente for 
possível via iluminação direta com chama aberta ou via resistências elétricas. Observa-se uma 
descontinuidade pronunciada da diferença térmica, sw TTT −=∆ , na transição de "evaporação 
por bolhas" para "evaporação por filme". Portanto, esta forma de evaporação acarreta o perigo 
de superaquecer a superfície sem querer, que pode levar à destruição do equipamento ("burn 
out"). A carga térmica crítica da superfície, para o caso de aquecer água,fica em torno de 105 
W.m-2. 
 
b) Condensação 
Quando um vapor é resfriado indiretamente e a temperatura cai abaixo do ponto de orvalho, 
forma-se o condensado na superfície que escorre abaixo em forma de gotas macroscópicas. 
Depende das condições da superfície fria, se a condensação do vapor inicia-se em forma de 
gotículas ou em filme. Geralmente, tem-se uma superfície umectável na qual a condensação 
ocorre em filme ininterrupto (ver Fig. 52) que, devido à força gravitacional, escorre para 
baixo. 
 
Fig. 52. Condensação de vapor numa parede fria vertical. 
 
Em superfícies repelentes, por outro lado, pode ocorrer condensação de gotículas. Neste caso 
não há barreira frente ao transporte de calor em forma de um filme fechado de líquido. 
Portanto, os números de transição de calor são cerca de 10 vezes maiores na condensação em 
gotículas. 
Na prática domina a condensação em filme, e este caso foi calculado por Nusselt (1919). 
Como exemplo pegamos um vapor d´água de escoamento lento que forma um filme numa 
parede fria da altura H. O filme de água líquida escorre abaixo de modo laminar. Neste caso 
se acha: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
123 
25,023
943,0 





∆⋅⋅
∆⋅⋅⋅
⋅=
TH
Hg ev
η
ρλ
α . 
 
Nesta, wvapor TTT −=∆ , Hev∆ a entalpia de evaporação da água e λ o coeficiente da 
condutividade térmica (ver p. 105). 
Em caso de tubos resfriados na posição horizontal o filme líquido escorre da parte superior 
para baixo e se acumula em forma de gotas, na parte mais baixa do tubo. Para este caso se 
acha uma equação correspondente, onde a altura H foi reposta pelo diâmetro d do tubo. E em 
vez do fator 0,943 deve-se usar o fator 0,725. 
 
4.4 Trocadores de calor 
Aparelhos onde o calor está sendo transferido de um meio para outro, são os chamados 
trocadores de calor, evaporadores ou condensadores. A quantidade de calor a ser transferida 
geralmente é dada pelas exigências da operação unitária, igualmente as temperaturas de 
entrada e de saída, das correntes trocadoras de calor. Para o dimensionamento destes 
aparelhos deve-se calcular então o coeficiente de transição de calor, α ou kw, e em 
consequência a área F necessária para trocar o calor. 
Atendendo as exigências cada vez maiores de economizar energia, o manuseio racional da 
energia envolvida ao longo de uma linha de produção e a recuperação de calor via trocadores 
de calor se tornou cada vez mais importante nos últimas décadas. Portanto, é uma das 
exigências principais a um processo de ser econômico em energia. Sendo um exemplo o 
fluxograma mostrado na Fig. 53, que representa uma síntese exotérmica a altas pressões. É 
evidente que o calor, liberado pela reação e pela compressão, está sendo reaproveitado para o 
pré-aquecimento da matéria prima. 
 
 
Fig. 53. Fluxograma simplificado de uma síntese a alta pressão. 
 
Existem principalmente duas formas de direcionar os fluxos dos meios dentro de um trocador 
de calor: concorrente e contracorrente (ver Fig. 54). Além dessas formas mais aplicadas 
A. Isenmann Operações Unitárias 
124 
existem também modelos com condução cruzada e contracorrente-cruzada, especialmente em 
aparelhos de refrigeração a baixa temperatura. 
 
 
Fig. 54. Condução das correntes e perfil térmico dentro das tubulações do trocador de 
calor: a) operação concorrente b) operação contracorrente. 
 
Nos gráficos da Fig. 54 se evidencia que em operação contracorrente é possível aquecer o 
meio frio até chegar numa temperatura final que fica até acima da temperatura final do meio 
aquecedor. Logicamente, isto não é possível em operação concorrente. Podemos concluir que 
um trocador contracorrente é sempre de vantagem quando a diferença ∆T dos meios 
transportadores de calor for pequena. O trocador concorrente, por outro lado, torna-se mais 
importante em casos onde se precisa de um resfriamento mais rápido possível abaixo de uma 
temperatura crítica, por exemplo, para impedir reações indesejadas ou decomposição térmica, 
em uma mistura reativa. 
A equação fundamental para cálculos de trocadores de calor é: 
 
TFkQ w ∆⋅⋅=� . 
 
Nesta, kw é o coeficiente de transição de calor e F a área trocadora, conforme definido na p. 
111. A força propulsora para o fluxo de calor é a diferença em temperatura, ∆T. Já que esse 
valor não fica constante, mas depende caracteristicamente do local dentro do aparelho, 
podemos afirmar que ∆T é específico conforme o modelo e o tipo de condução das 
correntezas no trocador de calor. Todavia, achamos uma diferença média em temperatura em 
forma da média geométrica logarítmica, tanto para o modo concorrente como contracorrente; 
isto será comprovado mais adiante: 
 
fim
ini
fimini
T
T
TT
T
∆
∆
∆−∆
=∆
ln
, 
A. Isenmann Operações Unitárias 
125 
 
com iniT∆ e fimT∆ sendo as diferenças térmicas entre os dois meios no início e no final da 
tubulação do trocador, respectivamente. No caso especial de fimini TT ∆=∆ , isso é possível 
somente na condução contracorrente, essa média é iniTT ∆=∆ . 
Essas relações importantes sejam deduzidas, no exemplo do trocador de calor concorrente. 
Assumimos que a troca de calor aconteça exclusivamente na parede separadora entre as duas 
tubulações (área F) e não tenha perdas de calor para o ambiente. Como ilustrado na Fig. 54 
parte a, a temperatura do meio quente cai, do valor inicial T1ini até o valor final T1fim; a 
temperatura do meio frio sobe do valor inicial T2ini até o valor final T2fim. Certamente é correto 
afirmar que a quantidade de calor Q1 cedida pela corrente 1 é igual à quantidade de calor Q2 
recebida pela corrente 2. O transporte do calor é o resultado da transição através da área de 
contato. Em forma diferencial podemos escrever: 
 
22,211,121 dTcmdTcmQdQdQd pp ⋅⋅=⋅⋅−=== ����� . 
 
Segue: 
 
1,1
1
pcm
QddT
⋅
−=
�
�
 e 
2,2
2
pcm
QddT
⋅
=
�
�
. 
 
Também vale: 
 
21 TTT −=∆ , com 21 TT > . 
 
Para mudanças infinitamente pequenas segue: 
 
21 dTdTTd −=∆ . 
 
Inserimos nesta as duas expressões para dT1 e dT2 e reorganizamos, obtemos: 
 
Qd
cmcm
Td
pp
�
��
⋅








⋅
+
⋅
−=∆
2,21,1
11
, 
 
ou seja: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
126 








⋅
+
⋅
∆
−=
2,21,1
11
pp cmcm
TdQd
��
�
 
 
Suponhamos que os fluxos de massa, 1m� e 2m� , sejam constantes e desconsideremos a 
dependência térmica dos calores específicos, 1,pc e 2,pc , então podemos integrar essa equação 
sem dificuldades. Feito isso entre os limites ∆Tini e ∆Tfim (sinal negativo), chegamos a: 
 
Q
cmcm
TT
pp
fimini
�
��
⋅








⋅
+
⋅
=∆−∆
2,21,1
11
. 
 








⋅
+
⋅
∆−∆
=
2,21,1
11
pp
fimini
cmcm
TTQ
��
�
. 
 
Também vimos que vale para a transição do calor: TFkQ w ∆⋅⋅=� . Passando por uma área 
infinitamente pequena temos: 
 
TdFkQd w ∆⋅⋅=� . 
 
Podemos igualar essa com a expressão acima para Qd � e obtemos: 
 








⋅
+
⋅
∆
−=∆⋅⋅
2,21,1
11
pp
w
cmcm
TdTdFk
��
. 
 
Separamos as variáveis ∆T e F: 
 
dFk
cmcmT
Td
w
pp
⋅⋅








⋅
+
⋅
−=
∆
∆
2,21,1
11
��
.A integração desta nos limites ∆Tini e ∆Tfim fornece: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
127 
Fk
cmcmT
T
w
ppfim
ini
⋅⋅








⋅
+
⋅
=
∆
∆
2,21,1
11ln
��
. 
 
Nesta equação podemos substituir o termo 








⋅
+
⋅ 2,21,1
11
pp cmcm ��
, pela diferença ( fimini TT ∆−∆ ) 
dividida por Q� , conforme a relação descrita antes. 
 
Q
TT
T
T
Fkcmcm
fimini
fim
ini
wpp
���
∆−∆
=
∆
∆
⋅
⋅
=








⋅
+
⋅
ln111
2,21,1
. 
 
Resolver pelo fluxo de calor: 
 
fim
ini
fimini
w
T
T
TT
FkQ
∆
∆
∆−∆
⋅⋅=
ln
�
, 
 
ou simplesmente: 
 
TFkQ w ∆⋅⋅=� , quando identificamos ∆T sendo a média logarítmica da diferença em 
temperatura: 
 
fim
ini
fimini
T
T
TT
T
∆
∆
∆−∆
=∆
ln
, o que queríamos mostrar. 
 
Podemos desenvolver um polinômio de Taylor para o termo logarítmico. 
 
( ) ( ) ( ) ( )nn ax
n
af
ax
af
ax
af
ax
af
xf −⋅++−⋅′′+−⋅′+−⋅=
!
)(
.....
!2
)(
!1
)(
!0
)()(
)(
210
 Série de Taylor 14. 
 
 
14
 Desenvolvida em volta da origem - o que não é possível para ln(x) - essa sequência aparece mais simples, 
também é conhecida como "Série de McLaurin": 
......)0(
!3
)0(
!2
)0()0()(
32
+′′′⋅+′′⋅+′⋅+= fxfxfxfxf 
A. Isenmann Operações Unitárias 
128 
Para valores 4,1<
∆
∆
fim
ini
T
T
 podemos cortar essa sequência após o termo linear, sem cometer 
grande erro. A média logarítmica então se simplifica para: 
 
2
fimini TTT
∆−∆
=∆ . 
 
O dimensionamento de um trocador significa, em primeira linha, a determinação da área 
trocadora F. O procedimento deste cálculo é praticamente o mesmo, com trocadores 
concorrentes e contracorrentes. Caso a velocidade das correntes for desconhecida, o número 
de Reynolds não é acessível e então o coeficiente de transição de calor kw somente pode ser 
determinado por métodos iterativos. Por outro lado, caso conheçamos as condições das 
correntezas, o número de Reynolds pode ser calculado, e com Re se obtém o número de 
Nusselt Nu e assim também o coeficiente de transferência de calor, α. A partir de α temos 
acesso ao coeficiente kw e, finalmente, à área de contato F. 
Na Fig. 55 têm-se os esboços dos trocadores mais usados. É evidente que as características 
vantajosas de cada modelo são: 
� Dimensões compactas; pequeno espaço necessário para sua instalação. 
� Grandes áreas F. 
� Condução vantajosa das correntes, para evitar perdas em pressão excessivas. Isto 
implica, especialmente, evitar joelhos estreitos, achatamentos e cantos nas tubulações. 
� Facilidade de limpeza. 
 
Fig. 55. Trocadores de calor: os modelos mais usados na indústria. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
129 
A. Isenmann Operações Unitárias 
130 
 
 
4.5 Transição de calor e Scale-up de bateladas com temperatura 
controlada 
Já inclusos na Fig. 55 são os esboços das bateladas com dispositivos (na maioria dos casos 
serpentinas) de refrigeração/aquecimento. No projeto de uma batelada com controle térmico 
temos que respeitar, em primeira linha: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
131 
� O calor que pode ser retirado, Qret, é proporcional à área de refrigeração, Fw (isto é, ~ 
D²). 
� O calor que deve ser entregue à mistura reacional, Qprod, é proporcional ao volume da 
mistura, VR (isto é, ~ D³). 
Para o projeto dos fluxos do meio de refrigeração, isto significa: 
 
2
~~ DFQ wret� 
 
3
~~ DVQ Rprod� . 
 
Em consequência, no scale-up a área de refrigeração em relação ao volume de uma batelada 
sofre uma mudança, na relação: 
 
DV
F
R
w 1
~ , 
 
sempre sob a promessa de manter semelhança geométrica e mesmo conteúdo a ser 
aquecido/refrigerado. Ao aumentar a batelada, isto é, aumentar o diâmetro D do reator, a área 
de troca de calor por unidade de volume decresce. Podemos visualizar esta relação no gráfico 
de Rw VF em função do volume do reator RV : 
 
 
 
A partir de certo tamanho do reator devem ser instaladas áreas de refrigeração/aquecimento 
adicionais - comumente feito em forma de serpentinas, para manter o reator sob controle 
durante uma reação exotérmica/endotérmica. 
A princípio poderíamos também abaixar a temperatura do fluido de refrigeração (ou aumentar 
a temperatura do aquecedor), ou até mudar o aspecto DH do reator, isto é, construir um 
reator mais alto e menos espesso. Essas duas medidas, porém, se impedem geralmente, devido 
aos custos elevados em construção, operação e manutenção do equipamento. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
132 
Existem os mais diversos critérios a serem obedecidos num scale-up de reatores. Podemos 
imaginar que para cada um dos casos particulares foram elaboradas regras de scale-up em 
forma de equações adimensionais contendo os critérios relevantes a esta operação unitária. 
Não é o objetivo deste texto discutir as diversas formas de reatores com temperatura 
controlada, mas elucidar os princípios que todos esses cálculos têm em comum. Um 
parâmetro relevante em qualquer caso é a potência do agitador em relação ao volume do 
reator, VP . Tipicamente questionamos como a potência relacionada ao volume (também 
chamada de "potência reduzida"), deve ser mudada para que num scale-up se mantém o 
mesmo coeficiente de transição de calor, αi, na parede interna da batelada. Vamos dedicar-nos 
nesse problema um pouco mais detalhado. 
A potência necessária de um agitador em geral (quer dizer, independente da sua construção) 
pode ser calculada, conforme a relação: 
 
53(Re) dnNeP ⋅⋅⋅= ρ , 
 
na qual ρ é a densidade da mistura (que seja um líquido Newtoneano), n é o número de 
rotações, d o diâmetro do agitador e Ne o número de Newton (compare p. 68). A potência do 
agitador é acessível experimentalmente via medições de torque: 
 
DMnP ⋅⋅= pi2 , com n = número de rotações e MD = momento angular. 
 
O número adimensional de Newton é relacionado à potência; ele pode depender, além das 
características construtivas do agitador (ver p. 67), também do modo de fluxo, então Ne = 
Ne(Re). Essa dependência já foi ilustrada para um agitador de lâminas, na Fig. 33, no contexto 
do capítulo "Agitação mecânica". As conclusões essenciais são: 
1) No regimento laminar o número de Newton é inversamente proporcional ao número de 
Reynolds, Ne ~ Re-1. 
2) No regimento turbulento não há tal dependência, isto é, Ne = const. Isso vale para todos os 
tipos de agitadores. No entanto, o valor absoluto de Ne na região turbulenta depende 
fortemente da alocação de chicanas nas paredes da batelada. 
O caso bem mais importante na prática é o regimento turbulento. Da equação de Nusselt pode 
ser derivado para o coeficiente de transição de calor, sob as promessas de Ne = const. e a 
relação dos diâmetros de agitador e batelada, d/D = const.: 
 
9
19
2
~
−
⋅




 D
V
P
α . 
 
Então o coeficiente de transição de calor decresce, mas muito pouco, ao aumentar o diâmetro 
D do reator. Para um aumento da escala sob a condição α = const., segue com boa 
aproximação: 
 
A. IsenmannOperações Unitárias 
133 
( )
( )
5,0
~ 





M
G
M
G
D
D
V
P
V
P
. 
 
Essa relação de scale-up prediz que o aumento do modelo (M) ao equipamento grande (G) é 
possível quando as potências reduzidas tenham a mesma relação que a raiz da relação dos 
diâmetros nas duas bateladas. 
Para fluxos laminares no reator (Ne ~ Re-1) se obtêm diferentes relações de scale-up, 
dependendo principalmente do tipo de agitador usado. Para um agitador de âncora, por 
exemplo, a equação de Nusselt fornece a seguinte dependência para o coeficiente α: 
 
4
1
~ 





V
P
α , 
 
isto é, nenhuma dependência da escala de aumento, representada por D. Escrevemos a 
condição de scale-up para esse caso: 
 
.const
V
P
V
P
GM
=





=





 
 
Num aumento da escala o coeficiente de transição de calor não muda, desde que a potência 
relacionada ao volume for mantida. 
Os diferentes critérios de scale-up podem ser ilustrados num diagrama de Penney, onde a 
relação das potências reduzidas, no modelo e na edição grande, ( ) ( )
MG V
P
V
P
, é 
representada em dependência do fator de aumento na terceira potência (dimensão de 
volumes), ( )3MG DD . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
134 
 
 
5 Métodos térmicos de separação 
Serão apresentados os métodos mais utilizados de separação de misturas, binárias e 
multicomponentes, na ordem da sua importância industrial: 
� Destilação, 
� Retificação, 
� Lavagem de gases, 
� Outras operações unitárias envolvendo estágios de transferência de massas que são 
induzidos por variações da temperatura. 
5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de 
separação 
Por enquanto lidamos com problemas de separação de sistemas heterogêneos que apresentam 
pelo menos duas fases distintas. No entanto, há inúmeras etapas na indústria onde se formam 
misturas homogêneas. Nestes casos, uma separação puramente mecânica naturalmente falha e 
devemos levar em consideração métodos térmicos ou combinações de etapas térmicas / 
mecânicas, para efetuar uma separação em seus compostos puros. Exemplos de importância 
industrial são: 
� Fracionamento e refinamento do petróleo. 
� Separação de frações de aromáticos. 
� Separação de misturas de gases (produção de O2 e N2, a partir do ar; purificação do ar 
de exaustão,...) 
� Purificação do produto a partir de misturas reacionais com reação incompleta (devido 
ao emprego de um excesso de um reagente, ao estabelecimento de um equilíbrio ou 
outras insuficiências nas condições reacionais) 
� Purificação de uma mistura reacional onde houve formação de produtos paralelos. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
135 
Para resolver essas tarefas temos uma série de métodos térmicos de separação, dos quais os 
mais importantes são: 
� Destilação 
� Retificação (= destilação fracionada) 
� Extração 
� Cristalização 
� Adsorção. 
 
