2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE G

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE G.A. 
 RETA
 
Determine as interseções da reta definida por A(-1,1,3) e B(4,-2,1) com os planos coordenados 
Determine a equação simétrica e o comprimento da mediana AM do triângulo A(-3,-1,4), B(2,4,5) E c(0,-1,1)
Determine o ponto simétrico da origem em relação à reta 
Determine a reta r que passa por A(1,-2,3) intercepta a reta 
 e cujo vetor diretor é ortogonal ao vetor 
Determine os cossenos diretores da reta definida por A(3,-3,2) e B(4,-1,0)
Determine o ângulo entre a reta r = (2,0,1) + t(-1,-2,-2) e a reta definida por A(4,0,-1) e B(-2,-3,1) 
Determine a reta definida pelos pontos A(2,-1,4) e B= 
 com
 e r2 : x = 3t , y = 2t+1 , z =t +1
8- Um vetor diretor da reta r é 
 e tal que 
 é paralelo a 
 e 
 . Sendo 
=(4,-4,2) e 
=( 2,-6,3) determine o ângulo entre r e s
9-Escreva e equação simétrica da reta bissetriz do ângulo interno B do triângulo ABC onde A(5,5,7), B(4,3,5) e C(0,5,9)
10-Dada a reta r ; X= (1,0,0) + t (1,1,1) e os pontos A(1,1,1) e 
B( 0,0,1), ache o ponto de r eqüidistante de A e B 
11- Dados os pontos A(1,2,5) e B(0,1,0) determine o ponto P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA
12- Ache a reta que passa pelo ponto A(-1,3,5), intercepta o eixo oz e 
é paralela ao plano xoy 
13- Dados A(0,2,1), r: X= (0,2,-2) + t (1,-1,2), ache os pontos de r que distam 
 de A. 
14- Determine a reta que passa por A(2,0,1), intercepta a reta 
r: X= ( 2,0,1) + t (-2,2,-4) e é paralela à reta 
 15- Dados os pontos A(1,2,5) e B(0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B 
tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.
16- Dois pontos efetuam movimento descritos pelas equações 
X=(0,0,0) + t(1,2,4)
X=(1,0,-2) +t (-1,-1,-1). Pergunta-se 
As trajetórias são concorrentes?
Haverá colisão?
17-Sejam P(1,0,1) e Q(0,1,1) , ache um ponto C da reta PQ tal que a área 
Do triângulo ABC seja 1/2, onde A(3,-2,1) e B(0,0,1) 			 
 
PLANO
1- Escreva a equação cartesiana do plano determinado pelas retas 
�� EMBED Equation.3 e 
2- determine a equação simétrica da reta que passa pelo ponto P(2,3,-1) e é paralela aos planos
2x - 3y + z – 1 = 0 e x + 2y +3z + 8 = 0
3- Ache a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto M(3,0,-4) e é perpendicular aos planos 2x – y – z = 0 e x + 3y – z + 12 = 0
4- ache a equação simétrica da reta que passa pelo ponto P(3,-2,0) e é perpendicular ao plano 4x – 8y + 6z – 7 = 0 
5- determine a equação geral do plano que contém as retas r: 
 e
S: 
 	
6- Dê a equação da reta interseção dos planos 3x – 4y + z – 16 = 0 e 2x+ 4y – 2z + 4 = 0
7- Dê o ponto simétrico de P(1,6,-1) em relação ao plano 2x - 6 + 4z – 18 = 0 
8- Dê a equação da reta S simétrica de R: 
 em relação ao plano 
2x + y – z + 2 = 0
9- Dê a equação do plano 
 simétrico do plano 
: 2x – 3y + z =12 em relação à reta 
10- Determine a equação do plano mediador do segmento de extremos P(3,-1,5) e Q(1,-5,-1)
11- Dado o ponto P(5,2,3) e o plano 
 : 2x + y + z – 3 = 0 , determinar:
a- O ponto P’ simétrico de P em relação ao plano 
b- A distância do ponto P ao ponto P’
12- Obter a reta r nos seguintes casos 
a- A reta passa por A(-1,0,2) e é paralela a cada um dos planos 
: 2x + y + z + 1 = 0 e 
: x – 3y – z – 5 = 0
b- A reta passa pela origem, e é ortogonal à reta 2x = y = 3z e paralela ao plano 
: x – y – z + 2 = 0
13- Achar a reta r que passa pelo ponto P(3,-2,-4), é paralela ao plano 
 : 3x – 2y – 3z + 5 = 0 
E concorrente com a reta s : x = 2 + t, y = - 4 – 2t, z = 1 + 3t, ache também o ponto de interseção de r e s.
14- Ache a projeção da reta r : x = 2 - 3t, y = - 1 + t, z = - 2 + 2t sobre o plano 
: x+y+2z=0 
15- Ache a equação do plano 
 nos seguintes casos:
a- O plano é paralelo ao eixo z e intercepta o eixo x em -3 e o dos y em 4
b- O plano é paralelo ao plano xOz e intercepta o eixo y em -7
c- O plano passa por A( -1,2,5) e é perpendicular aos planos 
: 2x – y + 3z – 4 = 0 
e 
: x + 2y – 4z + 1 = 0
16- Calcular m e n para que a reta r esteja contida no plano 
 Onde r: (x,y,z) = t(2,m,n) + (n,2,0) e 
: x – 3y + z = 1 
17- Determine o plano que passa pelo ponto A(2,5,3) e é perpendicular á reta interseção dos planos x – y – 2z – 2 = 0 e 2x + 3y + z + 1 = 0
18 – Determine a equação do plano que passa pela reta r: 
E é paralela á reta 
19- O pé da projeção ortogonal da origem dos eixos coordenados, sobre um plano 
, 
é o ponto O(-2,3,6). Determine a equação deste plano. 
DISTÂNCIAS
1º- Calcular:
a) a distância do ponto P(1,2,3) à reta x = 1 – 2t, y = 2t, z = 2 – t
b) a distância do ponto P(1,2,3) a cada um dos eixos coordenados
2º- Seja o triângulo A(-3,1,4), B(-4,-1,0) e C(-4,3,5). Calcule a altura relativa ao lado BC
3º- Dado o tetraedro de vértices A(1,2,1), B(2,-1,1), C(0,-1,1) e D(3,1,0), calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC
4º- Escrever as equações dos planos paralelos ao plano 3x – 2y – 6z – 5 = 0 que distam 5 unidades da origem.
5º- Calcular a distância entre os planos 
 e 
6º- Determinar a distância do ponto P, interseção dos planos 2x + 4y -5z – 15 =0
x – y + 2z + 3 = 0 e x + y + z – 2 = 0 à reta 
7º- Determine a distância do ponto Po , interseção das retas P = (3,-1,2) + t (1,3,-2) 
 e 
 ao plano 2x – y + 2z – 3 = 0
8º- Calcule a distância do ponto Po interseção da reta 
 com o plano xoz,
ao plano 
9º-Calcule a distância da reta r ao ao plano 
, nos casos:
a) 
 
b) 
 
10º- Calcule a distância entre as retas 
a) r1: x = 2 – t, y = 3 + t , z = 1 – 2t e r2: x = t. y = -1 – 3t, z = 2t
b) r1: x = y = z, r2: y = x + 1, z = 2x -1
c) r1: y = 2x, z = 3, r2: (x,y,z) = (2,-1,2) + t(1,-1,3) 
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