Lista de ex. 1
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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM 122 - Ca´lculo Diferencial e Integral I - Turma: 93
Lista 1 - Prof.: Tiago de Oliveira
1. Determine os valores de x para os quais as expresso\u2dces abaixo sa\u2dco nu´meros reais.
a)
\u221a
4\u2212 x2;
b)
\u221a
x2 \u2212 4;
c)
1\u221a
4x\u2212 3 ;
d)
1\u221a
x2 \u2212 x\u2212 12 ;
e) 4
\u221a
x
x2 \u2212 49 ;
f) 3
\u221a
x2 \u2212 5x+ 6;
g)
1
3
\u221a
x2 \u2212 5x+ 6;
h) 3
\u221a
x
x2 \u2212 3x.
2. Determine a equac¸a\u2dco da reta que conte´m os pontos:
a) (0, 0) e (2,\u22121); b) (\u22123, 4) e (4,\u22123); c) (5/2,\u22121) e (2/7, 7/2).
3. Dados A(\u22125, 2) e B(3, 1), obtenha a equac¸a\u2dco da reta paralela ao segmento AB e que conte´m a origem.
4. Dados A(\u22121, 2) e B(\u22123, 2), obtenha a equac¸a\u2dco da reta perpendicular ao segmento AB e que conte´m (4, 3).
5. Determine m de modo que r//s em que (r) : (m+ 1)x+my + 1 = 0 e (s) : mx+ (m+ 1)y + 1 = 0.
6. Esboce o gra´fico das seguintes retas, indicando as intersec¸o\u2dces com os eixos coordenados:
a) y = 2x+ 4;
b) 2x+ 3y = 12;
c) x = 2;
d) y = \u2212x3 ;
e) y =
\u221a
3x\u2212 1.
7. Determine, caso exista, aintersec¸a\u2dco entre as retas:
a) (r) : x\u2212 2y + 6 = 0 e (s) : \u2212x+ 2y + 1 = 0;
b) (r) : y = 2x+ 4 e (s)2y \u2212 4x\u2212 8 = 0;
c) (r) : y + x = 1 e (s) : y = \u2212x+ 9;
d) (r) : 4x\u2212 2y + 6 = 0 e (s) : 4y \u2212 x\u2212 1 = 0.
8. Determine o dom\u131´nio das func¸o\u2dces a seguir:
a) f(x) =
1
x2 \u2212 3x\u2212 4 ;
b) f(x) =
\u221a|x+ 1| \u2212 1;
c) y =
1
4\u2212 2+2x2x
;
d) f(x) =
3
\u221a|x6|
x3
;
e) y =
1
cos2(x)
;
f) f(x) =
\u221a
x2 \u2212 4;
g) y =
x\u2212 1
x4 + 1
;
h) g(x) =
1\u221a
x\u2212 x ;
i) h(x) =
3
\u221a
x2 \u2212 4
x2 \u2212 1 ;
j) y =
\u221a
1
cos(x)
;
k) f(x) = ln(1\u2212 x);
l) f(x) =
1
1\u2212 log8 x
.
9. Determine o dom\u131´nio, imagem e construa o gra´fico das func¸o\u2dces a seguir:
a) x = y2;
b) y = x2;
c) f(x) =
\u221a
x;
d) x = \u2212\u221ay;
e) y =
1
x
;
f) f(x) = |x|+ 3;
g) y = |x2 \u2212 1|;
h) y = |x\u2212 1|;
i) f(x) = \u2212 2
x
;
j) f(x) =
x+ 3
x\u2212 1 ;
k) f(x) = |x2 \u2212 8x+ 7|;
l) y =
|x|
x
;
m) f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22121 se x \u2264 \u22122
0 se \u2212 2 < x < \u22121
\u2212x2 + 1 se \u2212 1 < x \u2264 1
\u2212x+ 1 se x > 1
n) f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
2x\u2212 4 se x \u2264 0\u221a\u2212x2 + 9 se 0 < x < 3
(x\u2212 3)(x+ 5) se 3 \u2264 x \u2264 5
x+ 5 se x > 5
10. Considere a func¸a\u2dco f(x) = |x\u2212 4|+ |x\u2212 1|.
a) Construa seu gra´fico;
b) Determine seu dom\u131´nio e imagem;
c) Resolva a desigualdade |x\u2212 4|+ |x\u2212 1| > 4.
