polinomios divisoes etc

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Conceitos Básicos
Mariana Dias Júlia Justino
Novembro 2010
Conteúdo
1 Cálculo Algébrico 1
1.1 Conjuntos de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Conjunto dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários . . . . . . . . . . . . 1
1.1.4 Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Fracções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Equações e Inequações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Equações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Equações de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Equações bi-quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Inequações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Equações e Inequações com Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Geometria no Plano 36
2.1 Vectores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Estudo da Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Equações da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Elipse e Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Funções Reais de Variável Real 55
3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Transformações do gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.4 Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.5 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.6 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.7 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.8 Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.9 Função Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Operações com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Funções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.2 Função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.3 Função cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.4 Função algébrica racional fraccionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.5 Função algébrica irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébricas 107
4.1 Equações Fraccionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Inequações de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Inequações Fraccionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1 Cálculo Algébrico
1.1 Conjuntos de Números
1.1.1 Conjunto dos números naturais
N = {1, 2, 3, ...} , onde N0 = {0, 1, 2, 3, ...} .
1.1.2 Conjunto dos números inteiros
Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} , onde Z+ = {1, 2, ...} = N e Z−0 = {...,−2,−1, 0} .
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários
Definição 1 Designa-se fracção à expressão a
b
onde a é o numerador e b o denomi-
nador. Se o numerador é menor que o denominador, a fracção diz-se própria (por exemplo
2
3
, 1
4
, 3
5
); se o numerador é maior ou igual ao denominador a fracção diz-se imprópria (por
exemplo 4
3
, 5
5
, 6
4
); se o numerador é múltiplo do denominador a fracção diz-se aparente (por
exemplo 6
3
, 12
6
, 8
4
).
Definição 2 Chamam-se fracções equivalentes às fracções que representam a mesma
parte do todo (por exemplo, 1
2
, 2
4
, 6
12
são equivalentes). Para encontrar fracções equiva-
lentes, basta multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural (por
exemplo, 1·2
2·2 =
2·3
4·3 =
6
12
são algumas fracções equivalentes a 1
2
). Uma fracção pode ser sim-
plificada se se dividir ambos os termos da fracção pelo factor comum (por exemplo, 9:3
12:3
= 3
4
é uma fracção simplificada de 9
12
). Uma fracção que não possa ser simplificada, porque os
termos não possuem nenhum factor em comum, diz-se fracção irredutível.
O conjunto dos números racionais ou fraccionários é constituído por números que
se podem escrever na forma de fracção em que o numerador e o denominador são números
inteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja,
Q =
­a
b
: a ∈ Z e b ∈ Z \ {0}
®
= {nos racionais} ,
onde números racionais são números representáveis por dízimas finitas ou dízimas infinitas
periódicas.
Operações com números fraccionários
• Adição e subtracção
— Denominadores iguais: Para somar ou subtrair fracções com denominadores iguais,
basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Exemplo 1 4
9
+ 2
9
= 6
9
= 2
3
; 5
6
− 1
6
= 4
6
= 2
3
.
— Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair fracções com denominadores
diferentes, utiliza-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para obter fracções
equivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-se
normalmente as fracções.
Exemplo 2 4
5
+ 5
2
, onde o m.m.c.(5,2)=10. Logo, 4
5(×2)
+ 5
2(×5)
= 8
10
+ 25
10
= 33
10
.
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• Multiplicação: Na multiplicação de fracções, basta multiplicar numerador por nu-
merador e denominador por denominador.
Exemplo 3 4
5
× 3
2
= 4×3
5×2 =
12
10
= 6
5
.
• Divisão: Na divisão de fracções, deve-se multiplicar a primeira fracção pelo inverso
da segunda.
Exemplo 4 4
5
÷ 3
2
= 4
5
× 2
3
= 8
15
.
• Potenciação: Na potenciação, quando se eleva uma fracção a um determinado ex-
poente, está-se a elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplo 5
¡
4
5
¢2
= 4
2
52
= 16
25
.
• Radiciação: Na radiciação, quando se aplica uma raíz a uma fracção, está-se a aplicar
essa raíz ao numeradore ao denominador.
Exemplo 6
q
4
25
=
√
4√
25
= 2
5
.
1.1.4 Conjunto dos números reais
R = Q ∪ {nos irracionais} ,
onde os números irracionais são números representáveis por dízimas infinitas não periódi-
cas, tais que R \Q = {nos irracionais} .
Propriedade 1 .
1. R = Q
·
∪ (R \Q);
2. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, isto é:
R
Q
Z
N
R \Q
Exemplo 7 −3 = −3
1
= −3.0; 1
8
= 0.125; 2
11
= 0.181 8(18) são números racionais e√
2 = 1.414 2...; e = 2.718 2...; π = 3.141 5... são números irracionais.
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1.2 Expressões Algébricas
Definição 3 Uma expressão com uma variável diz-se algébrica quando, sobre a variável,
não incidem outras operações além de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou extracção
de raíz.
Definição 4 Chama-se domínio da expressão algébrica, e representa-se por D, ao con-
junto dos números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão.
Exemplo 8 A expressão algébrica 2
x
tem como domínio D = R \ {0} ; a expressão algébrica√
x+ 3 tem como domínio D = [−3,+∞[ .
1.2.1 Polinómios
Definição 5 Chama-se polinómio de grau n numa variável x a toda a expressão algébrica
de tipo:
anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R e an 6= 0. Neste caso, anxn, an−1xn−1, . . . , a1x, a0 dizem-se
termos do polinómio, an, an−1, . . . , a1, a0 coeficientes e a0 diz-se o termo indepen-
dente.
Definição 6 Seja P (x) um polinómio de grau n. Diz-se que α ∈ R é uma raíz real de P
se P (α) = 0.
Propriedade 2 Considerando um qualquer polinómio de grau 2, ax2+bx+c, as suas raízes
reais podem ser obtidas através da Fórmula Resolvente:
α =
−b±√b2 − 4ac
2a
,
onde ∆ = b2 − 4ac é designado por binómio discriminante.
Se ∆
⎧
⎨
⎩
> 0, então há duas raízes reais e distintas
= 0, então há uma raíz real
< 0, então não há raízes reais
.
Exemplo 9 Determine as raízes reais de P (x) = x2 + 3x− 4.
Resolução: Usando a fórmula resolvente, tem-se que
P (x) = 0 ⇔ x = −3±
√
32−4.1.(−4)
2.1
= −3±
√
9+16
2
= −3±
√
25
2
= −3±5
2
⇔
⇔ x = 1∨ x = −4.
Logo, −4 e 1 são as raízes de P.
Observação 1 .
• Qualquer polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas;
• Todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raíz real.
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Definição 7 Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais os coeficientes dos
termos do mesmo grau.
Definição 8 Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau.
Definição 9 Um polinómio diz-se completo quando existem todos os termos desde o termo
de maior grau até ao termo independente.
Definição 10 Um polinómio com um só termo diz-semonómio, com dois termos binómio
e com três termos trinómio.
Exemplo 10 O polinómio x2 + 1 é um binómio não completo de grau 2 que não admite
raízes reais (∆ < 0) .
Operações com polinómios
• Adição: Para adicionar dois polinómios, aplicam-se as propriedades comutativa e
associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo 11
¡
3x2 + x+ 1
¢
+
¡
5x2 + 3
¢
= 3x2 + x + 1 + 5x2 + 3 =
=
¡
3x2 + 5x2
¢
+ x+ (1+ 3) = 8x2 + x+ 4.
• Subtracção: Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao aditivo o simétrico do
subtrativo.
Exemplo 12
¡
3x2 + x+ 1
¢
−
¡
5x2 − 3x
¢
= 3x2 + x + 1 − 5x2 + 3x =
=
¡
3x2 − 5x2
¢
+ (x+ 3x) + 1 = −2x2 + 4x+ 1.
• Multiplicação: Para calcular o produto de dois polinómios, aplica-se a propriedade
distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os
termos semelhantes.
Exemplo 13
¡
3x2 + x+ 1
¢ × ¡5x2 + 3¢ = 15x4 + 9x2 + 5x3 + 3x + 5x2 + 3 =
= 15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x+ 3.
— Casos Notáveis: Há produtos de polinómios que aparecem com muita frequên-
cia com variadas aplicações na Matemática e que merecem especial atenção: o
quadrado do binómio e a diferença de quadrados.
Quadrado do Binómio - o quadrado do binómio obtém-se adicionando o quadrado
do primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com o
quadrado do segundo termo:
(a+ b)
2
= a2 + 2ab+ b2.
a
a
b
b
2b
2a
ab
ab a
a
b
b
2b
2a
ab
ab
De notar que se os dois termos do binómio têm o mesmo sinal, o termo 2ab é
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positivo e se têm sinais contrários, o termo 2ab é negativo. Logo,
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.
Diferença de Quadrados - o produto de dois polinómios que só diferem no sinal
de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos:
(a+ b) (a− b) = a2 − b2.
a
b
b
2b
2 2a b−
a
a
b
b
2b
2 2a b−
a
• Divisão: Efectuar a divisão inteira de um polinómio chamado dividendoD (x) de grau
n, por outro polinómio chamado divisor d (x) de graum, ondem < n, é encontrar um
polinómio quociente q (x) de grau (n−m) e um polinómio resto r (x) de grau < m,
em que
D (x)| {z }
dividendo
= d (x)|{z}
divisor
· q (x)|{z}
quociente
+ r (x)|{z}
resto
.
A este processo dá-se o nome de Algoritmo da Divisão.
Exemplo 14 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x
4−4x3−3x+1
x−2 .
Resolução:
3x4 −4x3 +0x2 −3x +1 x −2
−3x4 +6x3 3x3 +2x2 +4x +5
2x3 +0x2 −3x +1
−2x3 +4x2
4x2 −3x +1
−4x2 +8x
5x +1
−5x +10
11
Assim, q (x) = 3x3 + 2x2 + 4x+ 5 e r (x) = 11, ou seja,
D (x) = 3x4 − 4x3 − 3x+ 1 = (x− 2) · ¡3x3 + 2x2 + 4x+ 5¢+ 11.
Observação 2 Quando o polinómio r (x) é nulo, ou seja, D (x) = d (x) · q (x) , então
a divisão inteira dos polinómios é denominada exacta. Diz-se, neste caso, que D (x) é
divisível por d (x) .
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Regra de Ruffini - serve para dividir um polinómio D (x) de grau n por um binómio
de tipo (x− α). Se D (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an−1x + an, a Regra de
Ruffini assume o seguinte aspecto:
a0 a1 a2 . . . an−1 an
α αq0 αq1 αqn−2 αqn−1
a0 a1 + αq0 a2 + αq1 . . . an−1 + αqn−2 an + αqn−1
k k k k k
q0 q1 q2 qn−1 r (x)
Assim, D (x) = (x− α) · ¡q0xn−1 + q1xn−2 + . . .+ qn−1¢+ r (x) .
Exemplo 15 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x
4−4x3−3x+1
x−2 .
Resolução:
3 −4 0 −3 1
2 6 4 8 10
3 2 4 5 11
Assim, q (x) = 3x3 + 2x2 + 4x+ 5 e r (x) = 11, ou seja,
D (x) = 3x4 − 4x3 − 3x+ 1 = (x− 2) · ¡3x3 + 2x2 + 4x+ 5¢+ 11.
Decomposição de polinómios em factores
Se um polinómio na variável x, de grau n, anxn +an−1xn−1 + . . .+a1x+a0 admite n raízes
reais, α1,α2, . . . ,αn, pode escrever-se como um produto:
an (x− α1) (x− α2) . . . (x− αn) , an 6= 0.
Exemplo 16 Decomponha em factores do 1o grau os seguintes polinómios:
1. 2x2 − 12x+ 10;
2. 2 (x− 1)2 − 3 (x− 1) .
Resolução:
1. zeros: 2x2 − 12x+ 10 = 0⇔ x = 12±
√
144−80
4
⇔ x = 1∨ x = 5.
Assim, 2x2 − 12x+ 10 = 2 (x− 1) (x− 5) .
2. 2 (x− 1)2 − 3 (x− 1) = (x− 1) [2 (x− 1)− 3] = (x− 1) (2x− 5) .
Propriedade 3 Todo o polinómio P (x) com coeficientes reais pode ser representado como
produto do coeficiente do termo de maior grau (an) por polinómios do 1o grau do tipo x−α
(em que α toma os valores das raízes reais do polinómio) e polinómios de segundo grau do
tipo x2 + bx+ c, sem raízes reais.
Exemplo 17 −3x3 + 6x2 − 9x+ 6 = −3 (x− 1)
¡
x2 − x+ 2
¢
é um polinómio de grau 3 com
uma única raíz real: α = 1.
6 Novembro de 2010
Método dos coeficientes indeterminados
Este método baseia-se no princípio de que dois polinómios são idênticos se os coeficientes
dos termos do mesmo grau são iguais.
Exemplo 18 Calcule o quociente e o resto da divisão 2x
3+3x2+x−5
2x2−1 .
Resolução: O quociente q (x) será um polinómio de 1o grau, por isso da forma
q (x) = ax + b, e o resto r (x) não pode exceder o primeiro grau, da forma r (x) = cx + d,
com a, b, c e d ∈ R e a 6= 0. Como
D (x) = d (x) · q (x) + r (x)
vem
2x3 + 3x2 + x− 5 =
¡
2x2 − 1
¢ · (ax+ b) + (cx+ d) .
Efectuando-se os cálculos no 2o membro
2x3 + 3x2 + x− 5 = 2ax3 + 2bx2 − ax− b+ cx+ d = 2ax3 +2bx2 + (c− a) x+ (d− b) .
Obtem-se dois polinómios, um no 1o membro e outro no 2o, que são idênticos. Pode-se então
escrever ⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
2 = 2a
3 = 2b
1 = c− a
−5 = d− b
⇔
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
a = 2
2
= 1
b = 3
2
1 = c− 1
−5 = d− 3
2
⇔
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
a = 1
b = 3
2
c = 2
d = −7
2
.
Então q (x) = x+ 3
2
e r (x) = 2x− 7
2
.
1.2.2 Fracções Algébricas
Definição 11 Dados dois polinómios P (x) e Q (x) , onde Q (x) é um polinómio não nulo,
designa-se fracção algébrica a toda a expressão da forma P(x)
Q(x)
, isto é, o quociente entre
dois polinómios. A incógnita x poderá tomar qualquer valor real, desde que o seu valor não
anule o denominador. Ao conjunto de números que, substituídos no lugar da variável, dão
sentido à expressão dá-se o nome de domínio da fracção algébrica, e representa-se por
D.
Existem muitas semelhanças nas definições e operações entre fracções algébricas e números
fraccionários.
Definição 12 Consideremos uma fracção algébrica P(x)
Q(x)
tal que Q (x) 6= 0. Se P (x) e Q (x)
são divisíveis pelo mesmo polinómio d (x) , então existem dois polinómios M (x) e N (x) que:
P (x) = M (x) · d (x) e Q (x) = N (x) · d (x) com N (x) 6= 0, verificando-se:
P (x)
Q (x)
=
M (x) · d (x)
N (x) · d (x) =
M (x)
N (x)
.
Diremos que M(x)
N(x)
é a simplificação de P(x)
Q(x)
.
7 Novembro de 2010
Assim, para simplificar fracções algébricas, depois de factorizados o numerador e o deno-
minador, dividem-se ambos os termos pelos factores comuns, não esquecendo o domínio em
que a simplificação é válida.
Definição 13 Duas fracções P(x)
Q(x)
e M(x)
N(x)
são equivalentes se uma delas é a simplificação
da outra.
Exemplo 19 Simplifique as seguintes fracções algébricas, indicando os respectivos domínios:
1. x+2
x2+4x+4
;
2. (
x2−1)(x2−4)
(x−1)(x+2)(x−3) .
Resolução:
1. x+2
x2+4x+4
= x+2
(x+2)2
= 1
x+2
, onde D = R \ {−2} .
2. (
x2−1)(x2−4)
(x−1)(x+2)(x−3) =
(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)
(x−1)(x+2)(x−3) =
(x+1)(x−2)
(x−3) , onde D = R \ {−2, 1, 3} .
Definição 14 Dadas as fracções P(x)
Q(x)
e M(x)
N(x)
tais que Q (x) 6= 0 e N (x) 6= 0, as expressões
P (x) ·N (x)
Q (x) ·N (x) e
M (x) ·Q (x)
N (x) ·Q (x)
são expressões algébricas equivalentes às dadas e com igual denominador. A Q (x) · N (x)
dá-se o nome de denominador comum.
Método para determinar o Mínimo Denominador Comum
1. Factorizam-se os polinómios dos denominadores;
2. Multiplicam-se todos os factores diferentes;
3. Se existem factores com a mesma base, mas expoente diferente, considera-se o que tem
maior expoente.
Operações com Fracções Algébricas
• Adição e subtracção: Para somar ou subtrair duas ou mais fracções algébricas,
devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e só depois somar ou subtrair
os polinómios.
P (x)
Q (x)
± M (x)
N (x)
=
P (x) ·N (x)
Q (x) ·N (x) ±
M (x) ·Q (x)
Q (x) ·N (x) =
P (x) ·N (x)±M (x) ·Q (x)
Q (x) ·N (x) .
• Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais fracções algébricas, devem-se multi-
plicar os polinómios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si.
P (x)
Q (x)
× M (x)
N (x)
=
P (x) ·M (x)
Q (x) ·N (x) .
8 Novembro de 2010
• Divisão: O quociente de duas fracções algébricas fica definido através da multiplicação
da primeira fracção pelo inverso da segunda.
P (x)
Q (x)
÷ M (x)
N (x)
=
P (x)
Q (x)
× N (x)
M (x)
=
P (x) ·N (x)
Q (x) ·M (x) .
Exemplo 20 Efectue os cálculos e simplifique, indicando os respectivos domínios:
1. 2
x+2
− 2
x+1
;
2. x− 2x+1
x−1 ;
3. x
2+3x
x2−4 × x+2x+3 ;
4. x+3
x2
÷ x2+1
x−1 .
Resolução:
1. 2
x+2
− 2
x+1
= 2
x+2(x+1)
− 2
x+1(x+2)
= 2(x+1)−2(x+2)
(x+2)(x+1)
= 2x+2−2x−4
(x+2)(x+1)
= − 2
x2+3x+2
, onde
D = R \ {−2,−1} .
2. x− 2x+1
x−1 =
x2−x−2x−1
x−1 =
x2−3x−1
x−1 , onde D = R \ {1} .
3. x
2+3x
x2−4 × x+2x+3 =
(x2+3x)(x+2)
(x2−4)(x+3) =
x(x+3)(x+2)
(x−2)(x+2)(x+3) =
x
x−2 , onde D = R \ {−3,−2, 2} .
4. x+3
x2
÷ x2+1
x−1 =
x+3
x2
× x−1
x2+1
= (x+3)(x−1)
x2 (x2+1)
= x
2+2x−3
x4+x2
, onde D = R \ {0, 1} .
1.3 Equações e Inequações Algébricas
Definição 15 A equação algébrica é uma igualdade entre duas expressões matemáti-
cas que podem conter uma ou mais variáveis (ou incógnitas) sujeitas a operações algébri-
cas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação). Por exemplo, ax + b = 0,
x2 − 2x = 1, ax4 = bx. O objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que
podem assumir as incógnitas da equação. Toda a equação tem:
• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis
ou incógnitas;
• um sinal de igualdade (=) ;
• uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da
esquerda;
• uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da
direita.
As expressões do 1o e 2o membros da equação chamam-se termos da equação.
−3
incógnita%
x + 4| {z }
1o membro
= 10|{z}
2o membro
9 Novembro de 2010
Resolver uma equação significa obter o valor da incógnita ou das incógnitas, isto é, obter as
raízes da equação.
Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equação, ela
permanece em equilíbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros da
equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. É este o processo que
permite resolver uma equação.
1.3.1 Equações de 1o grau
Definição 16 As equações de 1o grau com uma variável são da forma mx+ b = 0, com
m, b ∈ R, m 6= 0.
Exemplo 21 Resolva a seguinte equação algébrica −3x+ 4 = 10.
Resolução:
−3x+ 4 = 10⇔ Equação inicial
⇔ −3x+ 4− 4 = 10− 4⇔ Subtraímos ambos os membros por 4
⇔ −3x = 6⇔
⇔ −3x−3 = 6−3 ⇔ Dividimos ambos os membros por − 3
⇔ x = −2 C.S. = {−2} é a solução da equação.
1.3.2 Equações de 2o grau
Definição 17 Uma equação de 2o grau na incógnita x é da forma ax2+bx+c = 0, onde
os números a, b e c são os coeficientes da equação, sendo a 6= 0. Estas equações podem ser
completas, se todos os coeficientes são diferentes de zero, ou incompletas, se b = 0 ou c = 0
ou b = c = 0.
Resolução de equações completas
Sabemos que uma equação completa de 2o grau é uma equação do tipo ax2+bx+c = 0, onde
todos os coeficientes são diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a fórmula resolvente.
Exemplo 22 Resolva as seguintes equações completas de 2o grau:
1. x2 − 6x+ 8 = 0;
2. x2 − 10x+ 25 = 0;
3. x2 + 2x+ 7 = 0.
Resolução:
1. x2 − 6x+ 8 = 0⇔ x = 6±
√
36−32
2
⇔
∆>0
x = 6±
√
4
2
⇔ x = 6±2
2
⇔ x = 4∨ x = 2, ou seja, a
equação tem duas raízes reais, C.S. = {2, 4} .
2. x2 − 10x + 25 = 0 ⇔ x = 10±
√
100−100
2
⇔
∆=0
x = 6±0
2
⇔ x = 3, ou seja, a equação tem
uma raíz real, C.S. = {3} .
3. x2 + 2x+ 7 = 0 ⇔ x = −2±
√
4−28
2
⇔
∆<0
x = −2±
√
−24
2
, ou seja, a equação não tem raízes
reais, C.S. = ∅.
