Lista01

Prévia do material em texto

Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Pato Branco
Equações Diferenciais Ordinárias
Primeira Lista de Exercícios - Introdução às Equações Diferenciais
1. Determinar a ordem da Equação Diferencial e classificar quanto à linearidade:
(a) t2y′′ + ty′ + 2y = sent
(b) (1 + y2)y′′ + ty′ + y = et
(c) y′′′′ + y′′′ + y′′ + y′ = 1
(d) y′ + ty2 = 0
(e) y′′ + sen(t+ y) = sent
(f) y′′′ + ty′ + cos2(t)y = t3
(g) yy′ + 2y = 1 + t2
(h) t3y′′′′ − t2y′′ + 4ty′ − 3y = 0
(i) sen(t)y′′′ − cos(t)y′ = 2
2. Verificar se as funções dadas constituem solução da EDO
(a) y′′ − y = 0 y1(t) = et; y2(t) = cosh(t)
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0 y1(t) = e−3t; y2(t) = et
(c) ty′ − y = t2 y1(t) = 3t+ t2
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t y1(t) = t3 y2(t) = e
−t + t
3
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0 y1(t) = t 12 y2(t) = t−1
(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0 y1(t) = t−2 y2(t) = t−2ln(t)
(g) 2y′ + y = 0 y(t) = e
−x
2
(h) y′ − 2y = e3t y(t) = e3t + 10e2t
(i) y′ = 25 + y2 y(t) = 5tg(5t)
(j) y′ + 20y = 24 y(t) = 6
5
− 6e−20t
5
(k) y′′ − 6y′ + 13y = 0 y(t) = e3tcos(2t)
(l) y′′ = y y(t) = cosh(t) + senh(t)
(m) t2y′′ − 3ty′ + 4y = 0 y(t) = t2 + t2ln(t)
(n) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 y(t) = t2et
(o) y′′ − 4y′ + 4y = 0 y(t) = e2t + te2t
3. Determinar os valores de r para os quais a Equação Diferencial dada tem soluções
da forma y = ert:
(a) y′ = 2y = 0
(b) y′′ − y = 0
(c) y′′ + y′ − 6y = 0
(d) y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0
1
(e) y′′ − 5y′ + 6y = 0
(f) y′′ + 10y′ + 25y = 0
4. Determinar os valores de r para os quais a Equação Diferencial dada tem soluções
da forma y = tr, para t > 0:
(a) t2 + 4ty′ + 2y = 0
(b) t2y′′ − 4ty′ + 4y = 0
(c) t2y′′ − y = 0
(d) t2y′′ + 6ty′ + 4y = 0
5. Mostre que y1(t) = t
2
e y2(t) = t
3
, são ambas as soluções para t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0.
As funções c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitrárias, são também soluções? A
soma y1 + y2 é uma solução?
6. Mostre que y1(t) = 2t+ 2 e y2(t) =
−t2
2
, são ambas as soluções para y = ty′ + (y
′)2
2
.
As funções c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitrárias, são também soluções? A
soma y1 + y2 é uma solução?
7. Determine qual ou quais funções y1(x) = x
2
, y2(x) = x
3
e y3(x) = e
x
são soluções
da equação:
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0 (1)
8. Determinar os valores de r para os quais a função y(t) é solução da Equação Difer-
encial:
(a) y(t) = r
t2−3 ; y
′ + ty2 = 0
(b) y(t) = r
t2+1
; y′ − 2ty2 = 0
(c) y(t) = r
t2+1
; y′ − 6ty2 = 0
(d) y(t) = r
t2+2
; y′ − ty2 = 0
2