Os critérios na sua escolha são a natureza das substâncias envolvidas, o grau de pureza do 
produto final, o volume da mistura, os custos de investimento e os custos operacionais, 
principalmente. Atualmente, a destilação - simples ou fracionada - são os métodos de 
separação mais aplicados em escala industrial. 
Os fundamentos destes métodos são os equilíbrios das fases que podem ser: líquido/vapor 
(isto é a base da destilação), líquido/sólido (na cristalização), líquido/líquido (isto é, dois 
líquidos que não se misturam; base para a extração) ou equilíbrios de adsorção. Na destilação 
então aproveita-se da experiência que a fase dos vapores que se forma através da ebulição de 
uma fase líquida, tenha uma composição diferente. Observamos que o vapor fica mais rico em 
componente mais volátil, do que o líquido. Quando separar uma fase gasosa mais rica em 
componente mais volátil, implica que a fase líquida empobrece neste mesmo componente. 
Como a evaporação do líquido geralmente é um processo bastante endotérmico, a destilação é 
um processo altamente energético. 
Sob destilação se entende a separação de uma mistura líquida, em uma fração de temperatura 
de ebulição alta e outra de Teb baixa, através de uma única etapa de evaporação e 
recondensação. Bons resultados na destilação se esperam somente em casos onde as 
volatilidades relativas dos componentes são bastante diferentes. Para melhorar o efeito de 
separação, uma série de várias dessas etapas de evaporação e condensação pode ser 
executada. O efeito elementar de separação assim se multiplica. Surpreendentemente, essa 
sequência em transformações das fases pode ser feita em apenas um equipamento, 
denominado de coluna de retificação. Esta coluna opera em contracorrente, onde os vapores 
sobem e o líquido resultando da recondensação parcial desce. Vapores e líquidos trocam 
intensamente calor e matéria ao longo da coluna, enquanto o líquido acumula a parte de Teb 
alta e os vapores enriquecem em componente de Teb baixo. 
 
5.2 Fundamentos da termodinâmica 
5.2.1 Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa 
A pressão de vapor sobre um líquido aumenta rapidamente com a temperatura do ambiente. 
Enquanto as pressões dos vapores estão abaixo da pressão ambiente (que geralmente é 
exercida pelo ar, se não por gases estranhos) o líquido volatiliza-se aos poucos até saturar o 
ambiente com seu vapor próprio. Quando a pressão de vapor do líquido chega a igualar-se 
com a pressão ambiente, temos o fenômeno de ebulição do líquido. Este fenômeno se percebe 
quando bolinhas de vapor começam a formar-se, não só na superfície, mas também no interior 
do líquido. Sendo assim, podemos afirmar que a água fervendo na panela tenha uma pressão 
de vapor de 101,3 kPa. Se estivermos no topo de uma alta montanha a fervura da água 
certamente ocorreria a uma pressão mais baixa, ou seja, a uma temperatura mais baixa do que 
100 °C. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
136 
 
A relação entre temperatura e pressão de vapor é dada pela relação de Clausius-Clapeyron: 
 
2
ln evHd p
dT RT
∆
= , Clausius-Clapeyron 
 
com p = pressão de vapor sobre o líquido, T = temperatura absoluta em K, ev H∆ = entalpia 
de evaporação (= energia que se gasta para transformar 1 mol do líquido em gás), R = 
constante de gás = 8,31 J⋅mol-1⋅K-1 = 1,98 L⋅atm⋅K-1. 
Então, a pressão de vapor aumenta exponencialmente ao aumentar a temperatura. Com que 
facilidade certo líquido evapora, isso depende das forças coesivas intermoleculares que se 
exprime na sua entalpia de evaporação. 
 
Em muitas situações estamos menos interessados em calcular a variação na pressão de vapor 
ao mudar a temperatura, mas queremos saber uma relação entre pressão atual e temperatura 
atual. Para este fim temos que integrar a relação de Clausius-Clapeyron: 
 
ln evHp C
RT
∆
= − + 
 
(C = constante de integração. Nesta equação consideramos a entalpia sendo independente da 
temperatura. Uma medição exata, porém, revela uma leve dependência térmica conhecida 
como lei de Kirchhoff.) 
Quando colocamos a pressão em escala logarítmica na ordenada e o inverso da temperatura na 
abscissa, então deveríamos obter uma reta com inclinação de 
R
Hev∆
− , compare gráfico no 
anexo (p. 213). A entalpia de evaporação é contida na inclinação. O valor prático deste 
gráfico: quando conhecemos aproximadamente o valor da entalpia de evaporação ev H∆ de 
um líquido desconhecido e percebemos que seja um valor não muito diferente a um líquido 
referido no gráfico, então podemos predizer suapressão de vapor a qualquer temperatura. 
Também temos uma orientação na escolha da pressão externa (por exemplo, um leve vácuo) e 
podemos predizer a temperatura de ebulição do líquido. Em geral vale: substâncias com 
semelhança química têm valores ev H∆ semelhantes. 
Mais grosseira ainda é a estimação da temperatura de ebulição através da seguinte regra: 
Uma redução da pressão pela metade deixa cair a temperatura de ebulição por 15 °. Sendo 
assim, um líquido de Teb = 180°C a pressão ambiente (≈ 100 kPa) iria ebulir a 165 °C sob 50 
kPa; iria ebulir a 150 °C sob 25 kPa. 
 
No laboratório, isto é, em pequena escala, usamos com sucesso a trompa de vácuo, para 
estabelecer um vácuo de até 2 kPa - dependendo da pressão e temperatura da água da torneira 
(por que a temperatura da água é importante?). Embora de este equipamento de vácuo tenha 
o custo de investimento e manutenção bastante baixo, sua operação não é sem problema. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
137 
Lembra-se do alto consumo de água ao usar este equipamento. É 1 L de água a cada 0,6 L de 
gás transportado, e na média são 8 a 10 litros de água tratada por minuto que a gente gasta 
durante seu funcionamento. 
 
Classificação das pressões reduzidas: 
� Vácuo grosso: 0,1 a 100 kPa (1 a 760 Torr) 
� Vácuo fino: 10-4 a 10-1 kPa (0,001 a 1 Torr) 
� Vácuo alto: < 10-4 kPa (<10-3 Torr) 
 
Qual seria a vantagem de executar uma destilação a vácuo? 
Obviamente se gasta menos energia para gerar calor, pois a evaporação ocorre a temperaturas 
mais baixas. A maior vantagem, porém, é o fato de que o produto a ser purificado por 
destilação não sofre decomposição térmica. Especialmente em líquidos de pontos de ebulição 
muito altos (200 °C ou mais) se corre o perigo de quebrar ligações intramoleculares, antes de 
romper as ligações intermoleculares. A consequência seria a mudança na estrutura química do 
produto - o que sempre é indesejável. A substância se decompõe (estraga) antes de ebulir. 
Aplicar uma pressão reduzida permite então a purificação por destilação, sob condições mais 
brandas. 
 
5.2.2 Misturas binárias ideais 
A mistura binária ideal de dois líquidos representa o sistema mais simples para se estudar o 
comportamento durante a evaporação. "Binária" significa que temos que considerar apenas 
dois componentes, A e B; a condição do "ideal" é satisfeita quando na fase líquida as forças 
atrativas entre as moléculas de um componente são iguais às forças entre moléculas 
diferentes: )()()( BAfBBfAAf −=−=− . Além disso, os vapores do sistema ideal devem 
comportar-se igual a gases ideais. Daí valem as leis de Raoult e de Dalton sobre quaisquer 
concentrações dos componentes. 
É conveniente definir os seguintes símbolos: 
1. A pressão de vapor gerada pelo componente mais volátil seja 01p , a pressão sobre o 
componente mais pesado seja 02p . 
2. A composição da fase de vapor e também da fase líquida sempre seja exprimida em 
termos de fração molar do componente mais volátil, então do componente 1: 
x = fração molar de 1 na fase líquida 
y = fração molar de 1 na fase gasosa. 
 
Com essas definições podemos escrever a lei de Raoult na seguinte forma: 
xpp ⋅= 011 
( )xpp −⋅= 1022 Lei de Raoult. 
 
Em palavras: a pressão parcial de cada componente é proporcional à pressão sobre o líquido 
puro, vezes a fração molar do componente na mistura líquida. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
138 
A adição destas duas expressões é conhecida como lei de Dalton: a pressão total dos vapores 
p se dá aditivamente das pressões parciais pi. 
Resulta a equação para a curva de ebulição, )(xfp = : 
 
)1(020121 xpxpppp −⋅+⋅=+= Lei de Dalton. 
 
Essa curva descreve a dependência da pressão total dos vapores, p, da composição do líquido 
x, à temperatura constante. 
Caso se conhece, por outro lado, a composição da fase gasosa (y), as pressões parciais pi 
podem ser calculadas a partir da pressão total p e da fração molar do devido componente: 
 
ypp ⋅=1 
 
( )ypp −⋅= 12 . 
 
Com essas novas formulações da lei de Raoult temos acesso à curva de condensação, 
)( yfp = , que descreve a pressão total dos vapores em função da composição da fase gasosa. 
Combinando as equações acima: 
 
10
1
=
⋅
⋅
xp
yp
 e 1)1(
)1(
0
2
=
−⋅
−⋅
xp
yp
 
 
Resolver pela composição do líquido: 
 
xy
p
p
=⋅0
1
 e )1()1( 0
2
x
p
yp
−=
−⋅
. 
 
Ao adicionarmos essas conseguimos eliminar os termos em x: 
 
1)1()1( 0
2
0
1
=−+=
−⋅
+⋅ xx
p
ypy
p
p
. 
 
Resolver pela pressão total fornece a equação da curva de condensação: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
139 
0
2
0
1
)1(
1
p
y
p
y
p
−
+
= . Curva de condensação. 
 
A representação da curva de ebulição, da curva de condensação e da relação de Raoult é 
possível num diagrama p vs. (x,y) que é largamente conhecido como diagrama da pressão de 
vapor isotérmico. A Fig. 56 mostra o desenvolvimento das pressões dos vapores sobre os 
líquidos puros, benzeno e tolueno, conforme calculado pela fórmula de Clausius-Clapeyron 
(p. 135), no gráfico à esquerda. À direita está referido o comportamento da mistura destes 
líquidos, a 150 °C. Este sistema podemos então considerar sendo ideal (outro exemplo: 
N2/O2). 
 
 
Fig. 56. As curvas de pressões parciais e o relacionado diagrama da pressão de vapor 
isotérmico, para a mistura benzeno-tolueno. 
 
Na prática, porém, as destilações raras vezes são feitas de maneira isotérmica. Muito mais 
comum é a condução isóbara, ou seja, a pressão constante. Portanto, devemos respeitar as 
curvas de temperatura para dp = 0: 
 
)(xfTS = Curva de ebulição e )(yfTS = Curva de condensação. 
 
A representação gráfica destas curvas no diagrama TS - x,y se conhece como diagrama 
isóbaro de ebulição, ver Fig. 57. Notamos duas diferenças deste diagrama, em comparação 
ao diagrama da pressão de vapor isotérmico: 
1. O componente cuja pressão de vapor é mais alta ( 01p = componente mais volátil) se 
destaca por ter a temperatura de ebulição ST1 mais baixa. 
2. No diagrama de ebulição a curva de condensação fica acima da curva de ebulição, 
então invertida ao diagrama da Fig. 56. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
140 
 
Fig. 57. Diagrama isóbaro de ebulição de uma mistura binária ideal. 
 
Os dados experimentais para sua construção se obtêm ao medir a temperatura de ebulição 
( )(xfTS = ) e a composição da fase gasosa ( )(yfTS = ), para misturas líquidas de várias 
composições. Importante é que isto seja feito em um sistema fechado e sob condições que 
garantam o equilíbrio entre as fases. Em misturas ideais a curva de ebulição também acessível 
via cálculo, das curvas de pressão para as curvas de temperatura, desde que a dependência 
térmica de p1 e p2 seja conhecida. 
Além do diagrama de ebulição, mostrou-se bastante útil o diagrama das fases x - y, na 
interpretação dos processos de destilação (ver Fig. 58). Neste, a pressão é mantida constante, 
em concordância com a situação mais realizada. Este diagrama tem apenas uma curva de 
equilíbrio, uma hipérbola, que indica a composição da fase gasosa y em dependência da 
composição da fase líquida x. 
 
 
Fig. 58. Diagrama isóbaro de ebulição de uma mistura binária ideal. 
 
Atenção: a temperatura muda ao longo desta hipérbola!O diagrama das fases será a base para 
o método de McCabe-Thiele (ver p. 154) com que dimensionaremos o equipamento da 
A. Isenmann Operações Unitárias 
141 
retificação. A Fig. 58 ainda contém a diagonal, y = x, por sua vez uma linha auxiliar bastante 
útil, por dois motivos: 
1. Destaca o caso onde os dois componentes tenham a mesma pressão de vapor, ou seja, 
onde a volatilidade relativa (ver definição abaixo) α = 1. Neste caso, a mistura binária 
não pode ser separada por meio de destilações. 
2. A diagonal representa o caso que a fase gasosa tenha a mesma composição que a fase 
líquida. Como veremos adiante, isto é a situação ideal que se visa em cada prato, 
dentro da coluna de retificação. 
 
A representação matemática desta curva de equilíbrio é: 
 
x
x
y
y
−
⋅=
− 11
α ⇒ ( ) x
xy
⋅−+
⋅
=
11 α
α
. 
 
α é a chamada volatilidade relativa, definida por 0201 pp=α . Pressupomos que o valor de α 
seja constante - o que é aproximadamente dado em misturas ideais. Em misturas reais, por 
outro lado, percebe-se uma dependência de α, tanto da composição x como da temperatura. 
É possível testar se a constância de α é uma estimativa legítima: ao comparar a volatilidade 
relativa perto de 0% e perto de 100% de x. Caso esses valores sejam bem semelhantes, α pode 
ser considerado constante e a equação dada acima pode ser usada para calcular o diagrama x - 
y. As volatilidades relativas se acham em numerosas obras de referência, para um grande 
número de misturas binárias. A Tab. 17 contém uma pequena seleção destas. 
 
Tab. 17. Pontos de ebulição e as volatilidades relativas de líquidos em misturas binárias, 
a pressão atmosférica (T em °C). 
Mistura ST1 02
0
1 pp=α ST2 
0
2
0
1 pp=α 
Benzeno - Dicloroetileno 
Benzeno - Tolueno 
Cloreto de n-butila - brometo de n-butila 
Clorofórmio - CCl4 
Etanol - Isopropanol 
Etanol - n-propanol 
Cloreto de etila - Brometo de etila 
Éter dietílico - Benzeno 
Dibrometo de etileno - Dibrometo de propileno 
Dicloreto de etileno - Tricloroetano 
n-heptano - metilciclohexano 
n-hexano - n-heptano 
Metanol - Etanol 
Metanol - Isobutanol 
80,1 
80,1 
77,5 
61,1 
78,3 
78,3 
12,5 
34,6 
131,7 
83,5 
98,4 
69,0 
64,7 
64,7 
1,113 
2,61 
2,08 
1,71 
1,18 
2,18 
3,23 
5,16 
1,30 
2,52 
1,058 
2,613 
1,73 
6,1 
83,5 
110,7 
101,6 
76,6 
82,3 
97,2 
38,4 
80,2 
141,5 
113,7 
100,3 
98,4 
78,1 
107,5 
1,109 
2,315 
1,87 
1,60 
1,17 
2,03 
2,79 
3,95 
1,30 
2,33 
1,056 
2,33 
1,64 
4,4 
A. Isenmann Operações Unitárias 
142 
Metanol - Propanol 
Metilacetona - Etilacetona 
Fenol - o-cresol 
fenol - m-cresol 
Tolueno - Cloreto de benzila 
Tolueno - Clorotolueno 
Água - Etilenoglicol (a 200 mbar) 
Água - Glicerina (a 66,8 mbar) 
64,7 
56,8 
181,2 
181,2 
110,7 
110,7 
60,1 
38,1 
3,89 
2,036 
1,30 
1,768 
7,75 
4,76 
98,0 
76400 
97,2 
77,1 
190,6 
201,5 
178,0 
162,0 
150,2 
202,0 
3,15 
1,923 
1,275 
1,699 
4,45 
3,65 
21,0 
244 
 
5.2.3 Misturas binárias não ideais 
Podemos esperar um comportamento não ideal quando as forças entre as moléculas do 
componente A são diferentes das forças entre A e B. Podemos diferenciar dois casos: 
a) As forças entre moléculas iguais são maiores do que entre moléculas desiguais. Daí 
observamos um desvio negativo da lei de Raoult e então uma depressão da pressão dos 
vapores. 
b) As forças entre moléculas desiguais são maiores do que entre moléculas A-A ou B-B. 
Daí observamos um desvio positivo da lei de Raoult e então um aumento da pressão 
dos vapores acima do sistema ideal. 
 
Podemos visualizar esses desvios da idealidade, nos diagramas de pressão dos vapores 
isotérmicos (Fig. 59). Em casos de desvios mais pronunciados podem formar-se até extrema 
nas curvas de pressão de vapor. Esses pontos extremos são chamados de misturas 
azeotrópicas. Elas representam um problema especial porque não podem ser separadas por 
procedimentos simples ou destilações repetidas (métodos térmicos da sua separação, ver p. 
161 em seguida). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
143 
 
Fig. 59. Diagramas de pressão de vapor de misturas não ideais: (a) e (b): desvio 
negativo; (c) e (d): desvio positivo da Lei de Raoult. As linhas pontilhadas 
representam comportamento ideal. Nas misturas (b) e (d) forma-se uma mistura 
azeotrópica, com pressão de vapor mínimo e máximo, respectivamente. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
144 
Mistura ideal Pressão de vapor mostra 
um mínimo 
Pressão de vapor mostra um 
máximo 
As forças entre todas as moléculas 
são iguais. 
 
Vale Raoult: 
A A Ap P x= ⋅ e B B Bp P x= ⋅ 
 
Exemplos: 
D2O / H2O; Benzeno / Tolueno; 
O2 (l) / N2 (l) 
As atrações Van der Waals 
A - B são maiores do que 
entre A - A e B - B 
(efeito atraente). 
 
A A Ap P x< ⋅ e B B Bp P x< ⋅ 
 
Exemplos: 
Acetona / Clorofórmio; HCl / 
H2O 
As atrações Van der Waals A - 
B são menores do que entre A - 
A e B - B 
(efeito repelente). 
 
A A Ap P x> ⋅ e B B Bp P x> ⋅ 
 
Exemplos: 
Acetona / CS2; Piridina / H2O; 
Etanol / Heptano; Etanol / 
H2O. 
 
Fig. 60. Comparação dos diagramas de pressão de vapor, diagramas de destilação e 
diagramas das fases, para sistemas ideais e não ideais. 
 
Outros exemplos típicos para sistemas com azeotrópico: 
a) Azeotrópicos em sistemas de componentes atraentes 
 (= pressão de vapor mínimo = temperatura de ebulição máxima): 
 HNO3 / H2O, H2SO4 / H2O. 
 
b) Azeotrópicos em sistemas de componentes repelentes 
 (= pressão de vapor máximo = temperatura de ebulição mínima): 
 Etanol / H2O, Benzeno / Cicloexano, Propanol / H2O. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
145 
Tab. 18. Misturas azeotrópicas frequentemente encontradas no laboratório. 
 