10 Novembro de 2010
Resolução de equações incompletas
• Equações do tipo ax2 = 0
Basta dividir toda a equação por a (a 6= 0) para se obter x2 = 0. Assim, a equação
tem como conjunto solução C.S. = {0} .
• Equações do tipo ax2+c = 0
Basta dividir toda a equação por a (a 6= 0) e passar o termo constante para o segundo
membro para se obter x2 = − c
a
. Se− c
a
< 0, não existe solução no conjunto dos números
reais; se − c
a
> 0, a equação tem duas raízes, x = −
p
− c
a
∨x =
p
− c
a
, sendo o conjunto
solução C.S. =
©
−
p
− c
a
,
p
− c
a
ª
.
• Equações do tipo ax2+bx = 0
Neste caso, factorizando a equação, obtem-se x (ax+ b) = 0. Assim, a equação terá
duas raízes x = 0∨ x = −b
a
, sendo o conjunto solução C.S. =
©
0,−b
a
ª
.
Exemplo 23 Resolva as seguintes equações incompletasde 2o grau:
1. 4x2 = 0;
2. 4x2 − 8 = 0;
3. x2 + 5 = 0;
4. 4x2 − 12x = 0.
Resolução:
1. 4x2 = 0⇔ x2 = 0⇔ x = 0, ou seja, C.S. = {0} .
2. 4x2 − 8 = 0 ⇔ 4x2 = 8 ⇔ x2 = 8
4
⇔ x2 = 2 ⇔ x = −
√
2 ∨ x =
√
2, ou seja,
C.S. =
­
−
√
2,
√
2
®
.
3. x2 + 5 = 0⇔ x2 = −5 equação impossível, ou seja, C.S. = ∅.
4. 4x2 − 12x = 0 ⇔ x (4x− 12) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 4x − 12 = 0 ⇔ x = 0 ∨ 4x = 12 ⇔
⇔ x = 0∨ x = 12
4
⇔ x = 0∨ x = 3, ou seja, C.S. = {0, 3} .
1.3.3 Equações bi-quadradas
Definição 18 As equações bi-quadradas são equações de 4o grau na incógnita x de forma
geral ax4 + bx2 + c = 0. Na verdade, esta equação pode ser escrita como uma equação de
2o grau, através da substituição y = x2, obtendo-se ay2 + by + c = 0. Para resolver este
tipo de equação, aplica-se a fórmula resolvente à última equação e obtêm-se as soluções y1
e y2. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possíveis soluções serão
x2 = y1 ∨ x2 = y2 e se y1 ou y2 for negativo, estas não existirão para x.
Exemplo 24 Resolva as seguintes equações bi-quadradas:
1. x4 − 5x2 − 36 = 0;
2. x4 + 13x2 + 36 = 0.
11 Novembro de 2010
Resolução:
1. x4−5x2−36 = 0 ⇔
y=x2
y2−5y−36 = 0⇔ y = 5±
√
25+144
2
⇔ y = 5±
√
169
2
⇔ y = 5±13
2
⇔
⇔ y = 9∨ y = −4, ou seja, x2 = 9∨ x2 = −4| {z }
impossível
⇔ x = −3∨ x = 3.
Logo, C.S. = {−3, 3} .
2. x4 + 13x2 + 36 = 0 ⇔
y=x2
y2 + 13y + 36 = 0 ⇔ y = −13±
√
169−144
2
⇔ y = −13±
√
25
2
⇔
⇔ y = −13±5
2
⇔ y = −9∨ y = −4, ou seja, x2 = −9| {z }
impossível
∨ x2 = −4| {z }
impossível
.
Logo, C.S. = ∅.
Definição 19 Relacionadas com as equações algébricas, existem as chamadas inequações
algébricas (ou desigualdades algébricas), que são sentenças matemáticas com uma ou
mais variáveis (ou incógnitas) em que os termos estão ligados por um dos quatros seguintes
sinais de desigualdades: < (menor); > (maior); ≤ (menor ou igual); ≥ (maior ou igual).
Nas inequações, o objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir
as incógnitas da equação.
1.3.4 Inequações de 1o grau
Definição 20 As inequações de 1o grau com uma variável podem ser escritas numa das
seguintes formas: mx + b < 0, mx + b > 0, mx + b ≤ 0 ou mx + b ≥ 0, com m, b ∈ R,
m 6= 0.
Exemplo 25 Resolva as seguintes inequações algébricas de 1o grau:
1. 2x− 7 ≥ 0;
2. −3
5
x+ 7
2
< 0.
Resolução:
1. 2x− 7 ≥ 0⇔ 2x ≥ 7⇔ x ≥ 7
2
. Logo, C.S. =
£
7
2
,+∞
£
.
2. −3
5
x+ 7
2
< 0⇔ −3
5
x < −7
2
⇔ x > −
7
2
− 3
5
⇔ x > 35
6
. Logo, C.S. =
¤
35
6
,+∞
£
.
1.4 Equações e Inequações com Módulos
Definição 21 O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por |x|,
é definido por:
|x| =
¯
x , x ≥ 0
−x , x < 0 .
Isto é, se x é positivo ou zero, |x| é igual ao próprio x (por exemplo, |2| = 2), se x é negativo,
|x| é igual a −x (por exemplo, |−2| = 2).
Geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que o número
x representa na recta real ao ponto 0 de origem. Assim:
12 Novembro de 2010
• Se |x| < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a,
isto é, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x| < a⇔ −a < x < a.
a− aa− a
• Se |x| > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto
é, x deve estar à direita de a ou à esquerda de −a, ou seja, |x| > a⇔ x > a∨x < −a.
a− aa− a
Definição 22 Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros
será chamada equação com módulos.
Exemplo 26 Resolva as seguintes equações com módulos:
1.
¯¯
x2 − 5x
¯¯
= 6;
2. |x− 6| = |3− 2x| .
Resolução:
1.
¯¯
x2 − 5x
¯¯
= 6⇔ x2 − 5x = 6∨ x2 − 5x = −6⇔ x2 − 5x− 6 = 0∨ x2 − 5x+ 6 = 0⇔
⇔ x = −1∨ x = 6∨ x = 2∨ x = 3.
Logo, C.S. = {−1, 2, 3, 6} .
2. |x− 6| = |3− 2x| ⇔ x − 6 = 3 − 2x ∨ x − 6 = − (3− 2x) ⇔
⇔ x + 2x = 3 + 6 ∨ x − 2x = −3 + 6 ⇔ 3x = 9 ∨ −x = 3 ⇔ x = 3 ∨ x = −3.
Logo, C.S. = {−3, 3} .
Definição 23 Chama-se inequação com módulos a uma inequação em que a incógnita
está contida num módulo.
Exemplo 27 Resolva as seguintes inequações com módulos:
1. |2x+ 6| < 2;
2. |−2x+ 3| ≥ 4.
Resolução:
1. |2x+ 6| < 2 ⇔ 2x + 6 < 2 ∧ 2x + 6 > −2 ⇔ 2x < 2 − 6 ∧ 2x > −2 − 6 ⇔
⇔ 2x < −4∧ 2x > −8⇔ x < −4
2
∧ x > −8
2
⇔ x < −2∧ x > −4.
Logo, C.S. = ]−4,−2[ .
13 Novembro de 2010
2. |−2x+ 3| ≥ 4 ⇔ −2x + 3 ≥ 4 ∨ −2x + 3 ≤ −4 ⇔ −2x ≥ 1 ∨ −2x ≤ −7 ⇔
⇔ x ≤ −1
2
∨ x ≥ 7
2
.
Logo, C.S. =
¤
−∞,−1
2
¤
∪
£
7
2
,+∞
£
.
Observação 3 Considerando os números reais x e y, tem-se por definição, que
√
x = y⇔
⇔ y2 = x e y ≥ 0. Daí pode-se concluir que
√
x2 = x só é verdadeiro se x ≥ 0. Se x < 0,
por exemplo x = −3, teríamos
q
(−3)2 6= −3. Assim, usando a definição de módulo, pode
escrever-se
√
x2 = |x| , ∀x ∈ R. De uma forma mais geral:
n
√
xn =
¯
|x| ,∀x ∈ R e n par
x ,∀x ∈ R e n ímpar .
14 Novembro de 2010
1.5 Exercícios Propostos
Exercício 1 Efectue as seguintes operações e simplifique o resultado:
1. 1
2
− 4
3
;
2. 2
3
×
h¡
3
2
¢2
+ 1
3
i
;
3.
q
9
4
÷ 5
2
;
4. 9
10
÷ ¡−2
5
¢
;
5.
¡
−4
7
¢÷ 4;
6. 22 ÷ 1
2
;
7.
¡
−1
4
¢÷√16;
8. 5
6
÷
³√
25
62
− 1
6
´
.
Exercício 2 Indique, justificando, quais dos seguintes números reais são racionais ou irra-
cionais:
1.
√
5;
2. 0;
3. ln 2;
4. 1. (3) ;
5. 0.75;
6. −0.14285714 . . . .
Exercício 3 Indique o domínio das seguintes expressões algébricas:
1. 2+x
2
x−1 ;
2.
√
x+ 5;
3. 13√2−x ;
4. 2x+1
x2+1
;
5. − x3√
x
.
Exercício 4 Do polinómio 3x5 − x10 + 7− x2 indique:
1. o termo independente;
2. o coeficiente do termo de grau 2;
3. o grau do polinómio.
15 Novembro de 2010
Exercício 5 Qual é o grau de cada um dos seguintes polinómios?
1. 5x2 − 3x;
2. 0x+ 3;
3. 0x2 + 0x+ 0.
Exercício 6 Dado o polinómio 5x2 − 3x4 + x3 + 1,
1. ordene-o segundo as potências crescentes de x;
2. indique o seu grau e justifique se é completo ou incompleto.
Exercício 7 Considere o polinómio −5x3 − x4 + 2
3
x2 − 5x.
1. Ordene-o segundo as potências decrescentes de x.
2. É um polinómio completo ou incompleto? Porquê?
Exercício 8 Dê um exemplo de um polinómio do 1o grau:
1. completo;
2. incompleto.
Exercício 9 Averigue se os polinómios seguintes admitem as raízes −1, 1 e 2 :
1. x3 + 1;
2. x3 − 2x2 − x+ 2;
3. x3 − 2x2 − 3x.
Exercício 10 Determine as raízes reais dos seguintes polinómios:
1. 2x− 1;
2. x2 + x;
3. x2 − 2x+ 1;
4. x2 + x− 2;
5. −x2 − x+ 1.
Exercício 11 Escreva na forma de polinómio a soma dos seguintes pares de polinómios:
1. x2 − 2x3 + x+ 3 e 3x− x4 − 4x2;
2. x2 − 1
2
+ 2
3
x3 e 3x− 1
2
x2 + 1
3
x3;
3. x4 − 1 e x3 + 3x.
16 Novembro de 2010
Exercício 12 Considere os polinómios P (x) = 5x− 3
2
x2 e Q (x) = 1
2
x2−x+2x3−1. Calcule:
1. a sua soma;
2. a soma de P (x) com o simétrico de Q (x) .
Exercício 13 Sendo M (x) = 5x4 − 3x + 1 e N (x) = 3x4 − 2x2 + x3 − 2x + 3, defina na
forma de polinómio:
1. M (x)−N (x) ;
2. N (x)−M (x) .
Exercício 14 Dados os polinómios R (x) = 3x − x2 + 3, S (x) = x3 − 2x + 5 e
T (x) = 2x2 − 2x3 + 5− x, calcule:
1. R+ S+ T ;
2. R− (S+ T) ;
3. R− S+ T.
Exercício 15 Considere os polinómios A (x) = x2 − 2x + 1, B (x) = −3x2 + 2x + 1 e
C (x) = x3 − 2x+ 1. Calcule:
1. A− 3B+ 4C;
2. (C−A)2 − 3 (A− B) ;
3. (3A+ B)2 − 2C;
4. C2 −A2.
Exercício 16 Escreva na forma de polinómio:
1.
¡
x2 + 2− 4x
¢
(3x− 2) ;
2. (x− 3) (x+ 2)− (2x+ 2)2 ;
3.
£
4x2 − 3x
¡
2
3
x+ 1
¢¤
. (4x− 1) ;
4. (2x+ 1) (x− 1)− (x+ 4) (x− 2) .
Exercício 17 Sendo A (x) = x2 + 1− 2x, B (x) = 3x+ 1 e C (x) = 2− x2, verifique que:
1. A.B = B.A;
2. (A.B).C = A. (B.C) .
Exercício 18 Dados os polinómios M = 3x2 − 1, N = x+ 2 e P = 2x+ 3, calcule:
1. M−N+ 2P;
2. M×N+ P2;
3. (M+N)2 − (M+ P) .
17 Novembro de 2010
Exercício 19 Calcule os números reais a e b de modo que a expressão designatória
x2 − 2ax+ b se transforme num polinómio equivalente à expressão (x− 1) (x+ 3) .
Exercício 20 Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. 4x2 − 3x+ 1 por x+ 1;
2. 1
2
x2 − 3x3 + 2x por 3x− 2;
3. 4x3 − 3x2 + 13x+ x5 por x2 − 2x+ 3;
4. 3x4 − 3− x2 por x− 2;
5. 3x2 − x3 + 2 por −2x− x2 + 1;
6. x3 − 1 por x+ 1;
7. 3x+ 2 por x+ 1;
8. x2 − 5x+ 1 por x3 + 2;
9. x4 − 2
3
x3 + 3x2 + 2x− 1 por x3 − 2x;
10. 1
2
x3 + 2x2 − 22x+ 1 por 1
3
x+ 3.
Exercício 21 Complete:
4x3 −4x2 ¤ ¤ 2x ¤
¤ ¤ ¤ ¤ +9
−10x2 ¤
¤ ¤
¤ ¤
¤ ¤
−2
Exercício 22 Usando a regra de Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. x4 − x2 − 3x+ 1 por x+ 3;
2. −1
8
x2 + 1
2
x4 − 3x+ 1 por 2x+ 1;
3. 3x2 − 5x+ 4 por x− 2;
4. x4 − x3 + 1 por x+ 2;
5. −2x+ 8x3 − 1 por x+ 1
2
.
Exercício 23 Mostre que x5 + 1 é divisível por x+ 1.
Exercício 24 Mostre que x3−4x2−11x+30 é divisível por x−2 e determine as suas outras
raízes.
18 Novembro de 2010
Exercício 25 Determine o valor de m de modo que o polinómio x3 −mx+ 1 seja divisível
por x− 1.
Exercício 26 Escreva o polinómio de 2o grau que admite raízes 1 e 2 e dividido por x+ 1
dê resto 3.
Exercício 27 Calcule o resto da divisão de xn + 1, n ∈ N, por x+ 1 se:
1. n é par;
2. n é ímpar.
Exercício 28 Utilize a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divisões:
1. 4x3 − 3 por 2x− 1;
2. 3x4 + x2 + 1 por 3x+ 2;
3. 8x2 − 5x+ 3 por 4x+ 1.
Exercício 29 Calcule o parâmetro real k de modo que seja 2 o resto da divisão do polinómio
x4 − x2 + kx+ 2 por x− 1.
Exercício 30 Dados os polinómios A (x) = x2 − 3x+ 2 e B (x) = x2 − 2x+ 5.
1. Determine α ∈ R, de modo que A (x) e B (x) divididos por x− α dêm restos iguais;
2. Indique o resto comum da alínea anterior.
Exercício 31 Sem efectuar a divisão, verifique que o polinómio P (x) = x3−7x+6 é divisível
por x− 2 e por x+ 3.
Exercício 32 Considere o polinómio x3 + 8x2 − 7.
1. Verifique que o polinómio é divisível por x+ 1;
2. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinómio num produto.
Exercício 33 Para cada valor natural n, a expressão (x+ 5)2n+(x+ 6)n−1 representa um
polinómio em x de coeficientes reais. Prove que esse polinómio é divisível por (x+ 6) (x+ 5).
Exercício 34 Factorize:
1. 25x2 − 16;
2. 4x2 + 6x;
3. x2 − x+ 1
4
;
4. −2x3 + x2 + x;
5. 5t3 + 4t2 − t;
6. 8x3 + 1.
19 Novembro de 2010
Exercício 35 Decomponha em factores o mais elementares possível os polinómios:
1. 3x2 − 21x+ 18;
2. x5 − 5x3 + 4x sabendo que admite as raízes 1 e −2;
3. 36x4 − 13x2 + 1 sabendo que é divisível por x2 − 1
4
;
4. x3 + 5x2 + 8x+ 4 sabendo que admite a raíz −2.
Exercício 36 Para todo o k ∈ R, a expressão 2x2 − 3x + k transforma-se num polinómio
do 2o grau.
1. Calcule k de modo que o polinómio admita 2 como zero;
2. Substitua k pelo valor encontrado e factorize o polinómio.
Exercício 37 Determine o polinómio do 2o grau que admite como zero único o número −3
e que dividido por x+ 2 dá resto igual a 5.
Exercício 38 Considere 2x3 − x2 + ax+ b, com a, b ∈ R.
1. Calcule a e b de modo que o polinómio seja divisível por (x− 1) (x− 2) .
2. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinómio e factorize.
Exercício 39 Seja A (x) um polinómio em x : A (x) = x3 − 6x2 + 11x− 6.
1. Determine B (x) tal que A (x) = (x− 1) .B (x) .
2. Escreva A (x) como um produto de factores do 1o grau.
Exercício 40 Considere o polinómio P (x) = 4x5 + 8x4 + x3 − 5x2 − x+ 1.
1. Verifique que −1 é zero triplo de P (x).
2. Factorize o polinómio.
Exercício 41 Calcule a e b pertencentes a R de modo que para todo o valor real de x se
tenha x2 + ax+ 1 = (x− b)2 .
Exercício 42 Determine k,m e n de modo que sejam equivalentes as expressões 4x2+mx+
n
e (x− 1)2 + kx2.
Exercício 43 Determine os números reais a, b e c de modo que:
(x− a)2 + (y− b)2 − c2 = x2 + y2 − 4x+ 6y− 3.
Exercício 44 Considere o polinómio P (x) = 6x3 − 7x2 − 16x+ c, onde c ∈ R. Sabendo que
2 é raíz de P, determine o valor de c e as restantes raízes de P.
20 Novembro de 2010
Exercício 45 Para cada valor real de m, a expressão 2x4 +mx3 + (m+ 20) x2 − 4 é um
polinómio em x.
1. Determine o valor de m para o qual o polinómio é divisível por x− 1.
2. Considere o valor m obtido na alínea anterior e prove que 2 é uma raiz de multiplici-
dade 2 desse polinómio. Factorize.
Exercício 46 Determine a e b de modo que x3−2x2+ax+b seja divisível por (x− 3) (x+ 1) .
Exercício 47 Calcule m ∈ R de modo que 4x2 + 12x+m seja equivalente ao quadrado de
um polinómio.
Exercício 48 Calcule os zeros do polinómio P (x) sabendo que P (y− 1) = y2 − 5y+ 6.
Exercício 49 Determine o domínio, em R, de cada uma das seguintes expressões:
1. 1+ 3
x−1 ;
2. 2
x−1 +
2
x+3
;
3. x−2
(x−3)(x2+7x+12) ;
4. x
2−4
x2+x
;
5. 3−x
x2+4
;
6. 2
x2−x+3 .
Exercício 50 Simplifique as fracções, indicando o respectivo domínio:
1. 2x
2−2
2x−2 ;
2.
(3x+3)(x2+2)
2x2+4
;
3. x
2−x
x2−2x+1 ;
4. x
4−9
x2+3
;
5. x
2−x−2
2x3+2x2
;
6. x
2−4
x2+2x
;
7. 3x−12
3x2−15x+12 ;
8. x
2−2x−3
x3−2x2−x+2 ;
9. x
3−7x2+3x+3
2x3−3x2+x ;
10. x
4−5x2+4
x4−16 .
21 Novembro de 2010
Exercício 51 Considere as seguintes expressões designatórias, em R, A = 3x
x−2 , B =
x2−4
x2+x
e
C = x+1
x+2
.
1. Determine o domínio de cada uma das expressões anteriores;
2. Calcule e simplifique A+ B, ABC e (
C
B )
x+A
.
Exercício 52 Efectue, no respectivo domínio, as seguintes adições:
1. 2
3y
+ 3
2
;
2. 5
2x2
− x+1
x
;
3. 2a+3
4a2
+ a+1
6a
.
Exercício 53 Efectue, no respectivo domínio, as operações indicadas e, se possível, simpli-
fique o resultado:
1. x
x−2 +
2x+1
x+2
− 2x2
x2−4 ;
2. x
2−1
x
− x2
x+1
+ 1
x2+x
;
3. 2x+1
2x+3
+ 2x
x−2 − 20+4x2x2−x−6 .
Exercício 54 Calcule os parâmetros A e B de modo que sejam equivalentes, no respectivo
domínio, as expressões:
1. A
x−1 +
B
x−2 e
3x−4
(x−1)(x−2) ;
2. Ax− Bx−1
x+2
e x
2+x+1
x+2
.
Exercício 55 Efectue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores da
variável para os quais a simplificação é válida:
1. 2x× x−1
x+3
;
2. 3x
2
× 1−x
x−3 ;
3. x−1
x+3
× x+1
x+3
;
4. x
4
× −4
5x3
;
5. x
2+3x
2−x × x
2−4
x2−9 ;
6. 2x
x2+2x+1
× 1−x2
x2
;
7. x
2+4x+4
x−2 × x
2−4x+4
x+2
.
Exercício 56 Efectue as seguintes divisões, simplifique o resultado e indique os valores de
x para os quais são válidas as operações e as simplificações:
1. (−3x) : 2
x+1
;
2. x
4−1
x4
: x
2+1
3x
;
22 Novembro de 2010
3. x
2−25
15x
: x
2+10x+25
9x2
;
4. x
2+4x+3
x2−5x+4 :
x+3
x−4 .
