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Profa Ninoska Bojorge Análises de sistemas no domínio da frequência Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível Resposta de Frequência 2 CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que permite a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja frequência é variada dentro de uma faixa pré-estabelecida. A resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a um entrada senoidal será senoidal na mesma frequência, com amplitude e fase diferentes. Função de Transferência Senoidal: G(jω) 1) MÓDULO : 2) FASE : )( )()( jwX jwYjwG = )( )()( jwX jwYjwG ∠=∠ G(s) X(s) Y(s) Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível Domínio frequência A representação do domínio do tempo dá a amplitude do sinal no instante de tempo escolhido. No domínio da frequência, separa-se conceitualmente as senóides que formam o sinal. 3 Domínio do tempo versus domínio da frequência Domínio da frequênciaDomínio do tempo Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível Domínio frequência 4 L(x(t)) = X(s) F(x(t)) = X(jω) como já vimos, a transformada de Laplace: A Transformadas de Fourier: Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’, s = 0 + jω = jω obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc. Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 - 1 -0 . 8 -0 . 6 -0 . 4 -0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 Sinais sinodais Alta frequência: mudança rápida ω = 2π / T rad/tempo � = A sen(ωt) 5 Período (T) Amplitide de pico Amplitide de pico a pico Frequência ω = 2π 1 T ω: número de oscilações em um segundo, no SI → hertz; 1 rad/s = 0,159154943274 Hz. Baixa frequência: mudança lenta Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível Entradas senoidais Objetivo: Estudar a resposta de um sistema lineal estável ante mudanças tipo senoidal na entrada Nos centraremos no estado estacionário U(s) Y(s) = G(s) U(s) )s(D )s(N)s(G s A)s(U 22 =ω+ ω= 6 G(s) Y(s) Métodos de resposta em frequência: Varia-se a frequência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. Seja: e: Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível j jAGajDjaAjNjs para j jAGajDjaAjNjs para jsjssbsDjsasDjsaAsN sDjsjs jsjssbsDjsasDjsa s A sD sN sD sb js a js a s A sD sNsUsGsY 2 )()(2)( 2 )()(2)( ))()(()()()()()( )())(( ))()(()()()()( )( )( )( )( )( )()()()( 22 22 ωωωωωω ωωωωωω ωωωωω ωω ωωωω ω ω ωωω ω −−=−−=−−= === −++++−= −+ −++++−=+ +−++=+== 7 logo: Resposta em frequência Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível ))(arg()()( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )()(lim ...... 2 )( 2 )()( )( )()]([)( )()( 1111 ωφφωωω ωω ωω ωω ωω φωφω ωφωφ ωω ωω jGtsenjGA j eejGAy e j ejGA e j ejGA y e j jAGe j jAGtyy :ioestacionár estado no estável, é D(s) se e j jAGe j jAGty sD sbL js aL js aLsYLty tjtj tj j tj j tjtj t tjtj =+=−= +−= +−−== ++−−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +== +−+ ∞ −−∞ − ∞→∞ − −−−− 8 Assim, aplicando a transformada inversa, temos: Resposta em frequência Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível ))(arg( )()( ωφ φωω jG tsenjGAy = +=∞)t(Asen)t(u ω= A resposta oscila com a mesma frequência ω, mas atenuada por um fator |G(jω)| e desfasada um ângulo φ = arg(G(jω)) , que dependem de ω. 9 U(s) G(s) Y(s) Resposta em Frequência: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Resposta em frequência Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível os valores da atenuação |G(jω)| e o desfase φ = arg(G(jω)) que introduz um sistema lineal dependem só de G(s) e podem representar-se em função da frequência ω em diversos tipos de diagramas, ao substituir a variável s por jω em G(s) e calcular o módulo e argumento do complexo G(jω) resultante. ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 2 2222 2 32))(arg( 92 41)( 32 12 23 12)( 23 12)( ω ωωω ωω ωω ωω ω ωω ωω −−=+− += +− +=++ +=⇒++ += arctgarctgjGjG j j jj jjG ss ssG 10 Resposta em frequência Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 11 Resposta em frequência Forma Gráfica: ¾ Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos ¾ Diagrama de Nyquist ou diagrama polar ¾ Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols) Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível Diagrama de Bode 12 Hendrik Wade Bode (1905-1982), Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar sinais no domínio da frequência. arg(G(jω)) em graus |G(jω)| em dB dB = 20log |G(jω| A função de transferência senoidal de um sistema representada graficamente: • Módulo versus Frequência e • Ângulo de Fase versus Frequência. Uso de Escalas Logarítmicas: simplificam a sua construção, manipulação e interpretação. Construção dos Diagramas de Bode Abscissas → eixo ω (frequência em rad/s) → escala logarítmica Ordenadas → eixo M (módulo em dB) → M = 20 log |G(jω)| → ∠ G = Fase (em grau) M ód ul o (d B ) Fa se (g ra us ) ω (rad/s) Traçado das Curvas: • corresponde a plotar a curva G(s) para s = jw. • Como é uma curva de variável complexa, deve-se apresentar conjuntamente as duas curvas: parte real e imaginária ou Módulo e Fase (forma usada). 