 
5.3 Destilação simples 
A destilação simples é geralmente um processo descontínuo, mas pode ser feito também de 
modo contínuo. O esquema de uma destilação simples é dado na Fig. 61, que consiste 
basicamente do balão do fundo e um condensador. Os vapores que sobem do balão do fundo 
entram no condensador onde são liquefeitos. Isto implica que não tem retorno dos vapores, 
para o balão do fundo. Portanto, este método também se conhece como "destilação de via 
única". Os condensados são recolhidos, geralmente em várias frações, nos recipientes 
apropriados. 
 
 
Fig. 61. Esquema de uma destilação simples (= destilação de via única) 
 
A representação deste processo no diagrama de ebulição é dada na Fig. 62, junto ao diagrama 
das fases líquido-gasoso que, neste caso, pode ser identificado como diagrama [composições 
do líquido no balão do fundo] vs. [líquido no recipiente do destilado]. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
146 
O líquido em ebulição tenha a composição x1. A fase gasosa produzida a partir deste líquido 
tem a composição y1. A primeira gota de destilado tem, portanto, a composição y1 = xD. A 
diferença xD-x1 representa o máximo efeito de separação elementarque pode ser atingido sob 
dada pressão. Ao decorrer do processo de destilação, não só a quantidade do líquido no balão 
do fundo decresce, mas também a porcentagem do componente mais volátil neste líquido cai 
continuamente. Em consequência, a porcentagem do componente mais volátil decresce 
também no destilado. E para dar continuidade do processo é preciso um aumento da 
temperatura operacional. 
O final do processo é dado pelo ponto de ebulição do componente mais pesado, T2S. Neste 
ponto a fase líquida e a gasosa têm a mesma composição, a saber, é o puro componente 
pesado. Isso seria o caso na última gota de líquido no balão do fundo. Neste momento a 
composição do produto da destilação seria idêntica com a composição da mistura original, ou 
seja, a mistura foi completamente transferida para o outro lado da destila. Como isso não faz 
sentido, todo processo destilativo deve ser interrompido antes de chegar à secura do balão do 
fundo. Na prática de um alambique, por exemplo, se encerra o processo quando o grau 
alcoólico dos vapores cai abaixo de 30 °. Mesmo que o pé de cuba contenha ainda bastante 
álcool não vale a pena continuar a destilação, pois o aumento do volume do destilado se 
compra com uma queda drástica na qualidade do produto. 
 
Fig. 62. Destilação simples e descontínua: diagrama de ebulição e diagrama das fases 
em equilíbrio. 
 
Resumindo: 
O efeito separador numa destilação simples é limitado, ou seja, separações completas são 
impossíveis. Em geral, uma destilação simples somente deve ser levada em consideração 
quando a mistura tem componentes de volatilidade bastante distantes (= diagrama das fases 
com curvas bastante barrigudas, ver Fig. 62). Vale a regra geral que os pontos de ebulição T1S 
e T2S devem diferir em pelo menos 80 °C. 
 
5.4 Retificação 
Para a maioria das tarefas de separação o efeito elementar da destilação simples não é 
satisfatório; o destilado não pode ser obtido em grau de pureza suficiente. O processo de 
separação deve ser repetido com o destilado, se for preciso, várias vezes. Daí o efeito 
elementar da separação se multiplica. Por conveniência isto é feito em uma coluna de 
retificação, onde há fluxos contracorrentes entre os vapores (subindo) e o líquido resultante 
A. Isenmann Operações Unitárias 
147 
dos vapores (descendo). Daí, em diferentes alturas da coluna, chamadas de pratos, o equilíbrio 
da evaporação pode se restabelecer. O efeito elementar da separação (que depende da 
volatilidade α) se repete em cada prato. O efeito total da separação, portanto, é proporcional a 
αn, onde n é o número de pratos da coluna. 
 
x
x
y
y n
−
⋅=
− 11
α 
 
 
Fig. 63. Determinação do número mínimo de pratos, em dependência da diferença das 
temperaturas de ebulição dos componentes 50:50 (= volatilidade relativa). 
Parâmetros: grau de pureza do destilado: 90%, 99% e 99,9%. 
 
Na Fig. 64a é mostrado o princípio da coluna de retificação em operação contínua. Fig. 64b 
mostra a construção da coluna na prática. Como veremos abaixo, a coluna pode ter pratos 
reais (Fig. 73) ou um recheio de corpos irregulares com grande superfície (ver Fig. 74 na p. 
160). No fundo encontra-se um evaporador, na cabeça um condensador. Devido ao elevado 
peso do equipamento, porém, o condensador da cabeça é instalado num console mais abaixo e 
o líquido depois bombeado acima, para estabelecer o refluxo. Geralmente, a retificação é um 
processo contínuo. Daí a mistura líquida a ser separada é alimentada na meia altura, entre a 
cabeça e o fundo. Na maioria das vezes a alimentação desta mistura (do ingês: feed) ocorre 
naquele prato onde a composição dos vapores recondensados têm a mesma composição que a 
mistura original. Além disso, o líquido é alimentado perto do seu ponto de ebulição, para não 
interferir no balanço térmico ao longo da coluna. O feed separa a coluna, formalmente, em 
uma parte enriquecedora junto à cabeça (também chamada de parte de absorção) e uma parte 
de esgotamento junto ao fundo. 
Na parte enriquecedora o componente mais pesado é extraído dos vapores em ascensão, pelo 
líquido que está em movimento para baixo. Na parte do esgotamento o componente mais leve 
está levado em grande parte para cima, junto aos vapores que sobem. A contracorrente é 
induzida na cabeça, pela condensação total dos vapores que chegam até lá. Uma parte deste 
líquido está redirecionada à coluna onde reflui, a outra parte é tirada como produto de cabeça. 
O mesmo acontece no fundo: uma parte é re-evaporada e induzida à coluna, a outra parte é 
retirada como produto do fundo. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
148 
 
 (a) (b) 
 
 (c) (d) 
Fig. 64. Representações da retificação em operação contínua: 
a) Esquema de P&ID (Piping and Instrumentation Diagram) b) Esboço funcional 
c) Equipamento de escala técnica d) Equipamento de escala industrial. 
 
5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua 
Por ser mais ilustrativo, vamos considerar neste cálculo uma coluna equipada com pratos, e 
vamos supor que em cada um destes pratos se estabilize o equilíbrio termodinâmico (troca de 
matéria e troca de calor, entre fase líquida e gasosa), daí se fala de um "prato ideal". Implica 
A. Isenmann Operações Unitárias 
149 
que o número dos pratos calculados é igual o número dos pratos que se precisa na execução 
da retificação. 
O objetivo do nosso balanço é visualizar a separação de uma mistura de líquidos em um 
diagrama das fases e a base deste gráfico determinar o número de pratos que se precisa para 
uma dada tarefa separativa. Provou-se mais fácil fazer esse cálculo para uma mistura binária, 
em processo de destilação contínua, com as seguintes idealizações: 
1. A coluna trabalhe de maneira adiabática. Isso implica que não se precisa balancear o 
calor, mas apenas as massas e composições. 
2. O equilíbrio entre as fases seja completa, em cada um dos pratos. 
3. As entalpias de evaporação, Hev∆ , dos dois componentes sejam aproximadamente 
iguais e independentes de temperatura T e composição x. 
4. Os fluxos de vapor e líquido sejam constantes, tanto na parte de enriquecimento 
quanto no esgotamento. 
5. A alimentação ("feed") da mistura de composição xF seja injetada em ebulição, na 
altura daquele prato onde o líquido refluxando tenha a mesma composição. 
6. Não hajam perdas em pressão ao longo da coluna. 
 
Vamos familiarizar-nos com os fluxos de matéria dentro da coluna: 
dt
dn
n FF =� = fluxo de material do feed; 
dt
dn
n PP =� = fluxo do produto leve que é retirada na cabeça; 
dt
dn
n SS =� = fluxo do produto pesado que é retirada no fundo. 
 
Suas composições são xF, yP (= xP) e xS, respectivamente. 
Os fluxos dos vapores e dos líquidos em contracorrente: 
Dn� (do vapor) e Ln� (do líquido), na parte do enriquecimento; suas composições sejam y e x, 
respectivamente. 
′
Dn� e 
′
Ln� na parte do esgotamento; suas composições sejam y´ e x´, respectivamente. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
150 
 
Fig. 65. Envelope dos balanços feitos acerca da coluna de retificação (operação 
contínua). 
Além destas grandezas, se mostrou confortável na hora do balanço introduzir as seguintes 
grandezas de processo: 
Taxa de refluxo:P
L
n
n
v
�
�
= 
Taxa de re-evaporação: 
S
L
n
n
v
�
� ´
´= 
Taxa de retirada: 
P
S
n
nS
�
�
= (quantidades de produto, retiradas no fundo e na cabeça, resp.). 
 
Criamos a seguir três envelopes de balanço, conforme mostrado no seguinte gráfico. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
151 
 
 
1) Balanço da coluna inteira: 
Fluxos em total: SPF nnn ��� += 
Usando a taxa de retirada, podemos escrever: 
( )Snn PF +⋅= 1�� . 
 
O balanço dos componentes (sempre olhando no componente mais leve): 
SSPPFF xnynxn ⋅+⋅=⋅ ��� . 
Junto ao balanço acima obtemos: 
S
xSy
x SPF +
⋅+
=
1
. 
 
2) Balanço da parte de enriquecimento: 
Fluxos: LPD nnn ��� += . 
Aproveitando da taxa de refluxo: 
1+
=
v
n
n DP
�
� . 
 
O balanço dos componentes: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
152 
xnynyn LPPD ⋅+⋅=⋅ ��� . 
 
Resolver por y, introduzir a taxa de refluxo (v) e o balanço total conforme derivado na parte 1 
acima: 
 
11 +
+⋅
+
=
v
y
x
v
vy P 
 
Essa é a equação de uma reta, no diagrama x vs. y, com a inclinação 
1+v
v
 e a intersecção 
1+v
yP
 com a ordenada. Vamos chamá-la de reta de trabalho do enriquecimento. 
 
3) Balanço da parte de esgotamento: 
Fluxos: ´´´ SDL nnn ��� += . 
Aproveitando da taxa de re-evaporação: 
1´
´
−
=
v
n
n DS
�
� . 
 
O balanço dos componentes: 
SSDL xnynxn ⋅+⋅=⋅ ��� ´´´´ . 
 
Resolver por y´, introduzir a taxa de re-evaporação (v´) e usando o balanço total conforme 
parte 1 acima: 
 
1´
´
1´
´
´
−
−⋅
−
=
v
x
x
v
vy S 
 
Essa é a equação da "reta de trabalho do esgotamento". 
 
4) Considerações sobre o ponto do feed: 
Através do feed (= líquido perto do ponto de ebulição) os fluxos na parte de esgotamento e 
enriquecimento se desigualam: DD nn �� ≠´ e LL nn �� ≠´ . O que facilita os cálculos é a escolha certa 
do ponto de feed: na altura do prato onde o líquido tenha a mesma composição. Aliás, isso é a 
forma de alimentação mais praticada, na indústria petroquímica. 
O balanço nesta altura da coluna fornece: 
SF
FP
xx
xx
v
vS
−
−
=
−
+
=
1´
1
. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
153 
 
( ) ( )PFPSFS xxnxxn −⋅−=−⋅ �� . 
 
Mais próxima a composição do feed à composição do produto retirado na cabeça da coluna, 
menor quantidade de produto precisa ser retirada na cabeça, para manter o equilíbrio com o 
produto do fundo. 
Para as demais formas de alimantação pode-se usar essa mesma equação, ampliada por um 
fator de correção f que pode ser determinado através de um balanço entálpico. 
 
A representação das retas de trabalho no diagrama das fases leva ao Diagrama de McCabe-
Thiele. A área entre essas retas e a hipérbole do equilíbrio líquido-gasoso do sistema binário, 
pode ser usada para a determinação do número de pratos que se precisam para chegar a um 
determinado grau de pureza. 
 
Fig. 66. Construção das retas de trabalho, segundo McCabe-Thiele. 
Observamos que a reta de enriquecimento tem uma inclinação inferior à diagonal, quando a 
taxa de refluxo v tenha um valor finito. Ela corte a diagonal, no ponto da composição da 
cabeça, Pxx = , ou seja, em Pyy = . O trecho de interseção na ordenada é 1+v
yP
, isto é, 
depende da composição do produto de cabeça ( Py , dada pelas exigências da fábrica) e da taxa 
de refluxo (v, a ser escolhido pelo operador da coluna). 
Ao interromper a alimentação e fechar as saídas dos produtos, a taxa de refluxo torna-se 
infinita ( ∞→v , então 1
1
→
+v
v
 e 0
1
→
+v
yP ), isto é, a reta de enriquecimento torna-se 
idêntica com a diagonal. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
154 
A reta de trabalho do esgotamento se evidencia mais íngreme do que a diagonal. Ela a corta 
no ponto da composição do balão do fundo, xS. O trecho na ordenada é de 1´−v
yS
 e depende, 
além da composição prescrita yS, da taxa de re-evaporação, v´. 
Interessante é que o ponto de secção das duas retas de trabalho fica exatamente em Fxx = , ou 
seja, coincide com a composição do feed (que deve ser em ebulição, como já dito!). 
 
5.5.1 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de 
McCabe-Thiele 
O método de McCabe-Thiele se baseia no gráfico deduzido acima e tem por objetivo 
determinar o número necessário de pratos, nteor, para dada tarefa de separação. Na prática se 
precisam sempre mais pratos do que nteor, devido às insuficiências nas trocas de matéria 
gasosa-líquida, nos pratos reais. O valor nteor deve ser visto, portanto, como valor mínimo 
necessário. 
A confecção do diagrama de McCabe-Thiele precisa da curva de equilíbrio (dados 
experimentais ou calculadas) e as retas de trabalho, tanto a de enriquecimento como a de 
esgotamento. 
Pegamos um ponto na curva de equilíbrio. Quando tirar uma reta horizontal pode-se alcançar 
uma reta de trabalho. Neste ponto fazemos leitura da composição da fase líquida, no próximo 
prato mais alto. Essa leitura fazemos, consequentemente, no eixo x. A partir deste ponto 
podemos tirar uma reta vertical (isto é, paralela ao eixo y). Daí cruzamos em certo ponto a 
curva de equilíbrio. Neste ponto podemos fazer leitura da composição dos vapores que 
sobem, a partir do prato em questão. Essa leitura fazemos, consequentemente, no eixo y. 
O ponto de partida, para estimarmos o número necessário de pratos, nteor, é x = xS, que se 
encontra em cima da diagonal. (Lembre-se que este ponto representa a composição do líquido 
retirado no fundo da coluna.) A partir deste ponto procuramos a composição dos vapores que 
sobem até o primeiro prato (cruzamento da vertical com a curva de equilíbrio). A partir deste 
vapor, yS, podemos condensar um líquido no primeiro prato da composição x1 - basta tirar 
uma horizontal com o ponto xS/yS e procurar o cruzamento com a reta de trabalho (no caso, a 
reta de esgotamento). Os vapores que sobem do prato 1 têm a composição y1, conforme 
ilustrado no próximo gráfico: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
155 
 
Fig. 67. Determinação gráfica do número de pratos necessário, segundo McCabe-
Thiele. 
Finalmente, criamos uma escada que vai até a composição da cabeça, xP. A horizontal mais 
alta neste desenho representa a composição dos vapores que sobem do prato mais alto (y12) e 
entram no condensador onde se transformam em um líquido da mesma composição, y12 = yP 
= xP. A leitura do destilado xP se dá então da secção entre a horizontal e a diagonal do gráfico. 
A contagem dos degraus (sem o fundo S) fornece o número mínimo de pratos que se precisa, 
para alcançar dada pureza, aplicando uma taxa de refluxo v e taxa de re-evaporação v´. Em 
nosso exemplo a escada termina por acaso exatamente na composição do destilado. Em casos 
contrários, então deve-se acrescentar mais um degrau, para chegar logo acima do ponto xP. 
Em nosso exemplo acima o feed deve ser injetado entre o prato 5 e 6, enquanto a parte do 
esgotamento requer cerca de 5 1/2 pratos e a parte do enriquecimento cerca de 7 1/2 pratos. 
 
5.5.2 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo 
A solução gráfica do nosso problema deixa claro que o número de pratos depende da taxa de 
refluxo e, acoplado nesta, da taxa de re-evaporação, também. Para o dimensionamento e o 
controle do processo da retificaçãoé de importância qual a combinação, taxa de refluxo e 
número de pratos, mais econômica. As margens dentro da qual o engenheiro toma decisão, 
são dadas pelo número mínimo de pratos de um lado e pela taxa mínima de refluxo no outro 
lado. 
Quais são os parâmetros fixos ou exigidos pela fábrica? Além da curvatura da hipérbole (que 
depende da volatilidade relativa dos componentes da mistura), isto são a composição xF do 
Feed, mas também a pureza do destilado, yP, e da fração pesada, xS. A partir do balanço da 
coluna toda pode-se verificar que com esses parâmetros o fluxo no produto da cabeça, Pn� , e a 
A. Isenmann Operações Unitárias 
156 
taxa de partição ou taxa de retirada, 
P
S
n
nS
�
�
= , são definidos, também. Para tal situação existe 
um número mínimo de pratos, nmin, que se precisa quando a taxa de refluxo fica infinita, ou 
seja, e o fluxo Fn� do Feed é zero. A leitura de nmin se faz entre a curva de equilíbrio e a 
diagonal,, entre xS e xP. 
 
Fig. 68. Determinação do número mínimo de pratos, segundo McCabe-Thiele, 
aplicando uma taxa de reflixo infinita (v = ∞). Dados os valores de xS e xP. 
Por outro lado, a taxa de refluxo mínima, vmin, se obtém com uma reta de enriquecimento mais 
rasa possível. Isto é o caso quando ela corta a curva de equilíbrio em xF e a diagonal em xP. A 
parte do esgotamento se dispensa neste caso. Só que neste caso a coluna iria precisar um 
número infinito de pratos teóricos - uma situação tão pouco realística quanto a do número 
mínimo de pratos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
157 
 
Fig. 69. Determinação da taxa mínima de refluxo, vmin de uma coluna, aplicando um 
número infinito de pratos (n = ∞). 
A decisão do engenheiro vai ser em um ponto da curva a seguir (que descreve a relação 
recíproca de nteor e v): 
 
Fig. 70. Relação funcional, entre o número de pratos teóricos nteor , e a taxa de refluxo 
v, de uma coluna de retificação contínua. 
Na prática dominam os aspectos econômicos. Muitos pratos significam altos custos de 
investimento na construção da coluna e baixos custos de operação. Alta taxa de refluxo 
significa baixos custos de investimento, mas altos custos de operação. Deve-se então procurar 
o ponto mínimo na curva de custos totais - que é a soma das duas. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
158 
 
Fig. 71. Custos de investimento, operação e custo total, de uma coluna de retficação, 
em função da taxa de refluxo , v, e do número de pratos, n. 
A experiência mostra que vopt fica entre 2 e 10 vezes o valor de vmin. 
 