Exercício 57 Efectue as operações, simplifique o mais possível e indique o domínio de va-
lidade:
1. 2
x
− 2
x−2 ;
2. x−1
x2−1 +
x2−1
x+1
+ 3x
x−1 ;
3. x−1
x2−1 × x
2−1
x+1
× 3x
x−1 ;
4. x
2−4
x+2
× x3+3x
x(x+1)
× 5x
x2−4 ;
5. x
2−9
2x
÷ x2+6x+9
4x2
;
6.
¡
4
x
− 1
¢2 × x2
x2−16 ;
7.
x− x
x+1
x
x−1 +x
.
Exercício 58 Transforme numa fracção racional irredutível equivalente cada uma das ex-
pressões racionais seguintes e determine o domínio:
1.
¡
2+ 7
x2−4
¢
:
¡
1− 3
x+2
¢
;
2.
³
2
y+3
+ 2
y−3
´³
y2−9
y2
´
;
3. 1
1+ a
3
+ 1
1+ 2
a+1
+ 1
1+ 1
a+2
;
4.
8
(x−3)(x2−9)
+ 1
x2−9 +
1
x2−6x+9
(1+ 7x−3 )
2 .
Exercício 59 Simplifique asfracções e determine o domínio:
1. x
2−y2
x2+2xy+y2
;
2. 2a
2b−4ab2
a2−4ab+4b2 .
Exercício 60 Efectue as operações seguintes e simplifique o resultado. Indique os domínios
de validade:
1.
³
1
x
− x
x2+xy
− y
(x+y)2
´
: y
(x+y)2
;
2. a
2−6ab+9b2
4c2
· 2ac2+6bc2
a2−9b2 .
Exercício 61 Resolva as seguintes equações algébricas:
1. 2x+ 4 = 2;
2. 6− x = 2;
3. 1− 6x = −1;
23 Novembro de 2010
4. −3x2 = 0;
5. x2 − 4x+ 3 = 0;
6. x2 − 3x = 4;
7. x2 − 2x+ 4 = 0;
8. −3x2 + 5x = 8;
9. x2 + 2x+ 1 = 0;
10. x2 + 6x+ 9 = 0;
11. x2 − 1 = 0;
12. 2x2 + 5 = 0;
13. 9x2 − 18 = 0;
14. −x2 + 8x = 0;
15. 4x2 + 6x = 0;
16. 4x2 − 4x = −1;
17. x4 − 2x2 − 8 = 0;
18. x4 − 13x2 + 36 = 0;
19. (3x+ 1) (2x− 5) = 0;
20.
¡
x2 − 1
¢
(4− 3x) = 0;
21.
¡
x3 − 2x2 + x
¢ ¡
x2 + 25
¢
= 0;
22. (x− 1)2 − (2x− 3)2 = 0.
Exercício 62 Resolva os seguintes sistemas de equações:
1.
¯
x+ y = 1
2x+ y = 3
;
2.
¯
x+ y− 12 = 0
x2 + y2 = 80
;
3.
¯
x2 + y2 − 2x = 0
x2 + y2 − 8x+ 12 = 0 .
Exercício 63 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 4x− 1 ≥ −5;
2. 2x− 1
2
< 0;
3. 6− 2x ≤ 2;
4. −x− 5 > 1
2
.
24 Novembro de 2010
Exercício 64 Resolva, em R, as seguintes condições com módulos:
1. |2x− 7| = 20;
2.
¯¯
x2 + 2x
¯¯
− 3x = 0;
3. |x− 2| = |1− x| ;
4. |x− 4| ≥ 2;
5. |2x− 1| > −3;
6. |x+ 3| ≤ 2x;
7. |2x+ 3| < 4x+ 1.
25 Novembro de 2010
1.6 Soluções
Solução 1 .
1. −5
6
.
2. 31
18
.
3. 3
5
.
4. −9
4
.
5. −1
7
.
6. 8.
7. − 1
16
.
8. −30.
Solução 2 .
1. no irracional.
2. no racional.
3. no irracional.
4. no racional.
5. no racional.
6. no irracional.
Solução 3 .
1. D = R \ {1} .
2. D = [−5,+∞[ .
3. D = R \ {2} .
4. D = R.
5. D = R+.
Solução 4 .
1. 7.
2. −1.
3. 10.
26 Novembro de 2010
Solução 5 .
1. 2.
2. 0.
3. Indeterminado.
Solução 6 .
1. 1+ 5x2 + x3 − 3x4.
2. 4; incompleto (falta o termo de grau 1).
Solução 7 .
1. −x4 − 5x3 + 2
3
x2 − 5x.
2. incompleto (falta o termo independente).
Solução 8 .
1. 1+ x.
2. x.
Solução 9 .
1. Admite a raíz −1.
2. Admite as raízes −1, 1 e 2.
3. Admite a raíz −1.
Solução 10 .
1. α = 1
2
.
2. α1 = −1 e α2 = 0.
3. α = 1.
4. α1 = −2 e α2 = 1.
5. α1 = −1−
√
5
2
e α2 = −1+
√
5
2
.
Solução 11 .
1. −x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 3.
2. x3 + 1
2
x2 + 3x− 1
2
.
3. x4 + x3 + 3x− 1.
27 Novembro de 2010
Solução 12 .
1. 2x3 − x2 + 4x− 1.
2. −2x3 − 2x2 + 6x+ 1.
Solução 13 .
1. 2x4 − x3 + 2x2 − x− 2.
2. −2x4 + x3 − 2x2 + x+ 2.
Solução 14 .
1. −x3 + x2 + 13.
2. x3 − 3x2 + 6x− 7.
3. −3x3 + x2 + 4x+ 3.
Solução 15 .
1. 4x3 + 10x2 − 16x+ 2.
2. x6 − 2x5 + x4 − 12x2 + 12x.
3. −2x3 + 16x2 − 28x+ 14.
4. x6 − 5x4 + 6x3 − 2x2.
Solução 16 .
1. 3x3 − 14x2 + 14x− 4.
2. −3x2 − 9x− 10.
3. 8x3 − 14x2 + 3x.
4. x2 − 3x+ 7.
Solução 17 .
1. -
2. -
Solução 18 .
1. 3x2 + 3x+ 3.
2. 3x3 + 10x2 + 11x+ 7.
3. 9x4 + 6x3 + 4x2 − 1.
28 Novembro de 2010
Solução 19 a = −1 e b = −3.
Solução 20 .
1. q (x) = 4x− 7 e r (x) = 8.
2. q (x) = −x2 − 1
2
x+ 1
3
e r (x) = 2
3
.
3. q (x) = x3 + 2x2 + 5x+ 1 e r (x) = −3.
4. q (x) = 3x3 + 6x2 + 11x+ 22 e r (x) = 41.
5. q (x) = x− 5 e r (x) = −11x+ 7.
6. q (x) = x2 − x+ 1 e r (x) = −2.
7. q (x) = 3 e r (x) = −1.
8. q (x) = 0 e r (x) = x2 − 5x+ 1.
9. q (x) = x− 2
3
e r (x) = 5x2 + 2
3
x− 1.
10. q (x) = 3
2
x2 − 15
2
x+ 3
2
e r (x) = −7
2
.
Solução 21 .
4x3 −4x2 3x 25 2x 3
−4x3 −6x2 2x2 −5x +9
−10x2
10x2 15x
18x 25
−18x −27
−2
Solução 22 .
1. q (x) = x3 − 3x2 + 8x− 27 e r (x) = 82.
2. q (x) = x
3
4
− x2
8
− 3
2
e r (x) = 5
2
.
3. q (x) = 3x+ 1 e r (x) = 6.
4. q (x) = x3 − 3x2 + 6x− 12 e r (x) = 25.
5. q (x) = 8x2 − 4x e r (x) = −1.
Solução 23 -
Solução 24 α1 = −3 e α2 = 5.
Solução 25 m = 2.
Solução 26 1
2
x2 − 3
2
x+ 1.
29 Novembro de 2010
Solução 27 .
1. 2.
2. 0.
Solução 28 .
1. q (x) = 2x2 + x+ 1
2
e r (x) = −5
2
.
2. q (x) = x3 − 2
3
x2 + 7
9
x− 14
27
e r (x) = 55
27
.
3. q (x) = 2x− 7
4
e r (x) = 19
4
.
Solução 29 k = 0.
Solução 30 .
1. α = −3.
2. 20.
Solução 31 -
Solução 32 .
1. -
2. (x+ 1)
¡
x2 + 7x− 7
¢
= (x+ 1)
³
x− −7−
√
77
2
´³
x− −7+
√
77
2
´
.
Solução 33 -
Solução 34 .
1. (5x− 4) (5x+ 4) .
2. 2x(2x+ 3).
3.
¡
x− 1
2
¢2
.
4. −2x
¡
x+ 1
2
¢
(x− 1) .
5. 5t (t+ 1)
¡
t− 1
5
¢
.
6.
¡
x+ 1
2
¢ ¡
8x2 − 4x+ 2
¢
.
Solução 35 .
1. 3 (x− 1) (x− 6) .
2. x (x− 1) (x+ 2) (x− 2) (x+ 1) .
3. 4
¡
x− 1
2
¢ ¡
x+ 1
2
¢
(3x− 1) (3x+ 1) .
4. (x+ 1) (x+ 2)2 .
30 Novembro de 2010
Solução 36 .
1. k = −2.
2. 2 (x− 2)
¡
x+ 1
2
¢
.
Solução 37 5x2 + 30x+ 45.
Solução 38 .
1. a = −11 e b = 10.
2. −5
2
; 2
¡
x+ 5
2
¢
(x− 1) (x− 2) .
Solução 39 .
1. B (x) = x2 − 5x+ 6.
2. A (x) = (x− 1) (x− 2) (x− 3) .
Solução 40 .
1. -
2. 4 (x+ 1)3
¡
x− 1
2
¢2
.
Solução 41 a = −2 e b = 1 ou a = 2 e b = −1.
Solução 42 k = 3, m = −2 e n = 1.
Solução 43 a = 2, b = −3 e c = ±4.
Solução 44 c = 12, α1 = −32 e α2 = 23 .
Solução 45 .
1. m = −9.
2. (x− 1) (x− 2)2 (2x+ 1) .
Solução 46 a = −3 e b = 0.
Solução 47 m = 9.
Solução 48 1 e 2.
Solução 49 .
1. D = R\ {1} .
2. D = R\ {−3, 1} .
3. D = R\ {−4,−3, 3} .
4. D = R\ {−1, 0} .
5. D = R.
6. D = R.
31 Novembro de 2010
Solução 50 .
1. x+ 1, D = R \ {1} .
2. 3(x+1)
2
, D = R.
3. x
x−1 , D = R \ {1} .
4. x2 − 3, D = R.
5. x−2
2x2
, D = R \ {−1, 0} .
6. x−2
x
, D = R\ {−2, 0} .
7. 1
x−1 , D = R\ {1, 4} .
8. x−3
(x−1)(x−2) , D = R\ {−1, 1, 2} .
9. x
2−6x−3
x(2x−1) , D = R\
©
0, 1
2
, 1
ª
.
10. (x−1)(x+1)
x2+4
, D = R\ {−2, 2} .
Solução 51 .
1. DA = R \ {2} , DB = R \ {−1, 0} e DC = R \ {−2} .
2. A+ B = 4x
3+x2−4x+8
x(x+1)(x−2) , ABC = 3 e
(CB )
x+A
= x+1
(x+2)2
.
Solução 52 .
1. 4+9y
6y
, D = R\ {0} .
2. 5−2x−2x
2
2x2
, D = R\ {0} .
3. 2a
2+8a+9
12a2
,D = R\ {0} .
Solução 53 .
1. x+1
x+2
, D = R\ {−2, 2} .
2. x−1
x+1
, D = R\ {−1, 0} .
3. 6x+11
2x+3
, D = R\
©
−3
2
, 2
ª
.
Solução 54 .
1. A = 1 e B = 2.
2. A = B = 1.
32 Novembro de 2010
Solução 55 .
1. 2x
2−2x
x+3
, D = R\ {−3} .
2. 3x−3x
2
2x−6 , D = R\ {3} .
3. x
2−1
x2+6x+9
, D = R\ {−3} .
4. −1
5x2
, D = R\ {0} .
5. x(x+2)
3−x , D = R\ {−3, 2, 3} .
6. 2−2x
x(x+1)
, D = R\ {−1, 0} .
7. x2 − 4, D = R\ {−2, 2} .
Solução 56 .
1. −3x2+3x
2
, D = R\ {−1} .
2. 3x
2−3
x3
, D = R\ {0} .
3. 3x
2−15x
5x+25
, D = R\ {−5, 0} .
4. x+1
x−1 , D = R\ {−3, 1, 4} .
Solução 57 .
1. − 4
x2−2x , D = R \ {0, 2} .
2.
x(x2+2x+3)
x2−1 , D = R \ {−1, 1} .
3. 3x
x+1
,D = R \ {−1, 1} .
4.
5x(x2+3)
(x+1)(x+2)
, D = R \ {−2,−1, 0, 2} .
5. 2x(x−3)
x+3
, D = R \ {−3, 0} .
6. x−4
x+4
, D = R \ {−4, 0, 4} .
7. x−1
x+1
, D = R \ {−1, 0, 1} .
Solução 58 .
1. 2x
2−1
x2−3x+2 , D = R\ {−2, 1, 2} .
2. 4
y
, D = R\ {−3, 0, 3} .
3. 2, D = R\ {−3,−2,−1} .
4. 2
x2+7x+12
, D = R\ {−4,−3, 3} .
33 Novembro de 2010
Solução 59 .
1. x−y
x+y
, D =
©
(x, y) ∈ R2 : y 6= −xª .
2. 2ab
a−2b , D =
©
(a, b) ∈ R2 : a 6= 2bª .
Solução 60 .
1. y
x
, D =
©
(x, y) ∈ R2 : x 6= 0∧ x+ y 6= 0ª .
2. a−3b
2
, D =
©
(a, b, c) ∈ R3 : c 6= 0∧ a− 3b 6= 0∧ a+ 3b 6= 0ª .
Solução 61 .
1. C.S. = {−1} .
2. C.S. = {4} .
3. C.S. =
©
13
ª
.
4. C.S. = {0} .
5. C.S. = {1, 3} .
6. C.S. = {−1, 4} .
7. C.S. = ∅.
8. C.S. = ∅.
9. C.S. = {−1} .
10. C.S. = {−3} .
11. C.S. = {−1, 1} .
12. C.S. = ∅.
13. C.S. =
­
−
√
2,
√
2
®
.
14. C.S. = {0, 8} .
15. C.S. =
©
−3
2
, 0
ª
.
16. C.S. =
©
1
2
ª
.
17. C.S. = {−2, 2} .
18. C.S. = {−3,−2, 2, 3} .
19. C.S. =
©
−1
3
, 5
2
ª
.
20. C.S. =
©
−1, 1, 4
3
ª
.
34 Novembro de 2010
21. C.S. = {0, 1} .
22. C.S. =
©
4
3
, 2
ª
.
Solução 62 .
1. C.S. = {(2,−1)} .
2. C.S. = {(4, 8) , (8, 4)} .
3. C.S. = {(2, 0)} .
Solução 63 .
1. C.S. = [−1,+∞[ .
2. C.S. =
¤
−∞, 1
4
£
.
3. C.S. = [2,+∞[ .
4. C.S. =
¤
−∞,−11
2
£
.
Solução 64 .
1. C.S. =
©
−13
2
, 27
2
ª
.
2. C.S. = {0, 1} .
3. C.S. =
©
3
2
ª
.
4. C.S. = ]−∞, 2] ∪ [6,+∞[ .
5. C.S. = R.
6. C.S. = [3,+∞[ .
7. C.S. = ]1,+∞[ .
35 Novembro de 2010
2 Geometria no Plano
2.1 Vectores no Plano
Definição 24 O referencial cartesiano ortogonal associado a um plano é constituido
por dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem. Ao eixo horizontal dá-
se o nome de eixo das abscissas (eixo xx ou eixo OX), onde é representada a variável
independente x. Ao eixo vertical dá-se o nome de eixo das ordenadas (eixo yy ou eixo
OY), onde é representada a variável dependente y. A cada um dos eixos está associado o
conjunto de todos os números reais (R). Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
denominadas quadrantes, cujos os nomes são indicados no sentido anti-horário.
Define-se ponto do plano como sendo um par ordenado de números reais, P = (x, y), em
que a 1a coordenada se designa de abscissa e a 2a coordenada se designa de ordenada.
0 x
y
Eixo das Abscissas
Eixo das Ordenadas
1º Quadrante2º Quadrante
4º Quadrante3º Quadrante
1 2-2 -1
1
2
-2
-1
P = (2,1)
0 x
y
Eixo das Abscissas
Eixo das Ordenadas
1º Quadrante2º Quadrante
4º Quadrante3º Quadrante
1 2-2 -1
1
2
-2
-1
P = (2,1)
Figura 1: Referencial cartesiano ortogonal
Definição 25 Um vector −→u é um ente matemático que representa um movimento ou uma
força, sendo caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento. Este é re-
presentado no plano através de um segmento de recta orientado
−→
OP com origem no ponto
O = (0, 0) e com extremidade no ponto P = (x, y) , ou seja, −→u = −→OP.
x
y
P=(x,y)
O=(0,0)
u
r
x
y
P=(x,y)
O=(0,0)
u
r
Definição 26 Um vector que tenha comprimento 1 é denominado vector unitário.
Definição 27 Um referencial (0,−→e ,−→f ) diz-se ortonormado (o.n.) se os vectores −→e e−→
f forem perpendiculares e unitários.
O
y
x
f
ur
e
r
u
r
1u
2u
O
y
x
f
ur
e
r
u
r
1u
2u
Neste referencial as coordenadas de um vector −→u são (u1, u2) , sendo este definido por
−→u = u1−→e + u2
−→
f , onde u1
−→e e u2
−→
f são as suas componentes.
Definição 28 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos
A = (a1, a2) e B = (b1, b2), o vector
−→
AB é definido pela diferença entre os dois pontos,
isto é −→
AB = B−A = (b1 − a1, b2 − a2) .
36 Novembro de 2010
Definição 29 O comprimento de um vector −→u = (u1, u2) num referencial o.n. pode ser
obtido através da norma de −→u , que é dada por:°°−→u °° = qu21 + u22.
Definição 30 Seja −→u = (u1, u2) um vector qualquer num referencial o.n.. Define-se versor
de −→u como sendo o vector unitário com direcção e sentido de −→u dado por:
vers−→u =
Ã
u1p
u21 + u
2
2
,
u2p
u21 + u
2
2
!
.
Definição 31 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos
P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), a distância de P1 a P2 é dada por:
d (P1, P2) =
°°°−−→P1P2°°° = q(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Definição 32 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos
P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) , define-se ponto médio M do segmento de recta P1P2 como
sendo o ponto cujas coordenadas são as médias das coordenadas correspondentes aos pontos
P1 e P2, isto é:
M =
µ
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
¶
.
Definição 33 Considerando um referencial ortonormado dum plano, um ponto A = (x1, y1)
e um vector −→u = (u1, u2) , a soma do ponto A com o vector −→u é o ponto B dado por:
B = A+−→u = (x1 + u1, y1 + u2) .
O
y
x
u
r
1u
2u
1x
1y A
B
O
y
x
u
r
1u
2u
1x
1y A
B
Definição 34 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois vectores
−→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2) , a soma destes vectores é o vector:
−→u +−→v = (u1 + v1, u2 + v2) .
O
y
x
u
r
v
r
u v+r r
O
y
x
u
r
v
r
u v+r r
Definição 35 Considerando um referencial ortonormado dum plano e o vector −→u = (u1, u2) ,
o produto do número real k 6= 0 pelo vector −→u é um vector dado por:
k−→u = (ku1, ku2) .
37 Novembro de 2010
Este vector tem a direcção de −→u , sentido de −→u se k > 0, sentido contrário se k < 0 tal que°°k−→u °° = |k| · °°−→u °° . Se k = 0 ou −→u = −→0 , então k−→u = −→0 .
O
y
x
u
r
ku
r
O
y
x
u
r
ku
r
Definição 36 Se −→u e −→v são dois vectores não nulos, o produto interno dos vectores é:
−→u |−→v =
°°−→u °° · °°−→v °° · cos ¡−→u ^−→v ¢ , onde −→u ^−→v = ^ ¡−→u ,−→v ¢ ∈ [0o, 90o] .
Se −→u = −→0 ou −→v = −→0 , então −→u |−→v = 0.
Num referencial o.n., conhecidas as coordenadas dos vectores −→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2)
tem-se:
−→u |−→v = u1v1 + u2v2.
E neste caso,
cos
¡−→u ^−→v ¢ = u1v1 + u2v2°°−→u °° · °°−→v °° , 0 ≤ −→u ^−→v ≤ 90o.
2.2 Estudo da Recta
2.2.1 Equações da recta
Definição 37 A equação de qualquer recta pode ser escrita na forma geral
Ax+ By+C = 0
onde A e B não são ambos nulos.
Em particular, a recta vertical x = a pode ser representada pela forma geral
x− a = 0
e a recta horizontal y = b pela forma geral
y− b = 0.
Definição 38 O declive de uma recta não vertical é a medida do número de unidades
que a recta sobe (ou desce) verticalmente para cada unidade de deslocamento horizontal, da
esquerda para a direita. Considerando dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) de uma recta, o seu
declive m é dado por:
m =
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1
, x2 6= x1.
0
y
x1x 2x
2y
1y
2 1y y y∆ = −
2 1x x x∆ = −
0
y
x1x 2x
2y
1y
2 1y y y∆ = −
2 1x x x∆ = −
38 Novembro de 2010
Se m é positivo, então a recta cresce da esquerda para a direita; se m = 0, então a recta é
horizontal; se m é negativo, então a recta decresce da esquerda para a direita. O declive não
está definido para rectas verticais.
x
y
m=0
m>0
m<0
m indefinido
Em geral, quanto maior for o valor absoluto do declive de uma recta, mais íngreme ela é.
