A transformada de Fourier de tempo continuo

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A transformada de Fourier de 
tempo contínuo
Sinais e Sistemas II
2
Introdução
- Uma das contribuições mais importantes de Fourier.
- Fourier intuiu que um sinal aperiódico pode ser visto 
como um sinal periódico com um período infinito.
- Recordando:
- Série de Fourier de um sinal de tempo contínuo periódico
- Na representação da série de Fourier de um sinal 
periódico, enquanto o período aumenta, a frequência 
fundamental diminui e os componentes harmonicamente 
relacionados tornam-se mais próximos em frequência.
   





k
tTjk
k
k
tjk
k eaeatx
 20
     
 
T
tTjk
T
tjk
k dtetx
T
dtetx
T
a  2
11
0
1.2
1.1
3
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Considere a representação por série de Fourier para a 
onda quadrada periódica de tempo contínuo
- Em um período
- E repete-se periodicamente com período T.
 






2,0
,1
1
1
TtT
Tt
tx
4
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Coeficiente ak da série de Fourier.
- a0 interpretado como o valor médio.
- Assim
   
0 ,
sensen2 10
0
10  k
k
Tk
Tk
Tk
ak 



T
T
dt
T
a
T
T
1
0
2
1
1 1
1
 






 






 j
ee
Tk
e
Tjk
dte
T
a
TjkTjk
T
T
tjk
T
T
tjk
k
2
211 10101
1
0
1
1
0
00
 
1.3
5
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- A eq. 1.3 pode ser interpretada como amostras de 
uma função envoltória
- Com ω sendo variável contínua, a função (2senωT1)/ω
representa a envoltória de Tak, e os coeficientes ak são 
amostras uniformemente espaçadas dessa envoltória.
- Para T1 fixo, a envoltória de Tak é independente de T.
- T = 4T1
 
0
1sen2


k
k
T
Ta


1.4
6
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- T = 8T1
- T = 16T1
7
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- À medida que T aumenta, a envoltória é amostrada 
com um espaçamento cada vez menor.
- Pode-se pensar um sinal aperiódico como o limite de 
um sinal periódico à medida que o período se torna 
arbitrariamente grande.
- Pode-se examinar o comportamento limite da 
representação por série de Fourier para esse sinal.
- Par transformado de Fourier
- Demonstração: Livro Oppenheim (páginas 166/167).
    
 dejXtx tj



2
1
   


 dtetxjX tj
1.6
1.5
8
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- X(jω) conhecida como transformada de Fourier ou 
integral de Fourier de x(t).
- Eq. 1.5 é a transformada inversa de Fourier.
- A eq. de síntese 1.5 desempenha um papel para os 
sinais aperiódicos semelhante ao da equação 1.1.
- A transformada X(jω) de um sinal aperiódico x(t) é 
normalmente conhecida como espectro de x(t).
- Fornece informações necessárias para descrever x(t) 
como uma combinação de sinais senoidais em diferentes 
frequências.
9
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Convergência das transformadas de Fourier
- A obtenção da transformada de Fourier exige que um 
conjunto de condições seja satisfeito, assim como 
aquelas para a série de Fourier.
- Condições de Dirichlet
- 1. x(t) seja absolutamente integrável, ou seja
- 2. x(t) tenha um número finito de máximos e mínimos 
em qualquer intervalo finito.
- 3. x(t) tenha um número finito de descontinuidades 
(finitas) em qualquer intervalo finito. 
- Sinais absolutamente integráveis que são contínuos ou 
que têm um número finito de descontinuidades possuem 
transformadas de Fourier.
 


dttx
1.7
10
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.1: Determine a transformada de Fourier do 
sinal
- Esboço de cada componente
- Se a é complexo, então x(t) é absolutamente integrável 
desde que Re{a} > 0.
    0   atuetx at
11
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.2: Seja
- A transformada de Fourier desse sinal é
  0 ,   aetx ta
    jajadteedteedteejX tjattjattjta       1100
12
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.2: Continuação
- Neste caso X(jω) é real
 
22
2




a
a
jX
13
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.3: Determine a transformada de Fourier do 
impulso unitário.
- Exemplo 1.4: Considere o sinal pulso retangular
 