5.5.3 Pratos reais e o fator de eficácia 
Na prática não se consegue um equilíbrio total entre a fase gasosa e líquida, em nenhum dos 
pratos. Este fato deve ser levado em consideração no planejamento da coluna. Equilíbrio não 
é atingido devido ao curto tempo de contato entre vapor e líquido. Neste curto período o 
líquido na proximidade da bolinha de gás tem uma outra concentração (mais rico em 
composto mais volátil), do que em outro local longe das bolhas. Um prato onde se tem este 
tipo de gradiente local em concentração se chama, portanto, prato real. 
A insuficiência em equilíbrio pode ser respeito por um fator de eficácia, ηS (coeficiente de 
Murphree). Pode-se postular se a resistência contra o transporte da matéria for dentro do 
vapor ou dentro do líquido. Seja ela maior na fase do vapor, podemos definir o fator de 
eficácia em termos de y: 
1
1,
1 ≤
−
−
=
−
−
neqn
nn
S yy
yyη . 
O fator de eficácia é a relação entre as mudanças real e ideal em composição, quando 
comparamos um prato com o seu prato vizinho abaixo. 
O problema é que o fator de eficácia varia ao longo da coluna e, portanto, ao longo da curva 
de equilíbrio no diagrama das fases. Afinal, o fator ηS depende do tipo de prato, das condições 
de operação da coluna e, lógico, das propriedades físicas das fases em contato. 
Um cálculo aproximado do número de pratos reais às vezes é possível através de um fator que 
representa a média dos fatores ηS,n de todos pratos: 
m
teornn
η
= , com mη = fator de eficácia média. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
159 
O uso do fator médio pode levar a graves desvios, especialmente quando acurva de equilíbrio 
e a reta de trabalho tenham inclinações bastante diferentes. Neste caso é aconselhado usar 
uma curva de pseudo-equilíbrio, conforme mostrado no próximo gráfico: 
 
 
Fig. 72. Diagrama de McCabe-Thiele para uma coluna com pratos reais. 
5.6 Equipamentos de retificação 
Além da coluna de refluxo um aparelho de retificação sempre tem um condensador e um 
evaporador, para estabelecer a mudança das fases na cabeça e no balão do fundo, 
respectivamente. Também acompanham trocadores de calor com finalidade de aquecer o feed 
e resfriar os produtos separados. Depende da construção do interior da coluna, podemos 
classificar como coluna com pratos ou recheios. Na primeira categoria encaixam os pratos 
com borbulhadores de sino e pratos retos com perfurações, enquanto o último tipo de coluna é 
empacotado com pequenos corpos de recheio de grande superfície e curvatura típica. 
 
Fig. 73. Diferentes construções de pratos em colunas de retificação, em comparação à 
coluna com um leito de corpos de recheio. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
160 
Pratos de borbulhadores e pratos perfurados têm o mesmo objetivo: os vapores devem 
atravessar o líquido (regulado a poucos centímetros de altura em cada prato) de maneira mais 
fina, sem causar ao mesmo tempo grande resistência ao longo do seu caminho para cima. 
Cada prato é equipado com um cano de entorno que impede o caminho livre para os vapores. 
A posição da sua beirada determina a altura do líquido nos pratos. 
Em colunas com recheios os vapores que sobem e os líquidos em refluxo estão em contato 
intenso e perpétuo. A área onde pode ocorrer troca de calor e matéria é muito maior do que 
em colunas com pratos reais. Para garantir um filme fino de grande área os corpos de recheio 
têm geometrias típicas que impede um empacotamento denso, quer dizer, entope o caminho 
para os vapores. As qualidades marcantes são a grande superfície e, ao mesmo tempo, um 
grande espaço livre para o vapor. 
 
Fig. 74. Corpos de recheio de colunas de retificação industriais. 
Um ponto fraco nos corpos de recheio é a ocorrência de canais de baixa resistência onde o 
vapor sobe com alta velocidade, enquanto em zonas de empacotamento passa muito pouco ou 
nenhum vapor, mas somente reflui o líquido. Se isso for o caso a coluna deve ser aberta e os 
recheios recolocados de maneira mais adequada. O empacotamento (não empilhamento!) de 
colunas requer, portanto, alguma experiência prática. 
Uma vez a coluna com recheio estiver funcionando, ela tem certas vantagens sobre uma 
coluna com pratos: 
� A limpeza do material de recheio (geralmente feito de um material bastante resistente, 
tal como aço inox ou cerâmica) fica mais confortável, por ser retirável. 
� A perda em pressão ao longo da coluna é menor do que em colunas de pratos. 
� Comparando o poder de separação, o efeito de colunas de recheio da mesma altura é 
superior. 
 
Para sua caracterização usa-se a altura de empacotamento que tem o mesmo efeito do que um 
prato teórico (equilíbrio total), chamado de HETP = Hight Equivalente to a Theoretical Plate. 
 
teornHEPTh ⋅= , 
 
com h = altura da colunatoda, nteor = número teórico de pratos. 
O número teórico de pratos se determina, usualmente, no gráfico de McCabe-Thiele por um 
zig zag entre as curvas (ver Fig. 67). Note que o valor HETP é um valor médio, ao longo da 
coluna toda. Dependendo do tipo e tamanho do recheio o HETP é de 2 a 15 cm. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
161 
5.7 Operações destilativas especiais 
Nesta secção abordamos a separação de misturas multi-componentes, misturas azeotrópicas e 
misturas onde a curva de equilíbrio fica muito próxima à diagonal (isto é, onde a volatilidade 
relativa α tem um valor pequeno. Nestes casos a destilação industrial requer de equipamentos 
mais sofisticados. 
 
5.7.1 Separação de misturas multi-componentes 
Para resolver esta tarefa de maneira satisfatória e em fluxo contínuo, várias colunas devem ser 
acopladas em série. A maneira do acoplamento depende do grau de pureza exigido e, como 
sempre, é uma questão econômica. A retirada lateral de uma coluna (inglês: sidestreams), por 
outro lado, não fornece produtos puros. Este método se aplica, principalmente, na indústria 
petroquímica, onde se visa obter frações de solventes com certa faixa de ebulição. 
 
5.7.2 Método de duas pressões 
É impossível separar uma mistura azeotrópica por uma retificação simples. Mesmo com um 
alto número de pratos se consegue apenas a composição azeotrópica, mas não os componentes 
puros. Isto se deve ao fato de que a curva de equilíbrio está cortando a diagonal (onde y = x), 
no ponto azeotrópico. O método especial de duas colunas com pressões diferentes aproveita 
da dependência do ponto azeotrópico, da pressão. Em geral, o ponto azeotrópico está sendo 
deslocado à direita, ao abaixar a pressão. Isto é, a mistura azeotrópica se enriquece em 
componente mais volátil. 
O próximo esquema mostra o fuxograma das duas colunas e o diagrama das fases, a duas 
pressões diferentes (pressão 1 = baixa; pressão 2 = alta). Um exemplo que todos conhecem 
seria a mistura água - etanol. Na primeira coluna onde há baixa pressão, pn, uma mistura 
azeotrópica da composição xA1 está sendo retirada na cabeça, enquanto no fundo se coleciona 
o componente mais pesado (2) que é, no caso, a água. O produto da cabeça está conduzido à 
segunda coluna que trabalha à pressão mais alta, ph. Aqui é possível separar a mistura da 
composição xA1, em um produto de fundo que é etanol e um azeotrópico mais leve ainda, da 
composição xA2 que sai pela cabeça. Este está sendo reinjetada na primeira coluna e volta ao 
ciclo. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
162 
 
Fig. 75. Fluxograma da destilação de duas pressões; diagrama das fases de uma 
mistura com azeotrópico a ser separada por este método. 
 
Há casos onde um abaixamento da pressão faz com que o ponto azeotrópico some. Daí se 
dispensa a necessidade da segunda coluna; a retificação se executa simplesmente à pressão 
reduzida, daí se fala de retificação a vácuo. Esta técnica também mostra vantagens quando 
tratar componentes que são altamente sensíveis a altas temperaturas ou correm perigo de 
decomposição por oxidação. 
 
5.7.3 Retificação extrativa 
Uma alternativa ao trabalho com pressões diferenciadas é o auxílio de mais um componente, 
geralmente um componente bem menos volátil do que se tem na mistura azeotrópica. Este 
componente provoca igualmente um deslocamento da posição do ponto azeotrópico ou, em 
casos de curva de equilíbrio rasa, o afastamento da curva da diagonal. Este método extrativo 
(também conhecido como processo distex) a substância auxiliar se junta intimamente ao 
componente menos volátil da mistura problema. Assim, a pressão de vapor deste componente 
se abaixa, então a volatilidade relativa do componente mais leve aumenta, sua separação pela 
cabeça fica mais fácil. Em uma coluna de retificação posterior ocorre a separação do produto 
do fundo da coluna 1 (composto auxiliar + componente pesado). O composto auxiliar é então 
reinjetado na coluna 1, isto é, ele não sai do ciclo e pode então ser aplicado em "quantidades 
catalíticas". 
A. Isenmann Operações Unitárias 
163 
 
Exemplo da prática: separação de benzeno e cicloexano, usando anilina. 
 
5.7.4 Destilação azeotrópica 
Em analogia à destilação extrativa, este método também aproveita de um componente 
auxiliar. Em caso de uma mistura de pontos de ebulição próximos (α perto de 1) o auxiliar 
provoca a formação de um azeotrópico, em casos onde já há azeotrópico haverá mudança do 
ponto azeotrópico. O novo azeotrópico deve ter um ponto de ebulição tão baixo que seja 
possível retirar pela cabeça da primeira coluna uma mistura ternária. No fundo da coluna 1 se 
obtém então o componente 1 da mistura binária original, quase puro. O produto da cabeça, 
após seu resfriamento, separa-se em duas fases. Daí se tem a possibilidade de conduzir uma 
das fases, a rica em composto auxiliar, de volta no ciclo. A outra fase é mais rica em 
componente 2. Este componente deve ser purificado na coluna 2. Na coluna 2 ocorre a 
separação do componente menos volátil pelo fundo e a recuperação do composto auxiliar pela 
cabeça que, logo a seguir, está reinjetado na coluna 1. 
Destilação azeotrópica e extrativa são os métodos mais importantes, para separar os 
aromáticos dos alifáticos. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
164 
5.8 Lavagem de gases em colunas de corpos de recheio 
A técnica mais utilizada para levar gases técnicos a um nível de pureza elevado é a absorção. 
Esse procedimento de absorção também é conhecido como lavagem de gases. Os 
equipamentos mais utilizados para esta finalidade são: 
� Colunas com corpos de recheio (ver p. 159), usadas para quantidades menores de 
gases; 
� Colunas com pratos (do inglês: Stripper), usadas para quantidades maiores, 
principalmente; 
� Colunas com atomização/nebulização. 
Enquanto no capítulo anterior (destilação e retificação) foi apresentada a coluna com pratos 
reais sendo o equipamento principal, nesta seção seja então a coluna com corpos de recheio o 
foco da nossa discussão. Lá, admitimos que em cada prato há equilíbrio e troca livre entre as 
fases, gasosa e líquida - um modelo que rigorosamente não é válido para colunas com corpos 
de recheio. 
Para o dimensionamento de métodos térmicos de separação são duas grandezas de suma 
importância: 
1. A posição do equilíbrio entre as fases, quer dizer, como a composição da fase I 
influencia a composição da fase II; 
2. A velocidade com que esse equilíbrio se estabeleça. 
O primeiro aspecto é atendido na discussão da termodinâmica, o que foi feito extensamente 
no cap. 5.2. O segundo aspecto, no entanto, é uma questão da cinética e depende basicamente 
do mecanismo de transporte no interior das fases e, como fator especialmente limitante, o 
transporte de matéria na interface. Observamos muitas paralelas com o transporte de calor. 
Sendo assim, os mecanismos de transporte de calor, a dizer condução e convecção, têm seus 
análogos no transporte de massa, conhecidos como difusão e convecção. Também a 
transferência e a transmissão de calor (ver cap. 4.3, p. 109) têm suas grandezas 
correspondentes no transporte mássico. Assim, pode-se formular o mecanismo deste 
transporte em várias etapas consecutivas, das quais a mais lenta é decisiva para a velocidade 
do processo global, ou seja, para o dimensionamento da planta. 
As metas deste capítulo são: 
1. Descrição dos processos de troca de massa entre duas fases adjacentes. 
2. O conhecimento teórico de mais um método térmicodas operações unitárias. 
3. A introdução em um modelo com troca de matéria contínua (princípio de NTU/HTU). 
Este princípio, como veremos a seguir, não só vale para a lavagem de gases, mas para 
uma grande variedade de outros processos bifásicos, também (sendo exemplos, a 
retificação e a extração). 
 
5.9 Transferência e transmissão de massa 
5.9.1 Transferência de massa 
Em muitos processos técnicos de transporte podemos identificar a transferência de uma 
massa, de uma fase para outra, decorrendo sob intensa mistura nos interiores destas fases, 
enquanto diretamente na interface se tem um filme laminar dentro do qual existe um gradiente 
de concentração linear para a substância em questão. Para as partículas que se encontram 
A. Isenmann Operações Unitárias 
165 
neste mesmo espaço fino, podemos admitir equilíbrio termodinâmico. O transporte destas 
partículas ocorre então exclusivamente por difusão. Além disso, pressupomos a espessura do 
filme da interface sendo constante e independente da massa transportada. 
Exemplos representativos para este tipo de transporte: 
a) Dissolver uma substância sólida 
Sólido i Solvente 
 in� 
 
Na superfície do sólido se mantém uma solução saturada da concentração csat, um valor fixo e 
característico para o sistema químico, a dada temperatura. A velocidade da transferência 
mássica n� é determinada por difusão nas imediações da superfície, e por convecção quando 
mais afastado, ou seja, no interior da fase líquida 
b) Evaporação de um líquido da superfície. 
Gotícula do componente i Gás 
 in� 
 
Na superfície redonda desta gota existe concentração de saturação, csat. A troca de matéria 
entre as duas fases ocorre com uma velocidade in� (= velocidade da transição de matéria) que 
na maioria dos casos se mostra proporcional à área de troca, F, e à diferença em concentração, 
∆c, entre a concentração de saturação na superfície e a concentração média no interior da fase 
gasosa. 
 
cFccFn sati ∆⋅⋅=−⋅⋅= ββ )(� . 
 
Essa relação para a velocidade de transição mássica in� (mol/s) é, ao mesmo tempo, a equação 
de definição do coeficiente de transição de massas, ββββ (m/s). Ele pode depender de uma série 
de fatores, principalmente do tipo de matéria transportada (i), modo de fluxo, temperatura e 
grandezas acerca do aparelho. Portanto, coeficientes de transição mássica podem ser 
calculados, somente em casos simples e específicas. O jeito mais direto e confiável é sua 
determinação experimental. 
O alto parentesco com o transporte de calor (p. 111) se evidencia quando olhamos na equação 
correspondente, da transição calorífica: 
 
TFTTFQ S ∆⋅⋅=−⋅⋅= αα )(� . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
166 
E em analogia aos problemas de transporte do calor, somente se conseguem resolver equações 
diferenciais exatas para fluidos em repouso, mas não para situações de convecção livre ou 
forçada. Nestes casos o coeficiente de transição mássica não se consegue mais por cálculo. 
No entanto, a transição de massa sob convecção forçada é especialmente importante na 
técnica. Neste caso a parte que se deve à convecção livre pode ser desconsiderada. A seguir 
sejam referidos relações e números adimensionais acerca do transporte de massas, 
comparados com o fenômeno/problema correspondente de calor: 
Tab. 19. Comparação entre transição de massas e de calor 
Transição de massas Transição de calor 
)(
, isatii ccFn −⋅⋅= β� )( TTFQ S −⋅⋅= α� 
Número de Sherwood: 
D
dSh ⋅= β Número de Nusselt: λ
α dNu ⋅= 
Número de Reynolds: 
η
ρ⋅⋅
=
duRe Número de Reynolds: 
η
ρ⋅⋅
=
duRe 
Número de Schmidt: 
D
Sc ν= Número de Prandtl: 
a
ν
=Pr 
 
ρ
η
ν = é a viscosidade cinemática, 
pc
a
⋅
=
ρ
λ
 é a condutividade térmica, D (cm²/s) é o 
coeficiente de difusão molecular do componente de transferência dentro do solvente. 
O número de Sherwood é determinado ao combinar os outros números adimensionais, junto 
aos devidos expoentes e fatores de correção: 
 
)(Re, ScfSh = . 
 
Exemplos: 
1) Evaporação a partir de um tubo molhado, onde a correnteza seja turbulenta e L >> d: 
 
( ) 42,075,0 180Re037,0 ScSh ⋅−= . 
 
2) Evaporação a partir de um leito de corpos de recheio (com d = diâmetro dos corpos de 
recheio): 
 
33,08,0Re066,0 ScSh ⋅⋅= . 
 
Muitas outras equações da transição mássica, sob convecção forçada, são referidas nas obras 
padrões da engenharia (ver p. 7). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
167 
5.9.2 Transferência de massa 
Em analogia à transferência do calor (p. 109) discutiremos a transferência de massa, de uma 
fase para outra. Podemos considerar essa transferência sendo a sequência de duas transições 
consecutivas da massa. Todavia, podemos constatar diferenças fundamentais, entre o 
fenômeno aplicado ao calor e à massa. Podemos visualizar essas diferenças pelos perfis de 
temperatura e concentração, respectivamente, que se estabelece entre as fases. 
 
 i pode ser CO2, SO2, etc. 
 )( 21 TTFkQ parede −⋅⋅=� in� = ? 
 
No caso da transferência de calor os meios fluidos geralmente são separados um do outro, por 
uma parede fixa. Em ambas as fronteiras, fluido 1/parede e parede/fluido 2, as duas fases em 
contato têm a mesma temperatura. 
Por outro lado, na transferência de massa as duas fases do fluido encostam diretamente, uma à 
outra. Além disso, o composto a ser transferido mostra solubilidades diferentes nas duas fases. 
Justamente devido a essa diferença em solubilidade se estabelece na interface um pulo na 
concentração. Como já pode suspeitar, não temos acesso experimental nestas concentrações 
em ambos os lados da interface. 
Temos que lidar com problemas de transferência de massa, nas mais diversas situações. 
Vamos considerar um processo de absorção. Neste caso lidamos com uma fase líquida que 
encosta em uma fase gasosa (ver última figura, à direita). No tratamento teórico de 
transferência de massas as seguintes simplificações são comumente feitas: 
1. O transporte da massa em ambas as fases não depende do acontecimento no seu 
interior, mas da velocidade da difusão na interface. 
2. Na proximidade da interface sempre tenha equilíbrio. 
3. Na proximidade da interface não tenha convecção forçada. 
O ponto de partida geralmente é uma relação simples de distribuição, onde no caso da 
absorção rege a lei de Henry, bem conhecida da fisico-química: 
 
gasiiliqi cHec ,, ⋅= Lei de Henry (1803) 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
168 
A constante de Henry, Hei, geralmente é definida para o caso de se ter as mesmas unidades de 
medida para a concentração, em ambas as fases. Para a concentração do componente de 
transferência na fase gasosa colocamos: 
 
RT
p
c igasi =, , com pi = pressão parcial do componente i, 
 
conforme a lei dos gases ideais. Essa relação indica que a concentração é maior a 
temperaturas baixas - fato que o aparelho de absorção aproveita (ver Fig. 76, na p. 172). Uma 
coluna de absorção geralmente trabalha numa temperatura constante. Por isso e para facilitar 
os cálculos, as considerações neste e no próximo parágrafo valem para condições isotérmicas. 
As concentrações do componente de transferência i em ambas as fases mostram uma relação 
linear. Somente aconcentrações muito altas essa relação desvia da linearidade. 
 