Pode-se considerar também o declive de uma recta não vertical como sendo a tangente do
ângulo que a recta forma com a parte positiva do eixo xx, isto é,
m = tgα, α 6= 90o.
0
y
x
α
0
y
x
α
Definição 39 Uma equação da recta com declive m que passa pelo ponto (x1, y1) é dada
por:
y− y1 = m (x− x1) .
Definição 40 A equação reduzida da recta com declive m cuja intersecção com o eixo yy
é em (0, b) , onde b é designado por ordenada na origem, é dada por:
y = mx+ b.
Exemplo 28 Determine a equação reduzida da recta que passa pelos pontos P1 = (2, 0) e
P2 = (3, 2) .
Resolução: A equação reduzida é da forma y = mx+ b, onde m = 2−0
3−2 = 2.
Uma equação da recta com declive m = 2 que passa pelo ponto P1 = (2, 0) (por exemplo) é
y− 0 = 2 (x− 2)⇔ y = 2x− 4.
Definição 41 Uma equação da recta que passa pelo ponto P = (x1, y1) e tem a direcção do
vector −→u = (u1, u2) é dada por:
x− x1
u1
=
y− y1
u2
.
Desta forma, o declive é m = u2
u1
.
Exemplo 29 Escreva a equação reduzida da recta que passa pelo pontoP = (2,−1) e que
tem a direcção do vector −→u = (−1, 3) .
Resolução: A equação reduzida é da forma y = mx+ b.
Uma equação da recta ponto (2,−1) e tem a direcção do vector −→u = (−1, 3) é dada por:
x− 2
−1 =
y+ 1
3
⇔ 3x− 6 = −y− 1⇔ y = −3x+ 5.
39 Novembro de 2010
Definição 42 Define-se ângulo (no sentido positivo) de duas rectas de declives m1 e m2
respectivamente, como sendo o ângulo θ ∈ [0o, 90o[ tal que:
tg θ =
m2 −m1
1+m1m2
.
0
y
x
1α 2α
1 1tg mα =
2 2tg mα =
θ
0
y
x
1α 2α
1 1tg mα =
2 2tg mα =
θ
Definição 43 Duas rectas distintas não verticais são paralelas se e só se os seus declives
forem iguais, isto é, m1 = m2.
x
y
m1
m2m1=m2
Definição 44 Duas rectas distintas não verticais são perpendiculares se e só se os seus
declives forem inversos negativos entre si, isto é, m1 = − 1m2 .
x
y
m1
m2
m1=-1/m2
Exemplo 30 Determine a equação reduzida da recta que passa pelo ponto (2,−1) e que é:
1. paralela à recta 2x− 3y = 5;
2. perpendicular à recta 2x− 3y = 5.
Resolução:
1. A recta 2x− 3y = 5 pode ser escrita na sua forma reduzida como
2x− 3y = 5⇔ −3y = −2x+ 5⇔ y = 2
3
x− 5
3
,
onde o seu declive é dado por m = 2
3
.
A recta que passa no ponto (2,−1) e é paralela à recta dada também tem o declive 2
3
e
é definida pela seguinte equação:
y+ 1 =
2
3
(x− 2)⇔ y = 2
3
x− 4
3
− 1⇔ y = 2
3
x− 7
3
.
2. Calculando o inverso negativo do declive da recta dada, pode-se determinar o declive
de uma recta perpendicular a essa:
m = −1
2
3
= −3
2
.
Assim, a recta que passa pelo ponto (2,−1) e é perpendicular à recta dada tem a
seguinte equação:
y+ 1 = −3
2
(x− 2)⇔ y = −3
2
x+ 3− 1⇔ y = −3
2
x+ 2.
40 Novembro de 2010
Definição 45 A distância de um ponto P = (x1, y1) a uma recta de equação reduzida
y = mx+ b é dada por:
d =
|y1 −mx1 − b|√
1+m2
.
Se a recta for definida pela equação geral Ax+ By+C = 0, então:
d =
|Ax1 + By1 +C|√
A2 + B2
.
Exemplo 31 Determine a distância do ponto P = (−2,−3) à recta 8x+ 15y+ 27 = 0.
Resolução: A distância é dada por
d =
|8 (−2) + 15 (−3) + 27|√
82 + 152
=
34
17
= 2.
Definição 46 A mediatriz de um segmento de recta AB é o lugar geométrico dos pontos
do plano que estão à mesma distância do ponto A = (x0, y0) e do ponto B = (x1, y1) . Nesse
caso um ponto X = (x, y) está na mediatriz se e só se
d (X,A) = d (X,B)⇔
q
(x− x0)2 + (y− y0)2 =
q
(x− x1)2 + (y− y1)2.
A BM
Mediatriz
A BM
Mediatriz
Propriedade 4 A mediatriz de um segmento de recta AB tem as seguintes propriedades:
1. é eixo de simetria de AB;
2. passa pelo ponto médio de AB;
3. é perpendicular a AB.
Exemplo 32 Escreva a equação da mediatriz do segmento de recta AB, onde A = (1,−1)
e B = (−2, 3) .
Resolução: Sendo M o ponto médio de AB, M =
¡
1−2
2
, −1+3
2
¢
=
¡
−1
2
, 1
¢
e
−→
AB = A− B =
= (−3, 4) . Sendo m o declive da recta AB, m = −4
3
. Como a mediatriz é perpendicular à
recta AB, tem declive 3
4
, sendo a sua equação da forma y = 3
4
x+ b. Além disso, passa pelo
ponto M. Assim, 1 = 3
4
¡
−1
2
¢
+ b ⇔ 1 = −3
8
+ b ⇔ b = 1 + 3
8
⇔ b = 11
8
. Uma equação da
mediatriz de AB é: y = 3
4
x+ 11
8
.
Definição 47 A bissectriz de duas rectas é a recta que passa pelo vértice do ângulo formado
por estas e que o divide ao meio.
Exemplo 33 A bissectriz dos quadrantes pares é a recta y = −x.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=-x
41 Novembro de 2010
2.3 Cónicas
O primeiro estudo sistemático das cónicas deve-se a Apolónio (260-200 a.c.). Este estudou
as cónicas como resultado de secções feitas por um plano num cone e num duplo cone de
base circular. Foi Apolónio que atribuiu às cónicas as designações ainda hoje utilizadas —
elipse, parábola e hipérbole.
Definição 48 Uma superfície cónica de revolução é a superfície gerada pela rotação com-
pleta de uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eixo), formando com esta sempre o
mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e
ao eixo chama-se vértice. É chamada de cónica toda a linha que se obtém como intersecção
de um plano que não passa pelo vértice (plano secante) com uma superfície cónica, as quais
vamos estudar de uma forma mais aprofundada. Quando o plano que intersecta a superfície
cónica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cónica degenerada (um ponto, uma recta ou
um par de rectas concorrentes). Este tipo de cónicas não será estudado.
René Descartes (1596-1650) generalizou a utilização das cónicas e identificou-as como equações
do 2o grau. Mas nem todas as equações do 2o grau representam cónicas.
Propriedade 5 As cónicas são curvas definidas por equações do 2ograu em x e y de tipo:
Ax2 + Bxy+Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 Equação Geral
onde A e C não são ambos nulos.
Em particular, as equações do tipo
Ax2 +Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 (B = 0)
definem cónicas em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados.
Propriedade 6 Considerando ∆ = B2−4AC, as cónicas dividem-se em três grandes grupos:
1. Elipse ou Circunferência, caso ∆ < 0;
2. Parábola, caso ∆ = 0;
3. Hipérbole, caso ∆ > 0.
Para cada caso, é sempre possível passar da equação geral para a respectiva equação reduzida.
42 Novembro de 2010
2.3.1 Elipse e Circunferência
Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e é oblíquo em relação ao eixo, a
linha obtida é uma elipse.
Se o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.
Definição 49 Uma elipse é um conjunto de pontos P do plano em que a soma das dis-
tâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da elipse), designadas d1 e d2
respectivamente, é constante e maior que a distância entre F1 e F2.
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a+ =
vértice vértice
vértice
vértice
centro
c
a
b
eixo menor
eixo maior
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a+ =
vértice vértice
vértice
vértice
centro
c
a
b
eixo menor
eixo maior
Equação Reduzida da Elipse
Considerando uma elipse de centro (c1, c2) em que os focos estão na recta y = c2, paralela
ao eixo xx (caso a > b), ou na recta x = c1, paralela ao eixo yy (caso b > a), obtem-se a
seguinte equação reduzida da elipse:
(x−c1 )2
a2
+ (y−c2 )
2
b2
= 1 .
Propriedade 7 A elipse tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação às rectas y = c2 e x = c1;
2. a soma das distâncias do ponto P aos focos é dada por d1 + d2 = 2a;
3. a distância entre os focos (distância focal) é 2c e a > c;
43 Novembro de 2010
4. centro da elipse: (c1, c2) ;
5. vértices: (c1 ± a, c2) e (c1, c2 ± b) ;
Focos sobre a recta y = c2 (a > b) Focos sobre a recta x = c1 (b > a)
a2 = b2 + c2 b2 = a2 + c2
Focos: (c1 ± c, c2) Focos: (c1, c2 ± c)
Eixo maior: 2a Eixo maior: 2b
Eixo menor: 2b Eixo menor: 2a
Excentricidade: e = c
a
, onde 0 < e < 1 Excentricidade: e = c
b
, onde 0 < e < 1
Directrizes: x = c1 − ae e x = c1 + ae Directrizes: y = c2 − be e y = c2 + be
y
x0 1c
2c
1F 2F
2y c=
ab
c
y
x0 1c
2c
1F 2F
2y c=
ab
c
y
x0 1c
2c
1F
2F
1x c=
a
b
c
y
x0 1c
2c
1F
2F
1x c=
a
b
c
Definição 50 Uma circunferência é um conjunto de pontos do plano equidistantes de um
mesmo ponto (centro).
x
y
1c
2c
r
x
y
1c
2c
r
Equação da Circunferência
A circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) é
nula. Considerando a equação reduzida da elipse e tomando a = b = r, obtem-se a equação
reduzida da circunferência de centro (c1, c2) e raio r:
(x− c1)2
r2
+
(y− c2)2
r2
= 1⇔ (x− c1)2 + (y− c2)2 = r2 .
2.3.2 Parábola
Se o plano secanteé paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é uma parábola.
44 Novembro de 2010
Definição 51 Uma parábola é um conjunto de pontos P do plano em que a distância d1
de P a um ponto fixo F (chamado foco da parábola) é igual à distância d2 de P a uma recta
fixa D (chamada directriz da parábola).
F
1d
2d P
1 2d d=
D
vértice
centro
1
2 p
F
1d
2d P
1 2d d=
D
vértice
centro
1
2 p
Equação Reduzida da Parábola
Considerando uma parábola de vértice (c1, c2) em que o foco está na recta y = c2 ou na
recta x = c1, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da parábola:
x− c1 = p (y− c2)2 ou y− c2 = p (x− c1)2 .
Propriedade 8 A parábola tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação à recta que passa pelo foco e é perpendicular à directriz;
2. a distância do ponto P ao foco ou à directriz é dada por d1 = d2 = 14p ;
3. a distância do foco à directriz é 1
2p
;
4. vértice: (c1, c2) ;
5. a excentricidade da parábola (que indica a razão das distâncias de qualquer um dos
pontos ao foco e à directriz) é e = 1;
Foco sobre a recta y = c2
Foco:
³
c1 +
1
4p
, c2
´
Directriz: x = c1 − 14p
p > 0 p < 0
voltada para a direita voltada para a esquerda
x
y
1c
2c F
D
x
y
1c
2c F
D
x
y
1c
2c
F
D
x
y
1c
2c
F
D
45 Novembro de 2010
Foco sobre a recta x = c1
Foco:
³
c1, c2 +
1
4p
´
Directriz: y = c2 − 14p
p > 0 p < 0
voltada para cima voltada para baixo
x
1c
y
2c
F
D
x
1c
y
2c
F
D
x1c
y
2c
F
D
x1c
y
2c
F
D
2.3.3 Hipérbole
Se o plano secante é paralelo ao eixo, a linha obtida é uma hipérbole.
Definição 52 Uma hipérbole é um conjunto de pontos P do plano em que o módulo da
diferença das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da hipérbole),
designadas d1 e d2 respectivamente, é constante e menor que a distância entre F1 e F2.
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a− =
vértice
centro
eixo não transverso
eixo transverso
1A2A
c b
a
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a− =
vértice
centro
eixo não transverso
eixo transverso
1A2A
c b
a
Equação Reduzida da Hipérbole
Considerando uma hipérbole de centro (c1, c2) em que os focos estão na recta y = c2 ou na
recta x = c1, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da hipérbole:
Focos sobre a recta y = c2 Focos sobre a recta x = c1
(x−c1 )2
a2
− (y−c2 )
2
b2
= 1 (y−c2 )
2
b2
− (x−c1 )
2
a2
= 1
46 Novembro de 2010
Propriedade 9 A hipérbole tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação à recta que passa pelos focos;
2. o módulo da diferença das distâncias do ponto P aos focos é dado por |d1 − d2 | = 2a;
3. a distância entre os focos (distância focal) é 2c e c > a;
4. centro da hipérbole: (c1, c2) ;
5. c2 = a2 + b2;
6. Assimptotas: y = c2 − ba (x− c1) e y = c2 +
b
a
(x− c1);
Focos sobre a recta y = c2 Focos sobre a recta x = c1
Vértices: (c1 ± a, c2) Vértices: (c1, c2 ± b)
Focos: (c1 ± c, c2) Focos: (c1, c2 ± c)
Eixo transverso: 2a Eixo transverso: 2b
Eixo não transverso: 2b Eixo não transverso: 2a
Excentricidade: e = c
a
, onde e > 1 Excentricidade: e = c
b
, onde e > 1
Directrizes: x = c1 − ae e x = c1 + ae Directrizes: y = c2 − be e y = c2 + be
1F 2F
b a
y
x1c
2c
0
2y c=
1F 2F
b a
y
x1c
2c
0
2y c=
1F
2F
b
a
y
x0
2c
1c
1x c=
1F
2F
b
a
y
x0
2c
1c
1x c=
Exemplo 34 Considere a cónica definida pela equação −2x2 +y2−4x−4y = 0. Determine
a sua equação reduzida, identifique o tipo de cónica e represente-a graficamente.
Resolução:
−2x2 + y2 − 4x− 4y = 0 ⇔
¡
−2x2 − 4x
¢
+
¡
y2 − 4y
¢
= 0⇔
⇔ −2
¡
x2 + x
¢
+
¡
y2 − 4y+ 4
¢
= 4⇔
⇔ −2
¡
x2 + x+ 1
¢
+
¡
y2 − 4y+ 4
¢
= 4− 2⇔
⇔ −2 (x+ 1)2 + (y− 2)2 = 2⇔
⇔ −2(x+1)2
2
+ (y−2)
2
2
= 2
2
⇔
⇔
(y−2)2
2
− (x+ 1)2 = 1.→
Equação reduzida da hipérbole
vertical de centro (−1, 2) , onde
a = 1 e b =
√
2.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
( ) ( )
2
22 1 1
2
y
x
− − + =
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
( ) ( )
2
22 1 1
2
y
x
− − + =
47 Novembro de 2010
2.4 Exercícios Propostos
Exercício 65 Em que quadrantes se encontram os pontos (x, y) tais que x · y > 0?
Exercício 66 Considere o ponto A = (3, 1) . Indique as coordenadas dos pontos simétricos
a A em relação:
1. à origem O;
2. ao eixo yy;
3. ao eixo xx.
Exercício 67 Num referencial o.n., considere os pontos A = (3, 2) e B = (2,−1) .
1. Calcule as coordenadas de
−→
AB;
2. Determine a norma e o versor de
−→
AB;
3. Indique o valor lógico da seguinte afirmação: "A distância de A a B é maior do que
4".
Exercício 68 Determine as coordenadas do ponto P do eixo xx que é equidistante dos pontos
A = (0, 5) e B = (−2,−2) .
Exercício 69 Calcule a distância do ponto P = (3,−4) ao ponto médio do segmento de
recta AB, onde A = (1, 2) e B = (5, 4) .
Exercício 70 Num referencial o.n., considere o ponto A = (−1, 1) e os vectores −→u = (1, 2)
e −→v = (0, 3) .
1. Calcule as coordenadas dos seguintes objectos: A + −→u e −→u − 2−→v . Represente-os no
plano.
2. Determine o coseno de −→u ^−→v .
Exercício 71 Considere a recta r cuja equação é dada por x+ y+ 10 = 0.
1. Indique o declive e a ordenada na origem de r;
2. Determine a abcissa do ponto de r cuja ordenada é 5.
Exercício 72 Escreva uma equação da recta que passa pelos pontos A = (3, 0) e B = (0, 2) .
Exercício 73 Escreva a equação reduzida da recta s que passa pelo ponto P = (−1, 1) e que
tem a direcção do vector −→u = (1, 2) .
Exercício 74 Considere o ponto A = (−2,−3) e a recta r definida pela equação
15x− 3y+ 27 = 0.
1. Indique a equação reduzida da recta paralela à recta r que passa pelo ponto A;
2. Determine a distância do ponto A à recta r;
3. Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de recta AB, onde B = (1,−2) .
48 Novembro de 2010
Exercício 75 Determine o ponto de intersecção das rectas 2x+ y− 4 = 0 e x+ y+ 1 = 0.
Exercício 76 Determine o centro, os focos, os vértices e as directrizes da elipse cuja equação
reduzida é x
2
4
+ (y+1)
2
3
= 1. Represente-a graficamente.
Exercício 77 Mostre que a equação 4x2 + 3y2 − 8x + 12y − 32 = 0 representa uma elipse
e calcule as coordenadas do seu centro, dos focos e dos vértices; escreva as equações das
directrizes.
Exercício 78 Escreva a equação reduzida da circunferência e represente-a graficamente:
1. de centro (−1, 3) e raio 2;
2. de centro (0,−2) e raio
√
2;
3. que passa pelos pontos (1,−2) , (0, 1) e (9, 4) .
Exercício 79 Represente a parábola dada pela equação x = −2 (y+ 1)2 + 1, apresentando
o respectivo foco e directriz.
Exercício 80 Escreva a equação reduzida da parábola cujo vértice é o ponto (5, 4) e cuja
directriz é y = 8. Indique as coordenadas do foco.
Exercício 81 A equação 9y2 − 16x2 + 64x + 54y + 161 = 0 representa uma hipérbole.
Determine o seu centro, focos, vértices e assimptotas.
Exercício 82 Identifique as seguintes cónicas e faça um esboço do seu gráfico:
1. 4x2 + 9y2 − 16x+ 18y− 11 = 0;
2. 25x2 − 36y2 − 100x− 72y− 836 = 0;
3. y2 − 4y− 12x− 8 = 0.
Exercício 83 A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dos
focos. O comprimento do eixo maior é 14957000 km e a excentricidade é 0, 0167. Determine
a que distância a Terra fica do Sol, quando esta se situa no vértice mais próximo do Sol.
Exercício 84 O tecto de uma igreja tem 30 metros de largura e a forma de uma semi-elipse.
No centro da igreja a altura é de 16 metros e as paredes laterais têm de altura 10 metros.Determine a altura da igreja a 5 metros de uma das paredes laterais.
10m 10m
30m
5m 5m
16m
10m 10m
30m
5m 5m
16m
49 Novembro de 2010
Exercício 85 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em A e
B. AOB é um arco de parábola de eixo de simetria OD. Sabemos que d (A,B) = 80 m e
d (O,D) = 120 m. Tomando por unidade 1 metro e considerando o referencial ortonormado
de origem O cujo semieixo positivo das abcissas é OC.
E O C
A B
S
T
D
E O C
A B
S
T
D
Determine:
1. Uma equação da parábola que contém o arco AOB;
2. As coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 90 m;
3. A altura do poste [AS] , sabendo que ST é tangente à parábola com declive 1.
Exercício 86 Os cabos de suspensão da ponte (na figura) estão presos a duas torres que
distam 480 m e têm 60 m de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine a
equação da parábola que tem a forma dos cabos.
y
xO
( )240,60
y
xO
( )240,60
50 Novembro de 2010
2.5 Soluções
Solução 65 No 1o e 3o quadrantes.
Solução 66 .
1. (−3,−1) .
2. (−3, 1) .
3. (3,−1) .
Solução 67 .
1.
−→
AB = (−1,−3) .
2.
°°°−→AB°°° = √10 e vers−→AB = ³−√1010 ,−3√1010 ´ .
3. Falso.
Solução 68 P =
¡
17
4
, 0
¢
.
Solução 69 7.
Solução 70 .
1. A+−→u = (0, 3) e −→u − 2−→v = (1,−4) .
0 x
y
1 2
1
2
-2
-1
3
-3
-4
A u+ r
2u v−r r
0 x
y
1 2
1
2
-2
-1
3
-3
-4
A u+ r
2u v−r r
2. cos
¡−→u ^−→v ¢ = 2√5
5
.
Solução 71 .
1. m = −1 e b = −10.
2. x = −15.
Solução 72 2x− 3y− 6 = 0.
Solução 73 y = 2x+ 3.
Solução 74 .
1. y = 5x+ 7.
2. d =
√
26
13
.
3. y = −3x− 4.
51 Novembro de 2010
Solução 75 (5,−6) .
Solução 76 Centro: C = (0− 1) , Focos: F1 = (−1,−1) e F2 = (1,−1) , Vértices:
A1 = (2,−1) , A2 = (−2, 1) , B1 =
³
0,−1−
√
3
´
e B2 =
³
0,−1+
√
3
´
, Directrizes: x = −4
e x = 4.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
·· ·F1 F2CA2 A1
B1
B2
Solução 77 Centro: C = (1− 2) , Focos: F1 = (1, 0) e F2 = (1,−4) , Vértices:
A1 =
³
1+ 2
√
3,−2
´
, A2 =
³
1+ 2
√
3,−2
´
, B1 = (1, 2) e B2 = (1,−6) , Directrizes:
y = −10 e y = 6.
Solução 78 .