1
1
,0
,1
Tt
Tt
tx
14
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.4: Continuação
- A transformada de Fourier desse sinal é
   111
1
1
1
11 TjTjT
T
tj
T
T
tj ee
j
e
j
dtejX
    
  


 1sen2
2
2
11
T
ee
j
TjTj  
15
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.5: Considere o sinal x(t) cuja transformada 
de Fourier é
- Usando a eq. de síntese
 






W
W
jX



,0
,1
 
t
Wt
detx
W
W
tj



 sen
2
1
 

16
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.5: Continuação
- Comparando as figuras dos exemplos 1.4 e 1.5, o par 
transformado de Fourier consiste em uma função da 
forma (sen aθ)/bθ e um pulso retangular.
- Consequência direta da propriedade da dualidade.
17
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Funções sinc surgem frequentemente na análise de 
Fourier e no estudo de sistemas LIT.
 



sen
sinc 
18
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.5 para valores diferentes de W.
19
Representação de sinais aperiódicos: a 
transf. de Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.5 para valores diferentes de W.
- Se W aumenta, X(jω) torna-se mais largo, enquanto o 
pico principal de x(t) em t = 0 se tornam mais alto e a 
largura do primeiro lóbulo desse sinal se torna mais 
estreita.
- No limite, em que W→∞, X(jω) = 1 para todo ω e x(t) 
converge para um impulso.
- Exemplo da relação inversa que existe entre os 
domínios de tempo e frequência.
20
Transformada de Fourier para sinais 
periódicos
- Construção direta da transformada de Fourier de um 
sinal periódico a partir de sua representação em série.
- A transformada resultante consiste em um trem de 
impulsos no domínio da frequência com as áreas dos 
impulsos proporcionais aos coeficientes da série.
- Considere um sinal x(t) com transformada de Fourier
- Aplicando a relação de transformada inversa
- Generalizando
   02  jX
    tjtj edetx 002
2
1    


1.8
   



k
k kajX 02 
1.9
21
Transformada de Fourier para sinais 
periódicos
- Aplicando a eq. 1.5
- Corresponde exatamente à eq. 1.1.
- Transformada de Fourier de um sinal periódico com 
coeficientes da série de Fourier {ak}
- Pode ser interpretada como um trem de impulsos 
ocorrendo nas frequências harmonicamente relacionadas 
e para os quais a área do impulso na k-ésima frequência 
harmônica kω0é 2π vezes o k-ésimo coeficiente ak da 
série de Fourier.
1.10
  



k
tjk
keatx
0
22
Transformada de Fourier para sinais 
periódicos
- Exemplo 1.6: Considere a onda quadrada ilustrada a 
seguir
- Os coeficientes da série de Fourier para esse sinal são
- E sua transformada de Fourier do sinal é
 


k
Tk
ak
10sen
 
 
 



k
k
k
Tk
jX 0
10sen2 
23
Transformada de Fourier para sinais 
periódicos
- Exemplo 1.6: Continuação
24
Transformada de Fourier para sinais 
periódicos
- Exemplo 1.7: Seja
- Os coeficientes da série de Fourier para esse sinal são
- Atividade: fazer o mesmo para x(t) = cos ω0t.
  ttx 0sen
1 1 ,0
21 21 11

 
ouka
jaja
k
25
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Relação entre as descrições no domínio do tempo e da 
frequência de um sinal.
- Úteis para reduzir a complexidade do cálculo das 
transformadas.
- Um sinal x(t) e sua transformada X(jω) são 
relacionados pelas equações de síntese e análise
- x(t) e X(jω) podem ser referidos como o par 
transformado de Fourier
    
 dejXtx tj



2
1
   


 dtetxjX tj
1.12
1.11
26
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Assim, em relação ao Exemplo 4.1
- Linearidade
- Se
- e
- então
1.13
27
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Deslocamento no tempo
- Se
- então
- Para estabelecer essa propriedade, considere a eq. 1.11
- Conclui-se que
1.14
28
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.8: Cálculo da transformada de Fourier do 
sinal x(t) a seguir
- x(t) pode ser expresso como a combinação linear
     5,25,2
2
1
21  txtxtx
29
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.8: Continuação
- x1(t) e x2(t) são pulsos retangulares. Usando o resultado 
do exemplo 1.4.
- Por último, usando as propriedades de linearidade e 
deslocamento no tempo da transformada de Fourier, 
resulta
 
