LISTA DE ESPAÇOS VETORIAIS

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LISTA DE ESPAÇOS VETORIAIS
1-Sobre subespaços vetoriais:
 Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais:
	1) Em , o subconjunto .
	2) Em, o subconjunto .
b) Sejam V e W subespaços do tais que e . V = W? Justifique.
 
2) Responda os seguintes itens:
a) Todo gerador é uma base ou toda base é um gerador? Explique.
b) Defina dimensão de um espaço vetorial.
c) Para cada um dos seguintes espaços vetoriais escreva um gerador	
.
.
.
d) Encontre bases para os seguintes subespaços vetoriais:
	.
	.
.
 
3) Considere V1 e V2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Verifique se cada um dos seguintes subconjuntos é ou não um subespaço vetorial de V. Caso a resposta seja afirmativa, prove, caso contrário dê um contra-exemplo:
a) .
b) .
 
c)-Para cada um dos seguintes sistemas lineares, encontre uma base para o subespaço das soluções (utilize o escalonamento):
	 	 	
 
4)- e) Verifique que o conjunto é uma base para 
5)_ é gerador de um certo subespaço vetorial de . A partir de G, obtenha uma base para esse subespaço.
 
6) é um subconjunto de formado por vetores L.I. (verifique). Escreva uma base para o que contenha esses três vetores.
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
01- Seja T(x, y) = (2x – y, y, x + y) uma transformação linear de R2 em R3. Encontre:
	a) T(1, – 2)
	b) T(– 1, 0)
	c) O vetor v tal que T(v) = (11, – 7, – 5).
02- Determine se as seguintes transformações são ou não lineares:
	L:R3 R2; L(x, y, z) = (y, z);
	f :R3 R2; f (x, y, z) = (0, 0);
	L:R3 R2; L(x1, x2, x3) = (x3, x1 + x2);
	L:R3 R2; L(x, y, z) = (x2 + y, y – z);
	L:R2 R3; L(x, y) = (x, y, 1);
	f :R2 R3; f (x1, x2) = (x1, x2, x1 + 2x2);
	L:Rnxn Rnxn; L(A) = A + I;
Sendo I a matriz identidade de ordem n.
	
T:M22 M22; T;
	
L:M22 R; L;
	
T:M22 R; T;
	
T:M22 R; T;
	T:R4 R2; T(x, y, z, w) = (x + z, y + w);
	T:Rn R; T(x1, x2, ..., xn) = x1 + x2 + ... + xn;
	L:P1 P2; L[p(t)]=tp(t) + p(t);
	L:P2P1; L(at2 + bt + c) = at + b + 1;
	
03- Sejam uma função f :R3 R2 e o conjunto B = {(1, 0, 1), (1, – 2, 1), (0, – 2, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)}. 
B é base do domínio da f ? Encontre, a partir de B, uma base do R3.
Sabendo que f (1, 0, 1) = (1, 4), f (0, – 2, 0) = (– 4, 2), f (1, – 2, 1) = (– 3, 6), f (0, 1, 1) = (2, 1) e f (0, 0, 0) = (0, 0), encontre a lei que define f.
Observação: Lembre que a lei pode ser obtida se conhecermos a imagem dos vetores de uma base do domínio.
04- Seja f :R2 R4 com f (1, 0) = (1, 2, – 1, 0) e f (0, 1) = (2, 1, 1, – 1), ache, na ordem que julgar conveniente:
	a) f (2, 1)
	b) f (3, – 1)
	c) f (0, 0)
	d) f (x, y)
05- Seja L:R2R2 tal que L(1, 1) = (1, – 2) e L(– 1, 1) = (2, 3) ache:
	a) L(– 1, 3)
	b) L(a1, a2)
06- Seja T:P2P3 tal que T(1) = 1, T(t) = t2 e T(t2) = t3 + t. Ache:
	a) T(2t2 + 5t + 3)
	b) T(at2 + bt + c)
07- Seja L:P1 P1 tal que L(t + 1) = 2t + 3 e L(t – 1) = 3t – 2. 
	a) L(6t – 4)
	b) L(at + b)
 (GABARITO)
	01-
a) T(1, – 2) = (4, – 2, – 1)
	
b) T(– 1, 0) = (– 2, 0, – 1)
	
c) v = (2, – 7).
02- São lineares: (a), (b), (c), (f), (i), (l), (m) e (n).
03- a) B não é base do R3, pois é l.d.
 = {(1, 0, 1), (1, – 2, 1), (0, 1, 1)} é uma base do R3.
b
	04- a)
	f (2, 1) = (4, 5, – 1, – 1).
	b) f (3, – 1) = (1, 5, – 4, 1).
c) f (0, 0) = (0, 0, 0, 0).
d) f (x, y) = (x + 2y, 2x + y, – x + y, – y).
	05-
a) L(– 1, 3) = (5, 4)
	
b) .
06-
	a) T(2t2 + 5t + 3) = 2t3 + 5t2 + 2t + 3
	b) T(at2 + bt + c) = at3 + bt2 + at + c
07- a) L(6t – 4) = 17t – 7.
	b