1. (x+ 1)2 + (y− 3)2 = 4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
1
2
3
4
5
6
x
y
·
2. x2 + (y+ 2)2 = 2.
-2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
x
y
·
3. (x− 5)2 + (y− 1)2 = 25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
y
·
52 Novembro de 2010
Solução 79
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
·F
x=9/8
Solução 80 y− 4 = − 1
16
(x− 5)2 e F = (5, 0) .
Solução 81 Centro: C = (2− 3) , Focos: F1 = (−3,−3) e F2 = (7,−3) , Vértices:
V1 = (−1,−3) e V2 = (5,−3) , Assímptotas: y+ 3 = −43 (x− 2) e y+ 3 = 43 (x− 2).
Solução 82 .
1. Elipse de equação reduzida: (x−2)
2
32
+ (y+1)
2
22
= 1, com a = 3, b = 2 e c =
√
5. Centro:
C = (2,−1) , Vértices: A1 = (−1,−1) , A2 = (5,−1) , B1 = (2,−3) e B2 = (2, 1) .
-1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
x
y
CA1 A2
B1
B2
F1· F2·
2. Hipérbole de equação reduzida: (x−2)
2
62
− (y+1)
2
52
= 1, com a = 6, b = 5 e c =
√
61.
Centro: C = (2,−1) , Vértices: V1 = (−4,−1) e V2 = (8,−1) .
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
·C· ·V1 V2· ·F1 F2
3. Parábola de equação reduzida: x+ 1 = (y−2)
2
12
, com p = 1
12
. Vértice: V = (−1, 2) .
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
·V ·F
53 Novembro de 2010
Solução 83 7 353 609.1 km.
Solução 84 14.472 m.
Solução 85 .
1. y = − 3
40
x2.
2. P1 = (20,−30) e P2 = (−20,−30).
3. ≈ 83.33.
Solução 86 y = x
2
960
.
54 Novembro de 2010
3 Funções Reais de Variável Real
3.1 Definição
O médico, teólogo, astrónomo e matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) desenvolveu
trabalhos em quase todos os ramos da Matemática, com destaque para a Análise - estudos
dos processos infinitos - desenvolvendo a ideia de função. Foi também o responsável pela
adopção do símbolo f (x) para representar uma função de x.
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. O uso de funções
pode ser encontrado em inúmeras situações da vida corrente; por exemplo, na tabela de
preços de uma loja, onde a cada produto corresponde um determinado preço, ou no preço a
ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Na análise
científica de fenómenos em Física, Biologia ou Economia por exemplo, há a necessidade do
uso de funções.
O conceito básico de função surge quando nos deparamos com a necessidade de estabele-
cer uma correspondência entre dois conjuntos de objectos que faça a associação de todo
o elemento do primeiro conjunto a um único elemento do segundo. Para se poder definir
uma função é necessário começar por apresentar os conceitos de produto cartesiano e de
correspondência.
Definição 53 Dados dois conjuntos não vazios X e Y, define-se produto cartesiano entre
X e Y, denotado por X × Y, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y)
onde x ∈ X e y ∈ Y.
Simbolicamente escrevemos:
X× Y = {(x, y) : x ∈ X∧ y ∈ Y} .
Observação 4 Se X possui m elementos e Y possui n elementos, então X×Y possui m×n
elementos.
Exemplo 35 Dados os conjuntos X =
©
−1, 0, 1
2
ª
e Y = {−2, 0}, defina os produtos carte-
sianos X× Y e Y × X.
Resolução:
X× Y = ©(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2) , (0, 0) , ¡1
2
,−2
¢
,
¡
1
2
, 0
¢ª
e
Y × X = ©(−2,−1) , (−2, 0) , ¡−2, 1
2
¢
, (0,−1) , (0, 0) ,
¡
0, 1
2
¢ª
.
Observação 5 O produto cartesiano de R por R é o conjunto
R×R = R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} .
Definição 54 Qualquer subconjunto de X× Y diz-se uma correspondência (ou relação)
de X para Y.
Exemplo 36 Relativamente ao produto cartesiano do exemplo anterior
X× Y =
¯
(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2) , (0, 0) ,
µ
1
2
,−2
¶
,
µ
1
2
, 0
¶°
,
indique algumas correspondências de X para Y.
Resolução:
R1 = {(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2)}, R2 =
©
(−1, 0) ,
¡
1
2
, 0
¢ª
ou R3 = ∅.
55 Novembro de 2010
Definição 55 Sejam X e Y conjuntos não vazios. Uma função (ou aplicação) f definida
em X com valores em Y (ou, uma função f de X em Y) é uma correspondência que a cada
elemento x ∈ X faz corresponder um único elemento y ∈ Y.
Simbolicamente escrevemos:
∀x∈X∃1y∈Y : y = f (x) .
É habitual representar-se a função f como:
f : X → Y
x 7→ y = f (x)
Observação 6 Para que exista uma função de X em Y, exige-se que a cada x ∈ X esteja
associado um único y ∈ Y, podendo no entanto existir y ∈ Y que não esteja associado a
nenhum elemento pertencente ao conjunto X.
Exemplo 37 Observando os seguintes diagramas, indique, justificando quais das relações
são funções:
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
X Y
1R
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
X Y
1R
1
3
5
7
-1
0
1
2
3
X Y
2R
1
3
5
7
-1
0
1
2
3
X Y
2R
2
4
6
8
0
1
4
3
5
X Y
6
9
3R2
4
6
8
0
1
4
3
5
X Y
6
9
3R
Resolução:
R1 não é uma função, pois o elemento 1 do conjunto X não está associado a nenhum elemen-
to do conjunto Y.
R2 não é uma função, pois o elemento 5 do conjunto X está associado a mais de um elemento
do conjunto Y.
R3 é uma função, pois todo o elemento do conjunto X está associado a somente um elemento
do conjunto Y.
Definição 56 A cada elemento x ∈ X dá-se o nome de objecto; se um elemento x ∈ X es-
tiver associado a um elemento y ∈ Y, diz-se que y é a imagem de x, denotando-se y = f (x).
Como x e y têmvalores que variam nos conjuntos X e Y, recebem o nome de variáveis. A
variável x é chamada variável independente e a variável y é chamada variável depen-
dente, pois o valor de y depende do valor de x.
Chama-se expressão analítica de uma função a uma expressão que traduza a regra que
associa os objectos às respectivas imagens, representando-se por f (x).
Definição 57 Seja f uma função qualquer de X em Y (f : X→ Y). O conjunto onde f está
definida, X, é o conjunto de partida (ou domínio) de f e representa-se por Df; o conjunto
Y é o conjunto de chegada (ou codomínio) de f ; ao conjunto f (X) ⊆ Y dá-se o nome
de conjunto das imagens (ou contradomínio) de f e representa-se por D0f ou CDf.
Observação 7 Para caracterizar uma função é necessário definir o seu domínio (Df), o
seu contradomínio
¡
D
0
f
¢
e uma lei ou expressão y = f (x) que relacione cada elemento do
domínio a um e só um elemento do contradomínio.
56 Novembro de 2010
Exemplo 38 Considere a função f : X→ Y representada pelo diagrama seguinte:
1
-3
3
2
0
1
9
4
6
X Y
f1
-3
3
2
0
1
9
4
6
X Y
f
Determine:
1. O domínio de f;
2. O codomínio de f;
3. f (1) ; f (−3) ; f (3) e f (2) ;
4. O contradomínio de f;
5. A expressão que define f.
Resolução:
1. Df = X = {−3, 1, 2, 3} ;
2. Y = {0, 1, 4, 6, 9} ;
3. f (1) = 1, f (−3) = f (3) = 9 e f (2) = 4;
4. D
0
f = {1, 4, 9} ;
5. f (x) = y = x2.
Definição 58 A função f diz-se uma função real de variável real (f.r.v.r.) quando, quer
o domínio quer o contradomínio, são subconjuntos do conjunto dos números reais (R) , isto
é, Df ⊆ R e D
0
f ⊆ R.
f : Df ⊆ R → R
x 7→ y = f (x)
Observação 8 O domínio de uma função real de variável real, se não é especificado, é o
maior conjunto de valores de R para os quais a sua expressão analítica tem sentido, isto é, é
o conjunto de todos os valores atribuíveis à variável independente x relativamente aos quais
as operações indicadas em f (x) são possíveis.
Exemplo 39 Considere a função real de variável real f (x) = 1
x
. Determine o seu domínio
e o seu contradomínio.
Resolução:
Df = R\ {0} , pois não existe a divisão por zero; D
0
f = R\ {0}, pois y = 1x ⇔ x = 1y e portanto
y também não pode ser zero.
57 Novembro de 2010
Exemplo 40 Considere as seguintes funções reais de variável real, indicando para cada uma
o seu domínio:
1. f (x) = 5
x+1
;
2. f (x) =
√
2x− 4;
3. f (x) =
√
x−2√
3−x .
Resolução:
1. Como x+ 1 é o denominador, este não poderá ser nulo (não existe divisão por zero).
Portanto, x+ 1 6= 0⇔ x 6= −1. Logo, Df = R\ {−1} .
2. Como
√
2x− 4 só é possível em R se 2x− 4 ≥ 0⇔ x ≥ 2, então Df = [2,+∞[ .
3. Analisando o numerador,
√
x− 2 só é possível em R se x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
Relativamente ao denominador,
√
3− x só é possível em R se 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3.
Mas além disso,
√
3− x também está em denominador e portanto
√
3− x 6= 0 ⇔
⇔ 3− x 6= 0⇔ x 6= 3. Juntando as duas condições deve ter-se x < 3. Logo,
Df = {x ∈ R : x ≥ 2∧ x < 3} = {x ∈ R : 2 ≤ x < 3} = [2, 3[ .
3.2 Representação Gráfica
O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a evolução da função. Por
isso, cada vez mais no mundo actual é importante possuir algumas competências relativas
à leitura e interpretação de gráficos. Os gráficos estão presentes, por exemplo, nos exames
laboratoriais, nas sondagens, nas acções da bolsa de valores, etc....
Definição 59 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real de domínio Df.
O gráfico de uma função no plano é o conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ R2 tais que
y = f (x) e x ∈ Df.
Simbolicamente escrevemos:
Gf =
©
(x, y) ∈ R2 : x ∈ Df ∧ y = f (x)
ª
.
Propriedade 10 Dado o gráfico cartesiano de uma função f : Df ⊆ R → R, pode-se dizer
que:
1. A projecção da curva sobre o eixo xx dá-nos o domínio da função;
2. A projecção da curva sobre o eixo yy dá-nos o contradomínio da função;
3. Toda a recta vertical (r) que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o
gráfico da função em, no máximo, um ponto (P).
58 Novembro de 2010
Exemplo 41 Considere a função f : Df ⊂ R→ R com a seguinte representação gráfica:
6
x
y
1 4
2
y = f(x)
r
P
6
x
y
1 4
2
y = f(x)
r
P
Determine o domínio e o contradomínio de f.
Resolução: Df = [1, 4] e D
0
f = [2, 6] .
Exemplo 42 Justifique que a seguinte representação gráfica não é uma função.
0 x
y
2-2
2
-2
x = 0
0 x
y
2-2
2
-2
x = 0
Resolução:
Este gráfico não representa uma função pois ao considerar, por exemplo, a recta vertical
x = 0, esta intersecta o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, para o mesmo x existem
dois y correspondentes. Por exemplo: f (0) = 2 ou f (0) = −2, o que contraria a definição
de função.
Observação 9 Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à
variável x na sentença matemática que define a função e calcular os valores correspondentes
da variável y.
Exemplo 43 Construa o gráfico da função f : R→ R tal que f (x) = x
2
.
Resolução:
Como Df = R, podem-se escolher alguns valores reais para a variável x. Constrói-se a
seguinte tabela:
x y = f (x) = x
2
−2 −2
2
= −1
−1 −1
2
= −1
2
0 0
2
= 0
1
2
1
2
2
= 1
4
1 1
2
59 Novembro de 2010
Colocam-se os pontos (−2,−1) ,
¡
−1,−1
2
¢
, (0, 0) ,
¡
1
2
, 1
4
¢
e
¡
1, 1
2
¢
no plano e conclui-se que
o gráfico da função é uma recta que passa pelos cinco pontos encontrados.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
-1/2
1/2
1/2
1/4
( )
2
xxfy ==
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
-1/2
1/2
1/2
1/4
( )
2
xxfy ==
3.3 Transformações do gráfico de uma função
Consideremos a função f : Df ⊆ R→ R, uma função real de variável real qualquer, e b uma
constante real positiva (b > 0) .
Pretende-se comparar o gráfico da função f com o gráfico de uma outra função g, cujos
gráficos têm a mesma forma básica. Neste caso diz-se que g é uma transformação da
função f.
Vejamos os tipos básicos de transformações:
• g (x) = f (x+ b) - Deslocamento horizontal de b unidades para a esquerda.
• g (x) = f (x− b)−Deslocamento horizontal de b unidades para a direita.
0 x
y
f(x) f(x-b)f(x+b)
(-b,0) (b,0)
0 x
y
f(x) f(x-b)f(x+b)
(-b,0) (b,0)
• g (x) = f (x)+b - Deslocamento vertical de b unidades para cima.
• g (x) = f (x)−b - Deslocamento vertical de b unidades para baixo.
0 x
y
f(x)
f(x)-b
f(x)+b
(0,b)
(0,-b)
0 x
y
f(x)
f(x)-b
f(x)+b
(0,b)
(0,-b)
60 Novembro de 2010
• g (x) = f (−x) - Reflexão em torno do eixo yy.
• g (x) = −f (x) - Reflexão em torno do eixo xx.
• g (x) = −f (−x) - Reflexão em torno da origem.
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)
-f(x)
0 x
y f(x)
-f(x)
x
y
f(x)
-f(-x)
0 x
y
f(x)
-f(-x)
0
• g (x) = f (bx) , b > 1 - Contração horizontal uniforme de b unidades.
• g (x) = f (bx) , 0 < b < 1 - Expansão horizontal uniforme de b unidades.
0 x
y f(x)f(mx)
m > 1 
0 x
y f(x)f(mx)
m > 1 
0 x
y f(x)
f(mx)
0 < m < 1
0 x
y f(x)
f(mx)
0 < m < 1
• g (x) = bf (x) , b > 1 - Expansão vertical uniforme de b unidades.
• g (x) = bf (x) , 0 < b < 1 - Contração vertical uniforme de b unidades.
0 x
y mf(x) f(x)
m > 1 
0 x
y mf(x) f(x)
m > 1 
0 x
y f(x) mf(x)
0 < m < 1
0 x
y f(x) mf(x)
0 < m < 1
• g (x) = |f (x)| - Reflexão em torno do eixo xx da parte do gráfico que fica abaixo deste
eixo.
g (x) = |f (x)| =
¯
f (x) , f (x) ≥ 0
−f (x) , f (x) < 0 .
0 x
y
f(x)
|f(x)|
0 x
y
f(x)
|f(x)|
61 Novembro de 2010
Exemplo 44 Na figura seguinte está parte da representação gráfica de uma funçãoreal de
variável real f : R→ R :
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x)
Represente graficamente a função g definida por:
1. g (x) = f (x+ 2) ;
2. g (x) = f (x− 1) ;
3. g (x) = f (x) + 2;
4. g (x) = f (x)− 1;
5. g (x) = f (−x) ;
6. g (x) = −f (x) ;
7. g (x) = f (2x) ;
8. g (x) = f
¡
x
2
¢
;
9. g (x) = 2f (x) ;
10. g (x) = f(x)
2
;
11. g (x) = |f (x)| ;
12. g (x) = 1+ f (x− 2) .
Resolução:
1. 2. 3.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x+2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x+2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x-1)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x-1)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x)+2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x)+2
62 Novembro de 2010
4. 5. 6.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x) - 1
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x) - 1
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = f(-x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = f(-x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = - f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = - f(x)
7. 8. 9.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(2x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(2x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x/2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x/2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 2 f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 2 f(x)
10. 11. 12.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x)/2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x)/2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = |f(x)|
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = |f(x)|
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 1+ f(x-2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 1+ f(x-2)
3.4 Propriedades
Apresentam-se em seguida algumas propriedades que caracterizam as funções.
3.4.1 Classificação
Seja f (x) uma função qualquer de X para Y (f : X→ Y) .
Definição 60 A função f é sobrejectiva se o contradomínio coincide com o conjunto de
chegada. Isto equivale a afirmar que todo elemento de Y é imagem de pelo menos um elemento
de X.
Simbolicamente escreve-se:
∀y∈Y∃x∈X : y = f (x) .
Diagrama
X YfX Yf
Figura 2: f é sobrejectiva
63 Novembro de 2010
Definição 61 A função f é injectiva se a objectos diferentes correspondem imagens diferentes.
Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈X : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)⇔
⇔ ∀x1 ,x2∈X : f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Diagrama
X YfX Yf
Figura 3: f é injectiva
Definição 62 A função f é bijectiva se é simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Simbolicamente escrevemos:
∀y∈Y∃1x∈X : y = f (x) .
Diagrama
X YfX Yf
Figura 4: f é bijectiva
Exemplo 45 Estude as seguintes funções reais de variável real relativamente à sobrejectivi-
dade e injectividade.
1. f : R→ R definida por f (x) = 2x;
2. g : R→ R definida por g (x) = x2.
Resolução:
1. Pela observação do gráfico da função f conclui-se que o contradomínio da função f é
D
0
f = R, que coincide com o conjunto de chegada. Logo, f é sobrejectiva. Conclui-
se também que a objectos diferentes correspondem imagens diferentes, pelo que f é
injectiva, isto é, ∀x1 ,x2∈R : f (x1) = f (x2) ⇔ 2x1 = 2x2 ⇔ x1 = x2. Portanto, f é uma
função bijectiva.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x
64 Novembro de 2010
2. Pela observação do gráfico da função g conclui-se que o contradomínio da função g
é D
0
f = R+0 6= R. Logo, g não é sobrejectiva (portanto, g não é uma função bijec-
tiva). Conclui-se também que a objectos diferentes correspondem a mesma imagem
(por exemplo g (−1) = g (1) = 1), pelo que g não é injectiva.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x2
3.4.2 Paridade
Seja f uma função real de variável real qualquer de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .
Definição 63 A função f diz-se par num subconjunto A do seu domínio se,
f (−x) = f (x) para todo o x e −x em A.
Simbolicamente escrevemos:
∀x, −x∈A : f (−x) = f (x) .
Graficamente, se a função f é par, o seu gráfico é simétrico relativamente ao eixo yy.
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)f(-x)
Observação 10 Se f é uma função par, então não é injectiva.
Definição 64 A função f diz-se ímpar num subconjunto A do seu domínio se,
f (−x) = −f (x) para todo o x e −x em A.
Simbolicamente escrevemos:
∀x, −x∈A : f (−x) = −f (x) .
Geometricamente, se a função f é ímpar, o seu gráfico é simétrico relativamente à origem
do referencial.
x
y
f(x)
-f(-x)
0 x
y
f(x)
-f(-x)
0
Observação 11 Se uma função f não é par nem ímpar, diz-se que f não possui paridade.
65 Novembro de 2010
Exemplo 46 Classifique as seguintes funções reais de variável real em pares, ímpares ou
sem paridade.
1. f : R→ R definida por f (x) = x2;
2. g : R→ R definida por g (x) = x3;
3. h : R→ R definida por h (x) = x2 + 2x.
Resolução:
1. f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) , ∀x∈R. Assim, f é par; observa-se que o seu gráfico é
simétrico relativamente ao eixo yy :
420-2-4
4
3
2
1
y
x
f(x) = x2
420-2-4
4
3
2
1
y
x
f(x) = x2
2. g (−x) = (−x)3 = −x3 = −g (x) , ∀x∈R. Assim, g é ímpar; observa-se que o seu gráfico
é simétrico relativamente à origem do referencial:
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x3
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x3
3. h (−x) = (−x)2 + 2 (−x) = x2 − 2x 6= h (x). Assim, h não é par. Como
h (−x) 6= −h (x), então h não é ímpar. Conclui-se que h é uma função sem pari-
dade; observa-se que o seu gráfico não é simétrico nem em relação ao eixo yy nem em
relação à origem:
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y h(x) = x2 + 2x
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y h(x) = x2 + 2x
3.4.3 Funções periódicas
Há importantes fenómenos que são representados por funções cujos gráficos são "modu-
lares", isto é, são formados por conjuntos de pontos que se repetem em intervalos com uma
certa amplitude T (a mesma para cada função deste tipo). Os fenómenos referidos dizem-se
periódicos.
66 Novembro de 2010
Definição 65 Seja f uma função real de variável real qualquer de domínio Df
(f : Df ⊆ R→ R) . A função f diz-se periódica de período T se, para todo o x e x + T
pertencentes a Df, existe pelo menos um número real não nulo T tal que f (x+ T) = f (x).
Simbolicamente escrevemos:
∀x, x+T∈Df∃T 6=0 : f (x+ T) = f (x) .
Ao menor número positivo T que satisfaz a equação anterior chama-se período de f.
Observação 12 Se f é uma função periódica então não é injectiva.
Exemplo 47 Observe os gráficos das seguintes funções reais de variável real e verifique se
são funções periódicas. Em caso afirmativo indique o seu período.
1. f : R→ R definida por f (x) = x;
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x) = x
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x) = x
2. g : R→ R definida por g (x) = senx;
π0
2
1
-1
-2
x
y
2π 3π-π-2π-3π
( ) sen g x x= 2π
π0
2
1
-1
-2
x
y
2π 3π-π-2π-3π
( ) sen g x x= 2π
Resolução:
1. Pela observação do gráfico da função f, conclui-se que não é uma função periódica.
2. Pela observação do gráfico da função g, conclui-se que é uma função periódica cujo
período é 2π.
3.4.4 Sinal
A observação de um gráfico de uma função permite de imediato perceber em que pontos
do domínio a função é positiva, negativa ou nula, isto é, as abcissas dos pontos do gráfico
situados, respectivamente, acima do eixo das abcissas, abaixo deste ou no próprio eixo.