 
 
Caso a constante de Henry tiver um valor grande, significa que o componente de transferência 
é bem solúvel na fase líquida, e oposto. O perfil de concentração esboçado na p. 167 vale 
então para o caso de uma constante de Henry pequena. Por outro lado, com Hei grande 
obteremos um perfil da seguinte forma: 
 
Pela nossa surpresa, mesmo que ci,liq > ci,gas, o componente é transferido na direção indicada. 
Isso evidentemente não se explica com a diferença nas concentrações, mas sim, com a 
diferença no potencial químico. 
Para entrar mais em detalhe, mostrou-se cômodo representar o processo de transferência do 
ponto de vista do líquido ou do ponto de vista do gás, conforme indicado a seguir. Do lado de 
vista do líquido estima-se na parte do gás uma concentração c*i,gas que seja o contínuo da 
A. Isenmann Operações Unitárias 
169 
concentração ci,liq. Na representação da vista do lado do gás usa-se uma concentração 
imaginária c*i,liq que der continuação da concentração ci,gas. 
 
a) Transferência do ponto de vista do líquido 
Na representação do lado do líquido se transforma a concentração no gás formalmente ao 
nível da concentração do componente i no líquido, aproveitando-se da lei de Henry: 
 
gasiigasi cHec ,,
*
⋅= 
 
Para a taxa de transferência obtemos então: 
 
( )liqigasiliqi ccFkn ,*, −⋅⋅=� , 
 
ou seja: 
 
( )liqigasiliqi ccHeFkn ,, −⋅⋅⋅=� . 
 
 
 
b) Transferência do ponto de vista do gás 
Na representação do lado do gás se calcula com uma concentração imaginária no lado do 
líquido que seja ao nível da concentração do componente i no gás: 
 
i
liqi
liqi
He
c
c
,
,
*
= . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
170 
Para a taxa de transferência in� obtemos então: 
 
( )*
,, liqigasigasi ccFkn −⋅⋅=� , 
 
ou seja: 
 






−⋅⋅=
i
liqi
gasigasi He
c
cFkn ,
*
,
� . 
 
 
 
Nas relações dadas acima têm-se os coeficientes de transferência mássica kliq e kgas para os 
quais vale: 
 
gas
i
liqliq
He
k ββ +=
11
 e 
liqigasgas Hek ββ ⋅
+=
111
. 
 
Os coeficientes têm a seguinte relação (analogia à transferência de calor, ver p. 109): 
 
liqigas kHek ⋅= . 
 
Identificamos dois casos limites: 
Caso limite 1: O componente de transferência é pouco solúvel (por exemplo, O2 ou N2 em 
água). Daí a constante Hei é pequena e liqliqk β≅ . Neste caso se oferece 
uma representação do lado do líquido. 
Caso limite 2: O componente de transferência é bem solúvel (por exemplo, NH3 ou HCl 
em água). Daí a constante Hei é grande e gasgask β≅ . Neste caso uma 
A. Isenmann Operações Unitárias 
171 
representação do lado do gás seria mais vantajosa. 
 
5.10 Lavagem de gases 
5.10.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases. 
Na indústria química se têm muitos exemplos de operações unitárias onde se retira um 
componente gasoso i (geralmente um composto tóxico, nocivo, corrosivo, reativo no senitido 
prejudical), a partir de um grande volume de gases misturados (gás cru). Mas também se 
conhecem exemplos onde o componente i é que tem valor. 
Alguns exemplos: 
a) Produção de ácidos inorgânicos: 
SO3, HCl → Ácido sulfúrico; ácido clorídrico. 
b) Purificação de gases de escapamento: 
Retirada de partículas de fuligem e enxofre: 
Torre de nebulização com solução de cal, Ca(OH)2 → formação de sulfito de cálcio. 
Retirada de CO2: 
O "gás de síntese" é ponto de partida de um grande número de sínteses de substâncias 
químicas de plataforma. É hoje a mais importante rota dentro das "sínteses de C1", isto é, 
transformação do reagente CO, fonte de exatamente um carbono. Sua composição depende 
largamente dos seus precursores (petróleo; carvão mineral) e condições de reação (pirólise, 
altas temperaturas, deficiência em oxigênio). Dentro desta mistura complexa pode ser 
ajustado o teor em hidrogênio, conforme: 
 
CO + H2O → CO2 + H2. 
 
Isso gera em menores partes o coproduto da combustão, o gás carbônico. Este é sem valor e 
sua presença prejudica as demais etapas de síntese, principalmente devido ao seu efeito de 
diluição. Portanto, a mistura é lavada com metanol, a temperaturas baixas, onde se dissolve 
seletivamente o CO2. 
c) Recuperação de solventes: 
A recuperação de grandes volumes de solventes, usados nas bateladas de reação, é imperativa 
para a indústria química. Geralmente é feita com hidrocarbonetos de alto ponto de ebulição, já 
que a maioria destes solventes tem elevado caráter apolar. 
 
O princípio da lavagem de gases é mostrado na Fig. 76. O gás cru e o meio de lavagem 
("solvente") são conduzidos em contracorrente, na torre de absorção. Nesta etapa o 
componente danoso/valoroso é extraído da mistura de maneira seletiva. O solvente carregado 
é então levado à torre de dessorção, onde sob condições diferenciadas (pressão, temperatura) 
o componente i é retirado termicamente (ver processo de retificação, p. 146) do solvente. O 
solvente assim recuperado é reinjetado na torre de absorção, sendo assim não sai deste 
processo semi-aberto. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
172 
 
 
Fig. 76. Princípio da lavagem de gases, por absorção. 
 
Como solventes são usados: 
� Líquidos puros (por exemplo, água, metanol) 
� Misturas de líquidos (óleos de lavagem) 
� Soluções de sais inorgânicos ou orgânicos (solução de potassa, solução 
cáustica de alcazida) 
Temos as seguintes exigências a um solvente ideal de absorção: 
1. Na coluna de absorção deve mostrar alto poder de solvatação e alta seletividade para o 
componente i; tudo isso à baixa temperatura. A constante Hei deve ser grande. 
2. Na coluna de dessorção deve ser de fácil recuperação, a uma temperatura elevada (isso 
inclui estabilidade química, inércia, baixa corrosividade. A constante Hei deve ser 
pequena. 
3. A pressão de vapor própria do solvente deve ser pequena, em comparação ao 
componente i. 
4. Embora ser preso dentro do ciclo fechado, o solvente deve ser de baixa toxidade. 
 
Todas as lavagens de gases operam em modo contínuo. A torre de absorção trabalha a baixa 
temperatura e pressão elevada, enquanto na torre de dessorção se aplicam alta temperatura e 
pressão reduzida. 
 
5.10.2 Velocidade da transferência de massa 
Em seguida usaremos a representação do lado do gás (conforme especificado na p. 169), para 
aprofundar o acontecimento na coluna de absorção. Para a velocidade de transferência de 
massa An� vale sob este aspecto: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
173 
 






−⋅⋅=
i
liqi
gasigasi He
c
cFkn ,
*
,
� . 
 
Além disso, pressupomos soluções diluídas ao longo do processo todo. As frações molares do 
composto i em ambas as fases anotamos na seguinte forma: 
y = fração molar de i na fase gasosa; 
x = fração molar de i na fase líquida. 
Para a concentração do componente de transferência i em ambas as fases podemos escrever: 
ycc gasgasi ⋅=, 
xcc liqliqi ⋅=, , 
 
onde cgas e cliq representem as concentrações totais nestas fases. 
Introduzimos uma área específica de troca de matéria, a (dimensão: m-1): 
 
V
F
a = . 
 
Por fim de uma anotação mais simples deixaremos o índice i do componente transferido 
embora. Daí obtemos para a velocidade da transferência:







⋅
⋅
−⋅⋅⋅⋅= x
cHe
c
ycVakn
gas
liq
gasgas� . 
 
O termo x
cHe
c
gas
liq
⋅
⋅
 podemos interpretar como concentração de equilíbrio (partes molares). 
Portanto, usaremos um novo símbolo: 
 
x
cHe
c
y
gas
liq
eq ⋅
⋅
= 
 
e obtemos da equação acima: 
 
( )
eqgasgas yycVakn −⋅⋅⋅⋅=� . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
174 
Caso eqyy = , a troca de matéria cessa, a taxa de transferência de massa se torna nula. 
Experimentalmente constatamos a seguintes dependência de )(xfyeq = : 
 
Observação: essa reta de Henry corresponde à hipérbole que achamos para o equilíbrio das 
fases na coluna de retificação (ver Fig. 58 na p. 140). 
 
5.10.3 Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua 
Neste lugar seja apresentada apenas a discussão da parte de absorção, por ser a parte 
tecnicamente mais interessante do aparelho. Na Fig. 77 se encontram todos os símbolos para 
os fluxos de matéria, suas frações molares e a zona onde aplicarmos o balanceamento 
(compare com o balanço da coluna de retificação, Fig. 65 na p. 150). 
 
Fig. 77. Esquema de uma coluna de absorção com troca de matéria contínuo. 
 
Balanço total na zona indicada no esboço acima: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
175 
( ) ( ) 000 =−⋅+−⋅ yynxxn yx �� . 
 
Introdução da relação de lavagem, v: 
 
y
x
n
n
v
�
�
−= 
 
e obtemos a equação para a reta do balanço: 
 
00 xvyxvy ⋅−+⋅= . 
 
 
Balanço diferencial no esboço acima: 
Para o balanço diferencial olhamos num segmento em alguma altura da coluna, conforme o 
esboço a seguir. 
 
 
Fig. 78. Segmento da coluna de absorção. 
 
Podemos formular o balanço da fase gasosa na seguinte forma (lembre-se que as partes de i 
que se perdem nesta fase, são transportadas para outro segmento): 
 
V
n
Q
yn
dz
d iy ��
−=




 ⋅
. 
 
Escrevemos 
 
gasgas
gasgasy
cwQ
cV
Q
n
⋅=
⋅
=
��
 (wgas = velocidade do tubo vazio). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
176 
 
e sabemos da página anterior que 
 
( )eqgasgasi yycakV
n
−⋅⋅⋅=
�
. 
 
Inserindo no balanço diferencial obtemos: 
 
( )eqgasgasgasgas yycakdz
dy
cw −⋅⋅⋅−=⋅⋅ . 
 
Separação das variáveis e integração fornece para a coluna inteira da altura L: 
 








−
−
⋅
= ∫
Ly
y eqgas
gas
yy
dy
ka
w
L
0
. 
 
Neste ponto introduzimos as seguintes definições bastante usadas para este tipo de colunas: 
 
gas
gas
ka
w
HTU
⋅
= "Height of a Transfer Unit" 
 = altura teórica de uma unidade de transferência. 
 
∫
−
=
0y
y eqL
yy
dyNTU "Number of Transfer Units" 
 = Número de unidades de transferência ao longo da coluna. 
 
Daí a equação que permite o dimensionamento da coluna toma uma forma especialmente 
simples: 
 
NTUHTUL ⋅= . 
 
Com essa equação podemos calcular o comprimento da coluna, necessário para alcançar certo 
efeito de lavagem, ( )Lyy −0 , exigido pela fábrica. Em caso geral o comprimento da coluna é 
a grandeza-alvo do balanceamento. Note que esta relação é bem universal e vale para todas as 
curvas de equilíbrio. Quer dizer, ela não se restringe à reta de Henry, mas pode ser aplicada 
também a outros tipos de colunas e separações térmicas, por exemplo, à retificação. Sendo 
assim, o dito aqui se entende como complementação para o cap. 5.5. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
177 
O valor de HTU pode ser diretamente calculado, através de: 
 








⋅
+=
Lgas
gas
Hea
w
HTU ββ
11
. 
 
No caso de colunas com corpos de recheio irregulares, usadas para lavagens líquido/gasoso, 
podemos contar com valores de 0,1 < HTU < 0,5 m. 
 
5.10.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) 
Antes da solução da integral do NTU, temos que exprimir o termo yeq = f(x) como yeq = f´(y). 
A partir de 
 
x
Hec
c
xy
gas
liq
eq ⋅
⋅
=)( 
 
e a equação para a reta de equilíbrio, 
 
0
0 x
v
yy
x +
−
= , 
 
obtemos a concentração de equilíbrio, yeq, em termos da concentração atual y do componente 
de transferência na fase gasosa: 
 
( )00)( yyHecv
c
x
Hec
c
yy
gas
liq
gas
liq
eq −
⋅⋅
+⋅
⋅
= . 
 
Agora será possível resolver a integral de maneira fechada: 
 
∫
−
=
0
)(
y
y eqL
yyy
dyNTU . 
 
O cálculo é demorado, portanto anotamos aqui apenas o resultado: 
 
LL
L
y
y
yy
yyNTU
∆
∆
⋅
∆−∆
−
=
0
0
0 ln , onde eqyyy −=∆ . 
A. Isenmann Operações Unitárias 
178 
 
Essa relação fornece o NTU na validez de uma distribuição uniforme do componente de 
transferência. 
Vamos tentar entender esse resultado bastante abstrato. Em analogia à média logarítmica da 
temperatura que é definida como 
 
L
L
T
T
TT
T
∆
∆
∆−∆
=∆
0
0
ln
ln
, 
 
identificamos na equação acima uma média nas concentrações, no sentido: 
 
y
y
y
yy
L
L
ln
0
0
ln
∆≡
∆
∆
∆−∆
. 
 
A equação de cima se simplifica com essa maneira de escrever: 
 
equilíbrio de médio Efeito
global lavagem de Efeito
y
yyNTU L =
∆
−
=
ln
0
. 
 
Interpretamos o NTU como efeito de lavagem total, em relação à média do efeito do 
equilíbrio. Sob a "média do efeito do equilíbrio" entendemos o efeito de separação que se 
alcance em um prato teórico da coluna. Portanto, o NTU tem formalmente o significado do 
número de pratos teórico, nteor, definido na p. 154. 
A representação gráfica Fig. 79 deixa o significado do NTU mais claro. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
179 
Fig. 79. Diagramas de equilíbrio, para elucidar (a) as etapas separativas dentro da 
coluna de absorção, (b) a relação mínima das fases que participam na lavagem, vmin. 
 
Um caso especial temos quando a reta de balanço anda paralelamente à reta de equilíbrio. 
Neste caso vale: 
 
NTUnteor = . 
 
Além disso, podemos afirmar para este caso: 
 
HEPT
n
LHTU
teor
== (ver definições destas siglas na p. 176). 
 
A inclinação da reta de balanço é determinada pela relação das fases durante a lavagem, v. 
Quando escolhemos uma relação das fases de maneira que a reta de balanço corta a reta de 
equilíbrio no ponto C, ainda conseguimos resolver a tarefa de lavagem, porém precisaríamos 
um número infinito de estágios separativos. Portanto, esta relação das fases de lavagem é 
chamada de relação mínima, vmin (ν foi definido na p. 174 como relação de lavagem). Seu 
valor pode ser determinado a partir da inclinação da reta CB . Na prática aplica-se, na maioria 
dos casos, uma relação de lavagem de 
 
minmin 6,13,1 vvv ≤≤ . 
 
O ponto de partida do dimensionamento de colunas de absorção são os dados de: 
� kgas, coeficiente de transferência do componente i na fase gasosa; 
� a , a área específica de contato e 
� wgas, a velocidade do gás no tubo vazio, 
a partir dos quais o engenheiro determina a HTU, para um determinado fluxo de gás. Os 
parâmetros-alvos y0 e yL, além de xL (que vem da coluna regeneradora),na maioria das vezes, 
são determinadas pela fábrica. Portanto, deve-se calcular o valor de x0, usando a equação do 
balanço total. Finalmente, temos que achar o certo comprimento L da coluna e a relação das 
fases que participam na lavagem. 
Para a relação das fases vale a regra: 
v grande → coluna curta 
v pequeno → coluna comprida. 
 
Como sempre, a indústria tem que avaliar os custos totais do processo, que se compõe dos 
custos de investimento para o aparelho e os custos operacionais - além do fator tempo. O 
gráfico Fig. 71 na p. 158, ilustra essas considerações econômicas. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
180 
Na prática usam-se aparelhos onde o contato entre as fases, quer dizer, entre o gás impuro e o 
solvente de lavagem, é mais intenso possível. Isso pode ser alcançado por três maneiras: 
1. Gás e solvente, ambos formam fases contínuas e separadas que devem entrar em 
contato. Certamente, este princípio estabelece a menor área de contato a das três 
possibilidades. 
2. O gás é dispergido dentro de um tanque de solvente. O solvente, neste caso, representa 
a fase contínua. 
3. O solvente é nebulizado e entra em contato com o corrente do gás. Neste caso, o gás 
representa a fase contínua. 
Uma escolha das torres de absorção mais comuns é dada na seguinte figura. 
Os critérios para instalar um ou outro tipo de coluna depende de vários fatores: 
� do tempo de lavagem. Gerar bolhas finas de gás e gotículas do solvente requerem mais 
tempo, em relação ao volume, do que os fluxos na coluna recheada) 
� da solubilidade do gás no solvente. Onde há alta solubilidade e rapidez da solução do 
gás no líquido, oferece-se o processo da nebulização do líquido; por outro lado, com 
má solubilidade do gás deve-se aumentar o volume do líquido, daí seria a coluna com 
bolhas de gás a melhor escolha), 
� da volatilidade e viscosidade do solvente. A coluna de nebulização não se aplica em 
casos de solventes altamente voláteis, porque a evaporação do mesmo impede o 
processo de lavagem. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
181 
A. Isenmann Operações Unitárias 
182 
 
Fig. 80. As torres de absorção mais usados. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
183 
5.11 Outras operações unitárias térmicas 
Neste capítulo sejam brevemente apresentados os demais métodos térmicos que se usa na 
separação e purificação de produtos industriais. 
5.11.1 Adsorção (= secagem) 
Os métodos de adsorção se aplicam somente em casos onde um grande volume de produto 
não adsorvível contém pequenas quantidades de uma impureza que pode ser adsorvida. Essas 
impurezas podem ser gases ou líquidos. Novamente, temos que exigir ao material adsorvente 
que sua regeneração seja fácil, econômica e isenta de perigos para operador e ambiente. 
Exemplos técnicos da aplicação de etapas de adsorção: 
1. Isolamento do benzeno, a partir dos gases da coqueria. 
2. Separação dos hidrocrbonetos de massas maiores, a partir do gás natural. 
3. Secagem de gases. 
4. Recuperação de solventes (na pintura profissional, na fabricação de folhas e filmes finos) 
5. Recuperação dos reagentes em sínteses quase completas (produção de tolueno e fenol). 
 
Para os adsorventes oferecem-se materiais sólidos particulados, de grande porosidade e alta 
superfície interna, para garantir uma alta capacidade de acomodar o adsorbato. 
Adsorventes típicos são: 
a) Carvão ativado 
b) Peneiras moleculares (zeólites). 
c) Silicagel. 
 
