Aula Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas de equações 
Lineares
Fonte: Material prof. Régis Quadros
Métodos iterativos;
 Jacobi
Gauss Seidel
1
Métodos iterativos para solução de equações lineares
2
	 A técnica iterativa para resolver um sistema linear Ax = b de n x n elementos, será proposta da seguinte forma: 
parte-se de uma aproximação inicial x0 ;
 constrói-se, consecutivamente, os vetores x1, x2,..., 
segue as iterações até que uma condição de convergência seja satisfeita. 
Os seguintes métodos iterativos serão trabalhados:
1. 	Jacobi – Método dos deslocamentos simultâneos;
2.	 Gauss- Seidel – Método dos deslocamentos sucessivos;
Jacobi
3
	Considere o sistema
e exigindo que aii ≠ 0, i = 1, 2,..., n, isola-se o vetor X mediante a separação do elemento da diagonal, conforme
Jacobi
4
	Assim, tem-se X = CX + D, onde
 C = e D =
O método de Jacobi corresponde a resolver
até que um critério de convergência seja satisfeito.
4
Jacobi
5
Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Jacobi
 
Solução: A solução deste sistema é x1 = x2 = x3 = 1. Para resolvê-lo pelo método de Jacobi, ele deve ser disposto na forma (3.1), ou seja, já dividindo todas as linhas por 10
	Seguindo o procedimento já descrito e iniciando o processo iterativo com X(0)T =[0 0 0], são obtidas as aproximações sucessivas apresentadas na tabela 1. 
	Este método é normalmente empregado para sistemas de pequeno porte, da ordem 101 ou 102.
6
Jacobi
K
X1(k)
X2(k)
X3(k)
0
0
0
0
1
1,2
1,2
1,2
2
0,96
0,96
0,96
3
1,008
1,008
1,008
4
0,9984
0,9984
0,9984
5
1,00032
1,00032
1,00032
Tabela 1: Resultado do sistema pelo método de Jacobi
Gauss-Seidel
7
	Neste método, o sistema Ax = b é escrito na forma equivalente X = CXm + D por separação dos elementos da diagonal.
	Desta forma, no momento de se calcular xj(k+1) usa-se todos os valores x1(k+1), ..., xj-1(k+1) já obtidos e os valores xj+1(k),..., xn(k) restantes.
8
Exemplo: Considerando o mesmo sistema do exemplo anterior, o conjunto de equações pode ser escrito, para este caso, conforme
As aproximações sucessivas são indicadas na tabela 2:
 
 Tabela 2: Resultado do sistema pelo método de Gauss-Seidel
	Observa-se que as iterações estão convergindo mais rapidamente com a utilização do método de Gauss-Seidel do que com Jacobi.
Gauss-Seidel
K
X1(k)
X2(k)
X3(k)
0
0
0
0
1
1,2
1,08
0,972
2
0,9948
1,0033
1,0002
3
0,9996
1,0000
1,0000