Notas de aula topografia - 03

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Curso de Edificações 
Topografia - Notas de Aula Flávio Gutenberg de Oliveira 
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V - ALTIMETRIA 
1 - Considerações iniciais 
1.1 - Definição 
 É a parte da Topometria que estuda as distâncias verticais entre diversos pontos de uma área. 
1.2 - Distâncias verticais 
 Cota - é a distância vertical de um ponto tomada com referência a uma superfície de nível fictícia. 
 Altitude - é a distância vertical de um ponto à superfície média dos mares. 
1.3 - Métodos altimétricos 
Referente ao nível verdadeiro (nível do mar): altitudes. 
• Método barométrico 
Referentes a um nível arbitrário: cotas 
• Método geométrico 
• Método trigonométrico 
2- Nivelamento Geométrico 
2.1 - Conceitos 
 Método que consiste em determinar a diferença de cotas entre pontos do terreno, a partir de suas 
distâncias verticais em relação a um plano horizontal de referência (PR). 
 Plano horizontal de referência (PR) - plano horizontal que passa pelo eixo óptico do instrumento 
topográfico (nível), quando este estiver devidamente instalado (em condições de operação). 
2.2 - Equipamentos utilizados 
 São necessários basicamente dois equipamentos: 
Nível - serve paraa determinar o plano de referência; 
Mira - empregada para leitura das distâncias verticais do ponto a nivelar ao plano de referência. 
2.3 - Cuidados a serem adotados em um nivelamento 
• Instalação correta do nível (verificação do nivelamento do instrumento a cada leitura) 
• Verticalidade da mira (não estar inclinada no momento da leitura) 
• Ler com atenção e estimar com precisão as leituras na mira, principalmente nas visadas a ré e nas 
vantes de mudança. 
• Evitar leituras a distâncias longas, devido ao abaixamento da linha de visada (em face da refração 
atmosférica) e da curvatura da Terra: E (em metros) = 0,068 D2 (em quilômetros). 
• Evitar leituras inferiores a 500 mm, devido à forte irradiação e movimento das camadas de ar 
próximas ao solo. 
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2.4 - Cálculo do nivelamento (simples e composto) 
Obs.: O nivelamento geométrico é dito simples quando é feito a partir de uma única estação do 
instrumento (o nível) e composto quando é necessário mais de uma estação para nivelar todos os 
pontos do terreno. O nivelamento composto é uma seqüência de nivelamentos simples. 
• Plano de referência (PR), é igual à soma da visada de ré (r) com a cota (C) do ponto onde é feita essa 
visada: PR = C + R 
• A cota de qualquer ponto é igual à diferença entre o plano de referência (PR) e a visada a vante (V) 
feita nesse ponto: C = PR − V 
 
