medidas de posição Estatística Básica I mediana

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Curso: Bacharelado em Estatística 
Turma: Estatística Básica –(1° período) 
Período: 2013/01 Data: 30/08/2012 
Professora: Vania C. Mota, Msc. 
Aluno (a): 
 
 
7.2 MEDIANA (MD) 
 
É aquele elemento que ocupa a posição central, ou seja, divide o 
conjunto de dados em duas partes iguais. 
 
 Para dados não tabulados (agrupados)- porém ordenados. 
 
- O número que ocupar a posição central se n for ímpar. 
 
- A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for 
par. 
 
Exemplo 1) 
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 11 dias: 
3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0. Calcule a mediana? 
Resp. Md=3 
 
Exemplo 2) 
 As idades dos alunos de uma equipe são 12; 16; 14; 12; 13; 16; 16; e 
17 anos. Calcule a mediana? 
Resp. Md=15 
 
 
 Para dados agrupados sem intervalos de classes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a menor frequência acumulada maior ou iguais à 
semi-soma das frequências absolutas. 
 
 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA 
CAMPUS de JI - PARANÁ - RO 
Exemplo 3) 
Determinar a mediana das seguintes distribuições de dados: 
a) 
Xi fi 
9 1 
10 2 
14 3 
15 4 
 
 
 
 b) 
Xi fi 
9 1 
10 2 
12 4 
14 2 
16 9 
 
 
 
 Para dados agrupados com intervalos de classes temos: 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
onde: 
 
 é o limite inferior da classe mediana; 
 é a frequência acumulada da classe anterior à classe 
mediana; 
 é a frequência absoluta da classe mediana; 
 é a amplitude da classe mediana. 
 
1º - Passo) Temos que determinar a classe na qual se acha a 
mediana - classe mediana. 
Tal classe será aquela correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior a 
 
 
. 
 
Exemplo 4) 
Calcule a mediana da seguinte série estatística. 
Estaturas dos alunos do colégio A (em cm) 
Estaturas Nº de repetições 
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
Total 40 
 
 
 
7.3 MODA (Mo) 
 
É o valor que ocorre com maior frequência entre os valores observados. 
 A moda indicada por Mo, admite as seguintes formas: 
 
 Para dados não agrupados 
Para determinar a moda de um conjunto de dados não agrupados, 
basta identificar o valor que mais ocorre dentro da série. 
 
Exemplo 5) 
Determine a moda do seguinte conjunto de dados 7; 8; 9; 10; 10; 10; 
11; 12; 13; 15. 
Resp. Mo= 10 
 
Obs: 
- Se nenhum resultado da série estatística se repetir, dizemos que esta 
série é amodal, ou seja, não tem moda. Exemplo 6) 1; 3; 4; 7; 8 
- Se numa série estatística tivermos o maior número de repetições 
identificados em elemento n distintos diremos que a série é n-modal. 
 
Exemplo 7) 
3; 6; 6; 7; 7; 8; 10 
Resp. Mo= 6 e 7 é bimodal. 
 
1; 2; 2; 3; 4; 4; 6; 9; 9; 15 
 Resp. Mo= 2, 4 e 9 é tri-modal. 
 
 
 
 Para dados agrupados sem intervalos de classes temos: 
 
Para determinar a moda de um conjunto de dados agrupados sem 
intervalos de classe, basta identificar o valor correspondente à maior 
frequência absoluta simples. 
 
Exemplo 8) 
Determine a moda da seguinte distribuição de dados: 
 
 Resp. Mo= 15 
 
 
 Para dados agrupados com intervalos de classes temos: 
 
 A classe representa maior frequência absoluta é denominada 
classe-modal. 
 A forma mais simples de calcular a moda e calcular o ponto médio 
da classe modal, ou seja, 
 
 
 
 
 , 
 
onde: 
 é o limite inferior da classe modal; 
 
 é o limite superior da classe modal; 
 
 
O valor calculado por esse processo é chamado de moda bruta. 
 
 
 
Existem outros processos mais elaborados para o cálculo da moda, 
tais como: 
 
 
 
 
Xi fi 
9 1 
10 2 
14 2 
15 4 
 
 Formula de Czuber: 
 
 
 
 
 , 
 
onde, 
 é o limite inferior da classe modal; 
 , onde é a frequência absoluta da classe 
modal é e a frequência absoluta da classe imediatamente 
anterior à classe modal; 
 
 , onde é a frequência absoluta da classe 
modal é e a frequência absoluta da classe imediatamente 
posterior à classe modal; 
 
 é a amplitude da classe modal. 
 
Exemplo 9) 
O quadro abaixo representa a distribuição de frequência do peso 
(kg) de pessoas de uma certa faixa etária. Calcular a moda pelo 
método de Czuber e interpretar. 
 
Pesos fi 
40 45 3 
45 50 8 
50 55 16 
55 60 12 
 60 65 7 
65 70 3 
 70 75 1 
Total 50 
 
Resp. 53,33 kg 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
3) A folha de pagamento de uma pequena empresa, em salários mínimos, é a seguinte: 
1,0 1,0 1,4 1,7 1,8 2,0 2,6 3,6 10,0 15,0 
1,0 1,0 1,5 1,7 1,8 2,2 2,9 4,7 11,0 18,0 
1,0 1,2 1,6 1,8 2,0 2,3 3,2 4,9 13,1 33,0 
Pede-se: 
a) Encontre a média, a mediana e a moda, expressando os resultados em reais (1 salário mínimo = R $ 
622,0). Interprete os resultados; 
b) Qual medida estatística será usada pelo empresário para expressar o nível salarial de seus empregados? 
Justifique; 
c) O líder sindical usará qual mediada? Justifique. 
 
 
4) Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 2, 2 a 
1 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma partida, calcule a média aritmética dos gols: 
a) marcados; 
b) sofridos. 
 
5) Calcule a média aritmética das distribuições de frequência abaixo: 
a) 
Notas fi 
0 2 5 
2 4 8 
4 6 14 
6 8 10 
 8 10 7 
Total 44 
 
 
b) 
Estaturas fi 
150 158 5 
158 166 12 
166 174 18 
174 182 27 
 182 190 8 
Total 70 
 
 
 
c) 
SALARIOS (R$) fi 
500 700 18 
700 900 31 
900 1100 15 
1100 1300 3 
 1300 1500 1 
 1500 1700 1 
 1700 1900 1 
Total 70 
 
 
 
d) 
Pesos (Kg) fi 
145 151 10 
151 157 9 
157 163 8 
163 169 6 
 169 175 3 
175 181 3 
 181 187 1 
Total 40 
 
 
6) Calcule a mediana de cada uma das distribuições do exercício 5. 
 
7) Calcule a moda bruta e a moda pelo método de Czuber, de cada uma das distribuições do 
exercício 5.