Para a adsorção em grande escala usa-se quase exclusivamente a "fisissorção", por ser um 
processo que facilmente pode ser invertido. Materiais que entram em contato quimicamente 
mais intenso com o adsorbato ("quimissorção"), por outro lado, são de regeneração mais 
difícil. 
Fundamentos dos processos industriais de adsorção 
Típico para a fisissorção de um gás a um adsorvente sólido é o estabelecimento do equilíbrio 
adsorção-dessorção, dentro do tempo de saturação. Esse equilíbrio pode ser facilmente 
deslocado em uma ou outra direção. A Fig. 81 mostra as quantidades de gás que podem ser 
adsorvidas sob condições isotérmicas. O parâmetro mais influente é a pressão parcial com que 
se aplica o gás a ser adsorvido. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
184 
 
Fig. 81. Isoterma de adsorção ideal (camada monomolecular; modelo de Langmuir; 
____ ) e real (multicamadas; modelo de Freundlich; -------). 
 
O comportamento ideal foi derivado por Langmuir, a partir de considerações cinéticas. Para a 
ocupação da superfície do sólido, com uma monocamada de gás ele conseguiu: 
 
pb
pb
nnads
⋅+
⋅
⋅=
∞ 1
. 
 
Nesta, nads é a quantidade de gás adsorvido (mol), n∞ a quantidade de gás ao completar a 
superfície do sólido com uma camada (saturação), p a pressão parcial do gás e b uma 
constante característica que depende do adsorvente, do adsorbato e da temperatura. 
A grandeza de n∞ depende evidentemente da área superficial do adsorvente sólido. Os 
materiais usados têm superfícies internas entre 300 a 1000 m²/g ! Sendo assim, podem ser 
carregados com 10 a 20% do seu peso próprio, com gases adsorvíveis. 
 
Processos de difusão dentro dos poros de um sólido 
Dentro de um sólido, muitas vezes falamos de um catalisador heterogêneo ou um catalisador 
de contato que foi aplicado na superfície internqa de um material extremamente poroso, os 
poros são de tal dimensão que a difusão molecular fica perturbada. Dependendo do grau de 
perturbação, classificamos em difusão normal, difusão de Knudsen ou difusão configurativa. 
 
Difusão normal: 
A difusão normal descreve o processo de transporte dentro de poros que são de uma ordem de 
grandeza maiores do que o caminho livre da própria molécula em movimento. No entanto, em 
comparação à difusão molecular livre, devem ser também considerados as partes adicionais da 
difusão que se devem ao número de canais e o comprimento do labirinto dos canais dentro do 
corpo sólido. Corrigimos, para esta situação, a difusão regular (1a lei de Fick, ver p. !!!) por 
um fator de porosidade, εp, e um fator de labirinto, τp. Daí o coeficiente da difusão fica 
corrigido por: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
185 
 
p
pDD
θ
ε
⋅= 2,12,1 ´ . 
 
εp é a parte da superfície que se deve à área dos bocais dos poros, em relação à área externa do 
grão liso. Por exemplo, no níquel de Raney, por sua vez catalisador de hidrogenações técnicas 
mais utilizado, acha-se um valor de pε = 0,5; em muitos outros materiais que são usados 
como suporte de catalisadores heterogêneos, tais como carvão ativado ou alumina, os valores 
ficam na região de 0,55 < pε < 0,72. 
Pθ
1
 é o fator de labirinto (inglês: tortuosity factor) que leva em conta a complexidade dos 
canais. Muitos canais são extremamente sinuosos e também ramificados. Como a influência 
da estrutura dos poros sobre a velocidade da difusão molecular depende também de tamanho, 
aspecto e mobilidade da partícula em movimento, uma estima confiável de pθ é praticamente 
impossível. Deve então ser determinado por experimento, por exemplo, pelo método 
dinâmico de Wicke-Kallenbach. Para a difusão de hidrogênio dentro de catalisadores feitos de 
suporte poroso mais um metal nobre, acham-se valores do coeficiente de porosidade de 2,5 < 
Pθ < 7,5. Por outro lado, quando carvão ativadoé suspendido em água o fator Pθ pode 
também tomar valores < 1. 
 
Difusão de Knudsen: 
Caso o diâmetro médio dos poros fica menor que o caminho livre das partículas em 
movimento, aumentam drasticamente os impulsos transmitidos à parede do sólido, em vez de 
transferir essa energia ao meio do fluido (= solvente ou outras moléculas reativas). Como já 
mencioando na p. 13, o caminho livre de moléculas de gases fica na média em 100 a 1000 
nm; este caminho, no entanto, é inversamente proporcional à pressão do gás e cai para 10 a 
100 nm, quando aplicado numa pressão de 1 MPa. Portanto, a partir de uma pressão de 5 MPa 
temos que contar com a difusão de Knudsen, em vez da difusão regular, caso a dimensão dos 
poros é < 2 nm. No cálculo do fluxo de matéria gasosa por unidade de tempo, usa-se o 
coeficiente efetivo da difusão de Knudsen, KD 2,1 na forma: 
 
M
RTdD
P
PpK
⋅
⋅
⋅
=
piθ
ε 8
32,1
 
 
A última parte desta expressão já conhecemos na p. 13 como velocidade média da partícula, 
M
RT
u
⋅
≡
pi
8
. 
 
Difusão configurativa: 
Com a situação de o diâmetro médio dos poros seja da mesma dimensão que as partículas em 
movimento, o processo de transporte deve ser descrito pela difusão configurativa. Um 
A. Isenmann Operações Unitárias 
186 
exemplo típico é a migração nos poros de zeólitos (cavidades nestes alumossilicatos, também 
conhecidos como "peneiras moleculares": 4 a 8 Å). Pequenas mudanças na estrutura do 
material sólido ou no tamanho da espécie em movimento podem deslocar o valor da difusão 
configurativa por várias ordens de grandeza. Uma estimativa ab initio confiável deste 
coeficiente de difusão é objeto de pesquisas atuais. 
 
5.11.2 Equipamento de adsorção 
Os processos técnicos de adsorção requerem três etapas: 
a. Adsorção (= carregamento), 
b. Dessorção (= regeneração), geralmente estabelecido por aquecimento e lavagem, 
c. Secagem e resfriamento. 
 
A adsorção é um processo exotérmico e a dessorção é endotérmica. Para a última significa 
que temos que forçar em forma de energia externa para que ocorra a regeneração do 
adsorvente carregado. Portanto, aparelhos de adsorção sempre são equipados com um sistema 
de aquecimento e resfriamento, conforme ilustrado na Fig. 82. 
 
Fig. 82. Esquema de uma coluna de adsorção 
 
Para levar a etapa da adsorção a um grau elevado, é necessário trabalhar a temperaturas mais 
baixas possíveis. Uma vez o adsorvente está carregado, o sistema de refrigeração é mudado 
para aquecimento ou, sendo uma alternativa, é conduzido vapor quente através da coluna de 
adsorção. Para estabelecer um funcionamento contínuo é preciso trabalhar com duas (ou mais) 
colunas paralelas, das quais uma está em fase de regeneração enquanto a outra está sendo 
carregada. Neste ponto o processo de lavagem de gases com líquidos tem uma clara vantagem 
(ver último parâgrafo). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
187 
Uma grandeza importante para o bom funcionamento de colunas de adsorção é o tempo de 
saturação, τS que pode ser calculado a partir da quantidade de gás carregado, nads, e o fluxo 
molar deste gás através da coluna, gn� : 
 
g
ads
S
n
n
�
=τ . 
 
O valor de nads, por sua vez, é acessível através da quantidade do recheio poroso e a pressão 
parcial do gás a ser adsorvido, usando a fórmula de Langmuir. 
 
5.11.3 Secagem 
A secagem de material sólido mostra certas semelhanças à regeneração de colunas de 
adsorção, discutidas logo acima. Existem secadores descontínuos e contínuos, enquanto para 
quantidades menores se oferecem mais os equipamentos descontínuos. 
a) Secagem descontínua 
A carga é estendida e espalhada em cima de tabuleiros e submetida a um vento seco e morno. 
Este tipo de secagem leva geralmente algumas horas até chegar ao resultado exigido. 
Exemplo na Fig. 83: secador de câmara. 
b) Secagem contínua 
Ao se ter grande quantidade de material sólido a ser secado, é melhor usar secadores 
automáticos ou contínuos. Estes aparelhos são mais caros, mas podem ser operados a custos 
menores, além de ser mais rápidos do que os equipamentos descontínuos. Na Fig. 83 são 
indicados os secadores de esteira e de tambor rotativo. Em ambos os casos o ar seco e morno 
é conduzido em contracorrente à carga. No caso do secador a tambor, a carga úmida entra na 
parte superior do tambor, enquanto o gás de secagem entra do lado de baixo. Caso o material 
a ser secado aguente calor, podem ser usados diretamente os gases de escapamento da 
combustão completa, em vez de ar. A construção destes secadores é semelhante ao forno da 
indústria cimenteira. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
188 
 
Fig. 83. Secadores: o primeiro modelo é de operação descontínua, os outros contínuos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
189 
O andamento da secagem depende principalmente da forma com que o solvente (na maioria 
das vezes água) é ligado ao material particulado a ser secado. Podemos distinguir três fases 
durante o processo de secagem: 
1) Evaporação da água da superfície. Essa parte da água é volatilizada (= transformação 
em vapor d´água sem ebulição) e arrastado pelo ar quente que entra diretamente em 
contato. A temperatura do ar determina a velocidade desta etapa. 
2) Transporte da água nas capilares até a superfície das partículas. Além da superfície a 
água pode ser retida dentro dos poros e capilares do material mal cristalizado. Devido 
às pequenas dimensões dos espaçamentos, esse transporte ocorre por difusão. 
3) Dessorção da água: para arrancar a água retida na última camada da superfície do 
objeto sólido, é necessário gastar energia de dessorção, conforme ilustrado no capítulo 
anterior. 
5.11.4 Extração 
Seja aqui tratada a extração mais comum, usando duas fases líquidas, também conhecida 
como extração de solvente. Trata-se da separação de um (ou mais) componente(s) a partir de 
uma mistura líquida, usando um solvente que tem predileção de dissolver o composto que 
pretendemos isolar. A extração, no laboratório frequentemente feito no funil de separação, 
quando aplicado em escala maior é um processo bastante caro. Somente é usado em casos 
onde a destilação ou retificação não são viáveis, devido à sensibilidade térmica dos 
componentes ou por causa de uma forma desvantajosa da curva de equilíbrio do sistema 
binário (ver, por exemplo, Fig. 75, na p. 162). Também se aplica onde deve ser separado, a 
parir de uma mistura multicomponente, um grupo de compostos que tenham diferentes pontos 
de ebulição, mas aproximadamente as mesmas polaridades, como é o caso na mistura BTX 
(Benzeno, Tolueno, Xilenos), a partir do óleo mineral. 
Exemplos para extrações com solventes 
� Separação de grupos de componentes: os aromáticos mais polares podem ser 
extraídos, a partir de parafinas e/ou óleo cru. Os meios adequados para essa extração 
são sulfolana, dietilenoglicol e dimetilsulfóxido. 
� Separação de substâncias sem estabilidade térmica, por exemplo extratos naturais, 
antibiótica (penicelina/acetato de amila) 
� Isolamento da caprolactama (na produção de Nylon 6). 
� Separação de impurezas presentes em pequenas quantidades: águas industriais 
servidas podem ser liberadas de fenol, por lavagem com pouco solvente orgânico. 
Outro exemplo é a extração de restos de ácido acético, na produção de acetato de 
celulose. 
 
Princípio da operação de extração 
Enquanto na destilação/retificação aproveitamos das diferentes volatilidades dos componentes(então diferentes composições das fases, líquida e gasosa), o processo da extração tem como 
fundamento a solubilidade específica de certo componente da mistura, em um solvente 
adequado. A mistura primária líquida (fase liberadora = solvente R + substância a ser 
extraída, E) entra em contato intenso com um solvente secundário (fase receptora, L). Daí a 
substância E sai da fase de R, então chamada de fase refinada, e entra na fase receptora, então 
chamada de fase do extrato. O seguinte esquema coloca as expressões utilizadas em relação. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
190 
 
 
Ao contrário da retificação, obtemos em primeira instância somente outra mistura, a dizer 
solvente receptor L + substância extraída E. O isolamento de E requer então mais etapas 
operacionais, entre as quais a destilação é a mais usada. 
Em analogia à retificação, a extração trabalha também em contracorrente. Assim, o efeito 
elementar de separação se multiplica. 
Lei de distribuição (Nernst) 
A base fisico-químca da extração é a "lei de distribuição de Nernst" que descreve a 
distribuição de E em cima das fases distintas de L e R. Essa lei vale rigorosamente, quando os 
dois líquidos L e R não sejam solúveis um no outro (aproximadamente dado no sistema 
água/benzeno, a frio) e desde que se trate apenas de soluções diluídas de E. 
 
xNy ⋅= Nernst (1891) 
 
x = fração molar de E na fase liberadora R; 
y = fração molar de E na fase receptora L. 
 
Em palavras: em caso de equilíbrio, o quociente das concentrações de uma substância E 
estabelecidas em dois solventes R e L, é constante, ao manter a temperatura constante. 
Ressaltamos que a lei de Nernst somente vale quando a substância E se dissolva sob a mesma 
forma molecular, em ambas as fases. Famosa exceção são os ácidos orgânicos do tipo R-
COOH nos quais esta lei não se aplica, porque estas substâncias formam pares estáveis de 
dimeros em solventes orgânicos, enquanto se dissolvem monomolecular em água. 
Favoráveis para o processo da extração são então pares de solventes onde o valor da constante 
de distribuição N é alto. 
Em casos de concentrações elevadas de E e/ou solubilidade parcial de R e L, essa lei deve ser 
ampliada por parâmetros corretivos (não será tratado aqui). 
O critério principal para o sucesso da extração é o rendimento A em substância E: 
 
R radeliberado fase da dentro tempo, por E de Quantidade
L receptora fase da dentro tempo, por E de QuantidadeA Rendimento = 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
191 
O cálculo de A (não apresentado) revela que o rendimento em E depende do valor da 
constante de distribuição N e também da relação dos volumes de R e L aplicados no processo. 
Esse último fator é chamado de "relação de lavagem", v: 
 
R
L
n
n
v
�
�
= , 
 
e o produto de N e v é conhecido como fator de extração, B: 
 






⋅=
R
L
n
nNB
�
�
. 
 
Em uma extração simples (isto é, um prato teórico) o rendimento se dá como: 
 
B
BA
+
=
11
. 
 
No caso de uma coluna de contracorrente, onde se estabelecem n pratos teóricos: 
 
1
1
1
−
−
⋅=
+n
n
n B
BBA . 
 
Ao utilizar a integral da NTU, o rendimento da coluna de extração contínua pode ser escrito 
como: 
 
1
1
)1(
)1(
−⋅
−
⋅=
−
−
NTUB
NTUB
NTU
eB
eBA . 
 
Em vez do cálculo, o rendimento da extração pode ser elucidado também por meio do gráfico, 
representando uma coluna com n pratos teóricos (Fig. 84). Este gráfico contém a relação de 
Nernst em forma da reta de equilíbrio e a relação de lavagem, 
R
L
n
n
v
�
�
= , em forma da reta de 
balanço. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
192 
 
 (a) (b) 
Fig. 84. (a) Determinação do número de estágios teóricos de separação na extração 
em contracorrente, alta diluição; (b) Diagrama de equilíbrio, aplicando a relação de 
lavagem mínima, vmin. 
 
(Observação: por coincidência têm-se os mesmos símbolos, n, para a variável que indica o 
número de mols da substância extraída, e n como índice e expoente onde representa o número 
de pratos.) 
A inclinação da reta de balanço se dá da relação de lavagem, v. O número de pratos teóricos 
se revela do número de degraus, da escada construída entre as duas retas (Fig. 84 a). 
Para uma dada tarefa de extração v não deve cair debaixo de um valor vmin. Conseguimos esse 
valor limite, da inclinação da reta de balanço que corta a reta de equilíbrio no ponto (x0, y0). 
Com essa relação de lavagem mínima seriam necessários inúmeros pratos, para alcançar o 
grau de extração exigido pela fábrica. Isso implica também que o tempo necessário para esta 
extração será infinito (Fig. 84 b). Para se tornar economicamente viável, v deve ser maior que 
vmin . Como pratos adicionais de extração custam caros, na prática tenta-se operar com colunas 
de n ≈ 10 pratos teóricos. 
Eficiência da extração em termos de número de pratos 
O que é sempre de interesse prático é a questão da quantidade da substância E que permanece 
na fase L, após n etapas de extração, usando-se os volumes VL e VR em cada etapa. 
 
( ) n
R
L
L
n
L
nL
V
V
nn
n






+
=
+
=
1
1
0,0,
,
ν
. 
 
Essa relação tem grande importância na prática do laboratório, também. Um exemplo simples 
deve ilustrar os efeitos que têm um aumento do volume da fase extratora por um lado e um 
aumento das etapas extrativas, por outro lado. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
193 
1 mol da substância E se distribua em um litro de líquido mais leve (fase R) e um litro de 
líquido mais pesado (fase L), na relação 9 : 1 (N = 9). No equilíbrio temos então as 
concentrações 0,9 mol.L-1 na fase superior e 0,1 mol.L-1 na fase inferior. Quando aumentamos 
o volume da fase superior para 2 L, a relação entre as concentrações deve ficar inalterada, 
conforme a lei de Nernst. A concentração na fase inferior diminui por x mol.L-1, enquanto na 
fase superior a concentração de agora 0,9 : 2 = 0,45 mol.L-1 aumenta por x/2. 
Obtemos: 
 
1
9
1,0
2
45,0
=
−
+
x
x
 ⇒ x = 0,0474 mol.L-1. 
 
Na fase inferior têm-se agora 0,0526 mol.L-1 e na fase superior 0,0474 mol.L-1. 
Obviamente, é mais favorável fazer duas extrações consecutivas com 1 L da fase superior, em 
vez de duplicar o volume em etapa única. Sendo assim, na primeira extração se consegue 
remover 0,9 mol de E da fase inferior. Já na segunda etapa de extração é transferido 0,09 mol 
de E para a fase superior. Embora usamos o mesmo volume de solvente extrator, a 
concentração nL se abaixou a 0,01 mol.L-1, enquanto no primeiro caso ficaram 0,0526 mol.L-
1
. 
Sendo assim, é vantajoso executar várias etapas com volumes pequenos, do que poucas etapas 
com volumes grandes. 
 
