Aula 2 - Divisão em partes inversamente proporcionais

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8o
4o bimestre
Aula 2
Ensino Fundamental:
Anos Finais
Matemática
Divisão em partes inversamente proporcionais
ANO
2025_AF_V1
Resolução de problemas envolvendo divisão em partes inversamente proporcionais.
Resolver problemas envolvendo a divisão em partes inversamente proporcionais de determinados valores.
Conteúdos
Objetivos
2025_AF_V1
Uma equipe utiliza 2 máquinas para concluir um serviço de fabricação em 6 horas. Agora, a empresa decidiu dobrar a quantidade de máquinas, passando para 4, sem alterar a eficiência de cada uma delas.
Com mais máquinas trabalhando, o mesmo serviço será concluído em mais ou menos tempo? Por quê?
Grandezas inversamente proporcionais
Relembre
8 minutos
VIREM E CONVERSEM
Fonte: https://br.freepik.com/fotos-gratis/homem-de-vista-superior-trabalhando-na-fabrica-de-cerveja_49633528.htm#fromView=search&page=1&position=13&uuid=15b4877b-207a-4243-a077-50b3b770ba40&query=maquinas. Acesso 30 jul. 2025 
2025_AF_V1
Ao dobrar o número de máquinas de 2 para 4, o tempo necessário para realizar o serviço diminui proporcionalmente, ou seja, cai pela metade.
2 máquinas 6 horas
4 máquinas 3 horas
Essa relação mostra que o número de máquinas e o tempo de realização do serviço são grandezas inversamente proporcionais. 
Resolução
Relembre
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre seus valores correspondentes permanece constante.
Observe que: (constante).
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Uma mãe decidiu distribuir R$ 600,00 como presente de Natal para seus dois filhos, André e Beto. Ela quer dividir o valor de forma inversamente proporcional às idades dos filhos, considerando que:
André tem 12 anos.
Beto tem 18 anos.
Como dividir os R$ 600,00 de modo que cada filho receba uma quantia inversamente proporcional à sua idade?
Na prática
Veja no livro!
Atividade 1
6 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
2025_AF_V1
Sejam e os valores que André e Beto receberão, respectivamente. Como a divisão é inversamente proporcional às idades, tem-se: 
Sabe-se também que. Assim, tem-se:
Substituindo em , tem-se .
Portanto, André receberá R$ 360,00 e Beto receberá R$ 240,00.
Resolução
Na prática
Veja no livro!
Atividade 1
2025_AF_V1
Dois técnicos foram contratados para realizar um serviço de manutenção em uma fábrica, com um pagamento total de R$ 12 000,00. O valor a ser pago a cada técnico será inversamente proporcional ao tempo que levariam para concluir o serviço sozinhos. 
Sabe-se que o técnico levaria 4 horas, enquanto o técnico levaria 6 horas para finalizar o trabalho individualmente.
Calcule quanto cada técnico deve receber desse pagamento total.
Na prática
6 minutos
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Atividade 2
TODO MUNDO ESCREVE
2025_AF_V1
Sejam e os valores que o técnico e o técnico receberão, respectivamente. Como o pagamento é inversamente proporcional ao tempo que levariam para concluir o serviço, tem-se: 
Substituindo-se na equação , obtém-se:
Por fim, substituindo em , tem-se .
Portanto, o técnico deve receber R$ 7 200, e o técnico deve receber R$ 4 800.
Resolução
Na prática
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Atividade 2
2025_AF_V1
Três funcionários de uma empresa foram designados para organizar o arquivo de documentos. O tempo que cada funcionário trabalhará será dividido de forma inversamente proporcional ao número de anos que estão na empresa.
André está na empresa há 5 anos, Bruno há 6 anos e Camila há 10 anos.
Quanto tempo Bruno deverá trabalhar se a tarefa total deve ser concluída em 14 horas?
Na prática
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Atividade 3
6 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
2025_AF_V1
Sejam , e os tempos de trabalho de André, Bruno e Camila, respectivamente. Como o tempo de trabalho é inversamente proporcional ao número de anos na empresa, tem-se:
Substituindo e em , tem-se:
Portanto, Bruno deverá trabalhar 5 horas.
Resolução
Na prática
(MMC)
Veja no livro!
Atividade 3
2025_AF_V1
Uma fazenda precisa distribuir 420 sacos de ração entre quatro currais, de forma inversamente proporcional à quantidade de sacos que cada curral recebeu na semana anterior. Os currais receberam, respectivamente, 10, 20, 25 e 50 sacos na última semana.
Complete as frases a seguir com as informações corretas:
O curral que receberá mais sacos de ração nesta semana é o que recebeu _______ sacos na semana anterior.
O curral que recebeu 25 sacos na semana anterior receberá mais sacos que o curral que recebeu _______ sacos na semana anterior.
O curral que recebeu 25 sacos na semana anterior deve receber _______ sacos de ração nesta semana.