Obs.: RN, referência de nível (ponto em que se inicia o nivelamento e cuja cota é conhecida ou arbitrada) 
 Na figura-exemplo acima, tem-se que: 
RN = Ponto 1 ∴ CRN = C1 
PR1 = C1 + R1 C2 = PR1 − V2 PR3 = C4 + R4 C5 = PR3 − V5 
 C3 = PR1 − V3 C6 = PR3 − V6 
2.5 - Diferença de nível entre os pontos nivelados 
 A diferença de nível entre dois pontos é obtida pela diferença entre suas cotas. 
Ex.: entre 1 e 2: D1-3 = C2 − C1 
 entre 3 e 5: D3-5 = C5 − C3 
Obs.: 1 - Se os pontos foram visados de uma mesma estação, caso dos pontos 1, 2 e 3, por exemplo, 
a diferença de nível também é obtida pela diferença das visadas: 
 D2-3 = C3 − C2 = (PR1 − V3) − (PR1 − V2) 
 D2-3 = V3 − V2 
 2 - Se os pontos forem visados a partir de diferentes estações, como os pontos 3 e 5, por 
exemplo, além das visadas feitas neles serão consideradas todas as visadas a ré e vantes de 
mudança compreendidas entre os dois: 
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 D3-5 = C5 − C3 = (PR3 − V5) − (PR1 − V3) 
 = ((C4 + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = (((PR2 − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = ((((C3 + R3) − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = (((((PR1 − V3) + R3) − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 eliminando os parêntesis, fica 
 D3-5 = C5 − C3 = (PR1 − V3) + R3 − V4 + R4 − V5 − (PR1 − V3) 
 D3-5 = C5 − C3 = R3 + R4 − V4 − V5 
 3 - Aplicando o raciocínio desenvolvido no item 2 acima aos pontos extremos da poligonal 
levantada (o ponto inicial é o ponto 1 e o final é o ponto 6), obtém-se: 
 CF − CI = (R1 + R3 + R4) − (V3 + V4 + V6) 
 CF −−−− CI = ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM 
onde, CI e CF são as cotas dos pontos inicial e final do levantamento 
 ΣR e ΣVM representa o somatório das visadas de ré e vantes de mudança do 
levantamento. 
2.6 - Verificação e compensação de erros de levantamento 
2.6.1 - O erro de levantamento 
 O erro de fechamento cometido em um nivelamento geométrico é uma função de fatores como: 
relevo do terreno, presença de obstáculos, extensão da poligonal levantada, condições de visualização. 
Tais fatores concorrem para a determinação da extensão máxima possível para as visadas e do número 
de estações do nível necessárias para visar todos os pontos; em princípio o erro cometido no 
levantamento será tanto menor quanto menos estações forem adotadas e mais próximas as estações 
estiverem dos pontos nivelados. Desta forma, ao se definirem as estações para o nível deve-se ter em 
conta este fato e conciliar de maneira equilibrada, o quanto possível, estas duas condições antagônicas, 
a fim de minimizar a possibilidade de ocorrência ou a grandeza do erro de levantamento. 
2.6.2 - Verificação de erro 
 Foi visto que no levantamento de uma poligonal deve-se ter CF −−−− CI = ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM 
daí, podemos escrever que (ΣR − ΣVM) − (CF − CI) = 0. 
 Se a expressão acima, aplicada aos dados de um nivelamento geométrico, apresentar um 
resultado diferente de 0 (zero) para o primeiro membro, o valor resultante se constitui no erro cometido 
no levantamento. Assim, tem-se o erro de levantamento dado por 
E = (ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM) −−−− (CF −−−− CI). 
 No nivelamento de poligonais abertas, a verificação do erro pela expresssão acima só poderá ser 
feita caso se conheça previamente não apenas a cota inicial, mas também a cota final, do contrário a 
expressão apresentará duas incógnitas (E e CF) e será insolúvel. 
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 No nivelamento de poligonais fechadas, o ponto inicial é também o ponto final do nivelamento, 
logo a cota inicial é igual à cota final e a expressão para cálculo do erro torna-se 
E = (ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM) 
2.6.3 - Erro admissível e distribuição do erro cometido 
 O erro de fechamento cometido no nivelamento deve ser comparado ao erro admissível. Caso o 
primeiro seja maior que o último, deve-se refazer o levantamento. Se o erro cometido estiver compatível 
com o valor máximo admitido, deve ser distribuído igualmente entre todas as estações do nivelamento. A 
compensação a ser feita é dada por 
C E 
n
=
−
 
 O procedimento adotado para a distribuição do erro consiste em somar ou subtrair o valor a ser 
compensado em cada uma das visadas de ré; deste modo, corrige-se todos os planos de referência e a 
compensação acumula-se de estação a estação, até atingir o valor do erro total. 
 Espartel cita que em levantamentos comuns pode-se esperar um erro da ordem de 5 a 10 mm 
por quilômetro, aceitando-se como erro admissível o valor dada pela seguinte expressão 
 EADM = εεεε llll , com ε variando de 10 a 15 mm e é a extensão da poligonal em km. 
Exercício 
 Dadas as cadernetas de nivelamento geométrico abaixo, calcular o erro cometido no 
levantamento, compará-lo com o erro admissível e fazer sua distribuição nas cotas dos pontos nivelados. 
a) Nivelamentode uma poligonal fechada com extensão total de 3 600 metros. 
Ponto Leitura na mira Plano de Referên- Cota Correção 
Cota 
compen- 
nivelado Ré Vante cia (mm) (mm) (mm) sada (mm) 
A=RN 3 437 53 437 50 000 
− 
50 000 
B 2 621 50 816 + 2 50 818 
C 563 52 874 + 2 52 876 
“ 3 826 56 700 
D 2 749 53 951 + 4 53 955 
E 502 56 198 + 4 56 202 
“ 694 56 802 
F 388 56 594 + 6 56 600 
G 3 892 53 000 + 6 53 006 
“ 842 53 842 
H 4 775 50 067 + 8 50 075 
A 3 850 49 992 + 8 50 000 
VERIFICAÇÕES 
Erro cometido 
ΣR = 3 437 + 3 826 + 694 + 842 = 8 799 mm CF − CI = 49 992 − 50 000 mm 
ΣVM = 563 + 502 + 3 892 + 3 850 = 8 807 mm ou CF − CI = − 8 mm Ok! 
E = ΣR + ΣVM = 8 799 − 8 807 = − 8 mm 
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Erro admissível 
EADM = ε l l l l = 10 mm 3 6, 
EADM = 19 mm > E Ok! 
Compensação 
C E 
n
=
−
=
− − mm 
4
( )8
 