Execução técnica da extração 
Na maioria dos problemas práticos, a carga na fase L é dada. Exigidos são, ou um 
refinamento mínimo da fase L, ou uma extração mais completa possível para a fase R. Isso 
deve ser realizado em um aparelho mais simples possível, com o mínimo de solvente R. 
Como o valor da constante N é apenas razoavelmente grande, quase nunca obtemos o 
resultado desejado com apenas um estágio extrativo. 
O método mais aplicado hoje é a extração contínua em contracorrente. As colunas são 
equipadas com corpos de recheio irregulares,com pratos de diferentes construções (furos 
finos, etc.). Sendo uma alternativa às colunas, pode-se executar a extração em uma série de 
bateladas, onde após cada batelada de mistura segue uma batelada de descanso. Lá, as fases 
separam-se devido às densidades diferentes e podem ser decantadas para a próxima batelada 
de mistura intensa. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
194 
 
Fig. 85. Aparelhos de extração (a: interface) 
 
5.11.5 Cristalização 
Com o processo térmico da cristalização se conseguem purezas excelentes. Isto se deve ao 
fato que, para a maioria dos sistemas multicomponentes existe incompatibilidade completa 
em fase sólida. Portanto, na maioria das tarefas de separação uma etapa de cristalização será 
necessária, para alcançar a pureza exigida em componente cristalina. A cristalização prática 
torna-se complicada onde o tempo prolongado de cristalização leva à implementação de 
impurezas nos cristais; também é difícil em casos onde um filme de solvente fica grudado 
firmemente na superfície dos cristais. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
195 
Ponto de partida para uma cristalização é uma solução supersaturada. Esse estado podemos 
alcançar ao evaporar solvente sobressalente ou, como as condições da maioria das soluções 
melhoram junto à temperatura, por um resfriamento da solução saturada. Em vez de 
estabelecer um alto grau de supersaturação, mostrou-se mais vantajoso para o processo de 
cristalização de operar: 
� Com supersaturações apenas moderadas, 
� Sob agitação lenta e contínua, 
� Com adição de cristalitos de nucleação. 
Sob essas promessas se conseguem cristais de tamanho certo (não muito grandes nem 
pequenos) e uniformes. 
O campo mais amplo da cristalização é a produção de sais, a partir dos seus sóis (impuros). 
Quase todas as substâncias inorgânicas e muitos produtos orgânicos, formam cristais que 
podem ser isolados com pureza elevada a partir das suas soluções. 
Os aparelhos de cristalização usados na indústria são mais diversos. Muitos destes têm 
agitação, resfriamento e zonas de sedimentação (n) onde os cristais se depositam e 
desenvolvem até o tamanho desejado. Existem modelos contínuos e descontínuos. Outros 
cristalizadores funcionam sob vácuo e estabelecem a evaporação do solvente a temperaturas 
somente pouco elevadas. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
196 
 
 
Fig. 86. Cristalizadores (a: admissão solvente; b: descarregamento dos cristais) 
 
Na cristalização identificamos dois estágios: 
1. a formação dos núcleos de cristais (também chamados de germes) e 
2. o crescimento dos núcleos. 
Já podemos afirmar que até hoje não existe uma teoria consistente que permite um cálculo ab 
inicio da cristalização. Ainda valem as considerações pioneiras de Tammann 15 que derivou as 
cinéticas para estes dois estágios. 
De suma relevância para o crescimento dos cristais são o coeficiente de transferência mássica, 
β, e a constante de velocidade do crescimento, kg, na superfície do cristalito. 
Com boa aproximação podemos descrever a velocidade da cristalização por: 
 
( )sat
g
g
i ccFk
k
n −⋅⋅
+
⋅
= β
β
� . 
 
 
15
 Tammann, Z. Phys. Chem. B 25 (1898) 441. Descrição da teoria da cristalização, ver 
http://en.wikipedia.org/wiki/Nucleation. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
197 
Pelas dificuldades teóricas mencionadas, cada etapa de cristalização industrial deve ser 
desenvolvida através de um scale-up cauteloso a parir da escala de laboratório. 
 
5.11.6 Técnicas com membranas 
Na preparação de água potável, na indústria química e também na medicina ("rim artificial") 
são aplicados cada vez mais métodos usando membranas seletivas. A natureza química das 
membranas seletivas é um dos campos principais da pesquisa aplicada industrial. 
Ao se usar membranas com poros entre 0,1 e 10 µm de diâmetro, a permeabilidade se deve ao 
mesmo efeito que conhecemos da peneira. Partículas menores podem passar pela malha, 
enquanto as partículas coloidais ou em suspensão ficam retidas na membrana. 
Em membranas sem poros a permeabilidade para certas substâncias se deve à solubilidade 
diferenciada frente certas substâncias de baixa molecularidade. Afinal, estas substâncias 
passam a membrana via difusão, porque os canais são tão estreitos. Em membrans trocadoras 
de íons, por exemplo, é menos importante a natureza dos íons, do que a sua carga. Exemplos 
de técnicas com membranas bem estabelecidas se encontram na próxima tabela. 
 
Tab. 20. Processos com membrana de importância técnica 
Processo Força propulsora 
para o transporte 
Tipo de 
membrana usada 
Mecanismo de 
separação 
Aplicações 
Microfiltração Pressão hidrostática 
de 50 a 500 kPa 
Simétrica com 
poros de 0,1 a 20 
µm 
Peneira Separação de 
sólidos suspendidos 
Ultrafiltração Pressão hidrostática 
de 100 a 1000 kPa 
Assimétrica com 
poros de 0,1 a 20 
µm 
Peneira Concentração, 
fracionamento e 
purificação de 
macromoléculas em 
solução 
Osmose reversa Pressão hidrostática 
de 1000 a 10.000 
kPa 
Polímero 
homogêneo, com 
solubilidade 
assimétrica 
Solubilidade e 
difusão na matriz 
homogênea do 
polímero 
Concentração de 
solutos de baixa 
molecularidade 
Diálise Diferença na 
concentração 
Simétrica com 
poros 
Difusão isenta de 
convecção (na 
proximidade da 
membrana). 
Separação de 
pequenas 
moléculas, de 
soluções ou 
suspensões de 
polímeros. 
Eletrodiálise Diferença no 
potencial elétrico 
Trocadora de íons Cargas diferentes 
dos compostos 
solutos 
Tirar sais e ácidos 
de soluções de 
neutras e de baixa 
molecularidade. 
Separação de 
gases 
Pressão hidrostática 
de 1000 a 150.000 
kPa 
Polímero 
homogêneo, com 
solubilidade 
assimétrica 
Solubilidade e 
difusão na matriz 
homogênea do 
polímero 
Separação de gases 
e vapores. 
Pervaporação Diferença na 
pressão parcial de 0 
a 100 kPa 
Polímero 
homogêneo, com 
solubilidade 
assimétrica 
Solubilidade e 
difusão na matriz 
homogênea do 
polímero 
Isolamento de 
solventes e misturas 
azeotrópicas 
A. Isenmann Operações Unitárias 
198 
Destilação a 
membrana 
Diferença na 
pressão parcial de 0 
a 100 kPa 
Simétrica, 
hidrofóbica, 
microporosa. 
Diferenças nas 
pressões de vapor. 
Dessalinização de 
água; concentração 
de soluções. 
 
Para serem utilizadas nestas técnicas, as membranas finíssimas são colocados em cima de 
suportes porosos. Esses arranjos são empilhados formando "módulos de membrana", onde a 
meta é alcançar máxima superfície em relação ao volume. Somente assim podemos chegar em 
fluxos tecnicamente viáveis. Alguns destes módulos são representados na Fig. 87. 
 
Fig. 87. Módulos de membranas, suas propriedades e aplicações 
Tipo de módulo Área da 
membrana 
por volume 
(m²/m³) 
Custos Controle da 
polarização 
de 
concentração 
Aplicações 
 
20 - 30 muito 
altos 
muito bom Filtração 
perpendicular 
de soluções 
com alta carga 
de sólidos 
 
400 - 600 altos moderado Filtração, 
pervaporação, 
separação de 
gases, osmose 
reversa. 
 
800 - 1000 baixos fraco Ultrafiltração, 
osmose 
reversa, 
pervaporação, 
separação de 
gases. 
 
600 - 1200 baixos bom Ultrafiltração,pervaporação, 
membranas 
líquidas. 
 
O que acontece nas proximidades da membrana dentro destes módulos é esquematizado a 
seguir. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
199 
 
Fig. 88. Esquema de um estágio separativo por meio de uma membrana. 
 
O cálculo da separação por membranas que funcionam conforme esboçado na Fig. 88, será 
feito para uma mistura binária onde os componentes tenham velocidades de permeação 
diferentes. Usaremos os símbolos x, y e xF, para denominar as frações molares do componente 
mais móvel (= componente 1). 
Para sua separação o fluxo de admissão (Feed; Fn� , xF) é dividido em uma fração de 
permeação ( Pn� , y) e uma fração restante que não passa pela membrana ( Rn� , x). O balanço 
total sobre um estágio de membrana é 
 
( ) xnynxnn RPFRP ⋅+⋅=⋅+ ���� . 
 
Introduzimos a relação de partição, com 
P
R
n
n
v
�
�
= . Daí, esse balanço fornece, em toda analogia 
aos demais processos de separação, a reta de balanço na forma: 
 
( ) Fxvxvy ⋅++⋅−= 1 . 
 
O balanço dos fluxos que passam pela membrana, Pn ,1� e Pn ,2� , resolvido para o componente 
de permeação mais fácil: 
 
( )PPP nnyn ,2,1,1 ��� +⋅= . 
 
Para a relação entre os dois fluxos separados se dá: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
200 
y
y
n
n
P
P
−
=
1
,2
,1
�
�
. 
 
A permeação é um processo de separação que se baseia em efeitos dinâmicos. Com o balanço 
do transporte da permeação obtemos uma relação entre x e y que pode ser entendida como 
relação de equilíbrio, como também nos demais processos de separação térmica já discutidos. 
Os fluxos com que os componentes 1 e 2 passam pela membrana dependem de três fatores: 
1. das suas solubilidades dentro da membrana, L1 e L2 
2. dos seus coeficientes de difusão, D1 e D2 
3. das diferenças em pressão parcial em ambos os lados da membrana, ∆p1 e ∆p2. 
 
Para os fluxos dos dois componentes recebemos: 
 
s
p
DLFn iiiPi
∆
⋅⋅⋅=
,
� , i = 1, 2. 
 
Nesta, F é a área e s a espessura de parede da membrana. Procuramos o contexto desta forma 
da lei de Fick, com a pressão total p do permeato, da diferença da pressão total ∆p e das 
frações molares x e y. 
 
)1()1()(
)(
22
11
,2
,1
ypxpp
ypxpp
DL
DL
n
n
P
P
−⋅−−⋅∆+
⋅−⋅∆+
⋅
⋅
⋅
=
�
�
. 
 
O fator 
22
11
DL
DL
⋅
⋅
 batizamos de "permeasseletividade α". Inserimos essa relação dos fluxos, na 
equação de balanço que achamos acima (da vista do componente de permeação mais fácil), 
obtemos uma relação entre x e y que vale para tais processos de separação dinâmicos: 
 
pyppx
pyppx
y
y
⋅−∆+⋅
⋅−−∆+−
−
= )(
)1())(1(
1
α . 
 
A determinação do efeito de separação é através do gráfico desta curva, conforme mostrado 
na Fig. 89. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
201 
 
Fig. 89. Determinação gráfica do efeito separativo de um estágio com membrana. 
 
Um exemplo cada vez mais atual para modernos filtros de membrana é a dessalinização de 
água marinha que é considerada a melhor opção para abastecer a Califórnia e outras regiões 
litorâneas secas, a longo prazo, com água potável. O princípio de funcionamento da 
membrana é a osmose reversa (= migração osmótica dos sais onde os sentido natural é 
invertido por aplicação de alta pressão) e representa no momento a técnica mais econômica, 
para retiradas de 10 a 100 gramas de NaCl a cada litro de água. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
202 
 
Fig. 90. Custos de processo de diferentes dessalinizações, em função do teor em sal na 
água crua. 
 
6 Representações das operações unitárias 
Uma planta química é projetada e notificada em mapas e fluxogramas, com diferentes 
detalhes e objetivos: 
6.1.1 Diagrama de operações básicos 
O diagrama de operações básicos é feito por blocos e formas geométricas bastante abstratas e 
simples. Tem por objetivo fornecer uma vista geral da produção como toda. As poucas formas 
representam as principais unidades funcionais da fábrica. Elas são conectadas por linhas que 
mostram o fluxo de matéria principal, desde a matéria prima até o produto acabado da 
unidade. 
Seja um exemplo a planta de produção de estireno a partir de etilbenzeno: 
 
Etilbenzeno Reator Separação 
Estireno 
Produtos 
paralelos 
A. Isenmann Operações Unitárias 
203 
As informações são reduzidas ao mínimo, o que deve facilitar o entendimento do princípio da 
produção. Não se mostra como as partes mostradas são realizadas na fábrica. Neste exemplo 
reconhecemos que a reação requer uma etapa de purificação - o que é o caso geral em todos 
os processos industriais. O fluxo principal das matérias pode ser destacado através das letras 
usadas ou da grossura das linhas. Importante é saber que parte do etilbenzeno não reage e 
deve ser reinjetado ao reator. Também é necessário saber que nesta produção pode-se contar 
com produtos paralelos (em menores quantidades), o que exclui a produção de um coproduto 
em maiores quantidades. 
 
6.1.2 Diagrama de fluxo de processo 
Já o diagrama de fluxo de processo ou simplesmente fluxograma (inglês: Process Flow 
Diagram, PFD; também: flowsheet), fornece informações concretas sobre o funcionamento 
das unidades da linha de produção. Os aparelhos são representados por símbolos unificados e 
definidos na norma DIN 30600 e ISO 10628 (também: ISO 14617). Em livros didáticos e 
textos de relevância geral os fluxogramas são as mais comumente usadados diagramas. Além 
dos aparelhos são indicados todos os fluxos de materiais, substâncias, misturas, subprodutos e 
efluentes de uma planta química. Para ficar no mesmo exemplo, a Fig. 91 mostra o 
fluxograma da síntese do estireno, a partir de etilbenzeno. 
A interpretação da Fig. 91 deixa claro o quanto em informação esse esquem tem a mais do 
que o diagrama em blocos na p. 202. 
O etilbenzeno e a água são evaporados nos trocadores a e b usando vapor de alta pressão. 
Essa mistura aquecida é conduzida ao reator tubular que trabalha a 600 °C. Neste, a água 
gasosa serve tanto como portador do calor quanto como meio de diluição. A mistura reagida é 
refrigerada com o trocador d usando água de refrigeração AR e levada ao separador das fases 
e. NEste equipamento já são liberados os produztos gasosos da reação. A fase aquosa é 
reinjetada no vaporizador b. A fase orgânica líquida g corresponde à admissão no bloco 
"Separação", do esquema da p. 202. 
A parte da "Separação" consiste de três colunas: 
Na coluna 1 se obtém o estireno cru (i) no fundo que é purificado a seguir na coluna 3 para 
estireno final. A cabeça da coluna 1 contém em maior parte etilbenzeno que não reagiu. Após 
a separação de produtos paralelos de menor ponto de ebulição, o etilbenzeno purificado é 
tirado do fundo da coluna 2 (j) e reinjetado no aquecedor a. 
Mas ainda existem muitas dúvidas não esclarecidas pelo fluxograma: 
O que acontece com a fração líquida mais volátil, na cabeça da coluna 2? 
O que acontece com o resíduo, no fundo da coluna 3? 
Numa planta química nenhum fluxo pode ser desconsiderado, pois trata-se de quantidades 
enormes - não importa que seja. 
Poderíamos acrescentar informações adicionais neste fluxograma: 
� O resíduo é queimado num gerador de calor 
� As frações líquidas voláteis contêm bastante benzeno que é purificado e levado à 
palnta de síntese do etilbenzeno.� O aquecimento principal do reator ocorre via gás natural. 
� Os calores necessitados nos trocadores a e b vem, em partes, da mistura reacional 
quente (c); assim, precisamos menos água de refrigeração AR no trocador d. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
204 
� O gás de escapamento é principalmente H2. 
� A destilação do estireno nas colunas 1 e 3 deve ser feita a pressão reduzida de 0,2 bar, 
pois as altas temperaturas de uma destilação a pressão atmosférica provocará a 
polimerização precoce do estireno. 
Certamente, uma ou outra das informações que dá resposta às dúvidas abertas pode ser 
acrescentada ao fluxograma, o que ao mesmo tempo o torna mais complexo, mais difícil de 
enxergar as características mais importantes do processo. Portano, deve-se ponderar com 
carinho quais informações se fornece adicionalmente. 
 
 
Fig. 91. Exemplo de um fluxograma: síntese de estireno a partir de etilbenzeno. a: 
evaporador do etilbenzeno (VAP = vapor de alta pressão); b: evaporador para água; 
c: reator tubular, aquecido a 600 °C para a reação endotérmica; d: condensador (AR 
= água de refrigeração); e: separador das fases; f: gás de escapamento; g: fase 
orgânica; h: fase aquosa; i: estireno cru; J: refluxo do etilbenzeno. 
 
Nesta figura aplicam-se símbolos normados para abstrair os equipamentos. Segue uma lista 
das mais usadas representações, conforme ISO 10628. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
205 
Recipientes/reatores/colunas: 
 
Bombas (para líquidos): 
 
Meios de transporte para gases (densificadores): 
 
Trocadores de calor/ aquecedores/ refrigeradores: 
 
Aparelhos mecânicos: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
206 
Outras: 
 
 
6.1.3 Diagrama de tubulação e instrumentação 
Um diagrama de tubulação e instrumentação (inglês: piping and instrumentation diagram; 
P&ID) é um diagrama bastante utilizado em processos industriais que exibe as tubulações de 
determinado processo, juntamente com os equipamentos instalados e instrumentação da 
planta. É bastante detalhado e é visto como base mais aprofundada, no planejamento, na 
homologação por órgãos públicos, no controle interno e também para quaisquer modificações 
na planta química em funcionamento. 
Um diagrama P&ID geralmente contém: 
• Equipamento mecânico com nomes e números 
• Instrumentação e denominações 
• Todas as válvulas e suas identificações 
• Materiais usados, dimensionamentos, condições físicos limites (pressão, temperatura) 
• Alturas relativas dos aparelhos instalados. 
• Processo de tubagens, dimensões e identificação 
• Miscelânea - orifícios de ventilação, esgotos, instalações especiais, linhas de 
amostragem, redutores, etc. 
• Permanente start-up e as linhas de flush 
• Sentidos de fluxo 
• Quantidades e concentrações esperadas em operação contínua. 
• Referências Interligações 
• Controle de entradas e saídas, intertravamentos 
• Interfaces para a mudança de classe 
• Entrada do sistema de controle de computador 
• Identificação de componentes e subsistemas fornecidos por outros 
O diagrama P&ID é então bastante complexo e detalhado. A descrição de uma planta química 
ocupa geralmente um armário inteiro. Em consequência perde-se a transparência e a evidência 
nestes desenhos. Hoje existem programas de CAD (Computer Aided Design), para a 
elaboração dos diagramas P&ID, enquanto a elaboração de maquetes é bastante ultrapassada. 
A elaboração no computador tem como vantagens adicionais a relação certa dos tamanhos dos 
aparelhos e tubulações, um passeio virtual revela insuficiências de espaço; além disso, 
existem programas cada vez mais sensíveis que alertam aos defeitos no desenho. 
Como veremos na Fig. 92, a diferença mais evedente aos fluxogramas é a inclusão de: 
� Válvulas, 
A. Isenmann Operações Unitárias 
207 
� Sistemas de segurança (alternativas na hora da falha de uma peça) e 
� Os instrumentos de medição, dosagem e regulagem que são caracterizados, além de 
um número de identificação, por três letras, conforme as normas DIN 19227 e ISO 
3511. 
 