 
 
 


 23sen2 e 2sen2 21  jXjX
 
   





 
  
  23sen22sen25jejX
30
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Conjugação e simetria conjugada
- Propriedade da conjugação afirma que se
- então
- Se x(t) é real, X(jω) tem simetria conjugada
- Demonstração: Livro Oppenheim (página 176).
1.15
1.16
31
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Diferenciação e integração
- Diferenciando os dois membros da Eq. de síntese 1.11
- Portanto
- Substitui operação de diferenciação no domínio do tempo 
pela multiplicação por jω no domínio da frequência.
- Integração envolve divisão por jω .
1.17
1.18
32
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.9: Calcular a transformada de Fourier para 
o sinal x(t) a seguir sem aplicar a integral de Fourier 
diretamente
- Seja o sinal
   tx
dt
d
tg 
33
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.9: Continuação
- g(t) é a soma de um pulso retangular e dois impulsos.
- Transformada de Fourier de cada um desse sinais
- Usando a propriedade da integração e observando que 
G(0) = 0.
  
 jj eejG 






sen2
 
 
   
 0G
j
jG
jX 
 




j
cos2
j
sen2
2
jX
34
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Mudança de escala no tempo e na frequência
- Se
- então
- sendo a um número real diferente de zero.
- Para a = -1
- Uma compressão no tempo (a > 1), corresponde a 
expansão na frequência.
1.19
1.20
35
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Dualidade
- As eqs. 1.11 e 1.12 são similares em forma, mas não 
totalmente idênticas. 
- Além disso, observando o relacionamento visto nos 
exemplos 1.4 e 1.5
- Representação dos dois pares e a relação entre eles
1.21
1.22
36
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Dualidade
37
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.10: Utilize a dualidade para encontrar a 
transformada de Fourier G(jω) do sinal
- No exemplo 1.2 encontrou-se uma par transformado de 
Fourier em que a transformada de Fourier, como uma 
função de ω, tinha uma forma semelhando à g(t).
- Supondo um sinal x(t) com transformada de Fourier
- Do exemplo 1.2
 
21
2
t
tg


 
21
2



jX
38
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.10: Continuação.
- A equação de síntese para esse par transformado 
- Multiplicando essa equação por 2π e substituindo t por –t
- Trocando as variáveis t e ω
- O membro direito da eq. anterior é a eq. de análise para 
2/(1+t2)











 
 dee tj
t
21
2
2
1











 
 dee tj
t
21
2
2











 dte
t
e tj

21
2
2
39
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Relação de Parseval
- Se x(t) e X(jω) forem um par transformado de Fourier, 
então
- Exemplo 1.11:Para a transformada de Fourier 
mostrada a seguir, calcule E
 


 dttxE
2
1.23
40
Propriedades da transformada de 
Fourier de tempo contínuo
- Exemplo 1.11: Continuação.
- Pode-se utilizar a relação de Parseval
  1
2
1 2
 


 djXE
41
A propriedade da convolução
- Definição
- onde a resposta em frequência H(jω) é a transformada de 
Fourier da resposta ao impulso.
- Assim, a transformada de Fourier mapeia a convolução 
de dois sinais no produto de suas transformadas de 
Fourier.
- Como h(t) caracteriza completamente um sistema LIT, 
então o mesmo ocorre com H(jω).
   


   dethjH tj
1.24
1.25
42
A propriedade da convolução
- A reposta ao impulso da cascada de dois sistemas LIT 
é a convolução das respostas ao impulso dos sistemas 
individuais.
- A resposta ao impulso geral não depende da ordem 
em que os sistemas são dispostos em cascata.
- Utilizando a Eq. 1.24, pode-se reformular essas 
afirmações em termos das respostas em frequência.
- A resposta em frequência total é simplesmente o 
produto das respostas em frequências individuais
- A resposta em frequência total não depende da ordem 
da cascata.
43
A propriedade da convolução
44
A propriedade da convolução
- A resposta em frequência não pode ser definida para 
todo sistema LIT. Se um sistema é estável, então sua 
reposta ao impulso é absolutamente integrável
- Esta é uma das três condições de Dirichlet.
- Basicamente h(t) de todos os sinais de importância física 
ou prática satisfaz.
- A análise de Fourier para estudar sistemas LIT, 
restringe-se a sistemas cujas respostas ao impulso 
possuem transformadas de Fourier.
- Para sistemas LIT instáveis, generaliza-se a 
transformada de Fourier de tempo contínuo: 
transformada de Laplace.
 