C = 2 mm / estação 
Assim, a correção acumulada em cada estação é 
1a. - 1 x 2 = 2 mm 3a. - 3 x 2 = 6 mm 
2a. - 2 x 2 = 4 mm 4a. - 4 x 2 = 8 mm 
b) Nivelamento de uma poligonal aberta com extensão de 100 metros. A cota inicial do levantamento, isto 
é, a cota do RN é de 10.000 mm e a final (ponto 10) é de 11.200 mm. 
Ponto Leitura na mira Plano de Referên- Cota Correção 
Cota 
compen- 
nivelado Ré Vante cia (mm) (mm) (mm) sada (mm) 
RN 1 553 11 553 10 000 
− 
10 000 
1 1 879 9 674 3 9 671 
2 1 427 10 126 3 10 123 
3 1 129 10 424 3 10 421 
“ 1 630 12 054 
4 1 330 10 724 5 10 719 
5 1 204 10 850 5 10 845 
“ 1 609 12 459 
6 1 479 10 980 7 10 973 
7 1 429 11 030 7 11 023 
“ 1 487 12 517 
8 1 408 11 109 9 11 100 
9 1 360 11 157 9 11 148 
10 1 308 11 209 9 11 200 
VERIFICAÇÕES 
Erro cometido 
ΣR = 1 553 + 1 630 + 1609 + 1 487 = 6 279 mm 
ΣVM = 1 129 + 1 204 + 1 429 + 1 308 = 5 070 mm 
E = (ΣR − ΣVM ) − (CF − CI ) = (6 279 − 5 070) − (11 200 − 10 000) = 9 mm 
Erro admissível 
EADM = ε l l l l = 10 mm 0,1 
EADM = 3 mm < E Se considerarmos este erro admissível, o nivelamento deve ser refeito, pois o 
erro cometido apresenta-se maior. No entanto, admitiremos um erro de até 3 mm a ser distribuído em 
cada estação. Desta forma, teremos. 
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Compensação 
C E 
n
=
−
=
− mm 
4
( )9
 = 2,5 mm por estação < 3 mm Ok! 
Assim, a correção acumulada em cada estação é 
1a. - 1 x 2,25 = 2,5 ≅ 3 mm 3a. - 3 x 2,25 = 6,75 ≅ 7 mm 
2a. - 2 x 2,25 = 4,5 ≅ 5 mm 4a. - 4 x 2,25 = 9 mm 
3- Nivelamento Trigonométrico 
 O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de um triângulo retângulo, conhecendo-se 
sua base AB e o ângulo de inclinação α ou z, mostrados na figura abaixo 
 
D = AB 
h = BC = D tg α 
 ou 
h = BC = D cotg z 
 
 Calcula-se a cota do ponto nivelado ou a diferença de nível entre este e a estação a partir da cota 
desta última, da altura do instrumento (teodolito) na estação, da distância entre os dois pontos, da leitura 
na mira feita no ponto nivelado e do ângulo de inclinação da visada. 
 
Para z < 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi + D tg α − f 
 ou 
CP − CE = hi + D cotg z − f 
 
 
Para z > 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi − D tg α − f 
 ou 
CP − CE = hi + D cotg z − f 
 
 Caso a extensão da visada exceda a 100-120 metros, deve-se fazer a correção relativa à 
curvatura e à refração da luz na atmosfera: E (mm) = 68 D2 (km). 
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Exercício 
Calcular a cota do ponto B, nos problemas abaixo sabendo que 
 
a) CA = 12,30 m 
 DAB = 19,80 m 
 z = 109° 
 hi = 1,52 m 
 
 
Devemos ter α = 90 − z ∴ α = 90 − 109 = − 19° 
 CB = CA + hi − DAB tg α − f 
 CB = 12,30 + 1,52 − 19,80 tg 19° − 0 
 CB = 7,00 m 
 
b) CA = 15,12 m 
 D = 28,10 m 
 hi = 1,50 m 
 f = 1.632 mm 
 α = 19° 20’ 
 
Devemos ter CB = 15.120 + 1.500 + 28.100 tg (19° 20’) − 1.632 
 CB = 24.847 mm