Live 037 - Áreas de Figuras Planas

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Áreas de Figuras Planas
Introdução
Definição de Área de Figura Plana
Chamamos de área de uma figura plana um número real positivo associado a essa figura
satisfazendo as seguintes condições:
1) Figuras congruentes possuem áreas iguais.
2) Se uma figura é formada por partes que não se sobrepõem, então a área total é a
soma das áreas de cada parte.
A1 A2
A1 = A2
A1
A2
A3
A4
A5
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5
Definição da Área do Quadrado de Lado 1
Definimos que a área do quadrado de lado 1 é igual a 1.
1 u.c.
1 u.c.A = 1 u.a.
Fórmulas Iniciais
Fórmula da Área do Quadrado
A área do quadrado de lado ℓ é
A = ℓ2
ℓ
ℓ A = ℓ2
Fórmula da Área do Retângulo
A área do retângulo de base b e altura h é
A = b · h
b
h A = b · h
Demonstração:
b
b
h
h
h
b
h
b
Fórmula da Área do Paralelogramo
A área do paralelogramo de base b e altura h é
A = b · h
b
h A = b · h
Demonstração:
b
h
Fórmula da Área do Triângulo
A área do triângulo de base b e altura h é
A =
b · h
2
A =
b · h
2
b b b
h h h
Demonstração:
b
h
Fórmula da Área do Triângulo II
A área do triângulo de lados a, b e ângulo θ entre esses lados é
A =
a · b · sen θ
2
A =
a · b · sen θ
2
ba θ
Demonstração:
b
a
θ
Fórmula da Área do Losango
A área do triângulo de diagonais D e d é A =
D · d
2
d
D
A =
D · d
2
D
d
Demonstração:
d
D
losango
Fórmula da Área do Trapézio
A área do trapézio de base maior B, base menor b e altura h é
A =
(B + b) · h
2
b
h A =
(B + b) · h
2
B
Demonstração:
b
h
B
Fórmula da Área do Triângulo Equilátero
A área do triângulo equilátero de lado ℓ é
A =
ℓ2
√
3
4
ℓ
ℓ A =
ℓ2
√
3
4
ℓ
Demonstração:
ℓ
ℓℓ
Fórmula da Área do Hexágono Regular
A área do hexágono regular de lado ℓ é
A = 6 · ℓ
2
√
3
4
ℓ
A = 6 · ℓ
2
√
3
4
Demonstração:
ℓ
Fórmulas de Área para Triângulo
Fórmula da Área de Triângulo III
Seja um triângulo de lados a, b, c inscrito (dentro) em uma circunferência de raio R.
Então, a área desse triângulo é
A =
a · b · c
4R
a
R A =
a · b · c
4R
b
c
Demonstração:
a b
c
Fórmula da Área de Triângulo IV
Seja um triângulo de lados a, b, c circunscrito (fora) a uma circunferência de raio r. Então,
a área desse triângulo é
A = p · r
Onde p =
a+ b+ c
2
é o semi-perímetro do triângulo.
c
a A = p · rb
r
Demonstração:
c
a
b
Fórmula da Área de Triângulo V (Fórmula de Heron)
Seja um triângulo de lados a, b, c e semi-perímetro p =
a+ b+ c
2
. Então, a área desse
triângulo é
A =
»
p · (p− a) · (p− b) · (p− c)
c
a A =
p
p · (p− a) · (p− b) · (p− c)b
Fórmulas de Área para Polígonos Regulares
Fórmula da Área de um Polígono Regular Inscrito
Seja um polígono regular de n lados com cada lado medindo ℓ inscrito (dentro) em uma
circunferência de raio R. Então, a área desse polígono é
A =
1
2
· n · R2 · sen
Å
360◦
n
ã
R
A =
1
2
· n · R2 · sen
Å
360◦
n
ã
Demonstração:
R
Fórmula da Área de um Polígono Regular
Seja um polígono regular de lado ℓ, semi-perímetro p e apótema a. Então, a área desse
polígono é
A = p · a A =
n · ℓ2
4 tan
�
180◦
n
�
A = p · a
A =
n · l2
4 tan
�
180◦
n
�a
ℓ
Demonstração:
a
ℓ
Fórmula da Área do Círculo
A área de um círculo de raio r é
A = π · r2
r
A = π · r2
Demonstração:
Fórmula da Área da Coroa Circular
A área de uma coroa circular é dada por
A = π · (R2 − r2)
A = π · (R2 − r2)
R
r
Fórmula da Área do Setor Circular
A área de um setor circular de raio r é proporcional à medida do arco correspondente a
esse setor, e ela é dada por
Agraus =
π · r · α◦
360◦
Arad =
θ · r2
2
Acomp =
ℓ · r
2
Onde α◦, θ, ℓ, são, respectivamente, o ângulo em graus, o ângulo em radianos e o compri-
mento desse setor.
Agraus =
π · r · α◦
360◦
, Arad =
θ · r2
2
, Acomp =
ℓ · r
2
r
ℓα◦(θ)
Demonstração:
r
ℓα◦(θ)
Fórmula da Área do Segmento Circular
A área do segmento circular de raio r é dada por
Arad =
r2
2
(θ − sen θ) Agraus =
π · r2 · α◦
360◦
− r2 · senα◦
2
Arad =
r2
2
(θ − sen θ) , Agraus =
πr2α◦
360◦
− r2sen α◦
2
r
α◦(θ)
Demonstração:
r
α◦(θ)