67 Novembro de 2010
Definição 66 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) e
designemos por A uma parte do seu domínio (A⊆ Df) .
(i) f é positiva em A se f (x) > 0 para qualquer x pertencente a A.
Simbolicamente escrevemos:
∀x∈A : f (x) > 0.
(ii) f é negativa em A se f (x) < 0 para qualquer x pertencente a A.
Simbolicamente escrevemos:
∀x∈A : f (x) < 0.
(iii) Quando f (x) = 0, para algum x pertencente a A, f diz-se nula em x e x diz-se um
zero (ou raíz) de f.
Simbolicamente escrevemos:
∃x∈A : f (x) = 0.
Exemplo 48 Observe a representação gráfica da função f, indique os pontos onde f se anula
e os intervalos onde f é positiva e negativa.
-2 2 4
- 2
-1
1
2
3
x
y
-1 3 51
( )f x
-2 2 4
- 2
-1
1
2
3
x
y
-1 3 51
( )f x
Resolução: f é positiva em ]−∞,−1[∪ ]3, 5[ e negativa em ]−1, 3[∪ ]5,+∞[ ; x = −1, x = 3
e x = 5 são os zeros de f.
Exemplo 49 Determine, se possível, os zeros da função real de variável real f (x) =
√
x−1.
Resolução: Df = R+ e f (x) = 0⇔
√
x− 1 = 0⇔ √x = 1⇔
¡√
x
¢2
= 12 ⇔ x = 1 ∈ Df.
Logo, x = 1 é o único zero de f.
3.4.5 Monotonia
Outra informação que se pode de imediato extrair da representação gráfica de uma função
diz respeito ao sentido de variação da função, isto é, se a função aumenta, diminui ou se se
mantém constante num determinado intervalo do seu domínio.
Definição 67 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) e
designemos por A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) .
(i) f é crescente (respectivamente, estritamente crescente) em A se, para quaisquer
x1 e x2 pertencentes a A tais que x1 > x2, se tem f (x1) ≥ f (x2) (resp. f (x1) > f (x2)) .
Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : x1 > x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) .
68 Novembro de 2010
Graficamente:
x2x10 x
y
f (x1)
f (x2)
f (x)
x2x10 x
y
f (x1)
f (x2)
f (x)
(ii) f é decrescente (respectivamente, estritamente decrescente) em A se, para quais-
quer x1 e x2 pertencentes a A tais que x1 > x2, se tem f (x1) ≤ f (x2) (resp. f (x1) < f (x2)) .
Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : x1 > x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) .
Graficamente:
0
x
y
x2x1
f (x2)
f (x1)
f (x)
0
x
y
x2x1
f (x2)
f (x1)
f (x)
(iii) f é constante em A se f (x1) = f (x2) , quaisquer que sejam os valores de x1 e x2
pertencentes a A.
Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : f (x1) = f (x2) .
Graficamente:
0
x
y
x2x1
f (x1) = f (x2) f (x)
0
x
y
x2x1
f (x1) = f (x2) f (x)
Definição 68 A função f diz-se monótona em A se é crescente ou decrescente em A.
Observação 13 .
• A soma de duas funções crescentes (respectivamente, decrescentes) é uma função cres-
cente (respectivamente, decrescente).
• O produto de duas funções crescentes e positivas é uma função crescente.
• Se f é uma função crescente (respectivamente, decrescente) então a sua simétrica −f
é uma função decrescente (respectivamente, crescente).
• Se f é uma função crescente (respectivamente, decrescente) e positiva então o seu
inverso 1
f
é uma função decrescente (respectivamente, crescente).
69 Novembro de 2010
Exemplo 50 Estude quanto à monotonia as seguintes funções reais de variável real.
1. f : R→ R definida por f (x) = x+ 3;
2. g : R→ R definida por g (x) = −x+ 2.
Resolução:
1. Considerando quaisquer x1, x2 ∈ R tais que x1 > x2 ⇒ x1+3 > x2+3⇔ f (x1) > f (x2) ,
isto é, quando os valores do domínio crescem, as suas imagens também crescem. Logo,
f (x) é uma função estritamente crescente em R.
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
x
y
f(x)=x+3
2. Considerando quaisquer x1, x2 ∈ R tais que x1 > x2 ⇔ −x1 < −x2 ⇔
⇔ −x1+2 < −x2+2⇔ g (x1) < g (x2) , isto é, quando os valores do domínio crescem,
as suas imagens decrescem. Logo, g (x) é uma função estritamente decrescente em R.
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
x
y
g(x)=-x+2
Observação 14 .
• Se o domínio de uma função é uma reunião de intervalos e se a função é crescente
(decrescente) no seu domínio, ela é crescente (decrescente) em cada um dos subinter-
valos que o constitui. A recíproca é falsa, por exemplo, a função f definida em [0, 2]
por
f (x) =
¯
x , 0 ≤ x < 1
x− 1 , 1 ≤ x ≤ 2
cujo gráfico é
2
1
2
x
y
1
( )f x
2
1
2
x
y
1
( )f x
é crescente em [0, 1[ e em [1, 2] , mas não é crescente em [0, 2] . Mais geralmente, se
uma função é crescente (decrescente) emA e em B, ela não é necessariamente crescente
(decrescente) em A ∪ B.
70 Novembro de 2010
• Quando se define crescimento e decrescimento num conjunto A não se faz qualquer
restrição às características desse conjunto.Assim uma função pode ser crescente ou
decrescente em conjuntos abertos, fechados ou não abertos nem fechados. Convém ter
em conta situações como:
0
1
x
y
1
( )f x
0
1
x
y
1
( )h x
0
1
x
y
1
( )g x
-1
0
1
x
y
1
( )f x
0
1
x
y
1
( )h x
0
1
x
y
1
( )g x
-1
A função f é crescente em [0, 1] ; a função g não é crescente em [0, 1] mas é crescente
em [0, 1[ ; a função h não é crescente em [0, 1] mas é crescente em ]0, 1[ .
3.4.6 Extremos
Definição 69 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .
Extremos locais .
(i) f tem um máximo local (ou relativo) em x = a ∈ Df (ou f (a) é um máximo local de
f (x)) se existe uma vizinhança de a, Va = ]a− ², a+ ²[ , tal que
∀x∈Va∩Df : f (x) ≤ f (a) .
(ii) f tem um mínimo local (ou relativo) em x = a ∈ Df (ou f (a) é um mínimo local de
f (x)) se existe uma vizinhança de a, Va = ]a− ², a+ ²[ , tal que
∀x∈Va∩Df : f (x) ≥ f (a) .
Extremos absolutos .
(i) f tem um máximo absoluto em x = a ∈ Df (ou f (a) é o máximo absoluto de f (x)) se
∀x∈Df : f (x) ≤ f (a) .
(ii) f tem um mínimo absoluto em x = a ∈ Df (ou f (a) é o mínimo absoluto de f (x)) se
∀x∈Df : f (x) ≥ f (a) .
Graficamente:
0 x
y
a b c d
f (a) mínimo absoluto
f (b) máximo relativo
f (c) mínimo relativo
f (d) máximo absoluto
0 x
y
a b c d
f (a) mínimo absoluto
f (b) máximo relativo
f (c) mínimo relativo
f (d) máximo absoluto
71 Novembro de 2010
Observação 15 .
• Um extremo absoluto é um extremo local. No caso da função ter máximo absoluto (resp.
mínimo absoluto), este coincide com o maior (resp. menor) dos máximos relativos
(resp. mínimos relativos). Mas uma função pode ter máximos e mínimos locais no seu
domínio e não ter máximo nem mínimo absolutos.
• No caso de funções contínuas no seu domínio, se uma função é crescente (decrescente)
à esquerda de x = a e decrescente (crescente) à direita de x = a, então ela tem um
máximo relativo (mínimo relativo) em x = a.
Exemplo 51 Observe a representação gráfica da função f, indicando os extremos relativos
e absolutos de f.
- 3 -2 -1 1 2 3 4
-6
5
11
x
y
-15
( )f x
- 3 -2 -1 1 2 3 4
-6
5
11
x
y
-15
( )f x
Resolução:
f tem um máximo relativo: f (3) = 0, um máximo absoluto: f (−1) = 11, um mínimo relativo:
f (2) = −6 e um mínimo absoluto: f (−3) = −15.
3.4.7 Concavidade
Definição 70 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) e
designemos A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) .
(i) f tem a concavidade voltada para cima em A se o gráfico de f está acima da recta
tangente em qualquer um dos pontos de A.
Graficamente:
(ii) f tem a concavidade voltada para baixo em A se o gráfico de f está abaixo da recta
tangente em qualquer um dos pontos de A.
Graficamente:
72 Novembro de 2010
3.4.8 Pontos de Inflexão
Definição 71 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .
Diz-se que f tem um ponto de inflexão em x = a se o sentido da concavidade à esquerda
de a e à direita de a é diferente.
Graficamente:
 Ponto de Inflexão
" "
Concavidade
voltada para cima
" "
Concavidade
voltada para baixo
 Ponto de Inflexão
" "
Concavidade
voltada para cima" "
Concavidade
voltada para baixo
Exemplo 52 Observe a representação gráfica da função f, indicando as concavidades e pon-
tos de inflexão de f.
- 3 -2 -1 1 2 3 4
-6
5
11
x
y
-15
( )f x
- 3 -2 -1 1 2 3 4
-6
5
11
x
y
-15
( )f x
Resolução:
f tem a concavidade voltada para baixo em ]−3, 0[ e voltada para cima em ]0, 3[ ; f tem um
ponto de inflexão em x = 0.
3.4.9 Função Limitada
Definição 72 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) e
designemos por A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) . A função f diz-se limitada em A
se f (A) = {f (x) : x ∈ A} é um conjunto limitado, ou seja, se f (A) é um conjunto majorado
e minorado.
Simbolicamente escrevemos:
∃m, M∈R∀x∈A : m ≤ f (x) ≤M⇔
⇔ ∃M>0∀x∈A : |f (x)| ≤M.
Definição 73 Uma função f diz-se ilimitada em A se não for limitada em A.
Exemplo 53 Verifique se as seguintes funções são limitadas no conjunto I.
1. f : R→ R definida por f (x) = x2, onde I = [−1, 1] ;
2. g : R\ {0}→ R definida por g (x) = 1
x
, onde I = ]0, 1] .
73 Novembro de 2010
Resolução:
1. Da observação do gráfico da função f (x) = x2 resulta que f ([−1, 1]) = [0, 1], isto é,
0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x∈[−1,1]. Logo, f é limitada no conjunto I = [−1, 1] .
-1 0 1
1
x
y
( ) 2f x x=
-1 0 1
1
x
y
( ) 2f x x=
2. Observando o gráfico da função g (x) = 1
x
, verifica-se que g (]0, 1]) = [1,+∞[, isto é,
g (x) ≥ 1, ∀x∈]0,1]. Logo, g não é limitada no conjunto I = ]0, 1] .
0 1 2 3
1
2
3
x
y
( ) 1g x
x
=
0 1 2 3
1
2
3
x
y
( ) 1g x
x
=
3.5 Operações com Funções
Entre funções podem realizar-se diversas operações que originam outras funções.
Dadas duas funções reais de variável real f e g (f : Df ⊆ R→ R e g : Dg ⊆ R→ R) e duas
contantes k ∈ R e n ∈ N, as expressões
k× f (x) ; f (x) + g (x) ; f (x)− g (x) ; f (x)× g (x) ;
f (x)
g (x)
;
1
f (x)
; (f (x))n ; n
p
f (x); |f (x)|
representam novas funções de x que se chamam, respectivamente, produto de uma cons-
tante k por f, soma de f com g, diferença entre f e g, produto de f por g, quociente
de f por g, o inverso de f, potência n de f, raíz de índice n de f e módulo de f.
Em relação ao domínio destas funções, tem-se o seguinte:
Dkf = Dfn = D|f| = Df
Df+g = Df−g = Df×g = Df ∩Dg
D f
g
= Df ∩Dg ∩ {x ∈ R : g (x) 6= 0}
D 1
f
= Df ∩ {x ∈ R : f (x) 6= 0}
D n√f =
¯
Df , n ímpar
Df ∩ {x ∈ R : f (x) ≥ 0} , n par
.
74 Novembro de 2010
• Função composta
— Composição de f com g : (f ◦ g) (x)
Se g (Dg) ⊆ Df, faz sentido definir a composição da função f com a função g como
sendo uma nova função, representada por (f ◦ g) (x) . Primeiro determina-se g (x)
e o resultado obtido é o objecto para a função f. Tem-se
Df◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df} .
f ◦ g : Df◦g ⊆ R → R
x 7→ y = (f ◦ g) (x) = f [g (x)] .
( )
( ) ( )
g f
g g fD g D D
x g x f g x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
�
f go
( )
( ) ( )
g f
g g fD g D D
x g x f g x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
�
f go
— Composição de g com f : (g ◦ f) (x)
Se f (Df) ⊆ Dg, faz sentido definir a composição da função g com a função f, como
sendo uma nova função, representada por (g ◦ f) (x) . Primeiro determina-se f (x) e
o resultado obtido é o objecto para a função g. Tem-se
Dg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg} .
g ◦ f : Dg◦f ⊆ R → R
x 7→ y = (g ◦ f) (x) = g [f (x)] .
( )
( ) ( )
f g
f f gD f D D
x f x g f x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
�
g fo
( )
( ) ( )
f g
f f gD f D D
x f x g f x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
�
g fo
Observação 16 .
• Mesmo quando existem as duas funções compostas g ◦ f e f ◦ g, tem-se geralmente
g ◦ f 6= f ◦ g.
• A composta de duas funções crescentes (decrescentes) é uma função crescente (decres-
cente).
• A composta de uma função crescente com uma função decrescente é uma função de-
crescente.
75 Novembro de 2010
• A inversa de f : f−1 (x)
Se f é uma função injectiva, a função inversa da função f é uma nova função, representada
por f−1 (x) , em que os objectos são as imagens dadas por f.
f−1 : Df−1 ⊆ R → D0f−1
x 7→ y = f−1 (x) .
De notar que o contradomínio de uma função é o domínio da sua inversa e vice-versa, ou
seja,
Df−1 = D
0
f e D
0
f−1 = Df.
Os gráficos de f e f−1 são simétricos relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares y = x.
0 x
y
y = xf
f-1
0 x
y
y = xf
f-1
Observação 17 .
• ¡f ◦ f−1¢ (x) = ¡f−1 ◦ f¢ (x) = x.
• Para se obter a inversa de uma função, pode proceder-se da seguinte forma:
1. Isolar a variável x;
2. Trocar o x por y e o y por x.
Exemplo 54 Considere as funções f (x) = 2x − 5 e g (x) = x2 + 2 cujos domínios são
Df = Dg = R, com as seguintes representações gráficas:
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y ( ) 52 −= xxf
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y ( ) 52 −= xxf
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y
( ) 22 += xxg
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y
( ) 22 += xxg
Determine as seguintes funções, represente-as graficamente e indique os respectivos
domínios:
1. (5f) (x) ;
2. (f+ g) (x) ;
3. (f× g) (x) ;
4.
³
f
g
´
(x) ;
5. f2 (x) ;
6. 3
√
g (x) ;
76 Novembro de 2010
7. |f| (x) ;
8. (f ◦ g) (x) ;
9.
¡
1
f
¢
(x) ;
10. f−1 (x) .
Resolução:
1. (5f) (x) = 5× f (x) = 5× (2x− 5) = 10x− 25 e D5f = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f(x)=10x-25
2. (f+ g) (x) = f (x) + g (x) = (2x− 5) +
¡
x2 + 2
¢
= x2 + 2x− 3 e Df+g = R ∩R = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f(x)+g(x)=x²+2x-3
3. (f× g) (x) = f (x) × g (x) = (2x− 5) × ¡x2 + 2¢ = 2x3 − 5x2 + 4x − 10 e
Df×g = R ∩R = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-20
-10
10
x
y
f(x)×g(x)=2x³-5x²+4x-10
4.
³
f
g
´
(x) = f(x)
g(x)
= 2x−5
x2+2
e D f
g
= R ∩R ∩
©
x ∈ R : x2 + 2 6= 0ª = R
( )
( ) 2
52
2 +
−=
x
x
xg
xf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( )
( ) 2
52
2 +
−=
x
x
xg
xf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
5. f2 (x) = (f (x))2 = (2x− 5)2 = 4x2 − 20x+ 25 e Df2 = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f²(x)=4x²-20x+25
77 Novembro de 2010
6. 3
√
g (x) = 3
p
g (x) = 3
√
x2 + 2 e D 3√g = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 3 23 2g x x= +
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 3 23 2g x x= +
7. |f| (x) = |f (x)| = |2x− 5| =
¯
2x− 5 , 2x− 5 ≥ 0
− (2x− 5) , 2x− 5 < 0 =
¯
2x− 5 , x ≥ 5
2
−2x+ 5 , x < 5
2
e
D|f| = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
|f(x)|=|2x-5|
8. (f ◦ g) (x) = f [g (x)] = f
¡
x2 + 2
¢
= 2
¡
x2 + 2
¢
− 5 = 2x2 − 1 e
Df◦g =
©
x ∈ R : x ∈ R∧
¡
x2 + 2
¢
∈ R
ª
= R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
(fog)(x)=2x²-1
9.
¡
1
f
¢
(x) = 1
f(x)
= 1
2x−5 e D 1f = R ∩ {x ∈ R : 2x− 5 6= 0} = R\
©
5
2
ª
( ) 52
11
−= xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 52
11
−= xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
10. f (x) = 2x− 5⇔ y = 2x− 5⇔ x = y+5
2
assim f−1 (x) = x+5
2
e Df−1 = D
0
f = R
( )
2
51 +=− xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( )
2
51 +=− xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
78 Novembro de 2010
3.6 Funções Algébricas
Grande parte dos fenómenos naturais podem ser representados pelas chamadas funções ele-
mentares. Tratam-se de funções definidas por fórmulas que contêm um número finito de
operações algébricas ou trigonométricas efectuadas com o argumento, com a função e com
algumasconstantes. As funções elementares dividem-se em algébricas e transcendentes.
As funções transcendentes mais frequentemente utilizadas incluem as funções exponenciais,
logarítmicas e trigonometricas (que serão vistas em outros capítulos).
De seguida apresentam-se algumas funções algébricas bem conhecidas.
Definição 74 As funções algébricas mais simples são as funções polinomiais (ou funções
algébricas racionais inteiras) que têm a seguinte expressão
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
em que an, an−1, . . . , a0 são números reais designados coeficientes; se an 6= 0, a função
polinomial é de grau n, onde n é um número inteiro positivo.
Definição 75 Seja f (x) = (x− α)k .P(x) uma função polinomial de grau n + k, onde
α ∈ R, k ∈ N e P (x) é um polinómio de grau n Diz-se que α é uma raíz real de f
de multiplicidade k.
Exemplo 55 A função f (x) = 2x6 + 6x5 + 8x4 + 8x3 + 6x2 + 2x tem duas raízes reais:
α1 = −1 e α2 = 0, de mulplicidades 3 e 1 respectivamente. De facto, este polinómio pode
escrever-se da seguinte forma:
f (x) = 2x6 + 6x5 + 8x4 + 8x3 + 6x2 + 2x = 2 (x+ 1)3 x(x2 + 1).
Faz-se em seguida uma breve referência às funções polinomiais de grau n = 1 (função afim);
n = 2 (função quadrática) e n = 3 (função cúbica).
3.6.1 Função afim
Definição 76 As funções da forma f (x) = mx+b, ondem e b 6= 0, são chamadas funções
afins. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = D
0
f = R;
2. O seu gráfico é uma recta oblíqua;
3. m é o declive (ou inclinação) da recta em relação ao eixo das abcissas;
4. b é a ordenada na origem (ou ponto de intersecção) da recta com o eixo das ordenadas;
5. Tem um único zero em x = − b
m
;
6. Se m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > − b
m
e negativa se x < − b
m
;
79 Novembro de 2010
7. Se m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < − b
m
e negativa se x > − b
m
.
0
b
x
y
m > 0
0
b
x
y
m < 0
y mx b= + y mx b= +
b
m
− b
m
−0
b
x
y
m > 0
0
b
x
y
m < 0
y mx b= + y mx b= +
b
m
− b
m
−
Definição 77 Considerando a função afim f (x) = mx + b, com b = 0 e m 6= 0, ou seja,
f (x) = mx, a função afim designa-se por função linear (ou função de proporciona-
lidade directa). Estas funções têm as mesmas propriedades que as funções afins com a
particularidade de:
1. O seu gráfico é uma recta que passa pela origem, pois b = 0;
2. Tem um único zero em x = 0;
3. Se m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > 0 e negativa se x < 0;
4. Se m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < 0 e negativa se x > 0.
0 x
y
0 x
yy = mx
m > 0
y = mx
m < 0
0 x
y
0 x
yy = mx
m > 0
y = mx
m < 0
Definição 78 Considerando a função afim f (x) = mx+b, comm = 0, ou seja, f (x) = b, a
função afim designa-se por função constante. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = R e D
0
f = {b} ;
2. O seu gráfico é uma recta horizontal, paralela ao eixo xx;
3. Não tem zeros;
4. Se b > 0, a função é positiva ∀x ∈ R;
5. Se b < 0, a função é negativa ∀x ∈ R.
0
b
x
y
y = b
b > 0
0
b
x
y
y = b
b < 0
0
b
x
y
y = b
b > 0
0
b
x
y
y = b
b < 0
80 Novembro de 2010
Observação 18 As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais de primeiro
grau e a função constante é chamada função polinomial de grau zero.
Exemplo 56 Indique as propriedades das seguintes funções e represente-as graficamente:
1. f (x) = 2x+ 1;
2. g (x) = −x;
3. h (x) = 1.
