Lista Derivadas Direcionais e Plano Tangentes

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GOVERNO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA 
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA 
 CÁLCULO II – 2015.2 
 
Lista – 6: Derivadas Direcionais, Planos Tangentes 
 
Problema 01 Mostrar que as superfícies dadas por e 
G são tangentes no ponto . Ache 
também a equação da reta normal no ponto . 
Problema 02 O potencial elétrico em um ponto é dado por . 
Achar a taxa de variação de no ponto na direção do ponto . Esboce . 
Problema 03 Determine a derivada da função no ponto na 
direção e sentido do vetor . 
Problema 04 Calcular a derivada de na direção do vetor . 
Problema 05 Encontre a derivada direcional no ponto para cada função dada na direção e 
sentido de . 
a) , sendo e Resposta: . 
b) , sendo 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 Resposta: . 
c) , sendo e Resposta: . 
Problema 06 O potencial elétrico em volts em qualquer ponto do plano , é dado por 
 . 
a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto 
 
 
 , na direção do vetor unitário 
 
 
 
 
 
 
 . Resposta: . 
b) Ache o valor da taxa de variação máxima de V em 
 
 
 . Resposta: . 
Problema 07 Admitindo que representa uma distribuição de temperatura 
no plano ( em , e em ). 
a) Estando-se em 
 
 
 , qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? E o 
de menor? Qual a taxa de crescimento nestas direções? 
Nunca haverá um mundo melhor se não lutarmos por melhorarmos a nós mesmos. Pepe Mujica 
 
 
 
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Problema 08 Um indivíduo, no plano , está situado no ponto . A temperatura no 
ponto é dada por . Determine se a expectativa do indivíduo é 
de se aquecer ou se resfriar, se ele tender a se deslocar segundo o vetor , nos seguintes casos: 
a) b) c) 
Problema 09 Calcule as derivadas direcionais máximas e mínimas de em e dê os versores 
correspondentes para , para . 
Problema 10 Em que direção e sentido a função cresce mais 
rapidamente no ponto 
 
 
 ? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente? 
Problema 11 Determinar as derivadas e das funções abaixo. 
a) ; b) ; 
c) 
 
 
 e) ; 
f) ; g) 
 * 
Problema 12. Represente geometricamente o gradiente da função – no 
ponto . 
Problema 13. Calcule o ângulo formado pelos gradientes das funções e 
sendo e no ponto . 
Problema 14 Calcule o ângulo formado pelo gradiente da função 
 
 
 e o 
vetor determinado pelos pontos 
 
 
 
 
 
 e . 
Problema 15 Calcule a derivada direcional de no ponto e na 
direção do ponto . 
Problema 16 Sendo , calcule a derivada direcional de no ponto 
 , nas seguintes direções: 
a) Na direção do vetor ; 
b) Na direção e sentido crescente do eixo ; 
c) Na direção da reta e sentido crescente do eixo . 
Problema 17 Calcule a derivada direcional da função , no ponto e 
na direção do vetor . 
Problema 18 Determine a derivada direcional da função – , no 
ponto na direção da reta determinada pelos pontos e no sentido 
de para . 
Nunca haverá um mundo melhor se não lutarmos por melhorarmos a nós mesmos. Pepe Mujica 
 
 
 
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Problema 19 Calcule a derivada direcional da função no ponto e na 
direção da reta tangente à parábola de equação 
Problema 20 Sabendo que é a equação do plano tangente ao gráfico de 
 no ponto , determine a equação da reta normal nesse ponto. 
Problema 21 Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no 
ponto dado. 
a) em b) em 
c) em d) em 
Problema 22 Determine para cada dada abaixo. 
a) b) 
 
 
 
c) para d) 
 
 
 
Problema 23 Seja 
 
 
 Represente graficamente , sendo 
um ponto da elipse . 
Problema 24 Considere a função e seja 
 uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na 
superfície de nível , e tal que . 
a) Prove que . 
b) Determine a equação do plano tangente à superfície de nível , no 
ponto . 
Problema 25 O gradiente de uma função em um ponto é paralelo e de mesmo sentido que o 
vetor 4 Dê o versor em relação ao qual a derivada direcional da função nesse 
ponto é mínima. Resposta: 
Problema 26 Dê à máxima e a mínima derivada direcional de em , sabendo-se que 
 . Resposta: e . 
Problema 27 Dada à função 
 
 
 
 
 
, determine a taxa de variação de na 
direção de 
 
 
, no ponto . 
 
 
 
 
Bom estudo!