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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM 122 - Ca´lculo Diferencial e Integral I - Turma: 93
Lista 1 - Prof.: Tiago de Oliveira
1. Determine os valores de x para os quais as expresso˜es abaixo sa˜o nu´meros reais.
a)
√
4− x2;
b)
√
x2 − 4;
c)
1√
4x− 3 ;
d)
1√
x2 − x− 12 ;
e) 4
√
x
x2 − 49 ;
f) 3
√
x2 − 5x+ 6;
g)
1
3
√
x2 − 5x+ 6;
h) 3
√
x
x2 − 3x.
2. Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m os pontos:
a) (0, 0) e (2,−1); b) (−3, 4) e (4,−3); c) (5/2,−1) e (2/7, 7/2).
3. Dados A(−5, 2) e B(3, 1), obtenha a equac¸a˜o da reta paralela ao segmento AB e que conte´m a origem.
4. Dados A(−1, 2) e B(−3, 2), obtenha a equac¸a˜o da reta perpendicular ao segmento AB e que conte´m (4, 3).
5. Determine m de modo que r//s em que (r) : (m+ 1)x+my + 1 = 0 e (s) : mx+ (m+ 1)y + 1 = 0.
6. Esboce o gra´fico das seguintes retas, indicando as intersec¸o˜es com os eixos coordenados:
a) y = 2x+ 4;
b) 2x+ 3y = 12;
c) x = 2;
d) y = −x3 ;
e) y =
√
3x− 1.
7. Determine, caso exista, aintersec¸a˜o entre as retas:
a) (r) : x− 2y + 6 = 0 e (s) : −x+ 2y + 1 = 0;
b) (r) : y = 2x+ 4 e (s)2y − 4x− 8 = 0;
c) (r) : y + x = 1 e (s) : y = −x+ 9;
d) (r) : 4x− 2y + 6 = 0 e (s) : 4y − x− 1 = 0.
8. Determine o domı´nio das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) =
1
x2 − 3x− 4 ;
b) f(x) =
√|x+ 1| − 1;
c) y =
1
4− 2+2x2x
;
d) f(x) =
3
√|x6|
x3
;
e) y =
1
cos2(x)
;
f) f(x) =
√
x2 − 4;
g) y =
x− 1
x4 + 1
;
h) g(x) =
1√
x− x ;
i) h(x) =
3
√
x2 − 4
x2 − 1 ;
j) y =
√
1
cos(x)
;
k) f(x) = ln(1− x);
l) f(x) =
1
1− log8 x
.
9. Determine o domı´nio, imagem e construa o gra´fico das func¸o˜es a seguir:
a) x = y2;
b) y = x2;
c) f(x) =
√
x;
d) x = −√y;
e) y =
1
x
;
f) f(x) = |x|+ 3;
g) y = |x2 − 1|;
h) y = |x− 1|;
i) f(x) = − 2
x
;
j) f(x) =
x+ 3
x− 1 ;
k) f(x) = |x2 − 8x+ 7|;
l) y =
|x|
x
;
m) f(x) =

−1 se x ≤ −2
0 se − 2 < x < −1
−x2 + 1 se − 1 < x ≤ 1
−x+ 1 se x > 1
n) f(x) =

2x− 4 se x ≤ 0√−x2 + 9 se 0 < x < 3
(x− 3)(x+ 5) se 3 ≤ x ≤ 5
x+ 5 se x > 5
10. Considere a func¸a˜o f(x) = |x− 4|+ |x− 1|.
a) Construa seu gra´fico;
b) Determine seu domı´nio e imagem;
c) Resolva a desigualdade |x− 4|+ |x− 1| > 4.
11. Determine as soluc¸o˜es:
a) |x+ 1| > 6;
b) 3
√
4x2 + 9x+ 1 = x+ 1;
c) |3x+ 2| = |x− 1|;
d)
x2 − 4x+ 3
−x2 + 8x− 15 ≤ 0;
e) x4 − 5x2 + 4 ≥ 0;
f)
(x2 − 1)(x2 − 10x+ 21)
x− 5 ≥ 0;
g) 52x
2−3x−2 = 1;
h) log5 x+ log5(x− 3) = log5 4.
12. Calcule
a) arcsin 0; b) arccos
(
− 1√
2
)
; c) arctan 1; d) arcsin
(
−
√
3
2
)
;
13. Encontre o valor de x nas equac¸o˜es abaixo:
a) arctan
(
x− 1√
3
)
=
pi
3
; b) cos(arcsinx) =
√
3
2
;
c) tan(2 arcsinx) = 0.
14. Verifique se as func¸o˜es sa˜o pares ou ı´mpares ou nenhum dos dois.
a) f(x) = 3;
b) g(x) = x4 + 3x2 − 1;
c) h(x) =
x
x2 − 1 ;
d) y = x2;
e) q(t) = 2|t|+ 1;
f) y = x5 + x3.
15. Seja f(x) =
x4 − 16
x2 + 4
a) Mostre que f e´ par: b) f possui inversa? c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
16. Consider as func¸o˜es f(x) =
√
x− 3, g(x) = x2, h(x) = x− 1
x+ 4
e i(x) =
√
x. Determine as compostas a seguir e
seus domı´nios.
a) f(g(x));
b) h ◦ g(x);
c) i ◦ h(x);
d) g(i(x));
e) h ◦ i(x);
f) f ◦ f(x).
17. Determine as inversas, caso existam, explicitando os domı´nios e imagens.
a) f : R→ R, f(x) = −3x+ 5;
b) g : R+ → [−16,∞), g(x) = x2 − 16;
c) h : R→ R, h(x) = x5;
d) f(x) = 2−√x− 5;
e) f(x) = 2 +
√
x− 5;
f) f(x) =
4x− 1
2x+ 3
.
18. Se f(x) = x3, calcule o quociente da diferenc¸a
f(2 + h)− f(2)
h
e simplifique sua resposta.
2
19. Calcule
f(x+ h)− f(x)
h
para as func¸o˜es:
a) f(x) = x2 − 3x+ 9; b) f(x) = 1
x2
; c) f(x) = 13.
20. Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es:
a) f(x) = log3(4 + x);
b) f(x) = log6(6− x);
c) f(x) =
7x
log12(1− x2)
;
d) f(x) =
√
1− log4(x);
e) f(x) =
√
1− log5(x);
f) f(x) = 4log4(x
10).
21. A produc¸a˜o de uma indu´stria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu
principal produto. A partir da´ı, a produc¸a˜o anual passou a seguir a lei y = 1000(0, 9)x . Qual o nu´mero de
unidades produzidas no segundo ano desse per´ıodo recessivo?
22. A populac¸a˜o de ratos de uma cidade e´ dada pela func¸a˜o P (t) = C02
−kt onde C0 e k sa˜o constantes. O nu´mero
de ratos vivos hoje e´ 16000. Se daqui a 3 anos restam apenas 8000 ratos, calcule:
a) o nu´mero de ratos existentes daqui a 9 anos.
b) o nu´mero de ratos vivos daqui a 18 anos, se ainda existir
23. O valor do imposto pago por uma certa empresa em reais e´ dada em func¸a˜o do tempo segundo a func¸a˜o
V (t) = 1000 log2(t+ 4). Suponha que t varie de acordo com os anos. Calcule o que se pede abaixo:
a) o valor do imposto pago daqui a 4 anos.
b) o imposto pago daqui a 12 anos.
c) o tempo no qual o imposto pago e´ 6 mil reais.
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