Na prática
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Atividade 4
8 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
2025_AF_V1
O curral que recebeu 10 sacos na semana anterior receberá mais sacos nesta semana, porque, em uma divisão inversamente proporcional, quem recebeu menos sacos anteriormente receberá mais agora.
O curral que recebeu 25 sacos na semana anterior receberá mais sacos que o curral que recebeu 50 sacos, pois 25 é menor que 50.
Resolução
Na prática
Veja no livro!
Atividade 4
2025_AF_V1
Sejam , , e as quantidades de sacos de ração destinadas aos currais que receberam 10, 20, 25 e 50 sacos, respectivamente. Como a distribuição é inversamente proporcional ao número de sacos recebidos na semana anterior, tem-se:
Substituindo , e na equação , obtém-se:
Portanto, o curral que recebeu 20 sacos na semana anterior deve receber 100 sacos nesta semana.
Resolução
Na prática
(MMC)
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Atividade 4
2025_AF_V1
O que significa dizer que duas grandezas são inversamente proporcionais? 
Se um valor será dividido de forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 8, qual parte resultará no valor mais alto e por quê?
Encerramento
3 minutos
COM SUAS PALAVRAS
2025_AF_V1
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023. 
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know. American Educator, v. 36, n. 1, Washington, 2012. pp. 12-19. Disponível em: https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 9 jul. 2025.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf. Acesso em: 9 jul. 2025.
SISTEMA DE AVALIAÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DO ESTADO DE SÃO PAULO (SARESP), 2005. Disponível em: https://docs.google.com/document/d/1IP79yOAnhEuUIR0iH6da-adUFLQkzxeO/edit?tab=t.0. Acesso em: 9 jul. 2025.
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Referências
2025_AF_V1
Aprofundando
A seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras, 
que ampliam as possibilidades de prática, de retomada e aprofundamento do conteúdo estudado.
2025_AF_V1
1. (SARESP 2005) O proprietário de uma pequena loja de produtos naturais emprega duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de julho ele decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes, e Joana faltou 2.
A quantia recebida por Joana como bônus é igual a:
Aprofundando
R$ 72,00.
R$ 80,00.
R$ 96,00.
R$ 108,00.
Veja no livro!
A
B
C
D
2025_AF_V1
1. (SARESP 2005) O proprietário de uma pequena loja de produtos naturais emprega duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de julho ele decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes, e Joana faltou 2.
A quantia recebida por Joana como bônus é igual a:
Aprofundando
R$ 72,00.
R$ 80,00.
R$ 96,00.
R$ 108,00.
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Resolução
A
B
C
D
2025_AF_V1
Sejam J e C as quantias recebidas por Joana e Carolina, respectivamente. Como o valor do bônus é inversamente proporcional ao número de faltas, tem-se: 
Sabendo que , substituímos na equação:
Portanto, Joana receberá R$ 96,00.(SARESP 2005) Resolução
Aprofundando
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2025_AF_V1
2. Três corretores de redação precisam dividir um total de 110 redações para corrigir. A quantidade de redações será dividida de forma inversamente proporcional ao número de aulas semanais que cada corretor leciona. Sabe-se que o corretor João leciona 5 aulas por semana, Ana leciona 10 aulas por semana e Lucas, 15 aulas por semana.
Quantas redações João deve corrigir?
Aprofundando
60
50
40
30
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A
B
C
D
2025_AF_V1
2. Três corretores de redação precisam dividir um total de 110 redações para corrigir. A quantidade de redações será dividida de forma inversamente proporcional ao número de aulas semanais que cada corretor leciona. Sabe-se que o corretor João leciona 5 aulas por semana, Ana leciona 10 aulas por semana e Lucas, 15 aulas por semana.
Quantas redações João deve corrigir?
Aprofundando
60
50
40
30
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Resolução
A
B
C
D
2025_AF_V1
Sejam , e as quantidades de redações que João, Ana e Lucas devem corrigir, respectivamente. Como a quantidade de redações é distribuída de forma inversamente proporcional ao número de aulas semanais, tem-se:
 
 
Substituindo e na equação , obtém-se:
Portanto, João deve corrigir 60 redações.
Resolução
Aprofundando
(MMC)
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2025_AF_V1
Para professores
2025_AF_V1
Slide 2
Habilidade: (EF07MA17) Resolver e elaborar situações-problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas. (SÃO PAULO, 2019)
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Slide 4
Dinâmica de condução: utilize as animações do slide para construir as etapas gradativamente.
Idem para os slides 6, 8, 10, 12 e 13.
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Slide 14
Expectativas de respostas:
1. Espera-se que os alunos concluam que duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores correspondentes permanece constante.
2. Espera-se que os alunos concluam que se o valor total é dividido proporcionalmente a 2, 5 e 8, a maior quantia corresponde ao número 2, pois, em uma divisão inversamente proporcional, o menor número recebe a maior parcela.
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