dtth
1.26
45
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.12: Considere um sistema LIT de tempo 
contínuo com resposta ao impulso
- A resposta em frequência desse sistema é a 
transformada de Fourier de h(t).
- Para qualquer entrada x(t) com transformada de Fourier 
X(jω), a transformada de Fourier da saída
- Consistente com a propriedade de deslocamento no 
tempo.
   0ttth
     


   dethjH tj0
tj
e

     
 


jXe
jXjHjY
tj 0 


   0ttxty 
46
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.13: Seja um sistema LIT para o qual a 
entrada x(t) e a saída são relacionadas por
- Da propriedade da diferenciação
- Consequentemente, a resposta em frequência de um 
diferenciador é
 
 
dt
tdx
ty 
    jXjjY 
   jjH 
47
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.14: A filtragem seletiva em frequência é 
realizada com um sistema LIT cuja resposta em 
frequência H(jω) deixa passar o intervalo desejado de 
frequências e atenua significativamente as fora dessa 
faixa. Considere o filtro passa-baixas ideal
 






c
c
jH



0
1
48
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.14: Continuação.
- A resposta ao impulso h(t) desse filtro ideal é a 
transformada inversa de H(jω)
- Usando o resultado do exemplo 1.5
 
t
sen

 t
th c
49
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.14: Continuação.
- O filtro passa-baixas ideal possui seletividade de 
frequência perfeita.
- Sua resposta ao impulso h(t) não é nula para t<0. 
Consequentemente, o filtro não é causal.
- Obter boas aproximações para o filtro ideal não é fácil.
- Em algumas aplicações (como o sistema de suspensão de 
automóveis) o comportamento oscilatório na resposta ao 
impulso pode ser indesejável.
50
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.15: Determine a saída y(t) de um sistema 
LIT com resposta ao impulso
- para o sinal de entrada
- Para b ≠ a
- Para b = a
    0 ,   atueth at
    0 ,   btuetx bt
      tuetue
ab
ty btat  


1
 
 2
1


ja
jY


51
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.15: Continuação
- Reconhecendo que
- Pode-se utilizar o dual da propriedade de diferenciação
- Consequentemente,
  






  jad
d
j
ja
11
2
1.27
   tutety at
52
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.15: Determine a resposta de um filtro 
passa-baixas ideal a um sinal de entrada x(t) que tem 
a forma de uma função sinc.
- Resposta ao impulso do filtro passa-baixas ideal
- A saída do filtro y(t) será a convolução das duas funções 
sinc, que também é uma função sinc.
- Para isso, observar que
 
t
sen

 t
tx i
 
t
sen

 t
th c
      jHjXjY 
53
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.15: Continuação.
- sendo
- e
- Portanto,
- sendo ω0 o menor dos dois números ωi e ωc.
 


 

contrário caso0
1 ijX

 


 

contrário caso0
1 cjH

 


 

contrário caso0
1 0jy
54
A propriedade da convolução
- Exemplo 1.15: Continuação.
- A transformada inversa é dada por
- Ou seja, dependendo de qual dentre ωc e ωi é menor, a 
saída será igual a x(t) ou h(t).
 








