sub esp - comb.linear - base

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – CAMPUS SUMÉ
CENTRO DE DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL DO SEMI-ÁRIDO
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO
Ágebra Linear 2012.2/ Professora: Aldinete Barreto / Aluno _______________________ 
LISTA DE EXERCÍCIOS
De acordo com a definição, um subespaço vetorial é qualquer subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial, onde as operações de adição e produto por escalar continuam preservadas. Como você entende a parte em itálico, dessa frase? 
Pela definição de subconjunto, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Então, se V é um espaço vetorial, quem é o seu "maior" subespaço vetorial? 
E qual é o "menor" subespaço de um espaço vetorial? 
Quais são os subespaços triviais de um espaço vetorial?
Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: 
Escreva três elementos de W; 
Reescreva W, apresentando o vetor genérico do item a até o item d; 
Verifique se W é subespaço vetorial de V. 
a) W = { (x, y)  R2, y = – 2x }, V = R2;
b) W = { (x, y)  R2; y = – 2x + 1 }, V = R2;
c) W = { (x, y, z, t)  R4; x = y e z = 2t }, V = R4;
d) W = { (x, y, z)  R3; x – 2y – 4z = 6 }, V= R3;
e) W = {(x,y,z)ϵ R3; z = 2x+y} , V=R3 
d) W = {(x,y,z)ϵ R3; y = 3x‐z}, V=R3
Nos problemas que seguem determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:
	a) V = R2;
	W1 = { (x, y); y  0 };
W2 = { (x, y); y < 0 }; 
W3 = { (x, y); y = 2 }; 
	b) V = R3;
	W1 = o plano xOy; 
W2 = { (x, y, z); x = y = z }; 
W3 = { (x, y, z); x = y };
c) V = R2; W = { (x, y); x2 + y2  1};
	d) V = Mnn;
	W1 = { D  Mnn; D é diagonal }; 
W2 = { T  Mnn; T é triangular superior }; 
W3 = { S  Mnn; S é simétrica }.
Escreva W como combinação linear de v1, v2 e v3 
v1= (1,,1); v2 = (-1, 1); v3 = (3, 0) e W=(1, -4)
v1= (1, 2); v2 = (-2, 3); v3 = (5, 4) e W=(-4, 1)
v1= (1, 2); v2 = 0, 3); W=(1, 2)
v1= (2, 1, -5); v2 = (-1, 3, 0); v3 = (2, -6, 4) e W=(9, -6, -13)
O vetor v = (-2, 1, 0) pode ser escrito como combinação linear de (1, 2, 0) e (0, 1, 0)?
O conjunto {(−1,2), (0,1), (3,1)} gera o R2?
Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
a) {(1,0,0), (1,3,5), (3,2,5)}
b) {(1,2,−1), (0,0,1), (1,−2,3), (3,0,1)}
c) {(1,2), (3,5), (2,1)}
d) {(1,0,2), (0,−1,3), (0,0,2)}
e) {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}
Determine a equação do plano gerado pelos vetores (−1,2,0), (0,1,2) e (−2,5,2).
Complete com V(verdadeiro) ou F(falso).
( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem.
( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem.
( ) { v1, v2,..., vn}⊆ V é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais.
( ) {(−1,2,3), (0,1,2), (−1,1,1)}gera o R3.
( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI.
( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}.
( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)].
( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado.
( ) {(3,5),(0,0)} é base do R2.
Seja V o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Dados v = -t2 + 6t + 10, 
v1 = t2 + 1, v2 = t2 + 3t e v3 = t + 4 polinômios de V, verificar se v pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
Gabarito: a = -2 b = 1 c = 3
Consideremos os vetores v1 = (2,-1,3), v2 = (-1,0,-2) e v3 =(2,-3,1) de V = R3. Verificar se este três vetores são LI ou LD.
Gabarito: LD a = -3c e b= - 4c, c pode assumir qualquer valor
Determine o subespaço gerado pelos vetores v1 = (1,-2,-1) e v2 = (2,1,1)
Gabarito: [v1,v2] = {(x,y,z) / x + 3y – 5z = 0}
Mostrar que o conjunto β= é uma base de M2x2 e determine a dimensão do espaço M2x2.
Mostre que o conjunto {(1,1),(-1,0),(1,4)} não é uma base do R2.
Vamos verificar se β = {(1,0,1), (0,-2,4), (1,2,0)} é uma base do R3.
Gabarito (i)ok (ii) a = (4/3)x – (2/3)y – (1/3)z
b = - (1/3)x + (1/6)y + (1/3)z
c = -(1/3)x + (2/3)y + (1/3)z.
 OK