11. Determine as soluc¸o\u2dces:
a) |x+ 1| > 6;
b) 3
\u221a
4x2 + 9x+ 1 = x+ 1;
c) |3x+ 2| = |x\u2212 1|;
d)
x2 \u2212 4x+ 3
\u2212x2 + 8x\u2212 15 \u2264 0;
e) x4 \u2212 5x2 + 4 \u2265 0;
f)
(x2 \u2212 1)(x2 \u2212 10x+ 21)
x\u2212 5 \u2265 0;
g) 52x
2\u22123x\u22122 = 1;
h) log5 x+ log5(x\u2212 3) = log5 4.
12. Calcule
a) arcsin 0; b) arccos
(
\u2212 1\u221a
2
)
; c) arctan 1; d) arcsin
(
\u2212
\u221a
3
2
)
;
13. Encontre o valor de x nas equac¸o\u2dces abaixo:
a) arctan
(
x\u2212 1\u221a
3
)
=
pi
3
; b) cos(arcsinx) =
\u221a
3
2
;
c) tan(2 arcsinx) = 0.
14. Verifique se as func¸o\u2dces sa\u2dco pares ou \u131´mpares ou nenhum dos dois.
a) f(x) = 3;
b) g(x) = x4 + 3x2 \u2212 1;
c) h(x) =
x
x2 \u2212 1 ;
d) y = x2;
e) q(t) = 2|t|+ 1;
f) y = x5 + x3.
15. Seja f(x) =
x4 \u2212 16
x2 + 4
a) Mostre que f e´ par: b) f possui inversa? c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
16. Consider as func¸o\u2dces f(x) =
\u221a
x\u2212 3, g(x) = x2, h(x) = x\u2212 1
x+ 4
e i(x) =
\u221a
x. Determine as compostas a seguir e
seus dom\u131´nios.
a) f(g(x));
b) h \u25e6 g(x);
c) i \u25e6 h(x);
d) g(i(x));
e) h \u25e6 i(x);
f) f \u25e6 f(x).
17. Determine as inversas, caso existam, explicitando os dom\u131´nios e imagens.
a) f : R\u2192 R, f(x) = \u22123x+ 5;
b) g : R+ \u2192 [\u221216,\u221e), g(x) = x2 \u2212 16;
c) h : R\u2192 R, h(x) = x5;
d) f(x) = 2\u2212\u221ax\u2212 5;
e) f(x) = 2 +
\u221a
x\u2212 5;
f) f(x) =
4x\u2212 1
2x+ 3
.
18. Se f(x) = x3, calcule o quociente da diferenc¸a
f(2 + h)\u2212 f(2)
h
e simplifique sua resposta.
2
19. Calcule
f(x+ h)\u2212 f(x)
h
para as func¸o\u2dces:
a) f(x) = x2 \u2212 3x+ 9; b) f(x) = 1
x2
; c) f(x) = 13.
20. Determine o dom\u131´nio de cada uma das func¸o\u2dces:
a) f(x) = log3(4 + x);
b) f(x) = log6(6\u2212 x);
c) f(x) =
7x
log12(1\u2212 x2)
;
d) f(x) =
\u221a
1\u2212 log4(x);
e) f(x) =
\u221a
1\u2212 log5(x);
f) f(x) = 4log4(x
10).
21. A produc¸a\u2dco de uma indu´stria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu
principal produto. A partir da´\u131, a produc¸a\u2dco anual passou a seguir a lei y = 1000(0, 9)x . Qual o nu´mero de
unidades produzidas no segundo ano desse per´\u131odo recessivo?
22. A populac¸a\u2dco de ratos de uma cidade e´ dada pela func¸a\u2dco P (t) = C02
\u2212kt onde C0 e k sa\u2dco constantes. O nu´mero
de ratos vivos hoje e´ 16000. Se daqui a 3 anos restam apenas 8000 ratos, calcule:
a) o nu´mero de ratos existentes daqui a 9 anos.
b) o nu´mero de ratos vivos daqui a 18 anos, se ainda existir
23. O valor do imposto pago por uma certa empresa em reais e´ dada em func¸a\u2dco do tempo segundo a func¸a\u2dco
V (t) = 1000 log2(t+ 4). Suponha que t varie de acordo com os anos. Calcule o que se pede abaixo:
a) o valor do imposto pago daqui a 4 anos.
b) o imposto pago daqui a 12 anos.
c) o tempo no qual o imposto pago e´ 6 mil reais.
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