ci
i
ic
c
t
t
t
t
ty






 se
sen
 se
sen
55
A propriedade da multiplicação
- A multiplicação no domínio do tempo corresponde à 
convolução no domínio da frequência.
- Para demonstração, explora-se a dualidade.
- Pode ser compreendida como o uso de um sinal para 
ponderar ou modular a amplitude do outro.
- A multiplicação de dois sinais é usualmente chamada 
modulação em amplitude.
1.27
56
A propriedade da multiplicação
- Exemplo 1.16: Seja s(t) cujo espectro S(jω) é 
representado a seguir.
- Além disso, considere o sinal
- Então,
  ttp 0cos
     00  jP
57
A propriedade da multiplicação
- Exemplo 1.16: Continuação.
- O espectro R(jω) de r(t) = s(t)p(t) é obtido pela aplicação 
da eq. 1.27, resultando em
1.28
58
A propriedade da multiplicação
- Exemplo 1.16: Continuação.
- Foi considerado que ω0 > ωi, de modo que as partes 
diferentes de zero de R(jω) não se sobrepõem.
- R(jω) consiste da soma de duas versões deslocadas e 
escaladas de S(jω).
- A informação preservada é deslocada em frequência
- Base de modulação senoidal de amplitude em 
comunicações.
59
A propriedade da multiplicação
- Exemplo 1.17: Determine a transformada de Fourier 
do sinal
 
   
2
2sensen
t
tt
tx


60
Filtragem seletiva em frequência com 
frequência central variável
- Em um filtro passa-faixa seletivo em frequência, 
construído com elementos como resistores, 
amplificadores operacionais e resistores, a frequência 
central depende dos valores dos componentes.
- Todos devem ser variados para ajustar a frequência 
central diretamente.
- Uma alternativa é utilizar um filtro seletivo em 
frequência fixo e deslocar o espectro do sinal.
61
Filtragem seletiva em frequência com 
frequência central variável
62
Filtragem seletiva em frequência com 
frequência central variável
63
Filtragem seletiva em frequência com 
frequência central variável
- Equivalente a um filtro passa-faixa ideal com 
frequência central –ωc e largura de banda 2ω0.
64
Propriedades da transf. de Fourier
65
Propriedades da transf. de Fourier
66
Pares transformados básicos
67
Pares transformados básicos
68
Sist. caracterizados por eq. diferenciais 
lineares com coeficientes constantes.
- Uma classe útil de sistemas LIT de tempo contínuo é 
aquela para a qual a entrada e saída satisfazem uma 
equação diferencial linear com coeficientes constantes
- A partir da propriedade da convolução
- ou
- sendo X(jω), Y(jω) e H(jω) as transformadas de Fourier 
da entrada x(t), da saída y(t) e da resposta ao impulso 
h(t), respectivamente.
   



M
k
k
k
k
N
k
k
k
k
dt
txd
b
dt
tyd
a
00
1.29
      jXjHjY 
 
 
 


jX
jY
jH 
1.30
69
Sist. caracterizados por eq. diferenciais 
lineares com coeficientes constantes.
- Considere a aplicação da transformada de Fourier a 
ambos os membros da eq. 1.29.
- A partir da propriedade da linearidade
- E da propriedade da diferenciação
- Ou, de forma equivalente
1.31
70
Sist. caracterizados por eq. diferenciais 
lineares com coeficientes constantes.
- Assim, 
- H(jω) é uma função racional (razão de polinômios).
- A resposta em frequência dada na eq. 1.32 para o 
sistema LIT caracterizado pela eq. 1.29 pode ser 
escrita diretamente por inspeção.
- Eq. diferencial 1.29 é chamada de ordem N.
- O denominador de H(jω) na eq. 1.32 é um polinômio 
de n-ésima ordem de (jω).
1.32
71
Sist. caracterizados por eq. diferenciais 
lineares com coeficientes constantes.
- Exemplo 1.18: Considere um sistema LIT estável 
caracterizado pela equação diferencial
- com a > 0. Determine a resposta em frequência e a 
resposta ao impulso.
- Comparando com o resultado do exemplo 1.1, a resposta 
ao impulso do sistema é
 
   txtay
dt
tdy

 
aj
jH




1
   tueth at
72
Sist. caracterizados por eq. diferenciais 
lineares com coeficientes constantes.
- Exemplo 1.19: Considere um sistema LIT estável 
caracterizado pela equação diferencial
- Determine a resposta em frequência e a resposta ao 
impulso.
   
 
 
 tx
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd
234
2
2

73
A transformada de Fourier de tempo 
contínuo
- Bibliografia: 
- Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S. Sinais e Sistemas, 2a 
ed., Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010.
- Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami-Naieni. Sistemas de Controle para Engenharia, Porto 
Alegre: Bookman, 2013.