Resolução:
1. A função f (x) = 2x + 1 é uma função afim com Df = R e D
0
f = R; o seu gráfico é
uma recta oblíqua com declive m = 2 e ordenada na origem b = 1; tem um único zero
em x = −1
2
; como m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > −1
2
e negativa
se x < −1
2
.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x + 1
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x + 1
2. A função g (x) = −x é uma função linear com Dg = R e D0g = R; o seu gráfico é uma
recta oblíqua que passa pela origem com declive m = −1; tem um único zero em x = 0;
como m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < 0 e negativa se x > 0.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
yg(x) = -x
210-1-2
2
1
-1
-2
x
yg(x) = -x
3. A função h (x) = 1 é uma função constante com Dh = R e D0h = {1}; o seu gráfico é
uma recta horizontal paralela ao eixo xx; não tem zeros e é positiva ∀x ∈ R.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
h(x) = 1
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
h(x) = 1
3.6.2 Função quadrática
Dentro das dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
faróis de carros, antenas parabólicas, radares, lançamento de projécteis, etc.
81 Novembro de 2010
Definição 79 Uma função quadrática (ou função polinomial do 2o grau) é uma
função expressa por um polinómio de segundo grau, ou seja, com uma expressão da forma
f (x) = ax2 +bx+c, onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = R;
2. O seu gráfico é uma parábola que passa pelo ponto (0, c);
3. Os zeros ou raízes são dados pela fórmula resolvente;
4. A soma das raízes é −b
a
e o produto c
a
;
5. As coordenadas do vértice da parábola são V =
¡
− b
2a
,− ∆
4a
¢
, onde ∆ = b2 − 4ac;
6. O ponto F =
³
− b
2a
, 1+4ac−b
2
4a
´
é o foco da parábola;
7. A recta y = −1+4ac−b
2
4a
é a directriz da parábola;
8. O valor absoluto de a determina a abertura da função, ou seja, quanto maior for |a|
mais fechada é a parábola;
9. Concavidade:
a > 0 a < 0
Concavidade voltada para cima; Concavidade voltada para baixo;
V é o mínimo da função; V é o máximo da função;
D
0
f =
£
− ∆
4a
,+∞
£
. D
0
f =
¤
−∞,− ∆
4a
¤
.
0 x
y
a
b
2
−
a4
∆−
V
0 x
y
a
b
2
−
a4
∆−
V
0 x
y
a
b
2
−
a4
∆− V
0 x
y
a
b
2
−
a4
∆− V
10. Sinal:
(a) ∆ > 0
a > 0 a < 0
Negativo: Negativo:
x ∈
i
−b−
√
∆
2a
, −b+
√
∆
2a
h
x ∈
i
−∞, −b−
√
∆
2a
h
∪
i
−b+
√
∆
2a
,+∞
h
Positivo: Positivo:
x ∈
i
−∞, −b−
√
∆
2a
h
∪
i
−b+
√
∆
2a
,+∞
h
x ∈
i
−b−
√
∆
2a
, −b+
√
∆
2a
h
0 x
y
a
b
2
∆−−
a
b
2
∆+−
+ +
−0 x
y
a
b
2
∆−−
a
b
2
∆+−
+ +
−
0 x
y
a
b
2
∆−−
a
b
2
∆+−
+
−−
0 x
y
a
b
2
∆−−
a
b
2
∆+−
+
−−
82 Novembro de 2010
(b) ∆ = 0
a > 0 a < 0
Positivo: ∀x ∈ R\
©
− b
2a
ª
Negativo: ∀x ∈ R\
©
− b
2a
ª
0 x
y
a
b
2
−
+ +
0 x
y
a
b
2
−
+ +
0 x
y
a
b
2
−
−−
0 x
y
a
b
2
−
−−
(c) ∆ < 0
a > 0 a < 0
Positivo: ∀x ∈ R Negativo: ∀x ∈ R
0 x
y
+ ++
0 x
y
+ ++ 0 x
y
−− −
0 x
y
−− −
11. Monotonia
a > 0 a < 0
Decrescente: x ∈
¤
−∞,− b
2a
£
Decrescente: x ∈
¤
− b
2a
,+∞
£
Crescente: x ∈
¤
− b
2a
,+∞
£
Crescente: x ∈
¤
−∞,− b
2a
£
0 x
y
a
b
2
−
0 x
y
a
b
2
−
0 x
y
a
b
2
−0 x
y
a
b
2
−
Observação 19 .
• A função f (x) = ax2 + bx+ c, onde a 6= 0, pode escrever-se na forma
f (x) = a (x− h)2 + k,
onde h = − b
2a
, k = 4ac−b
2
4a
e V = (h, k) .
• Se x1 e x2 são as raízes reais da função f (x) = ax2 + bx + c, então para todos os
valores reais de x
f (x) = ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) .
• Se a função f (x) = ax2 + bx + c apenas tiver uma raíz real, x1, então para todos os
valores reais de x
f (x) = ax2 + bx+ c = a (x− x1)2 .
83 Novembro de 2010
Exemplo 57 Indique as propriedades das seguintes funções e represente-as graficamente:
1. f (x)= x2 + 2x− 3;
2. g (x) = −2x2 + x− 2.
Resolução:
1. f (x) = x2 + 2x− 3. Logo, a = 1, b = 2 e c = −3.
• Df = R;
• zeros: f (x) = 0 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = −2±
√
4+12
2
⇔ x = −3 ∨ x = 1; a
função f tem duas raízes reais (∆ > 0), podendo escrever-se f (x) = x2 + 2x+ 1 =
= (x+ 3) (x− 1) ;
• V = ¡−2
2
,−16
4
¢
= (−1,−4) ;
• como a > 0, Gf tem a concavidade voltada para cima e V é o mínimo da função;
• f é positiva em ]−∞,−3[ ∪ ]1,+∞[ e negativa em ]−3, 1[ ;
• f é decrescente em ]−∞,−1[ e crescente em ∀x ∈ ]−1,+∞[ .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=x²+2x-3
2. g (x) = −2x2 + x− 2. Logo a = −2, b = 1 e c = −2.
• Dg = R;
• zeros: g (x) = 0⇔ −2x2 + x− 2 = 0⇔ x = −1±
√
1−16
2
; a função g não tem raízes
reais (∆ < 0) mas, pode escrever-se g (x) = −2
¡
x− 1
4
¢2 − 15
8
;
• V = ¡− 1−4 ,−1−16−8 ¢ = ¡14 ,−158 ¢ ;
• como a < 0, Gg tem a concavidade voltada para baixo e V é o máximo da função;
• g é negativa em R;
• g é decrescente em ¤1
4
,+∞
£
e crescente em
¤
−∞, 1
4
£
.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
y
g(x)=-2x²+x-2
84 Novembro de 2010
3.6.3 Função cúbica
Definição 80 Uma função cúbica (ou função polinomial do 3o grau) é uma função ex-
pressa por um polinómio de terceiro grau, ou seja, com uma expressão da forma
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c, d ∈ R e a 6= 0. Esta função tem as seguintes
propriedades:
1. Df = D
0
f = R;
2. O seu gráfico passa pelo ponto (0, d);
3. Tem pelo menos um zero, podendo ter no máximo três zeros distintos;
4. Tem um ponto de inflexão em x = − b
3a
;
5. Concavidades e limites:
a > 0 a < 0
Conc. voltada para baixo em
¤
−∞,− b
3a
£
; Conc. voltada para baixo em
¤
− b
3a
,+∞
£
;
Conc. voltada para cima em
¤
− b
3a
,+∞
£
; Conc. voltada para cima em
¤
−∞,− b
3a
£
;
lim
x→+∞
f (x) = +∞; lim
x→+∞
f (x) = −∞;
lim
x→−∞
f (x) = −∞; lim
x→−∞
f (x) = +∞;
Exemplo 58 Indique as propriedades da seguinte função real de variável real f (x) = x2 (x− 1)
e represente-a graficamente.
Resolução: f (x) = x2 (x− 1) = x3 − x2. Logo a = 1, b = −1 e c = d = 0.
• Df = D0f = R;
• zeros: f (x) = 0 ⇔ x2 (x− 1) = 0 ⇔ x2 = 0 ∨ x − 1 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1;
a função f tem apenas duas raízes reais;
• f é positiva em ]−∞, 0[ ∪ ]1,+∞[ e negativa em ]0, 1[ ;
• f é crescente em ]−∞, 0[ e em ¤2
3
,+∞
£
; decrescente em
¤
0, 2
3
£
;
• máximo relativo: (0, 0) ; mínimo relativo: ¡2
3
,− 4
27
¢
;
• f tem a concavidade voltada para baixo em ¤−∞, 1
3
£
e voltada para cima em
¤
1
3
,+∞
£
;
85 Novembro de 2010
• ponto de inflexão: ¡1
3
,− 2
27
¢
.
- 2 - 1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
( ) ²( -1)f x x x=
- 2 - 1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
( ) ²( -1)f x x x=
3.6.4 Função algébrica racional fraccionária
Definição 81 A função algébrica racional fraccionária pode escrever-se como o quo-
ciente de dois polinómios, isto é, expressa-se na forma
f (x) =
p (x)
q (x)
=
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0
em que p (x) e q (x) são, respectivamente, polinómios de graus n e m e q (x) 6= 0. Assim
sendo, as funções f (x) = x
2
x+1
e g (x) = x
3+2
1+2x2
são exemplos de funções algébricas racionais
fraccinárias.
3.6.5 Função algébrica irracional
Definição 82 Uma função algébrica diz-se irracional se não for racional. Entende-se
por função racional uma função que pode ser representada por uma expressão algébrica que
contém as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, não incluindo extracções
de raíz. Assim sendo, as funções f (x) =
√
x, g (x) = 3
√
x2 + 2x− 1 e h (x) = x
1
2 +3√
1+2x2
são
exemplos de funções algébricas irracionais.
Observação 20 A expressão algébrica
√
x4 + 4x2 + 4, apesar de incluir uma extracção de
raíz, define uma função racional uma vez que
√
x4 + 4x2 + 4 =
q
(x2 + 2)
2
= x2 + 2.
86 Novembro de 2010
3.7 Exercícios Propostos
Exercício 87 Considere os conjuntos A = {−2, 0, 1} e B =
©
−1, 1, 3
2
ª
.
1. Defina o produto cartesiano A× B;
2. Indique uma correspondência de A para B.
Exercício 88 Observe os seguintes diagramas e considere os conjuntos A = {−2, 0, 1, 3} e
B = {1, 2, 3} . Quais dos diagramas se encaixa na definição de função de A em B?
-2
0
1
3
1
2
3
b)
-2
0
1
3
1
2
3
a)
-2
0
1
3
1
2
3
c)
A A AB B B
-2
0
1
3
1
2
3
b)
-2
0
1
3
1
2
3
a)
-2
0
1
3
1
2
3
c)
A A AB B B
Exercício 89 Considere a função f : X→ Y representada pelo diagrama seguinte:
2
4
6
8
0
1
3
5
7
X Y
6
9
2
4
6
8
0
1
3
5
7
X Y
6
9
Determine:
1. O domínio de f;
2. O codomínio de f;
3. f (2) ; f (4) ; f (6) e f (8) ;
4. O contradomínio de f;
5. A expressão que define f.
Exercício 90 Considere a função f : X→ Y definida por:
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
f
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
f
1. Indique o domínio e o contradomínio de f;
2. Calcule f (−3) + f (3);
3. Resolva as equações:
(a) f (x) = −2;
(b) f (x) + 1 = f (0) ;
87 Novembro de 2010
(c) 4− f (x) = f (−6) ;
4. Construa outra função com o mesmo domínio, mas cujo contradomínio seja o conjunto
{0, 1, 2} .
Exercício 91 Considere as seguintes funções reais de variável real e indique para cada uma
o seu domínio:
1. f (x) = 2x− 5;
2. f (x) = 3x−2
2x−8 ;
3. f (x) =
√
x− 5;
4. f (x) = 3x+ 5 3
√
x− 4;
5. f (x) =
√
2x−1
3
√
6−2x ;
6. f (x) = 1
|x|−3 ;
7. f (x) =
p
2− |x− 1|;
8. f (x) = 3
q
1+ 1
x
;
9. f (x) = 3
q
x+2
1+x2
;
10. f (x) = 3
√
x+ 5;
11. f (x) = 5
q
x−3
x2−7x+10 ;
12. f (x) =
p
2− |x|;
13. f (x) =
√
x− 1+
√
x+ 1;
14. f (x) = 1+
√
2−x
x2−4 ;
15. f (x) = 3x
√
x−1
x−4 ;
16. f (x) = 1
x−|x| ;
17. f (x) =
√
4x+1
2x+
√
3x+1
;
18. f (x) =
¯ √
x− 1 , x > 1√
x
x
, x < 1
;
19. f (x) =
¯
x−2
x+3
, x < 5√
x+ 1 , x ≥ 5 ;
20. f (x) =
⎧
⎨
⎩
√
1− x , x < 0
2
x
, 0 ≤ x ≤ 1
x+
√
x− 3 , x > 1
88 Novembro de 2010
Exercício 92 Observe os seguintes gráficos e relacione-os com as respectivas funções:
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
b)a) c) d)
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
b)a) c) d)
1. f (x) = x3 − 1;
2. g (x) = 2;
3. h (x) = 2x+ 2;
4. j (x) = x2 − 2.
Exercício 93 Construa um esboço gráfico das seguintes funções:
1. f (x) = 2x− 2;
2. g (x) = x2;
3. h (x) = x3.
Exercício 94 Considere a função f : Df ⊂ R→ R com a seguinte representação gráfica:
1 2 3 4
3
5
x
y
( )f x
2
4
1 2 3 4
3
5
x
y
( )f x
2
4
Determine o domínio e o contradomínio de f.
Exercício 95 Use o gráfico da função f (x) para associar cada uma das seguintes funções
com o seu gráfico.
- 8 -6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
( )f xa
b
c
d
e
- 8 -6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
( )f xa
b
c
d
e
1. f (x) + 3;
2. −f (−x)− 2;
3. f (x− 3) ;
4. −f (x− 4) ;
5. f (x+ 2)− 3.
89 Novembro de 2010
Exercício 96 Qual dos gráficosrepresenta uma função:
1. sobrejectiva?
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
2. injectiva?
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
Exercício 97 Seja g : Z −→ Z uma função definida por g (x) = x2.
1. Mostre que esta função não é injectiva nem sobrejectiva.
2. Defina uma restrição de g que seja injectiva.
Exercício 98 Considere a função h : N0 → N definida por h (x) = x+ 1.
1. Qual é o contradomínio de h?
2. Averigue se h é uma função injectiva. Justifique.
Exercício 99 Considere as seguintes funções reais de variável real e indique, justificando,
se são ou não bijectivas.
1. f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2;
2. g : R→ R definida por g (x) = x2 + 5;
3. h : R→ [0,+∞[ definida por h (x) = x2.
Exercício 100 Dos gráficos seguintes, indique a respectiva paridade:
1.
-1
1
x
y
cos x
2
π
2
π− 03
2
π− 3
2
π5
2
π− 5
2
π
-1
1
x
y
cos x
2
π
2
π− 03
2
π− 3
2
π5
2
π− 5
2
π
90 Novembro de 2010
2.
-1
1
x
y
0 π 2π 3π3π− 2π− π−
sen x
-1
1
x
y
0 π 2π 3π3π− 2π− π−
sen x
Exercício 101 Estude a paridade das seguintes funções:
1. f (x) = 5x;
2. g (x) = x4 + 1;
3. h (x) = 3
x2−x + x.
Exercício 102 Seja f : R→ R a função definida por:
f (x) =
¯
(x− 1)2 , x > 0
g (x) , x < 0
.
Determine g (x) de modo que f seja:
1. par;
2. ímpar.
Exercício 103 Observe os gráficos das seguintes funções reais de variável real e verifique se
são funções periódicas. Em caso afirmativo, indique o seu período.
1. f : R→ R tal que
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
f
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
f
2. h : R→ R definida por h (x) = cos2 x.
1
x
y
( ) 2cosh x x=
π0 2π 3π-π-2π-3π
π
1
x
y
( ) 2cosh x x=
π0 2π 3π-π-2π-3π
π
91 Novembro de 2010
Exercício 104 Determine, se possível, os zeros das seguintes funções reais de variável real:
1. f (x) = x2 + 6x+ 9;
2. f (x) = 1− 3
√
x− 1;
3. f (x) =
√
x+3
1−
√
x+2
;
4. f (x) =
¯
x−2
x+3
, x < 5√
x+ 1 , x ≥ 5 ;
5. f (x) = 8− x3;
6. f (x) = x3 + x2;
7. f (x) = x−1
x2+1
;
8. f (x) = x
2−4
x+2
;
9. f (x) = x+
√
x
x2−4 ;
10. f (x) = x−
√
x2;
11. f (x) =
√
x+1−
√
2x
1−x ;
12. f (x) =
¯
2− x , x ≤ −2
x2 − 4 , x > −2 .
Exercício 105 A função real de variável real h (x) está definida por ramos como se indica:
h (x) =
⎧
⎨
⎩
2x+ 4 , − 2 < x < 0
−2x+ 4 , 0 ≤ x < 2
|x|− 2 , x ≤ −2∨ x ≥ 2
.
1. Faça um esboço do gráfico da função.
2. Resolva as equações:
(a) h (x) = 0;
(b) h (x) = 3.
Exercício 106 Considere a função real de variável real definida por:
y = −2−
√
x+ 5
1. Determine o domínio e o contradomínio da função;
2. Mostre que a função não tem zeros.
92 Novembro de 2010
Exercício 107 Considere o seguinte gráfico de uma função f definida em [−7, 3]
-7 -6 -5 -4 - 3 - 2 - 1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-7 -6 -5 -4 - 3 - 2 - 1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
A partir do gráfico,
1. estude f quanto ao sinal;
2. estude f quanto à monotonia;
3. indique os extremos relativos e absolutos de f;
4. indique, caso existam, subintervalos do domínio onde uma restrição de f é:
(a) par;
(b) ímpar.
Exercício 108 Estude as seguintes funções quanto ao sinal, à monotonia e às concavidades:
1. f (x) = 8x+ 2;
2. g (x) = −x3;
3. h (x) = 3
x
;
4. j (x) = −x2 + 4x− 4.
Exercício 109 Indique, justificando, se as seguintes funções são limitadas no conjunto I.
1. f (x) =
√
x− 1, onde I = Df;
2. g (x) = x3, onde I = [−2, 2] ;
3. h (x) = x
2
x+1
, onde I = [−2, 0] ;
4. j (x) = |x|
x
, onde I = Dj.
Exercício 110 Considere as funções f (x) =
√
x− 1 e g (x) = 1
x−2 . Determine o domínio e
a expressão analítica das seguintes funções reais de variável real:
√
2f, f + g, f × g, f
g
, f2,
3
√
f e |g| .
Exercício 111 Caracterize as funções f+ g e f
g
, sendo f e g duas funções reais de variável
real:
1. f (x) = x− 2 e g (x) = x2 − 4;
2. f (x) =
√
x+ 5 e g (x) =
√
3− x.
93 Novembro de 2010
Exercício 112 Considere as funções f (x) = 2x− 4 e g (x) = 3x+ a, onde a ∈ R. Sabendo
que f (1)− g (0) = 6, quanto vale f (2)− 5g (7) ?
Exercício 113 Definidas as funções f, g e h, pelos diagramas:
1
2
3
1
2
3
f g h
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
f g h
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
determine f ◦ g, g ◦ h, h ◦ f, g ◦ g nos pontos 1, 2 e 3.
Exercício 114 Se f (x) = 3x− 5 e g (x) = x2 + 2x− 3, obtenha (f ◦ g) (2) e (g ◦ f) (3) .
Exercício 115 Na figura seguinte estão representadas duas funções f e g
20
4
3
2
1
y
x
f
1
g
20
4
3
2
1
y
x
f
1
g
Determine:
1. as expressões analíticas de f e g;
2. Dg◦f;
3. g ◦ f
¡
1
2
¢
;
4. Qual das representações seguintes pode ser a de g ◦ f (x) ?
0
4
3
2
1
y
x120
4
3
2
1
y
x1 0
4
3
2
1
y
x1 2 20
4
3
2
1
y
x1 2
a) b) c) d)
0
4
3
2
1
y
x120
4
3
2
1
y
x1 20
4
3
2
1
y
x1 0
4
3
2
1
y
x1 2 20
4
3
2
1
y
x1 2
a) b) c) d)
Exercício 116 Determine as expressões analíticas das funções g ◦ f, f ◦ g, g ◦ g e f ◦ f e os
respectivos domínios, sabendo que:
1. f (x) = x2 + 1 e g (x) = 2x− 4;
2. f (x) =
√
x e g (x) = x2.
Exercício 117 Caracterize as funções h ◦ j e j ◦ h:
1. h (x) = 2x e j (x) = 3x+ 2;
2. h (x) =
√
x+ 1 e j (x) = 1
x−2 .
94 Novembro de 2010
Exercício 118 Sendo f (x) =
¯
x−1
x+3
, x > −6
5 , x ≤ −6 e g (x) = x
2, determine o domínio e a
expressão analítica de f+ g, f× g, f
g
, g ◦ f e g ◦ g.
Exercício 119 Determine, se possível, a inversa de cada uma das seguintes funções reais
de variável real e esboce o respectivo gráfico:
1. f (x) = x−1
2
;
2. f (x) =
√
2x+ 5;
3. f (x) = x2 − x;
4. f (x) = x3 + 2;
5. f (x) = 2x+3
x−5 ;
6. f (x) = 1
x2
.
Exercício 120 Dadas as funções reais de variável real f (x) = 2x+4 e g (x) = x−1
x+2
, obtenha
f−1 (8) e g−1 (x) .
Exercício 121 Seja g : R −→ R a função definida por g (x) = x2 − 4.
1. Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de g;
2. Mostre que não existe g−1;
3. Indique uma restrição de g que admita inversa. Defina a inversa nessa restrição e
esboce o gráfico.
Exercício 122 Seja h a f.r.v.r definida por h (x) = x+1
2−x − 2.