Tab. 21. Siglas usadas em aparelhos de medição, dosagem e regulagem, em diagramas 
P&ID 
Primeira letra Grandeza medida (em inglês) Medida em português 
A Analysis Análise 
B Burner, Combustion Queimador 
C Conductivity Condutividade 
D Density Densidade 
E Voltage 
Voltagem ou outras 
grandezas elétricas 
F Flow Fluxo 
H Hand Manualmente 
I Current Corrente 
J Power Potência 
K Time, Time Schedule Tempo, Duração 
L Level Nível 
M Moisture Umidade 
N Torque Torque 
P Pressure Pressão 
Q Quantity; quality 
Quantidade, também 
qualidade do material (p. ex. 
concentração) 
R Radiation Radiação 
S Speed, Frequency 
Velocidade, frequência, 
rotações 
T Temperature Temperatura 
U Alarm Output Sinal de alerta 
V Vibration, Mechanical Analysis Vibração 
W Weight, Force Peso, também força 
 
Tab. 22. Significado das letras mais usados, em aparelhos de medição, dosagem e 
regulagem, continuação. 
Segunda letra Significado (ingês) Significado (português) 
A. Isenmann Operações Unitárias 
208 
D Difference Diferença; valor diferencial 
F Fraction Relação 
Q Quantity Valor integral; soma (p. ex. 
volume percorrido) 
Terceira letra Significado (ingês) Significado (português) 
I Indication, display Mostrado 
R Recording Armazenado 
C Control Controlado 
S Switch Ligado 
A Alarm Sinal de alerta 
Z Emergency Medida de emergência 
+ (ou H) High Limite superior 
- (ou L) Low Limite inferior 
 
 
Fig. 92. Um aparelho de retificação como exemplo para um diagrama P&ID. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
209 
Tab. 23. Especificações dos materiais usados nos aparelhos da folha 2, ver Fig. 92. 
Aparelho Função Dados técnicos Material Pressão max. 
K211 Coluna de pratos 
de sino 
d = 1500 mm 
l = 13400 mm 
1.4571 3 bar 
W213 Vaporizador 
circular natural 
20 m² 1.4571 32 bar (vapor) 
W214 Resfriador 
produto fundo 
5 m² 1.4571 3 bar 
W215 Condensador 
destilado 
30 m² 1.4571 3 bar 
P214 
A / B 
Bomba centrífuga 
fundo 
5 m²/h 
∆p = 2 bar 
G-X 3 Cr Ni Mo 
Cu 24 6 
5 bar 
P215 
A / B 
Bomba centrífuga 
cabeça 
15 m²/h 
∆p = 4 bar 
G-X 3 Cr Ni Mo 
Cu 24 6 
8 bar 
 
 
7 Anexos 
 
7.1.1 Vista geral sobre os números adimensionais mais importantes na 
engenharia química 
(em ordem alfabética) 
Número 
adimensi
onal 
Expressão Significado físico Ref. na 
página 
Utilidade 
Arquimede
s (Ar) 
( )
2
3
η
ρρd
Ar flsk
−⋅
=
 
Força de sustentação por força de 
fricção. 
62 Movimento de 
fluidos devido 
a diferenças de 
densidade 
Biot (Bi) 
k
LhBi ⋅= 
Resistência térmica de condução dentro 
de um sólido, por resistência térmica de 
convecção na superfície do sólido. 
-- Condutividade 
superficial vs. 
volumétrica de 
sólidos 
Brinkman 
(Br) 
T
uBr
∆⋅
⋅
= λ
µ 2
 
Transferência de calor via convecção 
forçada (= calor gerado por 
aquecimento viscoso), por transferência 
de calor via condução. 
(λ = condutividade térmica) 
-- Transferência 
de calor da 
parede para um 
fluido 
altamente 
viscoso. 
Damköhler 
(homogêne
o) uc
Lr
⋅
⋅
 
Velocidadeda reação química 
homogênea, por escoamento do meio. 
-- Escala de 
tempo de uma 
reação química 
vs. o fenômeno 
A. Isenmann Operações Unitárias 
210 
de transporte 
Damköhler 
(baseado 
no kr) 
2
222
u
TLck nr ⋅⋅⋅ −
 
Velocidade da reação química 
homogênea, por escoamento do meio. 
-- 
Damköhler 
(heterogên
eo) Sc
r
 
Velocidade da reação química 
heterogênea, por velocidade de 
transporte mássico. 
-- 
Eckert 
Tc
VEc
p ∆⋅
=
2
 
Energia cinética por entalpia. Caracterizar a 
dissipação do 
calor 
Eötvös 
(Eo) 2lg
Eo
⋅⋅
=
ρ
σ
 
Forças de tensão interfacial por forças 
de gravidade. 
-- Determinação 
da forma da 
gota 
Euler (Eu) 
2
2
u
pEu
⋅
∆
=
ρ
 
Queda em pressão, por velocidade de 
transporte de massa por volume. 
Alternativa: Forças de pressão vs. 
forças inerciais. 
22 Hidrodinâmica 
- cálculo de 
escoamentos. 
Fourier 
(Fo) 2R
tFo ⋅= α 
Taxa de condução de calor por taxa de 
armazenamento de energia térmica. 
-- http://pt.wikip
edia.org/wiki/
N%C3%BAm
ero_de_Fourie
rTransferência 
de calor 
Fator de 
Fanning (f) 2
2
m
w
u
gf
⋅
⋅
=
ρ
τ
 
Tensão provocado pelo atrito na parede, 
por velocidade do transporte de massa 
específica 
(= massa por volume = densidade). 
-- É 1/4 do fator 
de Darcy (ver 
abaixo). 
Número de 
fricção 
(= fator de 
Darcy) 
(Re)λ Caso especial do fator de Darcy: 
Re
64(Re) =λ , para fluxo em tubo 
redondo; 
Re
9,56(Re) =λ , para um canal 
quadrado. 
23 
Froude 
(Fr) gd
uFr
⋅
=
2
 
Forças de inércia por forças de 
gravidade em fluidos. 
99 Escoamentos 
supercríticos 
com Fr > 1, os 
subcríticos com 
Fr < 1. 
Grashof 
(Gr) 2
23
η
βρ TdGr ⋅∆⋅=
 
Sustentação de um fluido por forças 
viscosas. 
117 Convecção 
natural 
Newton 
(Ne) 22 Lu
F
Ne w
⋅⋅
=
ρ
 
Força de resistência por força do fluxo. 69 Potência 
entregue à 
batelada pelo 
agitador 
A. Isenmann Operações Unitárias 
211 
Nusselt 
(Nu) λ
α dNu ⋅= 
Transferência de calor via convecção 
forçada, por transferência de calor via 
condução. 
117 Transferência 
de calor com 
convecção 
forçada. 
Ohnesorge 
(Z) D
Z
⋅⋅
=
σρ
µ
 
Forças viscosas por força de tensão 
interfacial. 
-- Atomização de 
líquidos 
Péclet (Pe) 
⋅⋅⋅
=
p
L k
cuD
Pe
ρ
 
Transferência de calor via convecção 
forçada, por transferência de calor via 
condução. 
-- Problemas de 
advecção–
difusão 
Péclet 
mássico D
uDPe L
AB
L ⋅=
⋅
= Re
 
Transferência de massa via convecção, 
por difusão molecular. 
-- Problemas de 
advecção–
difusão 
Prandtl 
(Pr) λ
η
α
ν ⋅
==
pcPr 
Momento da difusividade 
(= viscosidade cinemática) por 
difusividade térmica. 
Pr (calor) corresponde ao Sc (mássico). 
117 Convecção 
forçada e 
natural 
Reynolds 
(Re) η
ρ ud ⋅⋅
=Re 
Forças de inércia por forças viscosas em 
fluidos. 
22 Descreve o 
regime do 
fluxo de massa. 
Schmidt 
(Sc) DDSc ⋅== ρ
µν
 
Momento da difusividade (= 
viscosidade cinemática) por 
difusividade molecular. 
(µ = viscos. dinâmica; 
[Pa.s = Kg.m-1.s-1]) 
94 Dinâmica de 
fluidos 
(transferência 
de massa e 
difusão) 
Sherwood 
(Sh) D
LSh ⋅= β Transferência convectiva de massa, por transferência difusiva de massa. 
-- Transferência 
de massa e 
convecção 
forçada 
Stanton 
(St) PrRe⋅=
NuSt 
Transferência de calor via convecção 
forçada, por transferência de calor via 
condução. 
-- Transferência 
de calor com 
convecção 
forçada 
Weber 
(We) 
σ
ρcdnWe ⋅⋅=
32
 
Forças de inércia por forças de tensão 
interfacial. 
75 Fluxos 
multifásicos 
sobre 
superficies 
curvadas. 
Gr x Pr 
µ
ρβ LTg ⋅⋅⋅∆⋅⋅ 23
 
Transferência de calor via convecção 
natural, por transferência de calor via 
condução. 
-- 
Grupo 
radiação 3T
cu p
⋅⋅
⋅⋅
εσ
ρ
 
Transferência de calor via convecção, 
por transferência de calor via radiação. 
-- 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
212 
7.1.2 Números adimensionais, organizados por campo de aplicação: 
Óptica: 
Nome Aplicação 
Número de Abbé Dispersão em materiais transparentes 
Número de Fresnel Difração 
 
Fluidos: 
Nome Aplicação 
Número de Arquimedes Influência da densidade no movimento dos fluidos 
Número de Deborah Reologia dos fluidos viscoelásticos (polímeros acima do Tg) 
Número de Eötvös determinação da forma da gota 
Número de Froude Relação entre as forças gravitacional e de inércia 
Número de Knudsen Aproximação do contínuo em fluidos 
Número de Laplace Convecção natural em fluidos miscíveis 
Número de Morton Determinação da forma da gota 
Número de Prandtl Convecção forçada e natural 
Número de Reynolds Forças de inércia vs. viscosas em fluidos 
Número de Schmidt Dinâmica de fluidos (transferência de massa e difusão) 
 
Calor: 
Nome Aplicação 
Número de Biot Condutividade térmica na superfície vs. volumétrica de 
sólidos 
Número de Brinkmann Transferência de calor por condução entre uma superficie e 
um líquido viscoso (tipicamento usado no processamento de 
polímeros fundidos). 
Número de Eckert Transferência de calor por convecção 
Número de Foppl–von 
Karman 
Flambagem de cascas delgadas 
Número de Fourier Transferência de calor 
Número de Graetz Fluxo de calor 
Número de Grashof Convecção natural 
Número de Hagen Convecção forçada 
Número de Karlovitz Combustão turbulenta 
Número de Lewis Difusão molecular vs. difusão térmica 
Número de Nusselt Transferência de calor por convecção forçada 
Número de Peel Adesão de microestruturas sobre substratos (adesivos) 
Número de Stanton Transferência de calor por convecção forçada 
Número de Stefan Transferência de calor durante mudanças de fases 
 
Fluxos (incl. reatores químicos): 
A. Isenmann Operações Unitárias 
213 
Nome Aplicação 
Número de Bagnold Fluxo de grãos, areia, etc. 
Número de Bodenstein Distribuição do tempo de residência (reatores batelada) 
Número de Bond Força capilar devido à flotação 
Número de Brownell-Katz Combinação do número de capilaridade e o número de Bond 
Número de Damköhler Escala de tempo de uma reação química vs. o fenômeno de 
transporte (reatores) 
Número de Dean Vórtices em tubulações curvas 
Número de Euler (física) Hidrodinâmica (forças de pressão vs. forças inerciais) 
Número de Galilei Fluxo viscoso devido à gravidade 
Número de Marangoni Tensão superficial vs. forças viscosas (espupas e bolhas) 
Número de Ohnesorge Atomização de líquidos, fluxo de Marangoni 
Número de Péclet Problemas de advecção–difusão 
Número de Richardson Efeito da flotação na estabilidade dos fluxos 
Número de Rayleigh Forças de flotação e viscosas em convecção natural 
Número de Sherwood Transferência de massa e convecção forçada 
Número de Sommerfeld Lubrificação de bordas 
Número de Stokes Dinâmica da partícula 
Número de Strouhal Fluxos contínuos e pulsantes 
Número de Taylor Fluxos rotacionais 
Número de Weber Fluxos multifásicos sobre superfícies curvadas; deformação 
de gotículas em emulsões. 
Número de Weissenberg Fluxos viscoelásticos 
Número de Womersley Fluxos contínuos e pulsantes 
 
Matemática/Física/outros: 
Nome Aplicação 
Número de Courant-
Friedrich-Levy 
Resolução numérica de equaçõesdiferenciais 
Número de Ekman Geofísica (forças de atrito por viscosidade) 
Número de Erlang Unidade de intensidade de tráfego, corresponde ao quociente 
entre o Tempo de utilização e o tempo de observação em 
circuitos de telefonia. (telecomunicações e telefonia) 
Número de Mach Dinâmica dos gases (velocidade do gás vs. velocidade do 
som) 
Número de Reynolds 
magnético 
Magneto-hidrodinâmica 
Número de Rossby Forças inerciais em geofísica 
 
 
7.1.3 Tabela de pressão de vapor sobre os líquidos, em função da temperatura 
(adaptada de Organikum, organisch-chemisches Grundpraktikum, VEB Deutscher Verlag der 
Wissenschaften, Berlin 1988) 
Legenda: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
214 
1. Éter dietílico 
2. Acetona 
3. Benzeno 
4. Água 
5. Clorobenzeno 
6. Bromobenzeno 
7. Anilina 
 
8. Nitrobenzeno 
9. Quinolina 
10. Álcool dodecílico 
11. Trietilenoglicol 
12. Ftalato dibutílico 
13. Tetracosano 
14. Octacosano 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
215 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
216 
 
 
7.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde 
se aplicam) 
Alguns símbolos são usados em diferentes contextos. Também na literatura padrão não há 
unanimidade na dedicação destes símbolos. 
 
a m²/s Condutividade térmica (ou número de condução térmica) 
a 1/m Área específica de troca 
A --- Rendimento 
Ar --- Número de Arquimedes 
B --- Fator de extração 
c mol/L Concentração 
cp Kkg
kJ
⋅
 Capacidade calorífica específica 
Cp Kmol
kJ
⋅
 Capacidade calorífica molar 
cs 42 Km
W
 Constante de radiação do corpo negro, cs = 5,67.10-8 42 Km
W
. 
d m Diâmetro; comprimento característico, largura nominal. 
dh m Diâmetro hidráulico 
dg m Diâmetro médio dos grãos 
D m²/s Coeficiente de difusão 
E kJ Energia 
EV 2sm
kg
⋅
 Energia relacionada ao volume. 
Eu --- Número de Euler 
F m² Área de contato; área perpendicular 
Fr --- Número de Froude 
g m/s² Aceleração gravitacional terrestre, g = 9,81 m/s² (ao nível do mar) 
GE --- Número adimensional geométrico (= relação dos aspectos) 
Gr --- Número de Grashof 
h m Altura; altura de transporte 
H m Altura 
Hh m Altura hidrostática 
Hp m Altura pressão 
A. Isenmann Operações Unitárias 
217 
Hr m Altura fricção 
∆evH kJ/mol Entalpia molar de evaporação 
∆RH kJ/mol Entalpia molar de reação 
He --- Constante de Henry 
k (variável) Constante de velocidade 
kgas, kliq m/s Coeficiente de transferência mássica 
kw 
Km
W
⋅
2 Coeficiente de transferência térmica 
K 2s
mkg ⋅
 Força 
Km --- Carga 
l m Comprimento característico 
L m Comprimento; altura de leitos fixos e fluidizados. 
m kg Massa 
m� kg/s Fluxo de massa (= velocidade de massa) 
M g/mol Massa molar 
n mol Quantidade molar 
n 1/s Número de rotações 
n --- Asperidade relativa 
n --- Expoente politrópico 
nteor --- Número de pratos teóricos 
n� mol/s Fluxo molar (= fluxo de massa) 
in� mol/s Velocidade de transferência de massa 
NA 1/mol Constante de Avogadro; NA = 6,023.1023 mol-1) 
NA --- Número adimensional 
N --- Constante de Nernst (= constante de distribuição) 
Nel kW Potência elétrica recebida 
Nutil kW Potência útil (fora do calor) 
Nu --- Número de Nusselt 
p 2sm
kg
⋅
 Pressão; pressão de vapor. 
pi 2sm
kg
⋅
 Pressão parcial do componente i. 
Pr --- Número de Prandtl 
q� 2
ms
J
⋅
 Fluxo de calor 
A. Isenmann Operações Unitárias 
218 
q� W/m² Carga da área de aquecimento 
Q kJ Quantidade de calor 
Q� kJ/s Fluxo de calor 
r m Raio; raio interno. 
R m Raio; raio externo. 
R 
Kmol
J
⋅
 Constante dos gases; R = 8,314 
Kmol
J
⋅
. 
R 
sm
kg
⋅
2 Resistência da torta de filtragem 
Re --- Número de Reynolds 
S m² Superfície 
S --- Relação de retirada 
Sg m²/kg Superfície específica 
Sc --- Número de Schmidt 
Sh --- Número de Sherwood 
t s Tempo 
T K Temperatura 
u m/s Velocidade do fluxo; velocidade linear 
u m/s Velocidade média do fluxo 
u0 m/s Velocidade no tubo vazio 
U m Circunferência 
v --- Relação de refluxo (= taxa de refluxo) 
v --- Relação de lavagem 
v´ --- Taxa de reevaporação 
V m³ Volume 
V� m³/s Fluxo de volume = vazão = velocidade de volume 
w m/s Velocidade; velocidade do fluxo 
w m/s Velocidade média das partículas 
W kJ Trabalho útil 
x --- Fração molar 
y --- Fração molar 
z m Coordenada do local (em direção ao movimento) 
Z --- Número de aceleração rotacional relativa; relação de aceleração 
 
α 1/m² Resistência específica da torta 
A. Isenmann Operações Unitárias 
219 
α 
Km
W
⋅
2 Coeficiente de transição calorífica 
β 1/K Coeficiente de dilatação térmica 
β m/s Coeficiente de transição de massa 
δ m Espessura de uma camada limite (= interface) 
ε --- Porosidade de uma carga particulada 
φ ° Ângulo 
ζ --- Coeficiente da resistência particular 
η 
sm
kg
⋅
 Viscosidade dinâmica (= tenacidade dinâmica) 
η --- Eficácia 
ηm --- Eficácia média do estágio (= prato) 
ηs --- Eficácia do estágio (= prato) 
θ --- Grau de ocupação (na superfície); 
Pθ --- Fator de labirinto dentro de um sólido poroso. 
κ --- Relação dos calores molares, cp/cv (= coeficiente de Poisson) 
κ 
m⋅Ω
1
 Condutividade elétrica 
Λ m Comprimento médio do caminho livre 
λ --- Número de fricção 
λ 
Km
kW
⋅
 Coeficiente da condutividade térmica 
µ --- Partes em substância sólida 
ν m²/s Viscosidade cinemática (=tenacidade cinemática) 
ν 1/s Número de rotações 
ξ --- Correção à resistência 
ρ kg/m³ Densidade 
σ m Diâmetro de colissão 
τ s Tempo médio de demora 
τ 2sm
kg
⋅
 Tensão tangencial (na deformação linear por empuxo) 
τS s Tempo de saturação (superfície do adsorvente) 
ψ --- Fator de forma 
ω 1/s Velocidade angular.