13 1 oitava = variação correspondente a ω2 = 2 x ω1 (uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / aumentando-se / ou diminuindo-se). Construção dos Diagramas de Bode 1 década = variação correspondente a ω 2 = 10 x ω1, assim: 14 Módulo (M) = 20 log |G(jω)| [deciBel = dB] Fase (Φ) = ∠ G(jω) [graus = °] Freqüência (rad/s) abs(G(jw)) 20*log (abs(G(jw)) [dB] ∠ G(jw), [radianos] ∠ G(jw), [graus] 0.1 0.2 0.4 0.8 1 2 4 8 10 ω (rad/s ou Hz) FA S E (Φ ) 20 lo g |G (jw )| ω (rad/s ou Hz) Lembrando que: Construção dos Diagramas de Bode 15 Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferên- cia G(jw) e são dois: diagramas de Bode de módulo e diagramas de Bode de fase. Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de |G(jω)| em dB (|G(jω) |dB) x ω (com escala logarítmica) Os diagramas de Bode de fase são gráficos de G(jω) em graus x ω (com escala logarítmica) Construção dos Diagramas de Bode Indica o ganho relativo espectral. Indica desfasamento harmônico do sinalde saída em relação ao de entrada. Resumindo: 16 ¾ Definição: Função de transferência ¾ Curva de Módulo ou Amplitude: |G(jw)|dB Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de módulo. ¾ Curva de Fase: Φ (jw) Obs.: Zeros tem contribuição positiva e os pólos tem contribuição negativa na curva de fase. Construção dos Diagramas de Bode Matematicamente: )...])([( )...])([()( 4422 3311 jwxsjwxs jwxsjwxsKsG ++++ ++++= ...)((log20...)((log20log20 22 2 2 2 1 2 1 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++= wwxwwxKM [ ] ...-] x / w)tg[(w arc - ...x / w)(warctg 2211 +++=φ 17 Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 18 1. O sinal de saída é uma senoidal que tem a mesma freqüência, ω, com o sinal de entrada, x(t) =Asinωt. 2. A amplitude do sinal de saída, , é uma função da freqüência ω e de uma amplitude, A: Aˆ 2 2 ˆ (13-2) ω τ 1 = + KAA Características de Resposta de Frequência de Processos de 1ª Ordem 3. A saída tem uma mudança de fase, φ, em relação à entrada. A quantidade de deslocamento de fase depende ω. ( )1 2 2 ˆ and φ tan ωτ ω τ 1 −= = − + KAA Para qdo t → ∞ onde (1) Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 19 que podem, por sua vez, ser dividido pelo ganho de processo para produzir a razão de amplitude normalizada (ARN) N 2 2 1AR (13-3b) ω τ 1 = + Dividindo ambos lados da eq (1) pela amplitude do sinal de entrada A resulta o razão de amplitude, AR (amplitude ratio) 2 2 ˆ AR (13-3a) ω τ 1 = = + A K A (2) (3) Características de Resposta de Frequência de Processos de 1ª Ordem continuação... Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 20 1. O sinal de saída é uma senoidal que tem a mesma freqüência, ω, com o sinal de entrada, x(t) =Asinωt. 2. A amplitude do sinal de saída, , é uma função da freqüência ω e de uma amplitude, A: Aˆ 2 2 ˆ (13-2) ω τ 1 = + KAA Características de Resposta de Frequência de Processos de 1ª Ordem 3. A saída tem uma mudança de fase, φ, em relação à entrada. A quantidade de deslocamento de fase depende ω. ( )1 2 2 ˆ and φ tan ωτ ω τ 1 −= = − + KAA Para qdo t → ∞ onde (1) continuação... Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível 21 que podem, por sua vez, ser dividido pelo ganho de processo para produzir a razão de amplitude normalizada (ARN) N 2 2 1AR (13-3b) ω τ 1 = + Dividindo ambos lados da eq (1) pela amplitude do sinal de entrada A resulta o razão de amplitude, AR (amplitude ratio) 2 2 ˆ AR (13-3a) ω τ 1 = = + A K A (2) (3) continuação... Características de Resposta de Frequência de Processos de 1ª Ordem ⇒ 22 Método Shortcut para encontrar a Resposta de Frequência Etapa 1. Substituir s = jω em G(s) para o obter G (jω). . Etapa 2. Racionalizar G(jω); Deseja-se expressar na forma. G(jω)=R + jI onde R e I são funções de ω. Simplificando G(jω) multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador. Etapa 3. A razão de amplitude e a fase de G(s) são dadas por : 2 2 1 AR tan ( / ) R I I Rϕ − = + = Lembrar Este método consiste em: 23 Exemplo 1 Encontrar a resposta de frequência de um sistema de primeira ordem, com ( ) 1 (13-16)τ 1G s s= + Solução Primeiro , substitui -se na função de transferência ωs j= ( ) 1 1ω (13-17)τ ω 1 ωτ 1G j j j= =+ + Em seguida, multiplique o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, , ou seja,ωτ 1j− + ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ωτ 1 ωτ 1ω ωτ 1 ωτ 1 ω τ 1 ωτ1 (13-18) ω τ 1 ω τ 1 j jG j j j j R jI − + − += =+ − + + −= + = ++ + (1) (2) (3) 24 onde: Da etapa 3 do Método Shortcut: 2 2 1 (13-19a) ω τ 1 R = + 2 2 ωτ (13-19b) ω τ 1 I −= + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ωτAR ω τ 1 ω τ 1 −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠R I também, ( ) ( )1 1 1φ tan tan ωτ tan ωτ (13-20b)− − −⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ I R (4a) (4b) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 1 ω τ 1AR (13-20a) ω τ 1ω τ 1 += = ++ ou (5a) (5b) 25 Exercício: 110 5)( += ssG ωs j= 110 5)( += jwjwG )110)(110( )110(5)( +−+ +−= jwjw jwjwG )110( )110(5)( 22 + +−= w jwjwG )110( )50( )110( 5 2222 + −++ w wj w = Continuem... 26 Freqüência (rad/min) Módulo abs(G(jw)) Módulo 20*log (abs(G(jw)) [dB] ∠ G(jw), [rad] RA ∠G(jw), [graus] 0.001 0,01 0,1 0.2 0.4 0.8 1 2 4 8 10 Exercício: 110 5)( += ssG E completar a seguinte tabela
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