1. Determine os reais a e b tais que h (−1) = b e h (a) = −1;
2. Se possível, caracterize h−1.
Exercício 123 Seja f (x) = mx+b uma f.r.v.r. tal que f (−3) = 9 e f (5) = −7. Determine
f (1) e o zero desta função.
Exercício 124 Determine m de modo que:
1. uma das raízes do polinómio x2 − 4x+m seja 2+
√
2;
2. o polinómio x2 +mx+m tenha uma raíz real não nula de multiplicidade 2.
Exercício 125 Sabe-se que os zeros da função quadrática f (x) = x2 + bx+ c são p = −7 e
q = −1. Determine o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.
Exercício 126 Considerando um rectângulo cujo perímetro mede 36 m, determine os seus
lados sabendo que a sua área é máxima.
95 Novembro de 2010
Exercício 127 Represente graficamente as seguintes funções reais de variável real. Deter-
mine os respectivos domínios e contradomínios e faça um estudo da bijectividade, paridade,
sinal, monotonia, extremos, concavidades e pontos de inflexão. Indique, justificando, se são
ou não limitadas e se existe a respectiva função inversa.
1. f (x) = −3x+ 1;
2. g (x) = 2x2 + 2x− 12;
3. h (x) = x
2+x
x3−2 ;
4. m (x) = 3
√
x− 1.
96 Novembro de 20103.8 Soluções
Solução 87 .
1. A× B = ©(−2,−1) , (−2, 1) , ¡−2, 3
2
¢
, (0,−1) , (0, 1) ,
¡
0, 3
2
¢
, (1,−1) , (1, 1) ,
¡
1, 3
2
¢ª
.
2. R =
©
(−2, 1) ,
¡
−2, 3
2
¢
, (0,−1) , (1, 1) ,
¡
1, 3
2
¢ª
.
Solução 88 b.
Solução 89 .
1. Df = X = {2, 4, 6, 8} .
2. Y = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 9} .
3. f (2) = 1; f (4) = 3; f (6) = 5 e f (8) = 7.
4. D0f = {1, 3, 5, 7} .
5. f (x) = x− 1.
Solução 90 .
1. Df = {−6,−3, 0, 3, 6} ;D0f = {−2,−1, 0, 1, 2} .
2. 0.
3. (a) C.S. = {6} .
(b) C.S. = {3} .
(c) C.S. = {−6} .
4.
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
h
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
h
Solução 91 .
1. D = R.
2. D = R\ {4} .
3. D = [5,+∞[ .
4. D = R.
5. D =
£
1
2
,+∞
£
\ {3} .
6. D = R\ {−3, 3} .
7. D = [−1, 3] .
8. D = R\ {0} .
9. D = R.
97 Novembro de 2010
10. D = R.
11. D = R\ {2, 5} .
12. D = [−2, 2] .
13. D = [1,+∞[ .
14. D = ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 2[ .
15. D = [1, 4[ ∪ ]4,+∞[ .
16. D = R−.
17. D =
¤
−1
4
,+∞
£
.
18. D = R+\ {1} .
19. D = R\ {−3} .
20. D = ]−∞, 1] \ {0} ∪ [3,+∞[ .
Solução 92 1→ c; 2→ d; 3→ b e 4→ a.
Solução 93 .
1.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = 2x-2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = 2x-2
2.
420-2-4
4
3
2
1
x
y
f(x) = x2
420-2-4
4
3
2
1
x
y
f(x) = x2
3.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = x3
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = x3
98 Novembro de 2010
Solução 94 Df = [1, 4] e D0f = [2, 3[ ∪ [4, 5] .
Solução 95 1→ a; 2→ 2; 3→ c; 4→ d e 5→ b.
Solução 96 .
1. a.
2. c.
Solução 97 .
1. -
2. R−0 .
Solução 98 .
1. D0h = R.
2. h é injectiva.
Solução 99 .
1. f é bijectiva (é injectiva e sobrejectiva).
2. g não é bijectiva (não é injectiva nem sobrejectiva).
3. h não é bijectiva (não é injectiva mas é sobrejectiva).
Solução 100 .
1. é par.
2. é ímpar.
Solução 101 .
1. f é ímpar.
2. g é par.
3. h não é par nem ímpar.
Solução 102 .
1. g (x) = (x+ 1)2 .
2. g (x) = − (x+ 1)2 .
Solução 103 .
1. f é periódica de período 2.
2. h é periódica de período π.
99 Novembro de 2010
Solução 104 .
1. x = −3.
2. x = 2.
3. Não tem zeros.
4. x = 2.
5. x = 2.
6. x = −1∨ x = 0.
7. x = 1.
8. x = 2.
9. x = 0.
10. x ∈ R+0 .
11. Não tem zeros.
12. x = 2.
Solução 105 .
1.
-6 -4 -2 0 2 4 6
1
2
3
4
x
y
2. (a) C.S. = {−2, 2} .
(b) C.S. =
©
−5,−1
2
, 1
2
, 5
ª
.
Solução 106 .
1. D = [−5,+∞[ e D0 = ]−∞,−2] .
2. -
Solução 107 .
1. f é positiva em
£
−7,−20
3
£
∪ ]−4, 0[ ∪
¤
8
3
, 3
¤
, negativa em
¤
−20
3
,−4
£
∪
¤
0, 8
3
£
, os zeros
de f são: x = −20
3
∨ x = −4∨ x = 0∨ x = 8
3
.
2. f é crescente em [−6,−2] e em [2, 3] , decrescente em [−7,−6] e em [−2, 2] .
100 Novembro de 2010
3. (−6,−2) e (2,−2) são pontos de mínimo absolutos, (−7, 1) e (3, 1) são pontos de
máximo relativos e (−2, 2) é ponto de máximo absoluto.
4. (a) não existe.
(b) [−2, 2] .
Solução 108 .
1. f é negativa em
¤
−∞,−1
4
£
e positiva em
¤
−1
4
,+∞
£
; x = −1
4
é o zero de f; f é estrita-
mente crescente em R e não existem concavidades.
2. g é negativa e tem a concavidade voltada para baixo em R+; g é positiva e tem a
concavidade voltada para cima em R−; x = 0 é o zero de g; g é decrescente em R.
3. h é negativa e tem a concavidade voltada para baixo em R−; h é positiva e tem a
concavidade voltada para cima em R+; não existem zeros de h; h é decrescente em R−
e em R+.
4. j é negativa em R\ {2} ; x = 2 é o zero de j; j é crescente em ]−∞, 2] e decrescente em
[2,+∞[ ; j tem a concavidade voltada para baixo em R.
Solução 109 .
1. f é ilimitada em I.
2. g é limitada em I.
3. h é ilimitada em I.
4. j é limitada em I.
Solução 110 D√2f = Df2 = D 3√f = Df = [1,+∞[ , Df+g = Df×g = D fg = [1,+∞[ \ {2} e
D|g| = Dg = R\ {2} ;
³√
2f
´
(x) =
√
2x− 2, (f+ g) (x) = 1
x−2 +
√
x− 1, (f× g) (x) =
√
x−1
x−2 ,³
f
g
´
(x) = (x− 2)
√
x− 1,
¡
f2
¢
(x) = x−1,
³
3
√
f
´
(x) = 6
√
x− 1 e |g| (x) =
¯
1
x−2 , x > 2
1
2−x , x < 2
.
Solução 111 .
1.
f+ g : R → R
x 7→ x2 + x− 6
f
g
: R\ {−2, 2} → R
x 7→ 1
x+2
.
2.
f+ g : [−5, 3] → R
x 7→ √x+ 5+√3− x
f
g
: [−5, 3[ → R
x 7→
√
x+5√
3−x
.
101 Novembro de 2010
Solução 112 −65.
Solução 113 (f ◦ g) (1) = 2, (f ◦ g) (2) = 3, (f ◦ g) (3) = 1, (g ◦ h) (1) = 2, (g ◦ h) (2) = 1,
(g ◦ h) (3) = 3, (h ◦ f) (1) = 1, (h ◦ f) (2) = 3, (h ◦ f) (3) = 2, (g ◦ g) (1) = 3,
(g ◦ g) (2) = 1, (g ◦ g) (3) = 2.
Solução 114 (f ◦ g) (2) = 10 e (g ◦ f) (3) = 21.
Solução 115 .
1. f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 2 e g (x) =
¯
2x , 0 ≤ x < 1
2 , 1 ≤ x ≤ 2 .
2. Dg◦f =
h
0,
√
2
i
.
3. 1
2
.
4. c.
Solução 116 .
1. Dg◦f = Df◦g = Dg◦g = Df◦f = R; (g ◦ f) (x) = 2x2 − 2, (f ◦ g) (x) = 4x2 − 16x + 17,
(g ◦ g) (x) = 4x− 12 e (f ◦ f) (x) = x4 + 2x2 + 2.
2. Dg◦f = Df◦f = R+0 , Df◦g = Dg◦g = R; (g ◦ f) (x) = x, (f ◦ g) (x) = |x| , (g ◦ g) (x) = x4
e (f ◦ f) (x) = 4
√
x.
Solução 117 .
1.
h ◦ j : R → R
x 7→ 6x+ 4
j ◦ h : R → R
x 7→ 6x+ 2 .
2.
h ◦ j : ]−∞, 1] ∪ ]2,+∞[ → R
x 7→
q
1
x−2 + 1
j ◦ h : [−1, 3[ ∪ ]3,+∞[ → R
x 7→ 1√
x+1−2
.
Solução 118 Df+g = Df×g = Dg◦f = R\ {−3} , D f
g
= R\ {−3, 0} e Dg◦g = R;
(f+ g) (x) =
¯
x3+3x2+x−1
x+3
, x > −6
x2 + 5 , x ≤ −6 , (f× g) (x) =
¯
x3−x2
x+3
, x > −6
5x2 , x ≤ −6 ,³
f
g
´
(x) =
¯
x−1
x3+3x2
, x > −6
5
x2
, x ≤ −6 , (g ◦ f) (x) =
¯ ¡
x−1
x+3
¢2
, x > −6
25 , x ≤ −6 , (g ◦ g) (x) = x
4.
Solução 119 Df−1 = R\ {2} e f−1 (x) = 3+5xx−2 .
102 Novembro de 2010
Solução 120 .
1. f−1 (x) = 2x+ 1.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2. f−1 (x) = x
2−5
2
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
3. Não existe função inversa.
4. f−1 (x) = 3
√
x− 2.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
5. Não existe função inversa.
Solução 121 f−1 (8) = 2 e g−1 (x) = 1+2x
1−x .
Solução 122 .
1. Dg = R, D0g = [−4,+∞[ , Zeros: x = −2 e x = 2.
2. -
3. R+0 ; g−1 (x) =
√
x+ 4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
103 Novembro de 2010
Solução 123 .
1. a = 1
2
e b = −2.
2.
h−1 : R\ {−3} → R
x 7→ 3+2x
3+x
.
Solução 124 f (1) = 1 e x = 3
2
é o zero de f.
Solução 125 .
1. m = 2.
2. m = 4.
Solução 126 V = (−4,−9) .
Solução 127 9m× 9m.
Solução 128 .
1. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=-3x+1
• Df = R e D0f = R;
• f é bijectiva e não tem paridade;
• x = 1
3
é zero de f;
• f é positiva em ¤−∞, 1
3
£
e negativa em
¤
1
3
,+∞
£
;
• f é decrescente em R, não existindo extremos;
• não existem concavidades;
• f não é limitada e tem função inversa.
2. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
g(x)=2x²+2x-12
104 Novembro de 2010
• Dg = R e D0g =
£
−25
2
,+∞
£
;
• g não é injectiva e não tem paridade;
• x = −3 e x = 2 são os zeros de g;
• g é negativa em ]−3, 2[ e positiva em ]−∞,−3[ ∪ ]2,+∞[ ;
• g é decrescente em ¤−∞,−1
2
¤
e crescente em
£
−1
2
,+∞
£
, g
¡
−1
2
¢
= −25
2
é mínimo
absoluto de g;
• g tem a concavidade voltada para cima em R não existindo pontos de inflexão;
• g não é limitada e não tem função inversa.
3. .
( ) 23 2
x xh x
x
+= −
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
x
y
( ) 23 2
x xh x
x
+= −
-4 -3 -2 -1 1 2 34
-2
-1
1
2
x
y
• Dh = R\
­
3
√
2
®
e D0h = R;
• h não é injectiva e não tem paridade;
• x = −1 e x = 0 são os zeros de h;
• h é negativa em ]−∞,−1[ ∪
i
0,
3
√
2
h
e positiva em ]−1, 0[ ∪
i
3
√
2,+∞
h
;
• h é crescente em ]−∞,−0.462] e decrescente em
h
−0.462, 3
√
2
h
e em
i
3
√
2,+∞
h
;
• h (−0.462) = 0.118 é máximo relativo de h;
• h tem a concavidade voltada para cima em ]−∞,−1[∪
i
3
√
2,+∞
h
e voltada para
baixo em
i
−1, 3
√
2
h
.
• (−1, 0) é ponto de inflexão de h;
• h não é limitada e não tem função inversa.
4. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
( ) 3 1m x x= −
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
( ) 3 1m x x= −
105 Novembro de 2010
• Dm = D0m = R;
• m é bijectiva e não tem pariadade;
• x = 1 é o zero de m;
• m é negativa em ]−∞, 1[ e positiva em ]1,+∞[ ;
• m é crescente em R, não existindo extremos;
• m tem a concavidade voltada para cima em ]−∞, 1[ e voltada para baixo em
]1,+∞[ ;
• (1, 0) é ponto de inflexão de m;
• m não é limitada e tem função inversa.
106 Novembro de 2010
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébri-
cas
4.1 Equações Fraccionárias
Definição 83 Uma equação fraccionária é uma equação em que pelo menos uma das suas
expressões matemáticas está sujeita a uma divisão onde a incógnita x aparece no denomi-
nador. Para resolver este tipo de equação, em primeiro lugar deve-se determinar os valores
de x que anulam os denominadores (pois não existe fracção com denominador igual a zero),
encontrando-se assim o domínio da equação. Em seguida, determina-se o mínimo múltiplo
comum dos denominadores, multiplicam-se os numeradores pelos factores necessários para
se reduzir ao mesmo denominador e encontram-se os zeros do numerador que pertencem ao
domínio da equação.
Exemplo 59 Resolva as seguintes equações fraccionárias de 2o grau:
1. 3
x2−4 +
1
x+3
= 0;
2. 3
x2−4 +
1
x−2 = 0.
Resolução:
1. D =
©
x ∈ R : x2 − 4 6= 0∧ x+ 3 6= 0ª⇔ ©x ∈ R : x2 6= 4∧ x 6= −3ª⇔ {x ∈ R : x 6= −2∧ x 6= 2∧
Logo,
D = R\ {−3,−2, 2} .
m.m.c.(x2 − 4, x+ 3) =
¡
x2 − 4
¢
(x+ 3) .
3
x2−4 +
1
x+3
= 0 ⇔ 3(x+3)+x2−4
(x2−4)(x+3) = 0 ⇔ 3x+9+x
2−4
(x2−4)(x+3) = 0 ⇔ x
2+3x+5
(x2−4)(x+3) = 0 ⇔
⇔ x2 + 3x+ 5 = 0⇔ x = −3±
√
9−20
2
⇔ x = −3±
√
−11
2| {z }
impossível
.
Logo, C.S. = ∅.
2. D =
©
x ∈ R : x2 − 4 6= 0∧ x− 2 6= 0ª⇔ ©x ∈ R : x2 6= 4∧ x 6= 2ª⇔ {x ∈ R : x 6= −2∧ x 6= 2∧
Logo, D = R\ {−2, 2} .
m.m.c.(x2 − 4, x− 2) = x2 − 4 = (x− 2) (x+ 2) .
3
x2−4 +
1
x−2 = 0⇔ 3+x+2(x−2)(x+2) = 0⇔ x+5(x−2)(x+2) = 0⇔ x+ 5 = 0⇔ x = −5 ∈ D.
Logo, C.S. = {−5} .
4.2 Inequações de 2o grau
Para resolver uma inequação de 2o grau, aplica-se o estudo do sinal da função quadrática.
Exemplo 60 Resolva as seguintes inequações algébricas de 2o grau:
1. x2 − 4x+ 4 < 0;
2. −2x2 + x+ 3 ≤ 0.
107 Novembro de 2010
Resolução:
1. f (x) = x2 − 4x + 4 é uma função quadrática, com a = 1, b = −4 e c = 4. Como
a = 1 > 0, a concavidade está voltada para cima. Iremos começar por encontrar os
zeros da função:
x2 − 4x+ 4 = 0⇔ x = 4±
√
16− 16
2
⇔ x = 2.
+ +
2
+
−∞ +∞
+ +
2
+
−∞ +∞
Como f (x) < 0 é impossível, então C.S. = ∅.
2. f (x) = −2x2 + x + 3 é uma função quadrática, com a = −2, b = 1 e c = 3. Como
a = −2 < 0, a concavidade está voltada para baixo. Iremos começar por encontrar os
zeros da função:
−2x2 + x+ 3 = 0⇔ x = −1±
√
1+ 24
−4 ⇔ x = −1∨ x =
3
2
.
+
−
1− 32−∞ +∞−
+
−
1− 32−∞ +∞−
Como f (x) ≤ 0⇔ x ≤ −1∨ x ≥ 3
2
, então C.S. = ]−∞,−1] ∪
£
3
2
,+∞
£
.
4.3 Inequações Fraccionárias
Definição 84 Uma inequação fraccionária é uma inequação em que pelo menos um dos
termos está sujeito a uma divisão onde a incógnita x aparece no denominador. Para resolver
este tipo de inequação, em primeiro lugar deve-se determinar os valores de x que anulam os
denominadores, encontrando-se assim o domínio da inequação. Em seguida, simplifica-se
a inequação até se obter apenas uma divisão num dos termos e o valor 0 no outro termo.
Encontram-se os zeros do numerador e elabora-se um quadro de sinais que permita obter a
solução da inequação (que deve estar contida no respectivo domínio).
Exemplo 61 Resolva a inequação 3x− x+6
x
≥ 2.
Resolução: D = R\ {0} e 3x − x+6
x
≥ 2 ⇔ 3x2−x−6
x
− 2 ≥ 0 ⇔ 3x2−3x−6
x
≥ 0.
Para resolver esta inequação é necessário determinar os zeros do numerador e elaborar um
quadro de sinais:
3x2 − 3x− 6 = 0⇔ x = 3±
√
9+ 72
6
⇔ x = −1∨ x = 2.
+ +
−1− 2−∞ +∞
+ +
−1− 2−∞ +∞
−∞ −1 0 2 +∞
3x2 − 3x− 6 + 0 − − − 0 +
x − − − 0 + + +
3x2−3x−6
x
− 0 + s/s − 0 +
Logo, 3x
2−3x−6
x
≥ 0⇔ x ∈ [−1, 0[ ∪ [2,+∞[ , ou seja, C.S. = [−1, 0[ ∪ [2,+∞[ .
108 Novembro de 2010
4.4 Exercícios Propostos
Exercício 128 Resolva as seguintes equações:
1.
√
2x+ 3+ x = 6;
2.
√
x+ 2−
√
x− 6 = 2;
3.
√
2x+ 1+
√
x− 3 = 2√x;
4. 3
p
1+ x
√
x2 + 24 = 1.
Exercício 129 Resolva as seguintes equações fraccionárias:
1. 5
x−4 = 0;
2. 1
x+1
= 1;
3. 1
x+1
− 1 = 4
x
;
4. x
2−5x+6
x−3 = 0;
5. x
2−2x−8
x−4 = 1;
6. x
x+1
+ 2x
x−1 =
5
4(x2−1) ;
7. 1
2+x
− 1
2x−x2 =
8
x3−4x .
Exercício 130 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 3x2 + 8x ≤ 0;
2. x2 − 3x+ 2 > 0;
3. 3x2 − x+ 1 ≥ 0;
4. (2− 3x) (x+ 3) < 0;
5.
¡
x2 + 6
¢
(3x+ 5) ≤ 0;
6. (x− 1)2 + x < 7;
7. x (4x− 1) ≥ 5;
8. 2
2x+3
≥ 0;
9. x ≤ 8
x−2 ;
10. x− 1 < − 1
x
;
11. 4
x
> 0;
109 Novembro de 2010
12. x+1
x−1 <
x+3
x+2
;
13. x
x+1
> x+1
x−3 ;
14. 3+ 1
x−1 ≥
1
2x+1
;
15. 2
x2−5x+4 ≤ 1.
110 Novembro de 2010
4.5 Soluções
Solução 129 .
1. C.S. = {3} .
2. C.S. = {7} .
3. C.S. = {4} .
4. C.S. = {0} .
Solução 130 .
1. C.S. = ∅.
2. C.S. = {0} .
3. C.S. = {−2} .
4. C.S. = {2} .
5. C.S. = {−1} .
6. C.S. =
©
−5
6
, 1
2
ª
.
7. C.S. = {3} .
Solução 131 .
1. C.S. =
£
−8
3
, 0
¤
.
2. C.S. = ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ .
3. C.S. = R.
4. C.S. = ]−∞,−3[ ∪
¤
2
3
,+∞
£
.
5. C.S. =
¤
−∞,−5
3
¤
.
6. C.S. = ]−2, 3[ .
7. C.S. = ]−∞,−1] ∪
£
5
4
,+∞
£
.
8. C.S. =
¤
−3
2
,+∞
£
.
9. C.S. = ]−∞,−2] ∪ ]2, 4] .
10. C.S. = R−.
11. C.S. = R+.
12. C.S. = ]−∞,−5[ ∪ ]−2, 1[ .
111 Novembro de 2010
13. C.S. = ]−∞,−1[ ∪
¤
−1
5
, 3
£
.
14. C.S. =
¤
−∞,−1
2
£
∪
h
1−
√
7
6
, 1+
√
7
6
i
∪ ]1,+∞[ .
15. C.S. =
i
−∞, 5−
√
17
2
i
∪ ]1, 4[ ∪
h
5+
√
17
2
,+∞
h
.
112 Novembro de 2010